Universidad de Costa Rica Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica IE – 0502 Proyecto Eléctrico Análisis de Estabilidad de Voltaje Utilizando el Método %umérico %o Convencional PredictorCorrector. Por: Marcia Pamela Elizondo Segura Ciudad Universitaria Rodrigo Facio Diciembre del 2008 A%ÁLISIS DE ESTABILIDAD DE VOLTAJE UTILIZA%DO EL MÉTODO %UMÉRICO %O CO%VE%CIO%AL PREDICTOR-CORRECTOR Por: MARCIA PAMELA ELIZO%DO SEGURA Sometido a la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Costa Rica como requisito parcial para optar por el grado de: BACHILLER EN INGENIERÍA ELÉCTRICA Aprobado por el Tribunal: _________________________________ Ing. Leonardo Montealegre Lobo Profesor Guía _________________________________ Ing. Juan Carlos Quesada Lacayo Profesor lector _________________________________ Ing. Alonso Alvarado Alvarado Profesor lector i DEDICATORIA A mis padres Marcial Elizondo Salas y Ligia Segura Ramos por todo lo que han hecho por mí, por sus consejos, por enseñarme a luchar por las cosas y ayudarme a obtener este logro que también es de ellos. A mi hermano Kenneth que han sido un gran ejemplo a seguir y un pilar de mi formación como persona y futura profesional. A mi hermana Karolina por apoyarme en las situaciones difíciles y por su compañía en todos los momentos de mi vida. ii RECO%OCIMIE%TOS A Dios un eterno agradecimiento por darme la luz y por poner en mi camino persona que me han ayudado y motivado a seguir adelante. Un profundo agradecimiento al Ing. Leonardo Montealegre Lobo, Ing. Alonso Alvarado Alvarado, Ing. Juan Carlos Quesada Lacayo y a la Ing. Anabelle Zaglul Fiatt, por confiarme este proyecto y por su compromiso y absoluta disposición de ayudarme en todo momento. Al Instituto Costarricense de Eléctricidad ICE por proporcionarnos las herramientas necesarias para la realización de este proyecto. A mi compañero Oscar Sánchez por su amistad, por brindarme su ayuda y apoyo en los momentos difíciles. A Julio Cortés por sus palabras de motivación en todo momento y por ayudarme a creer que somos capaces de realizar todo lo que nos propongamos. Y a mis amigos que de alguna u otra manera han llenado mi vida de buenos momentos y grandes enseñanzas. iii Í%DICE GE%ERAL Í%DICE DE FIGURAS ..................................................................................... vi Í%DICE DE TABLAS ...................................................................................... vii %OME%CLATURA .......................................................................................... ix RESUME% ........................................................................................................... x CAPÍTULO 1: Introducción ............................................................................. 1 1.1. Objetivos ..................................................................................................................... 3 1.1.1. Objetivo general ................................................................................................. 3 1.1.2. Objetivos específicos ......................................................................................... 3 1.2 Metodología ................................................................................................................ 4 CAPÍTULO 2: Métodos Predictor – Corrector ............................................. 6 2.1 Método Numérico Predictor – Corrector............................................................................. 7 2.2 Algoritmo Solución del Método Predictor – Corrector...................................................... 9 2.2.1 Paso Predictor:..................................................................................................14 2.2.2 Paso corrector:..................................................................................................15 2.3 Método Predictor – Corrector y su enfoque a la solución de flujos de potencia..16 CAPÍTULO 3: Estabilidad en Sistemas de Potencia................................... 21 3.1 3.2 3.3 3.4 Estabilidad y los Sistemas de Potencia ...................................................................21 Estabilidad Angular..................................................................................................22 Estabilidad de tensión...............................................................................................24 Metodología para determinar la estabilidad............................................................32 3.4.1 Curvas Q-V(Potencia Reactiva-Tensión) .......................................................32 3.4.2 Curvas P-V(Potencia Activa-Tensión) ...........................................................33 CAPÍTULO 4: Análisis de resultados y comparación entre los métodos numéricos %ewton-Raphson y Predictor -Corrector .................................. 37 4.1 Descripción del caso base ........................................................................................37 4.2 Información del sistema ...........................................................................................39 4.3 Algoritmo del programa realizado en Matlab para la solución del flujo de potencia utilizando el método Predictor - Corrector...............................................................40 4.3.1 Etapa Predictora. ..............................................................................................44 4.3.2 Etapa Correctora...............................................................................................45 4.4 Resultados obtenidos con el programa realizado con el Método PredictorCorrector 47 iv CAPÍTULO 5: Conclusiones y Recomendaciones ....................................... 53 5.1 5.2 Conclusiones.............................................................................................................53 Recomendaciones .....................................................................................................55 BIBLIOGRAFÍA............................................................................................... 56 APÉ%DICES...................................................................................................... 60 Apéndice A. Datos de descripción del caso base ......................................... 61 Apéndice B. Resultados de la Simulación en PSS ....................................... 64 Apéndice C: Resultados de la simulación con el Programa Predictor – Corrector. ........................................................................................................... 65 A%EXOS A. Código Fuente ............................................................................ 76 Anexo B.Programa para obtener la matriz de admitancias....................... 99 v Í%DICE DE FIGURAS Figura 1. Sistema radial [14] ....................................................................................................30 Figura 2. Voltaje en la carga, corriente y potencia como funciones de la carga [14]...........31 Figura 3. Característica VR − Q R [14].....................................................................................32 Figura 4. Curva P-V [14]..........................................................................................................34 Figura 5. Comportamiento del sistema de la figura 1 al presentarse diferentes factores de potencia [14]..............................................................................................................................35 Figura 6. Clasificación de estabilidad en sistemas de potencia..............................................36 Figura 7. Diagrama del sistema equivalente de prueba IEEE de 12 barras...........................37 Figura 8. Modelo π de la línea de transimisión .......................................................................39 Figura 9. Diagrama de flujos del método Predictor – Corrector............................................46 Figura 11. Datos Obtenidos de la Simulación en PSS ............................................................47 Figura 12. Curva P-V con los datos obtenidos con el método Predictor – Corrector...........49 Figura 13. Número de Iteraciones en función del aumento de carga.....................................51 Figura 14. Comportamiento del Parámetro de Barrera para la simulación del 72.6 % del aumento de carga del sistema...................................................................................................52 Figura 15. Comportamiento del Parámetro de Barrera ante un aumento mayor al 75% de la carga del anillo ..........................................................................................................................52 vi Í%DICE DE TABLAS Tabla A.1. Características de caso base por barra...................................................................61 Tabla A. 2. Características grupo generación.........................................................................61 Tabla A.3. Características líneas de transmisión.....................................................................62 Tabla A.4. Características transformadores de dos devanados ..............................................62 Tabla A.5 Características carga................................................................................................63 Tabla A. 6. Características banco de condensadores ..............................................................63 Tabla B.1 Resultados obtenidos de la simulación en PSS......................................................64 Tabla C.1 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 0%. Potencia=40MW................................................................................................................65 Tabla C.2 Datos obtenidos con:Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 5%. Potencia=45MW........................................................................................................................66 Tabla C.3 Datos obtenidos con:Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 10%. Potencia=50MW..............................................................................................................66 Tabla C.4 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 15%. Potencia=52MW..............................................................................................................67 Tabla C.5 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 20%. Potencia=55MW..............................................................................................................67 Tabla C.6 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 25%. Potencia=60MW..............................................................................................................68 Tabla C.7 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 30%. Potencia=65MW..............................................................................................................68 Tabla C.8 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 35%. Potencia=68MW..............................................................................................................69 Tabla C.9 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 40%. Potencia=70MW..............................................................................................................69 Tabla C.10 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 45%. Potencia=75MW..............................................................................................................70 Tabla C.11 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 50%. Potencia=75MW..............................................................................................................70 Tabla C.12 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 55%. Potencia=75MW..............................................................................................................71 Tabla C.13 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 60%. Potencia=75MW..............................................................................................................71 Tabla C.14 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 65%. Potencia=75MW..............................................................................................................72 Tabla C.15 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 70%. Potencia=80MW..............................................................................................................72 vii Tabla C.15 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 72%. Potencia=80MW..............................................................................................................73 Tabla C.16 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 72.5%. Potencia=80MW...........................................................................................................73 Tabla C.16 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 72.6%. Potencia=80MW...........................................................................................................74 Tabla C.17 Datos obtenidos para la barra 14 en todas las iteraciones...................................75 viii %OME%CLATURA UO-U1 Barra 1 DOS-U1 Barra 2 TRES-U1 Barra 3 CUATRO-U1 Barra 4 CICO-U1 Barra 5 SIES-U1 Barra 6 UEVE-U1 Barra 9 DIEZ-U1 Barra 10 OCE -U1 Barra 11 DOCE Barra 12 TRECE-U1 Barra 13 CATORCE-U1 Barra 14 ix RESUME% El presente trabajo es el resultado de una amplia investigación relacionada con los métodos numéricos y su aplicación al análisis de estabilidad de voltaje en los sistemas de potencia. El trabajo se dividió en tres etapas, en la primera de ella se realizó una investigación bibliográfica correspondiente al estudio de los métodos numéricos relacionados con la solución de flujos de potencia. La segunda etapa se enfocó a la aplicación del método numérico Predictor – Corrector en el estudio de flujos de potencia, se realizó un programa en Matlab y se procedió a comprobar la efectividad del mismo mediante la solución de un caso base de la IEEE para un sistema de potencia de 12 barras. Finalmente, la tercera etapa correspondió al análisis y comparación de resultados, donde se logró comprobar que es posible realizar un análisis de estabilidad de voltaje utilizando las curvas PV, a partir de la aplicación métodos numéricos no convencionales. Además, se pudo observar que mediante la implementación del método numérico Predictor-Corrector se logró obtener una respuesta satisfactoria con un menor número de iteraciones, permitiendo precisar el punto de colapso de tensión del sistema de potencia con mayor precisión. x CAPÍTULO 1: Introducción En la operación de sistemas eléctricos de potencia, se requiere constantemente estudios que permitan analizar su funcionamiento. Muchas de las herramientas que permiten estudiar su funcionamiento se basan en la solución de sistemas de potencia a partir de la obtención de un modelo de todos los elementos del sistema para posteriormente usar un método numérico iterativo para aproximar las variables eléctricas requeridas. El propósito de este trabajo es mostrar que existen aplicaciones de los métodos numéricos que facilitan el análisis de flujos de potencia, dando a su vez, un enfoque que facilite el análisis de procesos de optimización. El método Newton Raphson es muy empleado en este tipo de análisis; dado que, resuelve de forma más simple las ecuaciones diferenciales propuestas para un caso en estudio. Sin embargo, presenta la particularidad de que en determinadas condiciones la matriz Hessiana se vuelve singular limitando la posibilidad de obtener la solución del sistema. Es por esta razón que se incluyen los métodos numéricos de continuación; los cuales, son capaces de brindar esta solución fundamentándose en valores cercanos de puntos de análisis. Por ejemplo, desde el punto de estabilidad de voltaje, los métodos de continuidad permiten desarrollar un procedimiento para determinar el límite de estabilidad de tensión en estado estable de un sistema, evitando la singularidad en el punto crítico. 1 En este trabajo se realiza un enfoque especial en el método numérico Predictor- Corrector y se pretende mostrar una aplicación del mismo a los flujos de potencia. Como complemento se realiza un estudio de estabilidad de tensión que brinde información relacionada con la capacidad que tiene un sistema eléctrico para mantener niveles aceptables de la tensión en todas las barras que lo conforman, operando en condiciones normales o después de una contingencia o perturbación. La inestabilidad de tensión ocurre cuando una contingencia causa un abatimiento progresivo e incontrolable de la tensión. Lo anterior se explica con mayor detalle a lo largo del presente trabajo. 2 1.1. Objetivos 1.1.1. Objetivo general Estudiar las bondades del método numérico no convencional Predictor – Corrector en el cálculo de flujos de potencia y en el análisis de estabilidad de voltaje. 1.1.2. Objetivos específicos Estudiar los conceptos generales sobre Estabilidad de Voltaje en Sistemas de Potencia. Estudiar el algoritmo de solución de flujos de potencia basado en el método numérico no convencional Predictor – Corrector. Evaluar las capacidades del método numérico no convencional Predictor – Corrector en función del método numérico Newton – Raphson. Evaluar la rapidez de convergencia y margen de estabilidad de voltaje mediante la elaboración de curvas PV para un caso específico de simulación entre ambos métodos. 3 1.2 Metodología Para lograr el cumplimiento de los objetivos, este trabajo se divide en cuatro etapas: 1 Conformación del Conocimiento. Se realizó un estudio bibliográfico que se dividió en dos partes: primeramente se estudió la teoría sobre el método numérico Predictor – Corrector y se buscaron casos en que haya sido aplicado a la solución de flujos de potencia para estudiar el algoritmo de solución del flujo de potencia que plantea dicho método y posteriormente sobre la teoría concerniente a la estabilidad de voltaje. El objetivo de esta etapa fue relacionar ambos temas en función de la determinación del punto de colapso de voltaje para un sistema de potencia determinado. 2 Desarrollo de simulaciones. Una vez estudiada la teoría de estabilidad de voltaje y los algoritmos de solución del flujo de potencia para el método numérico Predictor – Corrector, se desarrolló un ejercicio de simulación en Matlab® de un sistema de potencia, que topológicamente y en cuanto a despacho de generación y cantidad de demanda, representa una condición extrema para simular en términos de convergencia y estabilidad de voltaje. Una vez que se creó el caso base del sistema de potencia a simular, se obtuvo la solución del flujo de carga por el método Newton – Raphson y por el método numérico no convencional Predictor - Corrector. Posteriormente, se realizó un análisis comparativo entre ambos métodos mediante la elaboración de las curvas PV. 4 3 Análisis de Resultados. Se estudiaron a fondo los resultados de las simulaciones propuestas con el objetivo de comparar el desempeño del método numérico estudiado con respecto al método Newton – Raphson, de forma tal que permitiera determinar sus ventajas y desventajas en relación al método tradicional. Se valora realizar nuevas simulaciones para validar resultados o analizar más a fondo algunos resultados importantes. 4 Conclusiones y Recomendaciones. Una vez hecho el análisis de resultados y luego de haber realizado todas las simulaciones necesarias para llegar a resultados congruentes, se desarrolló la etapa de conclusiones y recomendaciones respectivas. Las conclusiones responden a cada uno de los objetivos específicos que se plantearon al inicio del proyecto. 5 CAPÍTULO 2: Métodos Predictor – Corrector En el estudio de un sistema de potencia, es necesaria la implementación de sistemas matemáticos de ecuaciones diferenciales no lineales; que por lo general, se encuentran ligadas a restricciones algebraicas. Estas ecuaciones pueden ser resueltas usando métodos numéricos directos exclusivos para ecuaciones no lineales, como el método Newton-Raphson. No obstante, ante ciertas condiciones de operación de un sistema, la utilización de métodos como el NewtonRaphson presenta limitaciones a la hora de brindar una solución. Es por esta razón que se incluyen los métodos de continuación, los cuales son métodos numéricos que tienen la capacidad de encontrar el punto de colapso de tensión además de la información necesaria del sistema como magnitudes y ángulos de las tensiones en las diferentes barras, partiendo de un punto de operación estable o de equilibrio. Conforme se aproxima el punto de colapso, la solución numérica de las ecuaciones de un sistema se torna compleja. Es aquí donde los métodos de continuación tienen la facilidad de desarrollarse sin problema alguno ante esta dificultad, utilizando una estrategia numérica denominada Predictor-Corrector. 6 Los métodos numéricos Predictor-Corrector se componen de dos fases en el proceso de solución de los problemas. Para la primera parte es necesaria la utilización de un método numérico que cumpla la función de predecir una posible solución y en la segunda parte es posible emplear el mismo método que en la parte predictora o uno totalmente diferente, con el objetivo de que este tome la solución de la primera parte y la corrija, brindando una respuesta más exacta. 2.1 Método %umérico Predictor – Corrector Los métodos numéricos son algoritmos de solución ante posibles problemas dados. Se fundamentan en los algoritmos de Series de Taylor y los Métodos de Runge Kutta. Dentro de los métodos numéricos se encuentran los métodos multipasos. Los métodos multipasos tienen la particularidad que para ser utilizados es necesaria la implementación de dos métodos de un solo paso. Esto implica que debe ser desarrollado realizando un paso y con los resultados obtenidos en el primero se implementa el segundo paso con el segundo método seleccionado.. El algoritmo de Taylor de orden k y los métodos de Runge Kutta requieren información sobre la solución en un sólo punto x = xn, a partir del cual los métodos proceden a obtener una solución en el punto siguiente x = xn+1. 7 Aunque estos métodos generalmente utilizan información de la evaluación de la función entre los puntos xn y xn+1, no retienen esta información para usarla directamente en aproximaciones futuras. Toda la información utilizada por estos métodos se obtiene del intervalo sobre el cual la solución se está aproximando. Un método multipaso para resolver el problema de valor inicial y’ =f(t,y), a ≤ t ≤ b, y(a) = α, (1) es uno cuya ecuación en diferencias para encontrar la aproximación wn+1 en el punto xn+1 puede representarse con la siguiente ecuación, donde m es un entero mayor que 1: wn+1=am-1 wn + a m-2 wn-1+…+a0 w n+1-m + h[bm f(tn+1, wn+1) + bm-1f(t n,wn) +…+b0f(tn+1-m, wn+1-m) ] (2) para n = m-a, m,…, -1, donde los valores iniciales w0=α, w1=α1, están especificados y 8 w2=α2 , …, wm-1=αm-1 (3) h= (b − a ) (3) Cuando bm=0, el método se llama explícito o abierto, puesto que la ecuación (2) proporciona wn+1 explícitamente en términos de valores previamente determinados. Cuando bm≠0, el método se llama implícito o cerrado, puesto que wn+1 se presenta en ambos lados de la ecuación (2) y se determina sólo de manera implícita. En la práctica, no se emplean los métodos multipaso implícitos como se describió anteriormente. Sólo se usan para mejorar aproximaciones obtenidas mediante los métodos explícitos. Un método numérico que combina una técnica explícita con una implícita se conoce como método Predictor-Corrector. Este método explícito predice una aproximación y el método implícito corrige tal predicción. Éste método se detalla de una forma más amplia en las siguientes secciones al igual que el método Newton Raphson. 2.2 Algoritmo Solución del Método Predictor – Corrector El algoritmo Predictor-Corrector se conforma de una serie de ecuaciones e inecuaciones que corresponden a la función objetivo, las restricciones de igualdad, las restricciones de 9 desigualdad, el vector de variables x , los límites superior e inferior de las variables nombradas en las restricciones de desigualdad. Por función objetivo se debe entender la función que se desea resolver o el objetivo del proyecto. Es decir, una función objetivo puede formularse como la minimización de un parámetro como las pérdidas de un sistema, el costo de operación o la maximización de algún parámetro. La función objetivo en este trabajo se denominó f(x) y está dada por la ecuación (4). min f ( x) (4) Por otra parte se tienen las condiciones g (x) y h(x) mostradas en las ecuaciones (5) y (6) respectivamente. Éstas corresponden a las restricciones del sistema y van a marcar los límites por medio de los cuales el método Predictor –Corrector puede encontrar la solución. g ( x) = 0 (5) h( x ) − s ≥ 0 (6) En las ecuaciones (5) y (6) se muestra que las ecuaciones e inecuaciones son dependientes del parámetro x . Este parámetro corresponde a un vector x que está conformado por las variables de estado (magnitudes, ángulo o velocidades de las máquinas del sistema) que generalmente se van a definir por las variables desconocidas del sistema. 10 Además en la ecuación (6) se incluye un nuevo parámetro s . Se le denomina variable de holgura y su finalidad es transformar las restricciones de desigualdad en restricciones de igualdad; dado que s ≥ 0 se introducen las condiciones de no negatividad en la función objetivo como términos de barrera logarítmica. Al igual que el parámetro x , s es un vector. Cuando se expresan términos de no negatividad y términos de barrera logarítmica, lo que se pretende es brindar una nueva función objetivo, como se muestra en la ecuación (7). q min f ( x) − µ ∑ ln si (7) i =1 La ecuación (7) se encuentra sujeta a las ecuaciones (5), (6) y el parámetro de barrera µ . Su finalidad es limitar la función para aligerar el proceso. Sin embargo, conforme decrece, se presentan problemas en el proceso iterativo. A medida que el parámetro de barrera tiende a cero, el óptimo de la función de barrera logarítmica tiende al óptimo de la función original. Para poder encontrar la solución deseada y no tener el problema que se presenta con el parámetro de barrera se plantea la función Lagrangeana de la ecuación (8): q Lµ ( y ) = f ( x) − µ ∑ ln si − λT g ( x) − π T [ h( x) − s] i =1 11 (8) En la ecuación (8) se incluyen los términos multiplicadores de Lagrange λ y el término π que son denominados las variables duales. La ecuación que caracteriza al Lagrangeano está en función de y , está conformada por s , π , λ , x y corresponde al vector y = [ s, π , λ , x]T . Por otro lado, las condiciones obligatorias de optimización de primer orden de KarushKuhn-Tucker (KKT) se obtuvieron igualando el gradiente de la función Lagrangeana a cero, por esta razón todas las primeras derivadas con respecto a todas las variables se hacen cero. Una vez definidos todos los vectores, se deriva el Lagrangeano con respecto al vector y , dando como resultado la siguiente matriz: − µe + Sπ ∇ s Lµ ( y ) ∇ L ( y) − h( x ) + s π µ = =0 ∇ λ Lµ ( y ) − g ( x) T T ∇ x Lµ ( y) ∇f ( x) − J g ( x) λ − J g ( x) π (9) donde S es la matriz diagonal de los valores del vector s , e = [1,.....,1]T , ∇f (x) muestra el gradiente de la función objetivo, J g ( x)T corresponde al Hessiano transpuesto de la función g(x) y J h ( x) T se interpreta como el Hessiano transpuesto de la función h(x). 12 Métodos como el Predictor – Corrector son métodos de alto orden, los cuales tienen la capacidad de predecir la dirección de búsqueda, que es corregida en procedimientos posteriores para obtener de una forma más eficiente y rápida la solución requerida. El método Predictor-Corrector es una modificación del Método Primal – Dual, mejorando el cálculo de las direcciones de búsqueda con el objetivo de acelerar la convergencia del sistema. Tiene la particularidad de solucionar dos sistemas lineales en cada iteración. Éste método introduce un nuevo punto de cálculo en cada iteración, y va a estar definido por y k +1 = y k + ∆y . A partir de este valor y la matriz de la ecuación (9), se establece lo siguiente: µe − Sπ − ∆S∆π ∆s ∆π h ( x ) + h ( ∆x ) − s H = g ( x ) + g ( ∆x ) ∆λ T T ∆x − ∇f ( x) + J g ( x) λ + J g ( x) π (10) En el sistema de la ecuación (10) se incluyen los términos ∆ que son los términos de orden superior. Para obtener la solución de (10), es necesario el desarrollo del paso Predictor y el paso Corrector. 13 2.2.1 Paso Predictor: Su principal objetivo es obtener los términos de alto orden y realizar una estimación del parámetro de barrera aunque en esta parte sólo se tienen en cuenta los términos lineales. Para obtener los términos se resuelve el sistema de la ecuación (8) − Sπ ∆s af ∆π h( x ) + − s af H = ∆λaf g ( x) T T ∆xaf − ∇f ( x) + J g ( x) λ + J g ( x) π (11) Por su parte, el gap de complementariedad del paso predictor está dado por: ρ af = ( s + α af ∆s af ) T (π + α af ∆π af ) T (12) donde α af =∈ (0,1) y representa la longitud del paso de iteración. Para finalizar la etapa predictora se estima el parámetro de barrera que se emplea en la etapa correctora, como se muestra en la ecuación (13). 14 µ af ρ af = min ρ 2 ρ ,0.2 af q (13) donde ρ = s T π y es aquí donde se da la actualización de todas las variables que se utilizan en la etapa correctora. 2.2.2 Paso corrector: Con los resultados del paso predictor se puede calcular los términos no lineales. µe − Sπ − ∆S∆π ∆s ∆π h(x ) − h(α∆x ) − s Η = g (x ) + g (α∆x ) ∆λ T T ∆x − ∇f ( x ) + J g ( x ) λ + J h (x ) π (14) Se incluye un nuevo valor α, denominado valor de paso. Corresponde a un escalar y debe estar comprendido entre 0 y 1. El propósito de su incorporación es establecer intervalos de cálculo más pequeños con el objetivo de obtener de manera más aproximada el resultado requerido. 15 2.3 Método Predictor – Corrector y su enfoque a la solución de flujos de potencia Cuando se estudian flujos de potencia es de suma importancia conocer las limitaciones del sistema e incluirlas como pieza primordial en el análisis. Generalmente cuando se realizan estudios de flujo de potencia óptimo se busca maximizar o minimizar la función objetivo representada en la ecuación (7) sujeta a restricciones de igualdad y desigualdad expuestas en las ecuaciones (5) y (6). Para este caso la función objetivo corresponde a . Ésta función tiene como propósito principal establecer el menor error posible en el cálculo de potencia activa y potencia reactiva, es por esta razón que se toma como un escalar que comprende la sumatoria de los valores de ∆P y ∆Q, como se presenta a continuación: ∆P = Pi, prog − Pi ,calc (15) ∆Q = Qi, prog − Qi,calc (16) Así, se define entonces: i =1 i =1 f ( x) = (∑ P i , prog − Pi ,calc ) + (∑ Q i , prog −Qi ,calc ) 16 (17) Se tiene que para las restricciones de igualdad y desigualdad, estas van a estar dadas por el error presente tanto en la potencia activa como en la potencia reactiva y los valores límite de la potencia reactiva como se muestra en las ecuaciones (18) y (19): ∆P1 ... g ( x) = ∆Q1 ... ... (18) Q gimin ≤ Q gi ≤ Q gimax , i = 1, K, m (19) donde Q gimin y Q gimax son los límites mínimo y máximo respectivamente, de potencia reactiva del generador i del sistema. Por otra parte, se tiene que las ecuaciones (18) y (19), se ven restringidas o ligadas a dos valores y para el caso de la potencia activa y potencia reactiva. Los valores de y y para el caso de la corresponden a los valores iniciales de potencia activa y reactiva en cada barra. Por otra parte, y son las restricciones de potencia del sistema, estos valores se calculan en cada iteración y se denomina vector . El corresponde a un vector columna; donde cada uno de sus términos va a estar definido por las diferencias de potencia activa y potencia reactiva en cada barra. 17 y Para obtener los valores de para el caso de la potencia activa y y para el caso de la potencia reactiva, se crean las siguientes ecuaciones: Pi ,calc = ∑ YinViVn cos(θ in + δ n − δ i ) n =1 (20) Qi ,calc = ∑ YinViVn sen (θ in + δ n − δ i ) n =1 (21) Las ecuaciones anteriores se componen de términos provenientes de la matriz de admitancias, los valores de las tensiones en las barras y sus respectivos ángulos. Es importante recordar que la matriz de admitancias se forma a partir de: Yij = Yij cos θij + j Yij sen θij (22) Vi = Vi cos δi + j Vi cos δi (23) Vn = Vn cos δ n + j Vn cos δ n (24) Donde: • es el valor de la admitancia presente entre la barra i y la barra j. • es el ángulo de la admitancia. • y corresponden a las tensiones en las barras de estudio. 18 Por otra parte se crea el Lagrangeano de la ecuación (8), a partir de este se encuentran los valores de los gradientes del mismo que se incluyen en la ecuación (9) como se muestra a continuación. La ecuación de la matriz Hessiana final se representa por: S Π I 0 H(yk ) = 0 0 T 0 − J h ( x) − J h ( x) − J g ( x) T T H [ f ( x)] − ∂J g ( x) − ∂J h ( x) 0 0 0 0 − J g ( x) T (23) donde ∂J g ( x) T ∂J g ( x) = λ ∂x1 ∂J g ( x) T ∂J h ( x ) T ∂J g ( x ) = π ∂x1 ∂J h ( x ) T π ∂x 2 ∂x 2 λ ∂J g ( x) T ∂x3 λ L ∂J h ( x ) T π ∂x 3 ∂J g ( x) T ∂x n λ ∂J h ( x ) T L π ∂x n (24) (25) Con estos valores se inicia el paso corrector, al igual que ocurre en el caso de los métodos de un sólo paso es posible encontrar problemas si el paso α que se utiliza es demasiado grande para estudiar zonas con irregularidades y demasiado pequeño para estudiar zonas en 19 las que la función objetivo es muy simple. En estos casos resulta interesante cambiar el paso de integración, dado que este valor α permite aproximar de forma más certera la solución deseada. Sin embargo, esta tarea, que resultaba sencilla en el caso de los métodos de un sólo paso, resulta ahora más complicada por el hecho de tener que recalcular los pasos iniciales con un método de un sólo paso. En el caso de la estimación del error, esta puede hacerse utilizando un predictor corrector, el cual como ya se dijo anteriormente dispone de dos aproximaciones del mismo orden para la solución. Siguiendo con el análisis, se desarrolla el sistema de la ecuación (23), esta se incluye en la ecuación (21) y (22). Del sistema de la ecuación (21) se obtiene un nuevo vector que se evalúa en la función y a su vez se incluye en la ecuación (22). En este punto se obtienen los resultados correspondientes a los valores que se adicionan a las condiciones iniciales y en caso de presentarse que los valores absolutos de los errores son menores a la tolerancia, se llega a una solución deseada, es decir, se despliegan los resultados de convergencia del sistema. 20 CAPÍTULO 3: Estabilidad en Sistemas de Potencia El propósito fundamental de establecer un sistema de potencia es poder abastecer a los diversos clientes el servicio de energía eléctrica. Por lo general se busca que las compañías encargadas logren brindar un servicio de calidad.. Sin embargo, en algunas circunstancias el ofrecer un servicio contínuo a los clientes se vuelve una tarea difícil dado que los sistemas de potencia se ven expuestos a sufrir fallas que generalmente se manifiestan de forma inesperada. 3.1 Estabilidad y los Sistemas de Potencia La estabilidad es una característica de los sistemas dinámicos. Los sistemas eléctricos representan grandes sistemas de este tipo. Cuando los sistemas dinámicos son excitados por un disturbio externo, su estabilidad se ve amenazada por un margen de tiempo que puede variar en su duración. La estabilidad entonces, puede definirse en términos generales como la propiedad de un sistema de potencia que le permite permanecer en un estado de operación de equilibrio bajo 21 condiciones normales de operación y de retomar un estado aceptable de equilibrio, luego de haber sido sujeto a una perturbación. Al realizar estudios de estabilidad en un sistema de potencia, el principal objetivo es evaluar el comportamiento del sistema cuando se presentan perturbaciones. El tiempo de duración de la perturbación puede ser corto o de largo. Perturbaciones pequeñas de la forma de cambios en la carga o demanda ocurren constantemente, haciendo que el sistema se ajuste continuamente a estas condiciones. Por lo tanto, el análisis de estabilidad es el eje central de la teoría de estudio de los sistemas dinámicos. La estabilidad de los sistemas dinámicos se puede determinar mediante la solución de ecuaciones que describen su comportamiento o mediante la aplicación de algún método directo. 3.2 Estabilidad Angular La estabilidad angular (en el rotor de las unidades de generación) es la capacidad de las máquinas síncronas interconectadas de mantenerse en sincronismo. Aquí, el problema de estabilidad envuelve el estudio de las oscilaciones electromecánicas inherentes en un sistema de potencia. Un factor fundamental en este problema es la forma como la potencia de salida de las máquinas síncronas varía conforme el ángulo del rotor oscila. 22 Las variables a monitorear son los ángulos (relativos a una máquina de referencia) de los rotores de las máquinas que oscilan luego de una perturbación (si el sistema es estable las máquinas interconectadas permanecen en "sincronismo"). Así, dicho ángulo es función del balance entre: - Potencia mecánica aplicada al rotor (máquina primaria) -Potencia eléctrica transferida a la red. Bajo condiciones de estado estable, existe un equilibrio entre el torque mecánico de entrada y el torque de salida eléctrico de cada máquina y la velocidad permanece constante. Si el sistema es perturbado, dicho equilibrio también se trastorna, resultando en aceleraciones o desaceleraciones de las máquinas de acuerdo con las leyes de movimiento y rotación de los cuerpos. Cuando una máquina síncrona pierde sincronismo con el resto del sistema, su rotor se mueve a una velocidad mayor o menor que la requerida para generar voltajes a la frecuencia del sistema. El deslizamiento entre la velocidad del estator (correspondiente a la frecuencia del sistema) y la velocidad del rotor, provoca largas fluctuaciones en la potencia de salida de la máquina, en la corriente y el voltaje, causando que el sistema de protecciones aísle la máquina inestable del resto del sistema. 23 3.3 Estabilidad de tensión El análisis de estabilidad de tensión es un tema de los más importantes en el estudio de sistemas de potencia; dado que, mediante estos se permite conocer y establecer la adecuada operación del sistema; ya que, un sistema de potencia opera en un ambiente de cambio constante debido a la diversidad en el comportamiento de la carga. La estabilidad de voltaje es la capacidad de un sistema de potencia de mantener voltajes estables en sus barras bajo condiciones normales de operación y luego de haber sido sujeto a una perturbación. Un sistema entra en inestabilidad de voltaje cuando una perturbación, incrementa la demanda del sistema o cambia las condiciones del sistema, causando una progresiva e incontrolable caída en el voltaje. El factor principal que causa inestabilidad es la incapacidad del sistema de potencia de generar la cantidad de potencia reactiva necesaria para que dicha caída en los voltajes no ocurra. Entre los factores más importantes que influyen en la estabilidad de un sistema se pueden citar los siguientes: ♦ Variaciones de carga. 24 ♦ Salida de generadores. ♦ Salida de líneas. Cuando se presenta alguna de las condiciones citadas, las variables más afectadas son la frecuencia, el voltaje, y el ángulo del rotor de los generadores. Esto lleva a que los sistemas se aproximen o alcancen los límites de operación y por consiguiente se presenten inestabilidades que pueden terminar en colapsos del sistema. Para una mayor comprensión del contenido de este capítulo se establecen a continuación diversas definiciones o conceptos fundamentales relacionados con la estabilidad de tensión. La IEEE establece la siguiente definición para estabilidad de tensión: “Estabilidad de tensión es la habilidad de un sistema de potencia en mantener la tensión de manera que cuando la admitancia de carga se incremente, la potencia de carga aumente, y así ambos, potencia y tensión sean controlables” [16] Por otra parte se podría citar la definición que establece Kundur para la estabilidad de tensión “Habilidad de un sistema de potencia para mantener tensiones aceptables en todas sus barras bajo condiciones normales de operación y después de ser sometido a una perturbación” [16] 25 De la misma manera la IEEE establece para colapso de tensión lo siguiente: “El colapso de tensión es el proceso por el cual la inestabilidad de tensión conduce a la pérdida de tensión en una parte significante del sistema de potencia”[16] El estudio de la estabilidad de tensión en los últimos años se ha dedicado a modelar sistemas de potencia con la finalidad de obtener el punto de colapso. Los análisis de estabilidad de tensión tienen como finalidad garantizar que se cumplan ciertos criterios establecidos en cuanto a seguridad operativa; esto es tanto en estado de operación normal o durante algún evento o contingencia. Un criterio de estabilidad de tensión es que, para una condición de operación dada y para cada barra en el sistema, la magnitud de la tensión de una barra incremente en relación con el incremento en la inyección de potencia reactiva hacía dicha barra. Un sistema se vuelve inestable en términos de voltaje si, para al menos una barra en el sistema, la magnitud del voltaje en la barra cae mientras la inyección de potencia reactiva hacia esa barra aumenta. Caídas progresivas en el voltaje de las barras pueden estar asociadas con problemas en los ángulos de los rotores, sin embargo el tipo de caída mantenida del voltaje que está asociada con la inestabilidad de voltaje ocurre cuando la estabilidad angular no juega ningún papel en el fenómeno. La inestabilidad de voltaje es esencialmente un fenómeno local, sin embargo, sus consecuencias pueden tener un impacto global dentro del sistema de potencia. 26 El colapso de voltaje es más complejo que la inestabilidad de voltaje y es usualmente el resultado una serie de eventos consecuentes que acompañan la inestabilidad de voltaje provocando un perfil de bajo voltaje en una parte significativa del sistema de potencia. Las técnicas de solución que se aplican para establecer los análisis de estabilidad se basan en la obtención de diferentes curvas denominadas curvas P-Q y curvas P-V. Por lo general, estas curvas se realizan cuando el sistema presenta perturbaciones; sin embargo, estas curvas proporcionan información adicional que será descrita más adelante. Cuando se opera un sistema de potencia es de suma importancia establecer un control en la tensión, dado que, la tensión presenta una relación directa con la disponibilidad y localización de las fuentes encargadas de suministrar las reservas de potencia activa y reactiva Teóricamente, “entre mayor sea la reserva de potencia reactiva del generador, se podrá realizar con mayor eficiencia el control de tensión. Sin embargo, la distancia eléctrica entre el generador y la carga impide que el control de tensión sea efectivo a partir de cierta magnitud de la potencia que se transmite” [15] El término reserva de potencia reactiva corresponde a “la capacidad remanente en los equipos que realizan la función de control dinámico de tensión del sistema eléctrico” [16]; como ya se indicó, estos equipos corresponden a generadores y condensadores síncronos. 27 Por otro lado, para realizar el control de tensión se utilizan elementos, estos se dividen en: pasivos y dinámicos. Los elementos dinámicos corresponden a máquinas sincrónicas ya sean generadores o condensadores. Estos elementos tienen la capacidad de controlar tensión en las barras por medio de un regulador automático de tensión (AVR). Por su parte, los elementos pasivos son los que continuamente realizan control de la tensión del nodo donde están conectados, es decir, estos elementos corresponden a bancos de condensadores y reactores. Cuando se conecta un banco de condensadores en una barra, se incrementa el margen de estabilidad determinado ya que el punto de colapso se obtiene para una mayor transferencia de potencia. Esto se debe a que los bancos de condensadores se comportan como una fuente de potencia reactiva. Por otra parte, los reactores cumplen una función inversa a la del banco de capacitores, debido a que éstos son implementados para absorber el exceso de potencia reactiva en la línea de transmisión. Generalmente esos excesos se presentan en horas donde la demanda es menor. Cuando se incluyen transformadores con cambiadores de taps en un análisis de tensión, éstos pueden alterar la estabilidad; debido a que, extraen potencia reactiva de la red de transmisión de alta tensión y por lo tanto reducen el margen de potencia reactiva. Si se 28 encuentran instalados transformadores con cambiadores de taps automáticos (automatic underload tap-changing, ULTC), la acción del cambiador de taps trata de llegar al voltaje de carga establecido, lo cual tiene el efecto de reducir la impedancia. Lo anterior conduce a una reducción en la magnitud de la tensión. Este hecho es una simple y pura forma de inestabilidad de voltaje. Por su parte, los generadores síncronos, tienen la facilidad de controlar la tensión de su nodo, como se mencionó anteriormente, por la intervención de un regulador automática de voltaje (AVR), que se encarga de regular la excitación de campo de la máquina. Estos generadores tiene la capacidad de absorber o de entregar potencia reactiva, según sean las condiciones de operación del mismo y las de la línea. Otro elemento que tiene importancia en el análisis de estabilidad es el condensador síncrono. Su función principal es la de regular tensión y potencia reactiva. Generalmente se instalan para mantener la tensión del sistema de transmisión dentro de los límites previamente establecidos. Una vez que ya logra establecer el sistema, su finalidad es la de aumentar o disminuir la corriente de excitación de campo de la máquina; es decir, se encarga de determinar si se está consumiendo o entregando potencia reactiva al sistema. Todas estas máquinas adquieren gran importancia en los estudios de estabilidad de tensión; dado que, según sea su operación así se va a comportar el sistema. Principalmente se busca mantener un equilibrio en el sistema. 29 A manera de ejemplo se va a considerar el siguiente sistema: Figura 1. Sistema radial [14] Considere una fuente de voltaje constante ( E S ) supliendo una carga ( Z LD ) a través de una línea de transmisión con una impedancia en serie ( Z L ), como se observa en la figura 1. Como resultado de un aumento en la demanda del sistema al decrecer Z LD , PR aumenta inmediatamente de forma rápida y luego lentamente antes de alcanzar su máximo valor de potencia activa que puede ser transmitido a través de la impedancia desde la fuente de voltaje constante. En la figura 2, se observan las curvas correspondientes al comportamiento descrito anteriormente, estas se realizaron en función de la carga del sistema de la figura 1. 30 Figura 2. Voltaje en la carga, corriente y potencia como funciones de la carga [14] La potencia transmitida es máxima cuando la caída de voltaje en la línea es igual en magnitud a V R , esto es cuando Z L / Z LD = 1 . Conforme Z LD decrece gradualmente aumenta I y decae VR . La condición de operación crítica correspondiente a la máxima potencia representa el límite para una operación satisfactoria. Para mayores valores de demanda, el control de potencia variando la carga sería inestable, esto es, un decaimiento en la impedancia de la carga reduce la potencia. El decaimiento progresivo en el voltaje y eventual inestabilidad del sistema dependen de las características de la carga. Con una característica de carga de impedancia constante, el sistema se estabiliza a niveles de potencia y voltaje menores que los deseados. 31 Por otro lado, con una característica de carga de potencia constante, el sistema se vuelve inestable hacia un colapso del voltaje de barra de carga. Con otras características, el voltaje es determinado por la composición de las características tanto de la línea de transmisión como de la carga. 3.4 Metodología para determinar la estabilidad 3.4.1 Curvas Q-V(Potencia Reactiva-Tensión) Estas curvas se utilizan para conocer principalmente la reserva de potencia reactiva en alguna barra específica del sistema y el nivel de tensión aproximado en que ocurriría el colapso de tensión. Figura 3. Característica VR − QR [14] 32 La figura 3 muestra una familia de curvas aplicables al sistema de potencia de la figura 1, donde cada una de ellas representa la relación entre VR y QR para un valor fijo de PR . El sistema es estable en la región donde la derivada dQ R / dV R es positiva. El límite de estabilidad de voltaje (punto de operación crítico) se alcanza cuando la derivada es cero. Así, las partes de la derecha de las curvas V-Q representan una operación estable y luego del codo de las curvas, la parte de la izquierda representa una operación inestable del sistema. Sin embargo, una operación estable en la región donde la derivada dQ R / dVR es negativa puede lograrse sólo con una compensación de potencia reactiva regulada, teniendo suficiente margen de control y una alta ganancia Q/V con polaridad opuesta a la normal[14]. 3.4.2 Curvas P-V(Potencia Activa-Tensión) Este método se fundamenta en la variación progresiva de la carga, es decir, de la potencia activa y reactiva en alguna de las barras del sistema a la cual ya se le habían establecido valores iniciales para observar de esta forma el cambio o comportamiento de la tensión. 33 Figura 4. Curva P-V [14] Se utilizan principalmente para poder conocer la magnitud máxima de la potencia activa que se puede transmitir sin que el sistema llegue al colapso. Por otro lado, el factor de potencia tiene un efecto significativo en la característica P-V del sistema. Esto es de esperarse ya que la caída de voltaje en la línea de transmisión es una función tanto de la transferencia de potencia activa como de potencia reactiva. De hecho, la estabilidad de voltaje depende de la relación entre la potencia activa P y la potencia reactiva Q, en función del voltaje V. 34 Figura 5. Comportamiento del sistema de la figura 1 al presentarse diferentes factores de potencia [14] La inestabilidad de voltaje no siempre ocurre en su forma más pura. Con frecuencia, la inestabilidad angular y la inestabilidad de voltaje se presentan de forma complementaria. Es decir, en algunas circunstancias, una forma de inestabilidad puede conducir a la otra por lo que la distinción entre estos dos fenómenos puede estar en algunos casos no muy clara. Sin embargo, una distinción entre la estabilidad angular y la estabilidad de voltaje es importante para entender las causas subyacentes del problema para desarrollar adecuadas acciones de diseño y operación del sistema. 35 En el siguiente diagrama se observa un resumen de la clasificación de la estabilidad de los sistemas de potencia y el período de duración aproximado. Figura 6. Clasificación de estabilidad en sistemas de potencia Con la implementación del método Predictor-Corrector en el estudio de los flujos de potencia y la estabilidad de los mismos, lo que se pretende es obtener los valores necesarios para poder construir las curvas PV y asi poder realizar análisis de estabilidad y poder establecer el punto de colapso de tensión del sistema. 36 CAPÍTULO 4: Análisis de resultados y comparación entre los métodos numéricos %ewton-Raphson y Predictor -Corrector Con el objetivo de comprobar la efectividad y utilidad del método expuesto en el capítulo 3 para el estudio de estabilidad de tensión, se implementa un caso base o caso de estudio que corresponde a un sistema de potencia de 12 barras. 4.1 Descripción del caso base El caso base que se muestra en la figura 7, se presenta como un sistema de prueba de 12 barras, el cual corresponde a un equivalente de un sistema de 14 barras. Figura 7. Diagrama del sistema equivalente de prueba IEEE de 12 barras 37 El sistema consta de 2 niveles de voltaje. El primero corresponde a la generación y transmisión a 138 kV, el cual comprende las barras UNO-U1, DOS-U1, TRES-U1, CUATRO, y CINCO del diagrama de la figura 7. Mientras el segundo corresponde a la distribución a 34.5 kV que está formado por las barras SEIS-U1, NUEVE, DIEZ, ONCE, DOCE, TRECE y CATORCE. De igual forma, se presentan unidades generadoras, que dadas las condiciones del sistema, operan como condensadores síncronos. Dado que el centro de carga en 34.5 kV está muy alejado del centro de generación en 138 kV, dichos condensadores están operando a su capacidad máxima de potencia reactiva para que el voltaje en el anillo de carga no sea muy bajo. Se tienen operando como barras de generación la 1, 2, 3 y 6, donde la barra 1 representa la barra oscilante del sistema, mientras que los generadores instalados en las barras 3 y 6 operan como condensadores síncronos. En las líneas que se encuentran entre las barras 4 y 9, se muestran transformadores de dos devanados. Por otro lado, el banco de condensadores instalado en la barra 9 es de una etapa y está configurado para que siempre esté en operación. 38 4.2 Información del sistema La Tabla A.1 muestra un resumen de los valores requeridos para simular el caso base. Estos están dados en por unidad sobre una base de 100 MVA. Se observan los valores característicos en las barras; es decir, voltaje, ángulo y las potencias respectivas. Indicando a su vez la clasificación de la barra. Por otra parte, las características y restricciones de potencia activa como reactiva del grupo generación, se muestran en la Tabla A.2. Así mismo, la Tabla A.3 proporciona los parámetros que se utilizaron para modelar las líneas de transmisión de acuerdo con el modelo de la figura 7. Para poder establecer las condiciones del sistema, se empleó el modelo π de la línea, éste se puede observar en la figura 8. Este modelo es indispensable; ya que, a partir de él se reestructura el circuito y se obtiene los valores necesarios para el análisis. Figura 8. Modelo π de la línea de transimisión 39 Como se mencionó anteriormente, se tiene en el sistema tres transformadores de diferentes características, las cuales se incluyen en la Tabla A.4. Es importante mencionar que los transformadores se modelan únicamente como una reactancia. Así mismo, la Tabla A.5 muestra la demanda por barra en el sistema. Nótese que hay carga asociada a generación, como en las barras 2 y 3, y hay un anillo de carga en 34.5 kV conformado por las barras 6, 9, 10, 11, 12, 13 y 14. Finalmente, la Tabla A.6 muestra las características principales del banco de condensadores en la barra 9. El objetivo de dicho banco es inyectar potencia reactiva al anillo de carga de 34.5 kV para soporte de voltaje. 4.3 Algoritmo del programa realizado en Matlab para la solución del flujo de potencia utilizando el método Predictor - Corrector Se desarrolló un programa en Matlab, que emplea el método numérico no convencional Predictor-Corrector para la solución de flujos de carga. El programa desarrollado brinda la posibilidad de realizar análisis de flujos de potencia fundamentandose en el algoritmo Predictor-Corrector. 40 Primeramente, deben de establecerse las condiciones iniciales de todas las variables del sistema, luego mediante soluciones matemáticas procede a realizar una serie de operaciones que luego van a ser utilizadas en la primera parte del método Predictor-Corrector. Una vez obtenidos estos valores el programa calcula la segunda parte correspondiente a la parte correctora y con estos valores verifica si se está cumpliendo con el criterio de convergencia. De cumplirse la condición de convergencia el programa termina, desplegando soluciones y mostrando una gráfica del comportamiento del parámetro de barrera. A continuación se describe el algoritmo empleado para hacer posible la implementación del método ya mencionado. Primeramente, se creo la matriz de admitancia que corresponde al sistema de la figura 7, dado que, es fundamental en la solución de flujos de potencia. De esta matriz se necesitan los valores de la magnitud y ángulo de la impedancia de cada celda de la matriz como dos valores independientes. Por lo tanto, se establece que el programa tenga la facultad de hacerlo. Una vez obtenida esta matriz, se procede a realizar el programa propiamente del método como tal. El programa se realizó para que el usuario sea quién ingrese el valor el factor de aumento de carga del anillo del sistema y el valor de la potencia activa del generador de la barra 2 según como desee hacer el análisis. El aumento del factor de aumento de carga se 41 estableció en aproximadamente 5% hasta alcanzar el 70%, del 70% al 72% en aumentos del 2% y por último, del 72% al 72.6% en aumentos del 0.2%. Para comenzar se inicializan los valores de las potencias activa y reactiva, las magnitudes de las tensiones y los ángulos de las mismas, según los datos de las tablas del apéndice A. A su vez, se establecieron los límites de potencia activa y reactiva, tanto el máximo como el mínimo, dado que la solución del flujo de carga va a depender de sus límites máximos y mínimos. Luego, se establecieron los vectores que corresponden a las variables de holgura y a las variables duales. Es importante destacar que, el vector π anteriormente mencionado, es elegido por el usuario. Por el contrario, para obtener el vector s se emplea la siguiente relación ρ = s T π , con el objetivo de aproximar la solución de manera más exacta. En cuanto a este método de selección de vectores de holgura, se debe mencionar, que el criterio de selección es totalmente empírico. Por su parte, los valores de la variable gamma y sigma se establecen como constantes ya que, según la teoría estos valores no deben de cambiar. Una vez establecidos todos los valores, se define el vector de variable incognita que va a estar dado por los valores de la tensión en magnitud y ángulo. 42 Una vez conocidas las incógnitas, se formulan las ecuaciones de potencia activa y reactiva de cada una de las barras en estudio. Estas ecuaciones dan origen a la función objetivo dada por la ecuación (7). El objetivo principal es minimizar los errores de potencia activa y reactiva en cada una de las barras por lo que se establece el vector de errores que se formuló en el capítulo 2 como la ecuación (5). Seguidamente se formulan las ecuaciones de desigualdad para las diferentes barras como se decribe en la ecuación (6); estas van a estar expresadas con los límites de potencia, las potencias calculadas y las potencias correspondientes a la carga. Posteriormente se calculan el jacobiano del vector de error y del vector de desigualdad, el gradiente de la función objetivo y las respectivas derivadas de los jacobianos ya calculados. Cuando se tiene todos estos valores se procede a crear un ciclo que se va a encargar de realizar las iteraciones en el programa. Aquí se establecen nuevas matrices con los vectores de las variables de holgura y las variables duales. La primera corresponde a la matriz diagonal de las variables de holgura s, la segunda a la matriz diagonal de los vectores π y la última la matriz identidad. 43 Como ya se ha mencionado, el método Predictor – Corrector tiene dos etapas, las cuales se deben realizar en un respectivo orden, como se muestra a continuación. 4.3.1 Etapa Predictora. Con la utilización de métodos matemáticos en el análisis de flujos de potencia, lo que se pretende es establecer el punto de colapso del sistema. Dado que, como se observa en la figura 4 matemáticamente este punto puede corresponder a muchas soluciones o presentar una bifurcación. Es por eso que etapa pretende aproximar rectas tangentes al punto de colapso de tensión con el objetivo de aproximar de forma más presisa este punto. Esto lo logra al establecer las siguientes condiciones: a. Se establece el gradiente del Lagrangiano de la ecuación (8) donde T y Th corresponde a las matrices transpuestas de las derivadas anteriores. b. Se crea la nueva matriz H de la ecuación (11) y se le calcula la inversa a esta matriz. c. Luego se encuentra el vector α af , ρ af y µ af con las ecuaciones (12) y (13). d. Por consiguiente, se actualizan todas las variables y se forman las nuevas matrices de desigualdad y el nuevo vector de errores. 44 4.3.2 Etapa Correctora. En esta etapa se toman los datos solución de la primera etapa y se procede a realizar lo siguiente: a. Una vez obtenidos todos lo valores y matrices de la etapa anterior, se procede a calcular la matriz de la ecuación (14). b. Luego se verifica la convergencia, esta tiene como requisito que el máximo error del vector de errores debe ser menor que 0.1 MW y 0.1 MVAr. c. Se recalculan los valores para la barra oscilante y verifica la convergencia. d. De lo contrario, se reingresa en el programa y recalcula todo con los nuevos valores. e. En caso de obtener la convergencia en el punto deseado, se procede a realizar aumentos en el anillo de carga y en la potencia de la barra 2, con la finalidad de poder obtener los datos para realizar las curvas requeridas para el estudio de estabilidad. En conclusión, el procedimiento anterior se puede resumir en el siguiente diagrama: 45 Figura 9. Diagrama de flujos del método Predictor – Corrector 46 4.4 Resultados obtenidos con el programa realizado con el Método Predictor-Corrector Una vez que se realizaron los procedimientos descritos en las secciones anteriores, se quizo comprobar la efectividad del método y la aplicación del mismo realizado en Matlab. Para ello se ejecutaron variadas simulaciones incrementando el factor de aumento de carga y la potencia activa de la barra 2. En la figura 11, se muestra la curva P-V de la barra 14 correspondiente a los datos obtenidos de la simulación del sistema en PSS/E (Power System Simulator for Engineers). Este software se fundamenta en el Método de Newton –Raphson, el cual es muy utilizado en la solución de flujos de potencia. Figura 11. Datos Obtenidos de la Simulación en PSS 47 En la figura 11 se observa que el punto de colapso se obtiene para un aumento de carga del 70% aproximadamente. Cuando se simula se obtiene que para que este sistema alcance la convergencia se deben realizar más de 60 iteraciones, proceso que se vuelve tedioso en sistemas muy grandes. Es importante resaltar que cuando el aumento de la carga en el anillo corresponde al 65% el programa logra obtener la solución deseada en 4 iteraciones; por el contrario, cuando al sistema se le aumenta la carga en un 80% el programa es incapaz de brindar una solución. Cuando se realizan las simulaciones en el programa Predictor – Corrector se obtiene que se alcanza el criterio de convergencia cuando la carga del sistema se aumenta en un 72,6 % y la potencia alcanza 80MW, esto lo realiza en 4 iteraciones y con una magnitud de tensión en la barra 14 de 0,5685 pu. En la figura 12 se muestra las Curvas P-V realizadas por los dos métodos, donde se observa que el método Predictor-Corrector logra superar las expectativas del método NewtonRaphson y brinda una mayor información del sistema de potencia en estudio, en cuanto a que es capaz de predecir con mayor exactitud un punto de colapso de voltaje mediante la metodología de las curvas P – V. 48 Curva P-V 1 Tensión (p.u) 0,8 0,6 New ton-Raphson 0,4 Predictor-Corrector 0,2 0 0 20 40 60 80 Aumento de carga (%) Figura 12. Curva P-V con los datos obtenidos con el método Predictor – Corrector Es importante resaltar de las curvas de la figura 12 los siguientes aspectos; ♦ El Método de Newton-Rahpson brinda solución hasta cuando se ha establecido un aumento del anillo de carga del 70% aproximadamente, el método Predictor – Corrector aproxima la solución a un 72.6% del aumento de carga, estableciendo este punto como el punto crítico de colapso del sistema ♦ En la gráfica de la figura 14, se muestra que el sistema no puede proporcionar solución para aumentos mayores al 72.6%; dado que, la región que comprende 49 valores mayores a este, no figuran como posible solución del sistema encontrándose esos puntos en la zona de inestabilidad. ♦ En la Tabla C.17 se observa que el porcentaje de error entre las soluciones de los dos algoritmos de solución se encuentra entre 2% y el 0% en algunas iteraciones. En cuanto a las iteraciones requeridad por cada método se puede observar que el método Newton-Raphson llega a un punto donde para poder brindar la respuesta solicitada necesita realizar más de 60 iteraciones; que por el contrario, el método Predictor-Corrector logra realizar en un máximo de 4 iteraciones. Esto se puede observar en la figura 13. En la figura 13 se puede apreciar el comportamiento que presenta el número de iteraciones a las cuales converge el programa cuando se le aplica un aumento en la carga. Se muestra que mientras se realiza aumentos al porcentaje de carga, el sistema alcanza la convergencia en un número de iteraciones bastante pequeñas que varían en 2, 3 y 4 iteraciones para el Predictor - Corrector. 50 Punto de convergencia en función del aumento de carga Predictor-Corrector 7,5 5 2,5 72 ,2 72 ,6 70 60 50 40 30 20 10 0 0 Número de Iteraciones Newton-Rahson 10 Porcentaje de Aumento de Carga Figura 13. %úmero de Iteraciones en función del aumento de carga Por lo tanto, se tiene que aunque ambos métodos logran encontrar una solución para el sistema en estudio, el método Predictor-Corrector logra brindarla con un menor número de iteraciones. La solución en el caso base es obtenida como se muestra en la figura 14 en la segunda iteración, aquí se puede observar como el parámetro de barrera disminuye de forma exponencial conforme se aumentan las iteraciones, cumpliéndo con lo establecido en la teoría. 51 Comportamiento del Parámetro de Barrera en función del número de iteraciones 250 Parámetro de Barrera 200 150 100 50 0 0 0.5 1 1.5 2 Número de Iteraciones 2.5 3 Figura 14. Comportamiento del Parámetro de Barrera para la simulación del 72.6 % del aumento de carga del sistema 32 Comportamiento del Parámetro de Barrera en función del número de iteraciones x 10 4.5 4 Parámetro de Barrera 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 5 10 15 20 25 30 Número de Iteraciones 35 40 45 50 Figura 15. Comportamiento del Parámetro de Barrera ante un aumento mayor al 75% de la carga del anillo 52 CAPÍTULO 5: Conclusiones y Recomendaciones 5.1 Conclusiones Una vez realizadas las simulaciones del caso base con el programa realizado en Matlab y compararlo con los resultados obtenidos en la simulación del PSS/E, se puede mencionar lo siguiente: ♦ En cuanto al programa de solución de flujos creado con el método PredictorCorrector se manifiesta que este se comporta de la manera esperada; debido a que, el valor del parámetro de barrera tiende a hacerce cero conforme el sistema avanza en iteraciones hasta el momento en que cumple con el criterio de convergencia. A su vez se obtiene que las variables duales, aunque tienden a ser valores muy pequeños siempre conservan la característica de no negatividad lo que permite el correcto funcionamiento del programa. ♦ Según los resultados mostrados en la Tabla C17 se muestra los valores en las tensiones de la barra 14 obtenidos simulando el programa Predictor - Corrector, presenta, ante un aumento de carga, un porcentaje de error pequeño con respecto a los datos obtenidos en la simulación del software PSS muy utilizado y vendido comercialmente. Por lo tanto, se logra comprobar que mediante la debida 53 implementación de un software que se fundamente en métodos como el Predictor – Corrector se puede precisar la solución de los diferentes sistemas de potencia en estudio. ♦ Por otra parte, se obtiene que para un mismo caso de estudio, el método PredictorCorrector, logra obtener la solución e identificar el punto donde se cumple el criterio de convergencia en un menor número de iteraciones. ♦ En cuanto a la estabilidad del sistema de potencia se logró obtener que el algoritmo realizado mediante la utilización del método en estudio aproxima el punto de colapso con mayor exactitud, dado que, el programa permite realizar variaciones de la carga hasta lograr apoximar el punto donde el sistema pierde su estabilidad. ♦ En el momento en que el sistema se comporta de manera inadecuada; es decir, los resultados obtenidos son como se obseva en la figura 15, se puede concluir que el sistema se encuentra operando en un zona donde no es posible encontrar una solución. 54 5.2 Recomendaciones ♦ Es importante destacar como se dijo en el capítulo 3, que el criterio de selección de las variables duales es totalmente empírico; por lo tanto, es necesario realizar un estudio más minucioso de estas variables. ♦ Se recomienda la aplicación del programa realizado en un sistema real, con la finalidad de poder realizar un estudio de estabilidad de voltaje que brinde soluciones mucho más cercanas a las reales. 55 BIBLIOGRAFÍA [1] Aromataris L. 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Características de caso base por barra %úmero %ombre kV Voltaje Ángulo Pgen Qgen Pcarga Qcarga barra barra base [V] [°] [MW] [MVAr] [MW] [MVAr] 1 UNO-U1 138 Oscilante 10.200 0.00 231.54 -22.80 ------ ------ 2 DOS-U1 138 PV 10.120 -2.92 40.00 50.00 21.70 12.70 3 TRES-U1 138 PV 0.9822 -11.63 0.00 40.00 94.20 19.00 4 CUATRO 138 PQ 0.9707 -8.93 ------ ------ 47.80 -3.90 5 CINCO 138 PQ 0.9765 -7.61 ------ ------ 7.60 1.60 6 SIES-U1 34.5 PV 0.9637 -14.96 0.00 24.00 11.20 7.50 9 NUEVE 34.5 PQ 0.9289 -16.15 ------ ------ 29.50 16.60 10 DIEZ 34.5 PQ 0.9265 -16.29 ------ ------ 9.00 5.80 11 ONCE 34.5 PQ 0.9408 -15.78 ------ ------ 3.50 1.80 12 DOCE 34.5 PQ 0.9458 -16.04 ------ ------ 6.10 1.60 13 TRECE 34.5 PQ 0.9390 -16.14 ------ ------ 13.50 5.80 14 CATORCE 34.5 PQ 0.9123 -17.48 ------ ------ 14.90 5.00 Código Tabla A. 2. Características grupo generación %úmero Grupo Pgen Pmax Pmin Qgen Qmax Qmin MVA base Barra generador [MW] [MW] [MW] [MVAr] [MVAr] [MVAr] [MVA] 1 UNO-U1 H1 231.54 340 0 -22.8 210.71 -210.71 400 2 DOS-U1 H2 40 85 0 50 50 -40 100 3 TRES-U1 H3 0 65 0 40 40 0 76 6 SIES-U1 H4 0 0 24 24 -6 46 Id 39 61 Tabla A.3. Características líneas de transmisión De la barra A la barra Id R [p.u.] X [p.u.] C [p.u.] 1 UNO-U1 2 DOS-U1 1 0.01938 0.05917 0.0528 1 UNO-U1 2 DOS-U1 2 0.01938 0.05917 0.0528 1 UNO-U1 5 CINCO 1 0.05403 0.22304 0.0492 2 DOS-U1 3 TRES-U1 1 0.04699 0.19797 0.0438 2 DOS-U1 4 CUATRO 1 0.05811 0.17632 0.034 2 DOS-U1 5 CINCO 1 0.05695 0.17388 0.0346 3 TRES-U1 4 CUATRO 1 0.06701 0.17103 0.0128 4 CUATRO 5 CINCO 1 0.01335 0.04211 0.0000 6 SIES-U1 11 ONCE 1 0.09498 0.1989 0.0000 6 SIES-U1 12 DOCE 1 0.12291 0.25581 0.0000 6 SIES-U1 13 TRECE 1 0.06615 0.13027 0.0000 9 NUEVE 10 DIEZ 1 0.03181 0.0845 0.0000 9 NUEVE 14 CATORCE 1 0.12711 0.27038 0.0000 10 DIEZ 11 ONCE 1 0.08205 0.19207 0.0000 12 DOCE 13 TRECE 1 0.22092 0.19988 0.0000 13 TRECE 14 CATORCE 1 0.17093 0.37802 0.0000 Tabla A.4. Características transformadores de dos devanados De la barra A la barra Id %ombre X [p.u.] MVA base [MVA] 4 CUATRO 9 NUEVE 1 T2 0.55618 195 4 CUATRO 9 NUEVE 2 T1 0.55618 195 5 CINCO 6 SIES-U1 1 T3 0.25202 130 62 Tabla A.5 Características carga %úmero barra %ombre barra Pcarga [MW] Qcarga [MVAr] 2 DOS-U1 21.7 12.7 3 TRES-U1 94.2 19.0 4 CUATRO 47.8 -3.9 5 CINCO 7.6 1.6 6 SIES-U1 11.2 7.5 9 NUEVE 29.5 16.6 10 DIEZ 9.0 5.8 11 ONCE 3.5 1.8 12 DOCE 6.1 1.6 13 TRECE 13.5 5.8 14 CATORCE 14.9 5.0 Tabla A. 6. Características banco de condensadores %úmero %ombre Modo de Capacidad barra barra control [MVA] 9 NUEVE Fijo 10 63 Etapas 1 Capacidad/etapa [MVAr] 10 Apéndice B. Resultados de la Simulación en PSS Tabla B.1 Resultados obtenidos de la simulación en PSS SIES-U1 Escenarios Caso Base Aumento carga 5% Aumento carga 10% Aumento carga 15% Aumento carga 20% Aumento carga 25% Aumento carga 30% Aumento carga 35% Aumento carga 40% Aumento carga 45% Aumento carga 50% Aumento carga 55% Aumento carga 60% Aumento carga 65% Aumento carga 70% Aumento carga 75% Aumento carga 80% NUEVE DIEZ ONCE DOCE TRECE CATORCE DOS-U1 P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q Pgen [MW] [MVAr] [MW] [MVAr] [MW] [MVAr] [MW] [MVAr] [MW] [MVAr] [MW] [MVAr] [MW] [MVAr] [MW] 11.200 7.500 29.500 16.600 9.000 5.800 3.500 1.800 6.100 1.600 13.500 5.800 14.900 5.000 40.00 11.760 7.875 30.975 17.430 9.450 6.090 3.675 1.890 6.405 1.680 14.175 6.090 15.645 5.250 45.00 12.320 8.250 32.450 18.260 9.900 6.380 3.850 1.980 6.710 1.760 14.850 6.380 16.390 5.500 50.00 12.880 8.625 33.925 19.090 10.350 6.670 4.025 2.070 7.015 1.840 15.525 6.670 17.135 5.750 52.00 13.440 9.000 35.400 19.920 10.800 6.960 4.200 2.160 7.320 1.920 16.200 6.960 17.880 6.000 55.00 14.000 9.375 36.875 20.750 11.250 7.250 4.375 2.250 7.625 2.000 16.875 7.250 18.625 6.250 60.00 14.560 9.750 38.350 21.580 11.700 7.540 4.550 2.340 7.930 2.080 17.550 7.540 19.370 6.500 65.00 15.120 10.125 39.825 22.410 12.150 7.830 4.725 2.430 8.235 2.160 18.225 7.830 20.115 6.750 68.00 15.680 10.500 41.300 23.240 12.600 8.120 4.900 2.520 8.540 2.240 18.900 8.120 20.860 7.000 70.00 16.240 10.875 42.775 24.070 13.050 8.410 5.075 2.610 8.845 2.320 19.575 8.410 21.605 7.250 75.00 16.800 11.250 44.250 24.900 13.500 8.700 5.250 2.700 9.150 2.400 20.250 8.700 22.350 7.500 75.00 17.360 11.625 45.725 25.730 13.950 8.990 5.425 2.790 9.455 2.480 20.925 8.990 23.095 7.750 75.00 17.920 12.000 47.200 26.560 14.400 9.280 5.600 2.880 9.760 2.560 21.600 9.280 23.840 8.000 75.00 18.480 12.375 48.675 27.390 14.850 9.570 5.775 2.970 10.065 2.640 22.275 9.570 24.585 8.250 75.00 19.040 12.750 50.150 28.220 15.300 9.860 5.950 3.060 10.370 2.720 22.950 9.860 25.330 8.500 80.00 19.600 13.125 51.625 29.050 15.750 10.150 6.125 3.150 10.675 2.800 23.625 10.150 26.075 8.750 80.00 20.160 13.500 53.100 29.880 16.200 10.440 6.300 3.240 10.980 2.880 24.300 10.440 26.820 9.000 80.00 64 Apéndice C: Resultados de la simulación con el Programa Predictor –Corrector. Tabla C.1 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 0%. Potencia=40MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 231,5273 -22,8294 2 1,012 -2,9243 39,9978 50,0006 3 0,9823 -11,6252 0 39,9992 4 0,9707 -8,9303 0 0 5 0,9765 -7,6084 0 0 6 0,9637 -14,9565 0 24,0058 9 0,929 -16,1496 0 0 10 0,9266 -16,2915 0 0 11 0,9408 -15,7751 0 0 12 0,9459 -16,0424 0 0 13 0,939 -16,1339 0 0 14 0,9124 -17,4824 0 0 65 Tabla C.2 Datos obtenidos con:Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 5%. Potencia=45MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 231,3252 -17,4470 2 1,0111 -2,8889 44,9975 50,0007 3 0,9794 -11,6957 0 39,9991 4 0,9664 -9,037 0 0 5 0,9724 -7,7072 0 0 6 0,9553 -15,5085 0 24,0064 9 0,9191 -16,767 0 0 10 0,9164 -16,9229 0 0 11 0,9313 -16,377 0 0 12 0,9364 -16,669 0 0 13 0,9292 -16,7668 0 0 14 0,9012 -18,2056 0 0 Tabla C.3 Datos obtenidos con:Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 10%. Potencia=50MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 231,1599 -11,7816 2 1,01 -2,8529 49,9972 50,0007 3 0,9765 -11,7682 0 39,999 4 0,9618 -9,1449 0 0 5 0,9681 -7,8067 0 0 6 0,9465 -16,0796 0 24,0073 9 0,9087 -17,4071 0 0 10 0,9058 -17,5779 0 0 11 0.9213 -17,0007 0 0 12 0.9265 -17,3185 0 0 13 0.9189 -17,4229 0 0 14 0.8894 -18,9576 0 0 66 Tabla C.4 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 15%. Potencia=52MW Magnitud de la Barra tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 234,1340 -5,4563 2 1,0086 -2,8624 51,9966 50,0009 3 0,9731 -11,8891 0 39,9988 4 0,9567 -9,2939 0 0 5 0,9633 -7,9429 0 0 6 0,937 -16,7142 0 24,0088 9 0,8975 -18,1169 0 0 10 0,8943 -18,3032 0 0 11 0,9106 -17,6919 0 0 12 0,9158 -18,0368 0 0 13 0,9078 -18,1481 0 0 14 0,8769 -19,7871 0 0 Tabla C.5 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 20%. Potencia=55MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 236,1221 1,1124 2 1,0072 -2,8561 54,9959 50,0010 3 0,9696 -11,9973 0 39,9985 4 0,9515 -9,431 0 0 5 0,9584 -8,0681 0 0 6 0,927 -17,3599 0 24,0111 9 0,8859 -18,8419 0 0 10 0,8824 -19,0448 0 0 11 0,8993 -18,3973 0 0 12 0,9046 -18,7709 0 0 13 0,8962 -18,8897 0 0 14 0,8637 -20,6398 0 0 67 Tabla C.6 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 25%. Potencia=60MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 236,0956 7,8409 2 1,006 -2,8184 59,9949 50,0012 3 0,9661 -12,0775 0 39,9982 4 0,9462 -9,543 0 0 5 0,9533 -8,1704 0 0 6 0,9167 -18,0053 0 24,0143 9 0,8738 -19,5705 0 0 10 0,87 -19,7912 0 0 11 0,8877 -19,1054 0 0 12 0,893 -19,5098 0 0 13 0,8841 -19,6364 0 0 14 0,8500 -21,5050 0 0 Tabla C.7 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 30%. Potencia=65MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 236,1288 15,0209 2 1,0046 -2,78 64,9935 50,0016 3 0,9624 -12,161 0 39,9977 4 0,9405 -9,6565 0 0 5 0,948 -8,2737 0 0 6 0,9057 -18,6826 0 24,0191 9 0,8609 -20,3375 0 0 10 0,8568 -20,5772 0 0 11 0,8753 -19,8501 0 0 12 0,8808 -20,2872 0 0 13 0,8714 -20,4222 0 0 14 0,8355 -22,4194 0 0 68 Tabla C.8 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 35%. Potencia=68MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 238,2994 22,9711 2 1,0029 -2,7716 67,9915 50,0020 3 0,9582 -12,2795 0 39,997 4 0,9343 -9,7989 0 0 5 0,9421 -8,4023 0 0 6 0,8938 -19,4273 0 24,0265 9 0,8469 -21,1811 0 0 10 0,8425 -21,4414 0 0 11 0,8618 -20,6683 0 0 12 0,8674 -21,1407 0 0 13 0,8575 -21,2849 0 0 14 0,8198 -23,4243 0 0 Tabla C.9 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 40%. Potencia=70MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 241,5888 31,6757 2 1,001 -2,7777 67,9885 50,0027 3 0,9536 -12,4186 0 39,996 4 0,9275 -9,9571 0 0 5 0,9357 -8,5446 0 0 6 0,8808 -20,2328 0 24,0376 9 0,8317 -22,0958 0 0 10 0,827 -22,3785 0 0 11 0,8472 -21,5544 0 0 12 0,853 -22,0651 0 0 13 0,8425 -22,2196 0 0 14 0,8028 -24,5169 0 0 69 Tabla C.10 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 45%. Potencia=75MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 241,9028 41,0273 2 0,9992 -2,7359 75,0000 50,0000 3 0,9488 -12,5186 0 40,0000 4 0,9202 -10,0770 0 0 5 0,9289 -8,6517 0 0 6 0,8667 -12,0790 0 24,0001 9 0,8151 -23,0657 0 0 10 0,8100 -23,3739 0 0 11 0,8313 -23,4919 0 0 12 0,8372 -23,0466 0 0 13 0,8262 -23,2165 0 0 14 0,7842 -25,6975 0 0 Tabla C.11 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 50%. Potencia=75MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 247,5157 51,8957 2 0,9966 -2,7703 75,0000 50,0000 3 0,9430 -12,7042 0 40,0000 4 0,9119 -10,2686 0 0 5 0,9210 -8,8219 0 0 6 0,8506 -22,0611 0 24,0002 9 0,7963 -24,1901 0 0 10 0,7909 -24,5271 0 0 11 0,8133 -23,5776 0 0 12 0,8194 -24,1805 0 0 13 0,8077 -24,3637 0 0 14 0,7633 -27,0565 0 0 70 Tabla C.12 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 55%. Potencia=75MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 253,3207 64,1752 2 0,9938 -2,8032 74,9999 50,0000 3 0,9365 -12,9010 0 40,0000 4 0,9024 -10,4646 0 0 5 0,9121 -8,9947 0 0 6 0,8325 -23,1511 0 24,0007 9 0,7750 -25,4462 0 0 10 0,7693 -25,8166 0 0 11 0,7930 -25,7878 0 0 12 0,7994 -25,4461 0 0 13 0,7869 -25,6448 0 0 14 0,7396 -28,5892 0 0 Tabla C.13 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 60%. Potencia=75MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 259,4051 78,5015 2 0,9905 -2,8335 74,9998 50,0001 3 0,9290 -13,1139 0 39,9999 4 0,8915 -10,6664 0 0 5 0,9018 -9,1706 0 0 6 0,8114 -24,3988 0 24,0022 9 0,7501 -26,8916 0 0 10 0,7440 -27,3070 0 0 11 0,7692 -26,1805 0 0 12 0,7760 -26,9052 0 0 13 0,7626 -27,1227 0 0 14 0,7119 -30,3794 0 0 71 Tabla C.14 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 65%. Potencia=75MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 265,9547 96,2238 2 0,9865 -2,8597 74,9990 50,0002 3 0,9198 -13,3531 0 39,9995 4 0,8781 -10,8765 0 0 5 0,8892 -9,3506 0 0 6 0,7851 -25,9100 0 24,0085 9 0,7191 -28,6715 0 0 10 0,7125 -29,1350 0 0 11 0,7397 -27,8789 0 0 12 0,7469 -28,6884 0 0 13 0,7324 -28,9304 0 0 14 0,6774 -32,608 0 0 Tabla C.15 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 70%. Potencia=80MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 268,3684 121,0182 2 0,9814 -2,7968 79,9999 50,0000 3 0,9071 -13,5691 0 40,0000 4 0,8595 -11,0308 0 0 5 0,8717 -9,4737 0 0 6 0,7475 -27,9519 0 24,0004 9 0,6745 -31,1242 0 0 10 0,6673 -31,6699 0 0 11 0,6974 -30,2076 0 0 12 0,7054 -31,1457 0 0 13 0,6892 -31,4253 0 0 14 0,6278 -35,7839 0 0 72 Tabla C.15 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 72%. Potencia=80MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 272,5609 139,5814 2 0,9774 -2,7922 79,9988 50,0002 3 0,8976 -13.7507 0 39,9994 4 0,8456 -11,1341 0 0 5 0,8587 -9,5523 0 0 6 0,7194 -29,4569 0 24,0064 9 0,6409 -32,9643 0 0 10 0,6333 -33,5748 0 0 11 0,6657 -31,9407 0 0 12 0,6744 -32,9772 0 0 13 0,6569 -33,2871 0 0 14 0,5904 -38,2230 0 0 Tabla C.16 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 72.5%. Potencia=80MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 274,1336 148,0204 2 0,9756 -2,7860 79,9958 50,0008 3 0,8933 -13,8242 0 39,9981 4 0,8393 -11,1656 0 0 5 0,8528 -9,5735 0 0 6 0,7065 -30,1286 0 24,0198 9 0,6255 -33,7968 0 0 10 0,6177 -34,4381 0 0 11 0,6511 -32,7204 0 0 12 0,6601 -33,8028 0 0 13 0,6421 -34,1270 0 0 14 0,5732 -39,3468 0 0 73 Tabla C.16 Datos obtenidos con: Parámetro de Barrera de 5, Aumento del anillo de carga 72.6%. Potencia=80MW Barra Magnitud de la tensión Ángulo de la tensión P generada Q generada 1 1,0200 0 274,5321 150,3139 2 0,9751 -2,7840 79,9944 50,0011 3 0,8921 -13,8434 0 39,9975 4 0,8376 -11,1727 0 0 5 0,8512 -9,5779 0 0 6 0,7029 -30,3097 0 24,0261 9 0,6212 -34,0222 0 0 10 0,6134 -34,6720 0 0 11 0,6471 -32,9311 0 0 12 0,6563 -34,0261 0 0 13 0,6381 -34,3542 0 0 14 0,5685 -39,6529 0 0 74 Tabla C.17 Datos obtenidos para la barra 14 en todas las iteraciones Aumento de Método Predictor-Corrector Método Newton-Raphson Margen de carga Tensión Potencia Iteraciones Tensión Potencia Iteraciones Error 0 0,9124 40 2 0,912 40 4 0,044 5 0,9012 45 2 0,9011 45 4 0,011 10 0,8894 50 2 0,8894 50 4 0,000 15 0,8769 52 2 0,8767 52 4 0,023 20 0,8637 55 2 0,8636 55 4 0,012 25 0,85 60 2 0,8499 60 4 0,012 30 0,8355 65 2 0,8355 65 4 0,000 35 0,8198 68 2 0,8196 68 4 0,024 40 0,8028 70 2 0,8025 70 4 0,037 45 0,7849 75 3 0,7841 75 4 0,102 50 0,7633 75 3 0,7633 75 4 0,000 55 0,7396 75 3 0,7396 75 4 0,000 60 0,7119 75 3 0,7122 75 4 0,042 65 0,6774 75 3 0,6778 75 5 0,059 70 0,6278 80 4 0,6393 80 58 1,799 75 A%EXOS A. Código Fuente %Proyecto Eléctrico %Programa que utiliza el Método Predictor-Corrector para un sistema de doce barras clc,clear; disp('Programa que utiliza el Método Predictor-Corrector para un sistema de doce barras') fprintf(' \n....................................................................... .............................\n\n') date; %Introducción de Variables n=0; gamma=0.99995; sigma=0.2; m=4; %Numero con generadores %Matriz de admitancias Y=Matriz_admitancias(n); %Valores de la matriz de admitancias necesarios para el programa for q=1:1:12 for w=1:1:12 Ym(q,w)=abs(Y(q,w)); C(q,w)=angle(Y(q,w)); end end %Factor de aumento de carga en el anillo de carga fc=input('Digite el factor de aumento de carga en el anillo de 34,5kV '); fprintf(' \n') Pg2=input('Digite la potencia activa que entregara el generador de la barra 2 '); fprintf(' \n') %Valores de las potencias activas y reactivas en barras P1c=0; 76 Q1c=0; P2=Pg2/100-0.217; P2c=-0.217; P3=-0.942; P3c=P3; P4=-0.478; P5=-0.076; P6c=(1+fc/100)*-0.112; P6=P6c; P9=(1+fc/100)*-0.295; P10=(1+fc/100)*-0.09; P11=(1+fc/100)*-0.035; P12=(1+fc/100)*-0.061; P13=(1+fc/100)*-0.135; P14=(1+fc/100)*-0.149; Q2=0.373; Q2c=-0.127; Q3c=-0.19; Q3=0.21; Q4=0.039; Q5=-0.016; Q6=(1+fc/100)*-0.075+0.24; Q6c=(1+fc/100)*-0.075; Q9=(1+fc/100)*-0.166; Q10=(1+fc/100)*-0.058; Q11=(1+fc/100)*-0.018; Q12=(1+fc/100)*-0.016; Q13=(1+fc/100)*-0.058; Q14=(1+fc/100)*-0.05; Q2c=-0.127; P1gmin=0; P1gmax=3.4; P2gmin=0; P2gmax=0.85; P3gmin=0; P3gmax=0.65; P6gmin=0; P6gmax=0.39; Q1gmin=-2.1071; Q1gmax=2.1071; Q2gmin=-0.4; Q2gmax=0.5; Q3gmin=0; Q3gmax=0.4; Q6gmin=-0.06; Q6gmax=0.24; %Condiciones iniciales de las tensiones y sus respectivos ángulos 77 V1=1.02; V2=1.017; V3=1.005; V4=0.97; V5=0.99; V6=0.98; V9=0.933; V10=0.94; V11=1; V12=0.96; V13=0.97; V14=0.95; AV1=0; AV2=-0.0145; AV3=-0.06; AV4=-0.031; AV5=-0.1; AV6=-0.055; AV9=-0.04; AV10=0; AV11=0; AV12=0; AV13=-0.12; AV14=0; % Definicion de vectores landa, pi, s y e l=[1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1]; s=[0.95;2.44;0.62;0.22;0.63;0.015;0.079;0.31;2.02;2.19;0.71;0.18;3;0.0019 ;0.15;10]; pp=[5;2.4;0.05;37;1.2;15.6;30.6;0.1;2.3;0.6;20;2;10;0.3;50;2]; e=[1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1]; %Introducción del parámetro de barrera u=200; %Valores de la matriz de admitancia necesarios para el programa Y11=Ym(1,1); Y12=Ym(1,2); Y13=Ym(1,3); Y14=Ym(1,4); Y15=Ym(1,5); Y16=Ym(1,6); 78 Y17=Ym(1,7); Y18=Ym(1,8); Y19=Ym(1,9); Y110=Ym(1,10); Y111=Ym(1,11); Y112=Ym(1,12); Y21=Ym(2,1); Y22=Ym(2,2); Y23=Ym(2,3); Y24=Ym(2,4); Y25=Ym(2,5); Y26=Ym(2,6); Y27=Ym(2,7); Y28=Ym(2,8); Y29=Ym(2,9); Y210=Ym(2,10); Y211=Ym(2,11); Y212=Ym(2,12); Y31=Ym(3,1); Y32=Ym(3,2); Y33=Ym(3,3); Y34=Ym(3,4); Y35=Ym(3,5); Y36=Ym(3,6); Y37=Ym(3,7); Y38=Ym(3,8); Y39=Ym(3,9); Y310=Ym(3,10); Y311=Ym(3,11); Y312=Ym(3,12); Y41=Ym(4,1); Y42=Ym(4,2); Y43=Ym(4,3); Y44=Ym(4,4); Y45=Ym(4,5); Y46=Ym(4,6); Y47=Ym(4,7); Y48=Ym(4,8); Y49=Ym(4,9); Y410=Ym(4,10); Y411=Ym(4,11); Y412=Ym(4,12); Y51=Ym(5,1); Y52=Ym(5,2); Y53=Ym(5,3); Y54=Ym(5,4); Y55=Ym(5,5); 79 Y56=Ym(5,6); Y57=Ym(5,7); Y58=Ym(5,8); Y59=Ym(5,9); Y510=Ym(5,10); Y511=Ym(5,11); Y512=Ym(5,12); Y61=Ym(6,1); Y62=Ym(6,2); Y63=Ym(6,3); Y64=Ym(6,4); Y65=Ym(6,5); Y66=Ym(6,6); Y67=Ym(6,7); Y68=Ym(6,8); Y69=Ym(6,9); Y610=Ym(6,10); Y611=Ym(6,11); Y612=Ym(6,12); Y71=Ym(7,1); Y72=Ym(7,2); Y73=Ym(7,3); Y74=Ym(7,4); Y75=Ym(7,5); Y76=Ym(7,6); Y77=Ym(7,7); Y78=Ym(7,8); Y79=Ym(7,9); Y710=Ym(7,10); Y711=Ym(7,11); Y712=Ym(7,12); Y81=Ym(8,1); Y82=Ym(8,2); Y83=Ym(8,3); Y84=Ym(8,4); Y85=Ym(8,5); Y86=Ym(8,6); Y87=Ym(8,7); Y88=Ym(8,8); Y89=Ym(8,9); Y810=Ym(8,10); Y811=Ym(8,11); Y812=Ym(8,12); Y91=Ym(9,1); Y92=Ym(9,2); Y93=Ym(9,3); Y94=Ym(9,4); 80 Y95=Ym(9,5); Y96=Ym(9,6); Y97=Ym(9,7); Y98=Ym(9,8); Y99=Ym(9,9); Y910=Ym(9,10); Y911=Ym(9,11); Y912=Ym(9,12); Y101=Ym(10,1); Y102=Ym(10,2); Y103=Ym(10,3); Y104=Ym(10,4); Y105=Ym(10,5); Y106=Ym(10,6); Y107=Ym(10,7); Y108=Ym(10,8); Y109=Ym(10,9); Y1010=Ym(10,10); Y1011=Ym(10,11); Y1012=Ym(10,12); Y111=Ym(11,1); Y112=Ym(11,2); Y113=Ym(11,3); Y114=Ym(11,4); Y115=Ym(11,5); Y116=Ym(11,6); Y117=Ym(11,7); Y118=Ym(11,8); Y119=Ym(11,9); Y1110=Ym(11,10); Y1111=Ym(11,11); Y1112=Ym(11,12); Y121=Ym(12,1); Y122=Ym(12,2); Y123=Ym(12,3); Y124=Ym(12,4); Y125=Ym(12,5); Y126=Ym(12,6); Y127=Ym(12,7); Y128=Ym(12,8); Y129=Ym(12,9); Y1210=Ym(12,10); Y1211=Ym(12,11); Y1212=Ym(12,12); C11=C(1,1); C12=C(1,2); C13=C(1,3); 81 C14=C(1,4); C15=C(1,5); C16=C(1,6); C17=C(1,7); C18=C(1,8); C19=C(1,9); C110=C(1,10); C111=C(1,11); C112=C(1,12); C21=C(2,1); C22=C(2,2); C23=C(2,3); C24=C(2,4); C25=C(2,5); C26=C(2,6); C27=C(2,7); C28=C(2,8); C29=C(2,9); C210=C(2,10); C211=C(2,11); C212=C(2,12); C31=C(3,1); C32=C(3,2); C33=C(3,3); C34=C(3,4); C35=C(3,5); C36=C(3,6); C37=C(3,7); C38=C(3,8); C39=C(3,9); C310=C(3,10); C311=C(3,11); C312=C(3,12); C41=C(4,1); C42=C(4,2); C43=C(4,3); C44=C(4,4); C45=C(4,5); C46=C(4,6); C47=C(4,7); C48=C(4,8); C49=C(4,9); C410=C(4,10); C411=C(4,11); C412=C(4,12); C51=C(5,1); C52=C(5,2); 82 C53=C(5,3); C54=C(5,4); C55=C(5,5); C56=C(5,6); C57=C(5,7); C58=C(5,8); C59=C(5,9); C510=C(5,10); C511=C(5,11); C512=C(5,12); C61=C(6,1); C62=C(6,2); C63=C(6,3); C64=C(6,4); C65=C(6,5); C66=C(6,6); C67=C(6,7); C68=C(6,8); C69=C(6,9); C610=C(6,10); C611=C(6,11); C612=C(6,12); C71=C(7,1); C72=C(7,2); C73=C(7,3); C74=C(7,4); C75=C(7,5); C76=C(7,6); C77=C(7,7); C78=C(7,8); C79=C(7,9); C710=C(7,10); C711=C(7,11); C712=C(7,12); C81=C(8,1); C82=C(8,2); C83=C(8,3); C84=C(8,4); C85=C(8,5); C86=C(8,6); C87=C(8,7); C88=C(8,8); C89=C(8,9); C810=C(8,10); C811=C(8,11); C812=C(8,12); C91=C(9,1); 83 C92=C(9,2); C93=C(9,3); C94=C(9,4); C95=C(9,5); C96=C(9,6); C97=C(9,7); C98=C(9,8); C99=C(9,9); C910=C(9,10); C911=C(9,11); C912=C(9,12); C101=C(10,1); C102=C(10,2); C103=C(10,3); C104=C(10,4); C105=C(10,5); C106=C(10,6); C107=C(10,7); C108=C(10,8); C109=C(10,9); C1010=C(10,10); C1011=C(10,11); C1012=C(10,12); C111=C(11,1); C112=C(11,2); C113=C(11,3); C114=C(11,4); C115=C(11,5); C116=C(11,6); C117=C(11,7); C118=C(11,8); C119=C(11,9); C1110=C(11,10); C1111=C(11,11); C1112=C(11,12); C121=C(12,1); C122=C(12,2); C123=C(12,3); C124=C(12,4); C125=C(12,5); C126=C(12,6); C127=C(12,7); C128=C(12,8); C129=C(12,9); C1210=C(12,10); C1211=C(12,11); C1212=C(12,12); 84 %Vector de incognitas x=sym('[AV2 V3 AV3 V4 AV4 V5 AV5 V6 AV6 V9 AV9 V10 AV10 V11 AV11 V12 AV12 V13 AV13 V14 AV14 V2]'); %Valores calculados para la barra 2 P1calc=sym('(V1*Y12*V2*cos(C12+AV2AV1)+(V1^2)*Y11*cos(C11)+V1*Y13*V3*cos(C13+AV3AV1)+V1*Y14*V4*cos(C14+AV4-AV1)+V1*Y15*V5*cos(C15+AV5AV1)+V1*Y16*V6*cos(C16+AV6-AV1)+V1*Y17*V9*cos(C17+AV9AV1)+V1*Y18*V10*cos(C18+AV10-AV1)+V1*Y19*V11*cos(C19+AV11AV1)+V1*Y110*V12*cos(C110+AV12-AV1)+V1*Y111*V13*cos(C111+AV13AV1)+V1*Y112*V14*cos(C112+AV14-AV1))'); Q1calc=sym('-1*(V1*Y12*V2*sin(C12+AV2AV1)+(V1^2)*Y11*sin(C11)+V1*Y13*V3*sin(C13+AV3AV1)+V1*Y14*V4*sin(C14+AV4-AV1)+V1*Y15*V5*sin(C15+AV5AV1)+V1*Y16*V6*sin(C16+AV6-AV1)+V1*Y17*V9*sin(C17+AV9AV1)+V1*Y18*V10*sin(C18+AV10-AV1)+V1*Y19*V11*sin(C19+AV11AV1)+V1*Y110*V12*sin(C110+AV12-AV1)+V1*Y111*V13*sin(C111+AV13AV1)+V1*Y112*V14*sin(C112+AV14-AV1))'); P2calc=sym('V2*Y21*V1*cos(C21+AV1AV2)+(V2^2)*Y22*cos(C22)+V2*Y23*V3*cos(C23+AV3AV2)+V2*Y24*V4*cos(C24+AV4-AV2)+V2*Y25*V5*cos(C25+AV5-AV2)'); Q2calc=sym('-1*(V2*Y21*V1*sin(C21+AV1AV2)+(V2^2)*Y22*sin(C22)+V2*Y23*V3*sin(C23+AV3AV2)+V2*Y24*V4*sin(C24+AV4-AV2)+V2*Y25*V5*sin(C25+AV5AV2)+V2*Y26*V6*sin(C26+AV6-AV2)+V2*Y27*V9*sin(C27+AV9AV2)+V2*Y28*V10*sin(C28+AV10-AV2)+V2*Y29*V11*sin(C29+AV11AV2)+V2*Y210*V12*sin(C210+AV12-AV2)+V2*Y211*V13*sin(C211+AV13AV2)+V2*Y212*V14*sin(C212+AV14-AV2))'); P3calc=sym('(V3^2)*Y33*cos(C33)+V3*Y32*V2*cos(C32+AV2AV3)+V3*Y34*V4*cos(C34+AV4-AV3)'); Q3calc=sym('-(V3^2)*Y33*sin(C33)-V3*Y32*V2*sin(C32+AV2-AV3)V3*Y34*V4*sin(C34+AV4-AV3)'); P4calc=sym('(V4^2)*Y44*cos(C44)+V4*Y42*V2*cos(C42+AV2AV4)+V4*Y43*V3*cos(C43+AV3-AV4)+V4*Y45*V5*cos(C45+AV5AV4)+V4*Y47*V9*cos(C47+AV9-AV4)'); Q4calc=sym('-(V4^2)*Y44*sin(C44)-V4*Y42*V2*sin(C42+AV2-AV4)V4*Y43*V3*sin(C43+AV3-AV4)-V4*Y45*V5*sin(C45+AV5-AV4)V4*Y47*V9*sin(C47+AV9-AV4)'); P5calc=sym('V5*Y51*V1*cos(C51+AV1AV5)+(V5^2)*Y55*cos(C55)+V5*Y52*V2*cos(C52+AV2AV5)+V5*Y54*V4*cos(C54+AV4-AV5)+V5*Y56*V6*cos(C56+AV6-AV5)'); Q5calc=sym('-V5*Y51*V1*sin(C51+AV1-AV5)-(V5^2)*Y55*sin(C55)V5*Y52*V2*sin(C52+AV2-AV5)-V5*Y54*V4*sin(C54+AV4-AV5)V5*Y56*V6*sin(C56+AV6-AV5)'); P6calc=sym('(V6^2)*Y66*cos(C66)+V6*Y65*V5*cos(C65+AV5AV6)+V6*Y69*V11*cos(C69+AV11-AV6)+V6*Y610*V12*cos(C610+AV12AV6)+V6*Y611*V13*cos(C611+AV13-AV6)'); 85 Q6calc=sym('-(V6^2)*Y66*sin(C66)-V6*Y65*V5*sin(C65+AV5-AV6)V6*Y69*V11*sin(C69+AV11-AV6)-V6*Y610*V12*sin(C610+AV12-AV6)V6*Y611*V13*sin(C611+AV13-AV6)'); P9calc=sym('(V9^2)*Y77*cos(C77)+V9*Y74*V4*cos(C74+AV4AV9)+V9*Y78*V10*cos(C78+AV10-AV9)+V9*Y712*V14*cos(C712+AV14-AV9)'); Q9calc=sym('-1*((V9^2)*Y77*sin(C77)+V9*Y74*V4*sin(C74+AV4AV9)+V9*Y78*V10*sin(C78+AV10-AV9)+V9*Y712*V14*sin(C712+AV14-AV9))'); P10calc=sym('(V10^2)*Y88*cos(C88)+V10*Y87*V9*cos(C87+AV9AV10)+V10*Y89*V11*cos(C89+AV11-AV10)'); Q10calc=sym('-1*((V10^2)*Y88*sin(C88)+V10*Y87*V9*sin(C87+AV9AV10)+V10*Y89*V11*sin(C89+AV11-AV10))'); P11calc=sym('(V11^2)*Y99*cos(C99)+V11*Y96*V6*cos(C96+AV6AV11)+V11*Y98*V10*cos(C98+AV10-AV11)'); Q11calc=sym('-1*((V11^2)*Y99*sin(C99)+V11*Y96*V6*sin(C96+AV6AV11)+V11*Y98*V10*sin(C98+AV10-AV11))'); P12calc=sym('(V12^2)*Y1010*cos(C1010)+V12*Y106*V6*cos(C106+AV6AV12)+V12*Y1011*V13*cos(C1011+AV13-AV12)'); Q12calc=sym('1*((V12^2)*Y1010*sin(C1010)+V12*Y106*V6*sin(C106+AV6AV12)+V12*Y1011*V13*sin(C1011+AV13-AV12))'); P13calc=sym('(V13^2)*Y1111*cos(C1111)+V13*Y116*V6*cos(C116+AV6AV13)+V13*Y1110*V12*cos(C1110+AV12-AV13)+V13*Y1112*V14*cos(C1112+AV14AV13)'); Q13calc=sym('1*((V13^2)*Y1111*sin(C1111)+V13*Y116*V6*sin(C116+AV6AV13)+V13*Y1110*V12*sin(C1110+AV12-AV13)+V13*Y1112*V14*sin(C1112+AV14AV13))'); P14calc=sym('(V14^2)*Y1212*cos(C1212)+V14*Y127*V9*cos(C127+AV9AV14)+V14*Y1211*V13*cos(C1211+AV13-AV14)'); Q14calc=sym('1*((V14^2)*Y1212*sin(C1212)+V14*Y127*V9*sin(C127+AV9AV14)+V14*Y1211*V13*sin(C1211+AV13-AV14))'); EP2=P2-P2calc; EP3=P3-P3calc; EP4=P4-P4calc; EP5=P5-P5calc; EP6=P6-P6calc; EP9=P9-P9calc; EP10=P10-P10calc; EP11=P11-P11calc; EP12=P12-P12calc; EP13=P13-P13calc; EP14=P14-P14calc; EQ2=Q2-Q2calc; EQ3=Q3-Q3calc; 86 EQ4=Q4-Q4calc; EQ5=Q5-Q5calc; EQ6=Q6-Q6calc; EQ9=Q9-Q9calc; EQ10=Q10-Q10calc; EQ11=Q11-Q11calc; EQ12=Q12-Q12calc; EQ13=Q13-Q13calc; EQ14=Q14-Q14calc; %Funcion de costo a minimizar fx=EP2+EP3+EQ2+EQ3+EQ6+EQ4+EP4+EQ5+EP5+EP6+EQ9+EP9+EQ10+EP10+EQ11+EP11+EQ 12+EP12+EQ13+EP13+EQ14+EP14u*(log(s(1,1))+log(s(2,1))+log(s(3,1))+log(s(4,1))+log(s(5,1))+log(s(6,1) )+log(s(7,1))+log(s(8,1))+log(s(9,1))+log(s(10,1))+log(s(11,1))+log(s(12, 1))+log(s(13,1))+log(s(14,1))+log(s(15,1))+log(s(16,1))); fxcomp=eval(fx); %Restricciones de igualdad correspodientes a g(x) g_x=[EP2;EQ2;EP3;EQ3;EQ4;EP4;EQ5;EP5;EP6;EQ6;EQ9;EP9;EQ10;EP10;EQ11;EP11; EQ12;EP12;EQ13;EP13;EQ14;EP14]; %Restricciones de desigualdad correspondientes a h(x) h_x(1,1)=(P1calc-P1c-P1gmin); h_x(2,1)=(P1gmax+P1c-P1calc); h_x(3,1)=(P2calc-P2c-P2gmin); h_x(4,1)=(P2gmax+P2c-P2calc); h_x(5,1)=(P3calc-P3c-P3gmin); h_x(6,1)=(P3gmax+P3c-P3calc); h_x(7,1)=(P6gmax+P6c-P6calc); h_x(8,1)=(P6calc-P6c-P6gmin); h_x(9,1)=(Q1calc-Q1c-Q1gmin); h_x(10,1)=(Q1gmax+Q1c-Q1calc); h_x(11,1)=(Q2calc-Q2c-Q2gmin); h_x(12,1)=(Q2gmax+Q2c-Q2calc); h_x(13,1)=(Q3calc-Q3c-Q3gmin); h_x(14,1)=(Q3gmax+Q3c-Q3calc); h_x(15,1)=(Q6calc-Q6c-Q6gmin); h_x(16,1)=(Q6gmax+Q6c-Q6calc); h_x_i=eval(h_x); %Jacobiano de g(x) J_g= jacobian(g_x,x); 87 %Jacobiano de h(x) J_h= jacobian(h_x,x); %Gradiente de f(x) gr_fx=jacobian(fx,x)'; %Valores para la matriz Hessiana H_fx=jacobian(gr_fx',x); %Valores para matrices transpuestas T=transpose(J_g); Th=transpose(J_h); %Valores para la derivada del Jacobiano de g(x) dJ(1:22,1)= diff (T,'AV2')*l; dJ(1:22,2)= diff (T,'V3')*l; dJ(1:22,3)= diff (T,'AV3')*l; dJ(1:22,4)= diff (T,'V4')*l; dJ(1:22,5)= diff (T,'AV4')*l; dJ(1:22,6)= diff (T,'V5')*l; dJ(1:22,7)= diff (T,'AV5')*l; dJ(1:22,8)= diff (T,'V6')*l; dJ(1:22,9)= diff (T,'AV6')*l; dJ(1:22,10)= diff (T,'V9')*l; dJ(1:22,11)= diff (T,'AV9')*l; dJ(1:22,12)= diff (T,'V10')*l; dJ(1:22,13)= diff (T,'AV10')*l; dJ(1:22,14)= diff (T,'V11')*l; dJ(1:22,15)= diff (T,'AV11')*l; dJ(1:22,16)= diff (T,'V12')*l; dJ(1:22,17)= diff (T,'AV12')*l; dJ(1:22,18)= diff (T,'V13')*l; dJ(1:22,19)= diff (T,'AV13')*l; dJ(1:22,20)= diff (T,'V14')*l; dJ(1:22,21)= diff (T,'AV14')*l; dJ(1:22,22)= diff (T,'V2')*l; %Valores para la derivada del Jacobiano de g(x) dJh(1:22,1)= diff (Th,'AV2')*pp; dJh(1:22,2)= diff (Th,'V3')*pp; dJh(1:22,3)= diff (Th,'AV3')*pp; 88 dJh(1:22,4)= diff (Th,'V4')*pp; dJh(1:22,5)= diff (Th,'AV4')*pp; dJh(1:22,6)= diff (Th,'V5')*pp; dJh(1:22,7)= diff (Th,'AV5')*pp; dJh(1:22,8)= diff (Th,'V6')*pp; dJh(1:22,9)= diff (Th,'AV6')*pp; dJh(1:22,10)= diff (Th,'V9')*pp; dJh(1:22,11)= diff (Th,'AV9')*pp; dJh(1:22,12)= diff (Th,'V10')*pp; dJh(1:22,13)= diff (Th,'AV10')*pp; dJh(1:22,14)= diff (Th,'V11')*pp; dJh(1:22,15)= diff (Th,'AV11')*pp; dJh(1:22,16)= diff (Th,'V12')*pp; dJh(1:22,17)= diff (Th,'AV12')*pp; dJh(1:22,18)= diff (Th,'V13')*pp; dJh(1:22,19)= diff (Th,'AV13')*pp; dJh(1:22,20)= diff (Th,'V14')*pp; dJh(1:22,21)= diff (Th,'AV14')*pp; dJh(1:22,22)= diff (Th,'V2')*pp; while n<50 x=sym('[AV2 V3 AV3 V4 AV4 V5 AV5 V6 AV6 V9 AV9 V10 AV10 V11 AV11 V12 AV12 V13 AV13 V14 AV14 V2]'); %Matriz S, Matriz PI y la Matriz Identidad S=diag(s); PEE=diag(pp); I=eye(16); %Gradiente del Lagrangiano del paso predictor gr_lp=[-S*pp;h_x-s;g_x;-gr_fx+T*l+Th*pp]; %Evaluación de ecuaciones simbólicas gr_fx_i = eval(gr_fx); g_x_i = eval(g_x); J_g_i=eval(J_g); J_h_i=eval(J_h); dJ_i=eval(dJ); dJh_i=eval(dJh); H_fx_i=eval(H_fx); 89 T_i = eval(T); Th_i=eval(Th); gr_lp_i=eval(gr_lp); % Matriz H H=zeros(76,76); H(1:16,1:16)=PEE; H(1:16,17:32)=S; H(17:32,1:16)=I; H(17:32,55:76)=-J_h_i; H(33:54,55:76)=-J_g_i; H(55:76,17:32)=-Th_i; H(55:76,33:54)=-T_i; H(55:76,55:76)=H_fx_i-dJ_i-dJh_i; %Vector de variables delta o vector de dirección de Newton nv1_i=inv(H)*gr_lp_i; if nv1_i(5,1)<2^-8 nv1_i(5,1)=2^-6; else end if nv1_i(8,1)<2^-8 nv1_i(8,1)=2^-6; else end if nv1_i(12,1)<2^-8 nv1_i(12,1)=2^-6; else end if nv1_i(14,1)<2^-8 nv1_i(14,1)=2^-6; else end if nv1_i(16,1)<2^-8 nv1_i(16,1)=2^-6; else end %Vector alfa valfa_i=[1 gamma*-s(1,1)/nv1_i(1,1) gamma*-s(2,1)/nv1_i(2,1) gamma*-s(3,1)/nv1_i(3,1) gamma*-s(4,1)/nv1_i(4,1) gamma*s(5,1)/nv1_i(5,1) gamma*-s(6,1)/nv1_i(6,1) gamma*-s(7,1)/nv1_i(7,1) gamma*-s(8,1)/nv1_i(8,1) gamma*-s(9,1)/nv1_i(9,1) gamma*- 90 s(10,1)/nv1_i(10,1) gamma*-s(11,1)/nv1_i(11,1) gamma*s(12,1)/nv1_i(12,1) gamma*-s(13,1)/nv1_i(13,1) gamma*-s(14,1)/nv1_i(14,1) gamma*-s(15,1)/nv1_i(15,1) gamma*-s(16,1)/nv1_i(16,1) gamma*pp(1,1)/nv1_i(17,1) gamma*-pp(2,1)/nv1_i(18,1) gamma*-pp(3,1)/nv1_i(19,1) gamma*-pp(4,1)/nv1_i(20,1) gamma*-pp(5,1)/nv1_i(21,1) gamma*pp(6,1)/nv1_i(22,1) gamma*-pp(7,1)/nv1_i(23,1) gamma*-pp(8,1)/nv1_i(24,1) gamma*-pp(9,1)/nv1_i(25,1) gamma*-pp(10,1)/nv1_i(26,1) gamma*pp(11,1)/nv1_i(27,1) gamma*-pp(12,1)/nv1_i(28,1) gamma*pp(13,1)/nv1_i(29,1) gamma*-pp(14,1)/nv1_i(30,1) gamma*pp(15,1)/nv1_i(31,1) gamma*-pp(16,1)/nv1_i(32,1)]; for w=1:1:33 if valfa_i(1,w)>0 co(1,w)=valfa_i(1,w); else co(1,w)=1; end end %Máximo Paso de Longitud alfa_i=min(co); %Gap complementario rho_af=(s+alfa_i*nv1_i(1:16,1))'*(pp+alfa_i*nv1_i(17:32,1)); %Actualizacion del parámetro de barrera u_af=min([(rho_af/(s'*pp))^2 0.2])*rho_af/16; %Paso corrector, establecimiento de nuevos valores a las variables iniciales AV2c=nv1_i(55,1); V3c=nv1_i(56,1); AV3c=nv1_i(57,1); V4c=nv1_i(58,1); AV4c=nv1_i(59,1); V5c=nv1_i(60,1); AV5c=nv1_i(61,1); V6c=nv1_i(62,1); AV6c=nv1_i(63,1); V9c=nv1_i(64,1); AV9c=nv1_i(65,1); V10c=nv1_i(66,1); AV10c=nv1_i(67,1); V11c=nv1_i(68,1); AV11c=nv1_i(69,1); 91 V12c=nv1_i(70,1); AV12c=nv1_i(71,1); V13c=nv1_i(72,1); AV13c=nv1_i(73,1); V14c=nv1_i(74,1); AV14c=nv1_i(75,1); V2c=nv1_i(76,1); %Declaración de la variable simbólica a b=sym('a'); %Cálculo de los nuevos valores de potencias calculadas en las diferentes barras P1mcalc=0; Q1mcalc=0; P2mcalc=sym('((a*V2c)^2)*Y22*cos(C22)+(a*V2c)*Y23*(a*V3c)*cos(C23+(a*AV3c )-(a*AV2c))+(a*V2c)*Y24*(a*V4c)*cos(C24+a*AV4ca*AV2c)+a*V2c*Y25*a*V5c*cos(C25+a*AV5c-a*AV2c)'); Q2mcalc=sym('1*(((a*V2c)^2)*Y22*sin(C22)+a*V2c*Y23*a*V3c*sin(C23+a*AV3ca*AV2c)+a*V2c*Y24*a*V4c*sin(C24+a*AV4ca*AV2c)+a*V2c*Y25*a*V5c*sin(C25+a*AV5ca*AV2c)+a*V2c*Y26*a*V6c*sin(C26+a*AV6ca*AV2c)+a*V2c*Y27*a*V9c*sin(C27+a*AV9ca*AV2c)+a*V2c*Y28*a*V10c*sin(C28+a*AV10ca*AV2c)+a*V2c*Y29*a*V11c*sin(C29+a*AV11ca*AV2c)+a*V2c*Y210*a*V12c*sin(C210+a*AV12ca*AV2c)+a*V2c*Y211*a*V13c*sin(C211+a*AV13ca*AV2c)+a*V2c*Y212*a*V14c*sin(C212+a*AV14c-a*AV2c))'); P3mcalc=sym('((a*V3c)^2)*Y33*cos(C33)+a*V3c*Y32*a*V2c*cos(C32+a*AV2ca*AV3c)+a*V3c*Y34*a*V4c*cos(C34+a*AV4c-a*AV3c)'); Q3mcalc=sym('-((a*V3c)^2)*Y33*sin(C33)a*V3c*Y32*a*V2c*sin(C32+a*AV2c-a*AV3c)-a*V3c*Y34*a*V4c*sin(C34+a*AV4ca*AV3c)'); P4mcalc=sym('((a*V4c)^2)*Y44*cos(C44)+a*V4c*Y42*a*V2c*cos(C42+a*AV2ca*AV4c)+a*V4c*Y43*a*V3c*cos(C43+a*AV3ca*AV4c)+a*V4c*Y45*a*V5c*cos(C45+a*AV5ca*AV4c)+a*V4c*Y47*a*V9c*cos(C47+a*AV9c-a*AV4c)'); Q4mcalc=sym('-((a*V4c)^2)*Y44*sin(C44)a*V4c*Y42*a*V2c*sin(C42+a*AV2c-a*AV4c)-a*V4c*Y43*a*V3c*sin(C43+a*AV3ca*AV4c)-a*V4c*Y45*a*V5c*sin(C45+a*AV5c-a*AV4c)a*V4c*Y47*a*V9c*sin(C47+a*AV9c-a*AV4c)'); P5mcalc=sym('((a*V5c)^2)*Y55*cos(C55)+a*V5c*Y52*a*V2c*cos(C52+a*AV2ca*AV5c)+a*V5c*Y54*a*V4c*cos(C54+a*AV4ca*AV5c)+a*V5c*Y56*a*V6c*cos(C56+a*AV6c-a*AV5c)'); 92 Q5mcalc=sym('-((a*V5c)^2)*Y55*sin(C55)a*V5c*Y52*a*V2c*sin(C52+a*AV2c-a*AV5c)-a*V5c*Y54*a*V4c*sin(C54+a*AV4ca*AV5c)-a*V5c*Y56*a*V6c*sin(C56+a*AV6c-a*AV5c)'); P6mcalc=sym('((a*V6c)^2)*Y66*cos(C66)+a*V6c*Y65*a*V5c*cos(C65+a*AV5ca*AV6c)+a*V6c*Y69*a*V11c*cos(C69+a*AV11ca*AV6c)+a*V6c*Y610*a*V12c*cos(C610+a*AV12ca*AV6c)+a*V6c*Y611*a*V13c*cos(C611+a*AV13c-a*AV6c)'); Q6mcalc=sym('-((a*V6c)^2)*Y66*sin(C66)a*V6c*Y65*a*V5c*sin(C65+a*AV5c-a*AV6c)-a*V6c*Y69*a*V11c*sin(C69+a*AV11ca*AV6c)-a*V6c*Y610*a*V12c*sin(C610+a*AV12c-a*AV6c)a*V6c*Y611*a*V13c*sin(C611+a*AV13c-a*AV6c)'); P9mcalc=sym('((a*V9c)^2)*Y77*cos(C77)+a*V9c*Y74*a*V4c*cos(C74+a*AV4ca*AV9c)+a*V9c*Y78*a*V10c*cos(C78+a*AV10ca*AV9c)+a*V9c*Y712*a*V14c*cos(C712+a*AV14c-a*AV9c)'); Q9mcalc=sym('1*(((a*V9c)^2)*Y77*sin(C77)+a*V9c*Y74*a*V4c*sin(C74+a*AV4ca*AV9c)+a*V9c*Y78*a*V10c*sin(C78+a*AV10ca*AV9c)+a*V9c*Y712*a*V14c*sin(C712+a*AV14c-a*AV9c))'); P10mcalc=sym('((a*V10c)^2)*Y88*cos(C88)+a*V10c*Y87*a*V9c*cos(C87+a*AV9ca*AV10c)+a*V10c*Y89*a*V11c*cos(C89+a*AV11c-a*AV10c)'); Q10mcalc=sym('1*(((a*V10c)^2)*Y88*sin(C88)+a*V10c*Y87*a*V9c*sin(C87+a*AV9ca*AV10c)+a*V10c*Y89*a*V11c*sin(C89+a*AV11c-a*AV10c))'); P11mcalc=sym('((a*V11c)^2)*Y99*cos(C99)+a*V11c*Y96*a*V6c*cos(C96+a*AV6ca*AV11c)+a*V11c*Y98*a*V10c*cos(C98+a*AV10c-a*AV11c)'); Q11mcalc=sym('1*(((a*V11c)^2)*Y99*sin(C99)+a*V11c*Y96*a*V6c*sin(C96+a*AV6ca*AV11c)+a*V11c*Y98*a*V10c*sin(C98+a*AV10c-a*AV11c))'); P12mcalc=sym('((a*V12c)^2)*Y1010*cos(C1010)+a*V12c*Y106*a*V6c*cos(C106+a* AV6c-a*AV12c)+a*V12c*Y1011*a*V13c*cos(C1011+a*AV13c-a*AV12c)'); Q12mcalc=sym('1*(((a*V12c)^2)*Y1010*sin(C1010)+a*V12c*Y106*a*V6c*sin(C106+a*AV6ca*AV12c)+a*V12c*Y1011*a*V13c*sin(C1011+a*AV13c-a*AV12c))'); P13mcalc=sym('((a*V13c)^2)*Y1111*cos(C1111)+a*V13c*Y116*a*V6c*cos(C116+a* AV6c-a*AV13c)+a*V13c*Y1110*a*V12c*cos(C1110+a*AV12ca*AV13c)+a*V13c*Y1112*a*V14c*cos(C1112+a*AV14c-a*AV13c)'); Q13mcalc=sym('1*(((a*V13c)^2)*Y1111*sin(C1111)+a*V13c*Y116*a*V6c*sin(C116+a*AV6ca*AV13c)+a*V13c*Y1110*a*V12c*sin(C1110+a*AV12ca*AV13c)+a*V13c*Y1112*a*V14c*sin(C1112+a*AV14c-a*AV13c))'); P14mcalc=sym('((a*V14c)^2)*Y1212*cos(C1212)+a*V14c*Y127*a*V9c*cos(C127+a* AV9c-a*AV14c)+a*V14c*Y1211*a*V13c*cos(C1211+a*AV13c-a*AV14c)'); Q14mcalc=sym('1*(((a*V14c)^2)*Y1212*sin(C1212)+a*V14c*Y127*a*V9c*sin(C127+a*AV9ca*AV14c)+a*V14c*Y1211*a*V13c*sin(C1211+a*AV13c-a*AV14c))'); 93 a=alfa_i; P2mcalc_i=eval(P2mcalc); P3mcalc_i=eval(P3mcalc); P6mcalc_i=eval(P6mcalc); Q2mcalc_i=eval(Q2mcalc); Q3mcalc_i=eval(Q3mcalc); Q6mcalc_i=eval(Q6mcalc); %Cálculo de los nuevos errores EP2m=-P2mcalc; EP3m=-P3mcalc; EP4m=-P4mcalc; EP5m=-P5mcalc; EP6m=-P6mcalc; EP9m=-P9mcalc; EP10m=-P10mcalc; EP11m=-P11mcalc; EP12m=-P12mcalc; EP13m=-P13mcalc; EP14m=-P14mcalc; EQ2m=-Q2mcalc; EQ3m=-Q3mcalc; EQ4m=-Q4mcalc; EQ5m=-Q5mcalc; EQ6m=-Q6mcalc; EQ9m=-Q9mcalc; EQ10m=-Q10mcalc; EQ11m=-Q11mcalc; EQ12m=-Q12mcalc; EQ13m=-Q13mcalc; EQ14m=-Q14mcalc; %Restricciones de igualdad correspondientes a g(x) para el paso corrector g_xm=[EP2m;EQ2m;EP3m;EQ3m;EQ4m;EP4m;EQ5m;EP5m;EP6m;EQ6m;EQ9m;EP9m;EQ10m;E P10m;EQ11m;EP11m;EQ12m;EP12m;EQ13m;EP13m;EQ14m;EP14m]; %Restricciones de desigualdad correspondientes a h(x) para el paso corrector h_xm(1,1)=0; h_xm(2,1)=0; h_xm(3,1)=(P2mcalc_i); h_xm(4,1)=(-P2mcalc_i); h_xm(5,1)=(P3mcalc_i); h_xm(6,1)=(-P3mcalc_i); 94 h_xm(7,1)=(-P6mcalc_i); h_xm(8,1)=(P6mcalc_i); h_xm(9,1)=(0); h_xm(10,1)=(0); h_xm(11,1)=(Q2mcalc_i); h_xm(12,1)=(-Q2mcalc_i); h_xm(13,1)=(Q3mcalc_i); h_xm(14,1)=(-Q3mcalc_i); h_xm(15,1)=(Q6mcalc_i); h_xm(16,1)=(-Q6mcalc_i); %Matriz de variaales s del paso corrector S_af=diag(nv1_i(1:16,1)); %Gradiente del Lagrangiano del paso corrector gr_lc=[u_af*e-S*pp-S_af*nv1_i(17:32,1);h_x+h_xm-s;g_x+g_xm;gr_fx+T*l+Th*pp]; gr_lc_i=eval(gr_lc); %Nuevo vector de dirección de Newton nv_i=inv(H)*gr_lc_i; if nv_i(5,1)<2^-8 nv_i(5,1)=2^-6; else end if nv_i(8,1)<2^-8 nv_i(8,1)=2^-6; else end if nv_i(12,1)<2^-8 nv_i(12,1)=2^-6; else end if nv_i(14,1)<2^-8 nv_i(14,1)=2^-6; else end if nv_i(16,1)<2^-8 nv_i(16,1)=2^-6; else end 95 %Selección de valores valfa_i=[1 gamma*-s(1,1)/nv_i(1,1) gamma*-s(2,1)/nv_i(2,1) gamma*-s(3,1)/nv_i(3,1) gamma*-s(4,1)/nv_i(4,1) gamma*-s(5,1)/nv_i(5,1) gamma*-s(6,1)/nv_i(6,1) gamma*-s(7,1)/nv_i(7,1) gamma*-s(8,1)/nv_i(8,1) gamma*-s(9,1)/nv_i(9,1) gamma*-s(10,1)/nv_i(10,1) gamma*s(11,1)/nv_i(11,1) gamma*-s(12,1)/nv_i(12,1) gamma*-s(13,1)/nv_i(13,1) gamma*-s(14,1)/nv_i(14,1) gamma*-s(15,1)/nv_i(15,1) gamma*s(16,1)/nv_i(16,1) gamma*-pp(1,1)/nv_i(17,1) gamma*-pp(2,1)/nv_i(18,1) gamma*-pp(3,1)/nv_i(19,1) gamma*-pp(4,1)/nv_i(20,1) gamma*pp(5,1)/nv_i(21,1) gamma*-pp(6,1)/nv_i(22,1) gamma*-pp(7,1)/nv_i(23,1) gamma*-pp(8,1)/nv_i(24,1) gamma*-pp(9,1)/nv_i(25,1) gamma*pp(10,1)/nv_i(26,1) gamma*-pp(11,1)/nv_i(27,1) gamma*-pp(12,1)/nv_i(28,1) gamma*-pp(13,1)/nv_i(29,1) gamma*-pp(14,1)/nv_i(30,1) gamma*pp(15,1)/nv_i(31,1) gamma*-pp(16,1)/nv_i(32,1)]; for w=1:1:33 if valfa_i(1,w)>0 co(1,w)=valfa_i(1,w); else co(1,w)=1; end end %Máximo Paso de Longitud alfa_i=min(co); %Actualización de las variables s(1:16,1)=s(1:16,1)+alfa_i*nv_i(1:16,1); pp(1:16,1)=pp(1:16,1)+alfa_i*nv_i(17:32,1); l=l+alfa_i*nv_i(33:54,1); AV2=AV2+alfa_i*nv_i(55,1); V3=V3+alfa_i*nv_i(56,1); AV3=AV3+alfa_i*nv_i(57,1); V4=V4+alfa_i*nv_i(58,1); AV4=AV4+alfa_i*nv_i(59,1); V5=V5+alfa_i*nv_i(60,1); AV5=AV5+alfa_i*nv_i(61,1); V6=V6+alfa_i*nv_i(62,1); AV6=AV6+alfa_i*nv_i(63,1); V9=V9+alfa_i*nv_i(64,1); AV9=AV9+alfa_i*nv_i(65,1); V10=V10+alfa_i*nv_i(66,1); AV10=AV10+alfa_i*nv_i(67,1); V11=V11+alfa_i*nv_i(68,1); AV11=AV11+alfa_i*nv_i(69,1); 96 V12=V12+alfa_i*nv_i(70,1); AV12=AV12+alfa_i*nv_i(71,1); V13=V13+alfa_i*nv_i(72,1); AV13=AV13+alfa_i*nv_i(73,1); V14=V14+alfa_i*nv_i(74,1); AV14=AV14+alfa_i*nv_i(75,1); V2=V2+alfa_i*nv_i(76,1); %Verificacion de convergencia g_xp=[abs(EP2);abs(EQ2);abs(EP3);abs(EQ3);abs(EQ4);abs(EP4);abs(EQ5);abs( EP5);abs(EP6);abs(EQ6);abs(EQ9);abs(EP9);abs(EQ10);abs(EP10);abs(EQ11);ab s(EP11);abs(EQ12);abs(EP12);abs(EQ13);abs(EP13);abs(EQ14);abs(EP14)]; g_xp_i=eval(g_xp); emax=max(g_xp_i); P2calc_i=eval(P2calc); Q3calc_i=eval(Q3calc); Q6calc_i=eval(Q6calc); if emax>0.001 u=sigma*(s'*pp)/16; %Gráfica del parámetro de barrera figure(1); plot(n,u,'-.gd') title(' Comportamiento del Parámetro de Barrera en función del número de iteraciones') xlabel('Número de Iteraciones') ylabel('Parámetro de Barrera') hold on n=n+1; else break; end end hold off P1calc=(V1*Y12*V2*cos(C12+AV2AV1)+(V1^2)*Y11*cos(C11)+V1*Y13*V3*cos(C13+AV3- 97 AV1)+V1*Y14*V4*cos(C14+AV4-AV1)+V1*Y15*V5*cos(C15+AV5AV1)+V1*Y16*V6*cos(C16+AV6-AV1)+V1*Y17*V9*cos(C17+AV9AV1)+V1*Y18*V10*cos(C18+AV10-AV1)+V1*Y19*V11*cos(C19+AV11AV1)+V1*Y110*V12*cos(C110+AV12-AV1)+V1*Y111*V13*cos(C111+AV13AV1)+V1*Y112*V14*cos(C112+AV14-AV1)); Q1calc=-1*(V1*Y12*V2*sin(C12+AV2AV1)+(V1^2)*Y11*sin(C11)+V1*Y13*V3*sin(C13+AV3AV1)+V1*Y14*V4*sin(C14+AV4-AV1)+V1*Y15*V5*sin(C15+AV5AV1)+V1*Y16*V6*sin(C16+AV6-AV1)+V1*Y17*V9*sin(C17+AV9AV1)+V1*Y18*V10*sin(C18+AV10-AV1)+V1*Y19*V11*sin(C19+AV11AV1)+V1*Y110*V12*sin(C110+AV12-AV1)+V1*Y111*V13*sin(C111+AV13AV1)+V1*Y112*V14*sin(C112+AV14-AV1)); Q2calc=-1*(V2*Y21*V1*sin(C21+AV1AV2)+(V2^2)*Y22*sin(C22)+V2*Y23*V3*sin(C23+AV3AV2)+V2*Y24*V4*sin(C24+AV4-AV2)+V2*Y25*V5*sin(C25+AV5AV2)+V2*Y26*V6*sin(C26+AV6-AV2)+V2*Y27*V9*sin(C27+AV9AV2)+V2*Y28*V10*sin(C28+AV10-AV2)+V2*Y29*V11*sin(C29+AV11AV2)+V2*Y210*V12*sin(C210+AV12-AV2)+V2*Y211*V13*sin(C211+AV13AV2)+V2*Y212*V14*sin(C212+AV14-AV2)); Q1g=Q1calc; P1g=P1calc; Q2g=Q2calc-Q2c; P2g=P2calc_i-P2c; Q3g=Q3calc_i-Q3c; Q6g=Q6calc_i-Q6c; resul(1:12,1)=[1;2;3;4;5;6;9;10;11;12;13;14]; resul(1:12,2:5)=[V1 180*AV1/pi 100*P1g 100*Q1g;V2 180*AV2/pi 100*P2g 100*Q2g;V3 180*AV3/pi 0 100*Q3g;V4 180*AV4/pi 0 0;V5 180*AV5/pi 0 0;V6 180*AV6/pi 0 100*Q6g;V9 180*AV9/pi 0 0;V10 180*AV10/pi 0 0;V11 180*AV11/pi 0 0;V12 180*AV12/pi 0 0;V13 180*AV13/pi 0 0;V14 180*AV14/pi 0 0]; disp(resul) disp('La tolerancia se alcanzo en el siguiente numero de iteraciones ') n 98 Anexo B.Programa para obtener la matriz de admitancias function output=Matriz_admitancias(x) Z12_1=0.01938+j*0.05917; Y12_1=1/Z12_1; Yc12_1=j*0.0528/2; Z12_2=0.01938+j*0.05917; Y12_2=1/Z12_2; Yc12_2=j*0.0528/2; Z15=0.05403+j*0.22304; Y15=1/Z15; Yc15=j*0.0492/2; Z24=0.05811+j*0.17632; Y24=1/Z24; Yc24=j*0.034/2; Z25=0.05695+j*0.17388; Y25=1/Z25; Yc25=j*0.0346/2; Z23=0.04699+j*0.19797; Y23=1/Z23; Yc23=j*0.0438/2; Z54=0.01335+j*0.04211; Y54=1/Z54; Yc54=0; Z34=0.06701+j*0.17103; Y34=1/Z34; Yc34=j*0.0128/2; Z56=j*0.25202; Y56=1/Z56; Z49_1=j*0.55618; Z49_2=j*0.55618; Y49_1=1/Z49_1; Y49_2=1/Z49_2; Y99=j*0.1; Z611=0.09498+j*0.1989; Y611=1/Z611; Yc611=0; Z612=0.12291+j*0.25581; Y612=1/Z612; Yc612=0; Z613=0.06615+j*0.13027; Y613=1/Z613; Yc613=0; Z1213=0.22092+j*0.19988; Y1213=1/Z1213; Yc1213=0; Z1314=0.17093+j*0.37802; Y1314=1/Z1314; Yc1314=0; 99 Z914=0.12711+j*0.27038; Y914=1/Z914; Yc914=0; Z910=0.03181+j*0.0845; Y910=1/Z910; Yc910=0; Z1011=0.08205+j*0.19207; Y1011=1/Z1011; Yc1011=0; Y(1,1)=Y15+Yc15+Y12_1+Yc12_1+Y12_2+Yc12_2; Y(1,2)=-(Y12_1+Y12_2); Y(1,3)=0; Y(1,4)=0; Y(1,5)=-Y15; Y(1,6)=0; Y(1,7)=0; %La posicion 7 corresponde a la barra 9 Y(1,8)=0; %La posicion 8 corresponde a la barra 10 Y(1,9)=0; Y(1,10)=0; Y(1,11)=0; Y(1,12)=0; Y(2,1)=Y(1,2); Y(2,2)=Yc12_1+Y12_2+Yc12_2+Y12_1+Y25+Yc25+Y24+Yc24+Y23+Yc23; Y(2,3)=-Y23; Y(2,4)=-Y24; Y(2,5)=-Y25; Y(2,6)=0; Y(2,7)=0; %La posicion 7 corresponde a la barra 9 Y(2,8)=0; Y(2,9)=0; Y(2,10)=0; Y(2,11)=0; Y(2,12)=0; Y(3,1)=Y(1,3); Y(3,2)=Y(2,3); Y(3,3)=Y23+Yc23+Y34+Yc34; Y(3,4)=-Y34; Y(3,5)=0; Y(3,6)=0; Y(3,7)=0; Y(3,8)=0; Y(3,9)=0; Y(3,10)=0; Y(3,11)=0; Y(3,12)=0; Y(4,1)=Y(1,4); Y(4,2)=Y(2,4); Y(4,3)=Y(3,4); Y(4,4)=Y54+Yc54+Y24+Yc24+Y34+Yc34+Y49_1+Y49_2; Y(4,5)=-Y54; Y(4,6)=0; Y(4,7)=-(Y49_1+Y49_2); 100 Y(4,8)=0; Y(4,9)=0; Y(4,10)=0; Y(4,11)=0; Y(4,12)=0; Y(5,1)=Y(1,5); Y(5,2)=Y(2,5); Y(5,3)=Y(3,5); Y(5,4)=Y(4,5); Y(5,5)=Y15+Yc15+Y25+Yc25+Y54+Yc54+Y56; Y(5,6)=-Y56; Y(5,7)=0; Y(5,8)=0; Y(5,9)=0; Y(5,10)=0; Y(5,11)=0; Y(5,12)=0; Y(6,1)=Y(1,6); Y(6,2)=Y(2,6); Y(6,3)=Y(3,6); Y(6,4)=Y(4,6); Y(6,5)=Y(5,6); Y(6,6)=Y56+Y612+Yc612+Y613+Yc613+Y611+Yc611; Y(6,7)=0; Y(6,8)=0; Y(6,9)=-Y611; Y(6,10)=-Y612; Y(6,11)=-Y613; Y(6,12)=0; Y(7,1)=Y(1,7); Y(7,2)=Y(2,7); Y(7,3)=Y(3,7); Y(7,4)=Y(4,7); Y(7,5)=Y(5,7); Y(7,6)=Y(6,7); Y(7,7)=Y49_1+Y49_2+Y99+Y914+Yc914+Y910+Yc910; Y(7,8)=-Y910; Y(7,9)=0; Y(7,10)=0; Y(7,11)=0; Y(7,12)=-Y914; Y(8,1)=Y(1,8); Y(8,2)=Y(2,8); Y(8,3)=Y(3,8); Y(8,4)=Y(4,8); Y(8,5)=Y(5,8); Y(8,6)=Y(6,8); Y(8,7)=Y(7,8); Y(8,8)=Y910+Yc910+Y1011+Yc1011; Y(8,9)=-Y1011; Y(8,10)=0; Y(8,11)=0; 101 Y(8,12)=0; Y(9,1)=Y(1,9); Y(9,2)=Y(2,9); Y(9,3)=Y(3,9); Y(9,4)=Y(4,9); Y(9,5)=Y(5,9); Y(9,6)=Y(6,9); Y(9,7)=Y(7,9); Y(9,8)=Y(8,9); Y(9,9)=Y611+Yc611+Y1011+Yc1011; Y(9,10)=0; Y(9,11)=0; Y(9,12)=0; Y(10,1)=Y(1,10); Y(10,2)=Y(2,10); Y(10,3)=Y(3,10); Y(10,4)=Y(4,10); Y(10,5)=Y(5,10); Y(10,6)=Y(6,10); Y(10,7)=Y(7,10); Y(10,8)=Y(8,10); Y(10,9)=Y(9,10); Y(10,10)=Y612+Yc612+Y1213+Yc1213; Y(10,11)=-Y1213; Y(10,12)=0; Y(11,1)=Y(1,11); Y(11,2)=Y(2,11); Y(11,3)=Y(3,11); Y(11,4)=Y(4,11); Y(11,5)=Y(5,11); Y(11,6)=Y(6,11); Y(11,7)=Y(7,11); Y(11,8)=Y(8,11); Y(11,9)=Y(9,11); Y(11,10)=Y(10,11); Y(11,11)=Y613+Yc613+Y1213+Yc1213+Y1314+Yc1314; Y(11,12)=-Y1314; Y(12,1)=Y(1,12); Y(12,2)=Y(2,12); Y(12,3)=Y(3,12); Y(12,4)=Y(4,12); Y(12,5)=Y(5,12); Y(12,6)=Y(6,12); Y(12,7)=Y(7,12); Y(12,8)=Y(8,12); Y(12,9)=Y(9,12); Y(12,10)=Y(10,12); Y(12,11)=Y(11,12); Y(12,12)=Y1314+Yc1314+Y914+Yc914; output=Y; 102