Teoría - Canek

CAP ÍTULO
1
Métodos de Integración
2.4 Integración de potencias de funciones trigonométricas
Trataremos ahora las técnicas de integración que permiten calcular integrales de funciones que son potencias de funciones trigonométricas, ası́ como productos o cocientes de este tipo de funciones.
En el desarrollo de estas técnicas es relevante el uso de algunas identidades trigonométricas ası́ como la
aplicación de cambios de variable adecuados. Es importante también tener presente que si n es un número
natural, entonces n, 2n 1, 2n, 2n C 1 y 2n C 2 son enteros positivos, con 2n y 2n C 2 pares y 2n 1 y 2n C 1
impares.
Desarrollaremos estas técnicas de integración mostrando cómo resolver grandes familias de integrales.
2.4.1
Integrales
Z
senr x cos m x dx; donde r 2 Q, m 2 N impar.
Cuando m D 1 :
Z
senr x cos m x dx D
Z
senr cos x dx;
que se calcula mediante un cambio de variable.
Si y D sen x, entonces dy D cos x dx. Por lo tanto:
1. Para r ¤ 1
Z
senr x cos x dx D
Z
y r dy D
y r C1
1
CC D
senr C1x C C:
r C1
r C1
2. Para r D 1
Z
senr x cos x dx D
Z
y
1
dy D
canek.azc.uam.mx: 20/ 5/ 2015/ 590
1
Z
dy
D ln y C C D ln.sen x/ C C:
y
2
Cálculo integral
Cuando m > 1, expresamos el impar m como m D 2n C 1, donde n es un número natural. En este
caso:
Z
Z
r
m
sen x cos x dx D senr x cos 2nC1 x dx;
que calculamos de la siguiente manera.
Primero separamos un factor cos x y lo colocamos junto a la diferencial dx.
Z
Z
senr x cos 2nC1 x dx D senr x cos 2n x cos x dx:
Luego consideramos que cos 2n x D .cos 2 x/n y utilizamos la identidad cos 2 x D 1 sen2 x. Resulta
que:
Z
Z
Z
senr x cos 2n x cos x dx D senr x.cos 2 x/n cos x dx D senr x.1 sen2 x/n cos x dx:
Ahora aplicamos el mismo cambio de variable: y D sen x & dy D cos x dx. Entonces:
Z
Z
r
2 n
sen x.1 sen x/ cos x dx D y r .1 y 2 /n dy:
Debido a que n es un número natural .n D 1; 2; 3; :::/, podemos obtener el desarrollo de .1 y 2 /n , para
luego multiplicar cada uno de sus .n C 1/ términos por el factor y r . Se obtiene ası́ la integral de una
suma algebraica de funciones, que es igual a la suma algebraica de las integrales de dichas funciones.
Esto es,
Z
Z
Z
senr x cos 2n x cos x dx D senr x.1 sen2 x/n cos x dx D y r .1 y 2 /n dy D
Z
n.n 1/ 4
n 2n
r
2
D y 1 ny C
y
C . 1/ y
dy D
2
Z n.n 1/ r C4
r
r C2
n r C2n
D
y
ny
C
y
C . 1/ y
dy D
2
Z
Z
Z
Z
n.n 1/
r
r C2
r C4
n
D y dy n y
dy C
y
dy C . 1/
y r C2n dy D
2
y r C3
n.n 1/ y r C5
y r C2nC1
y r C1
D
n
C
C . 1/n
C C:
r C1
r C3
2
r C5
r C 2n C 1
Donde r C k ¤ 0, para k D 1; 3; 5; :::; .2n C 1/.
Consideramos el cambio de variable realizado (y D sen x) para ası́ tener la solución de la integral.
Esto es,
Z
Z
senr x cos m x dx D senr x cos 2nC1 x dx D
D
senr C1 x
r C1
n
senr C3 x
n.n 1/ senr C5 x
C
r C3
2
r C5
C . 1/n
Veamos un primer ejemplo de este tipo de integrales.
Z
p
Ejemplo 2.4.1 Calcular la integral
sen x cos 5 x dx.
H
Primero separamos un factor cos x y lo colocamos junto a la diferencial dx.
Z
Z
p
p
5
sen x cos x dx D
sen x cos 4 x cos x dx:
senr C2nC1 x
C C:
r C 2n C 1
2.4 Integración de potencias de funciones trigonométricas
3
Luego consideramos que cos 4 x D .cos 2 x/2 y la identidad cos 2 x D 1
Z
p
sen x cos 4 x cos x dx D
Z
p
sen x.cos 2 x/2 cos x dx D
Z
sen2 x. Resulta que:
p
sen x.1
sen2 x/2 cos x dx:
Ahora aplicamos el cambio de variable y D sen x & dy D cos x dx:
Z
p
y.1
sen x.1
2
2
sen x/ cos x dx D
y 2 /2 , luego multiplicamos por
Desarrollamos .1
Z
p
y 2 /2 dy D
Z
y 1=2 .1
D
Z
y 1=2
Z
p
y.1
y 2 /2 dy:
p
y para posteriormente integrar:
Z
2y 2 C y 4 / dy D .y 1=2 2y 5=2 C y 9=2 / dy D
Z
Z
2
2
2
y 7=2 C y 11=2 C C:
dy 2 y 5=2 dy C y 9=2 dy D y 3=2 2
3
7
11
Finalmente, consideramos el cambio de variable realizado (y D sen x) y concluimos:
Z
p
2
sen xcos5 x dx D sen3=2 x
3
4 7=2
2
sen x C sen11=2 x C C:
7
11
Ahora veamos cómo proceder ante una integral definida.
Ejemplo 2.4.2 Calcular la integral definida
Z
=2
p
sen x cos 5 x dx.
0
H Primero calculamos la integral indefinida y luego la definida. Por el ejemplo anterior sabemos que la
integral indefinida está dada por
Z
p
2
sen x cos 5 x dx D sen3=2x
3
4 7=2
2
sen x C sen11=2 x C C:
7
11
Ahora tomamos a una de las primitivas de esta familia infinita y obtenemos el valor de la integral definida.
Z
0
=2
4
2
2
3=2
7=2
11=2
sen x cos x dx D
sen x
sen x C sen
x
D
3
7
11
0
2
4
2
2
D
sen3=2
sen7=2 C sen11=2
sen3=2 .0/
3
2 7
2
11
2
3
2 3=2 4 7=2
2
2 3=2 4 7=2
11=2
D
.1/
.1/ C .1/
.0/
.0/ C
3
7
11
3
7
2 4
2
154 132 C 42
64
D
C
0D
D
:
3 7
11
231
231
=2 p
5
4
2
7=2
11=2
sen .0/ C sen
.0/ D
7
11
2
.0/11=2 D
11
Cuando m > 1 (impar) & r D 0, las integrales son del tipo
Z
r
m
sen x cos x dx D
Ejemplo 2.4.3 Calcular la integral
Z
Z
cos7 2x dx.
0
sen x cos
2nC1
x dx D
Z
cos 2nC1 x dx:
4
Cálculo integral
H En esta integral no aparece el factor seno, pero la función coseno tiene un exponente entero positivo
impar; entonces, la integral pertenece a la familia que estamos tratando. Primero separamos un factor
cos 2x:
Z
Z
7
cos 2x dx D cos6 2x cos 2x dx:
Luego consideramos que cos6 x D .cos2 2x/3 y la identidad cos2 2x D 1 sen2 2x. Resulta:
Z
Z
Z
Z
cos7 2x dx D cos6 2x cos 2x dx D .cos2 2x/3 cos 2x dx D .1 sen2 2x/3 cos 2x dx:
Ahora aplicamos el cambio de variable y D sen 2x & dy D 2 cos 2x dx. Se tiene entonces:
Z
Z
Z
Z
1
cos7 2x dx D .cos2 2x/3 cos 2x dx D .1 sen2 2x/3 cos 2x dx D
.1 y 2 /3 dy:
2
Desarrollamos .1
Z
1
.1
2
y 2 /3 para luego integrar
Z
1
2 3
y / dy D
.1 3y 2 C 3y 4 y 6 / dy D
2
1
3 5 1 7
1
3
D
y y C y
y CC D y
2
5
7
2
1 3
3
y C y5
2
10
1 7
y C C:
14
Finalmente, consideramos el cambio de variable realizado (y D sen 2x) y concluimos:
Z
1
1
3
1
cos7 2x dx D sen 2x
sen3 2x C sen5 2x
sen7 2x C C:
2
2
10
14
Ejemplo 2.4.4 Calcular la integral definida
Z
=12
cos7 2x dx.
0
H Primero calculamos la integral indefinida y luego la definida. Por el ejemplo anterior sabemos que la
integral indefinida está dada por
Z
1
1
3
1
cos7 2x dx D sen 2x
sen3 2x C sen5 2x
sen7 2x C C:
2
2
10
14
Ahora tomamos a una de las primitivas de esta familia infinita y obtenemos el valor de la integral definida.
=12
Z =12
1
1
3
1
7
3
5
7
cos 2x dx D
sen 2x
sen 2x C sen 2x
sen 2x
D
2
2
10
14
0
0
1
3
1
1
1 3
3
1
1
3
5
7
5
7
D
sen
sen
C sen
sen
.0/
.0/ C .0/
.0/ D
2
6
2
6
10
6 14
6
2
2
10
14
2 4
1 1
1 1 3
3 1 5
1 1 7
1
1
3 1 6 1 1 8
D
C
D
C
D
2 2
2 2
10 2
14 2
2
2
5 2
7 2
1
1
3 1
1 1
1
3 2 1
1 1 759
1 759
6
4
D 2
C
D
2
2
C
.2/
D
D
:
2
24
5 26
7 28
28
5
7
28
35
8 960
2.4.2
Integrales
Z
cosr x senm x dx; donde r 2 Q, m 2 N impar
Cuando m D 1:
Z
cosr x senm x dx D
que se calcula mediante un cambio de variable.
Si y D cos x, entonces dy D
sen x dx. Por lo tanto,
Z
cosr x sen x dx;
2.4 Integración de potencias de funciones trigonométricas
5
1. Para r ¤ 1:
Z
cosr x sen x dx D
2. Para r D 1:
Z
cosr x sen x dx D
Z
y
1
Z
dy D
y r dy D
Z
dy
D
y
y r C1
CC D
r C1
ln y C C D
1
cosr C1 x C C:
r C1
ln.cos x/ C C D ln.sec x/ C C:
Cuando m > 1, expresamos al impar m como m D 2n C 1, donde n es un número natural:
Z
Z
cosr x senm x dx D cosr x sen2nC1 x dx;
que calculamos de la siguiente manera.
Primero separamos un factor sen x:
Z
Z
r
m
cos x sen x dx D cosr x sen2n x sen x dx:
Luego consideramos que sen2n x D .sen 2 x/n y utilizamos la identidad sen2 x D 1 cos2 x.
Z
Z
Z
r
2n
r
2 n
cos x sen x sen x dx D cos x.sen x/ sen x dx D cosr x.1 cos2 x/n sen x dx:
Ahora aplicamos el mismo cambio de variable y D cos x & dy D sen x dx. Ası́:
Z
Z
cosr x.1 cos2 x/n sen x dx D
y r .1 y 2 /n dy:
Donde se aprecia que, salvo el signo negativo, hemos llegado a lo obtenido en el caso próximo anterior. Procedemos entonces a desarrollar .1 y 2 /n , para luego multiplicar a cada término por y r ;
obtenemos la integral de una suma algebraica de funciones, que igualamos a la suma algebraica de
las integrales de dichas funciones. Esto es,
Z
Z
n.n 1/ 4
n 2n
r
2 n
r
2
y .1 y / dy D
y 1 ny C
y
C . 1/ y
dy D
2
Z n.n 1/ r C4
r
r C2
n r C2n
D
y
ny
C
y
C . 1/ y
dy D
2
Z
Z
Z
Z
n.n 1/
r
r C2
r C4
n
r C2n
D
y dy n y
dy C
y
dy C . 1/
y
dy D
2
r C1
y
y r C3
n.n 1/ y r C5
y r C2nC1
D
n
C
C . 1/n
C C:
r C1
r C3
2
r C5
r C 2n C 1
Donde r C k ¤ 0 para k D 1; 3; 5; ; .2n C 1/.
Consideramos el cambio de variable realizado (y D cos x) para ası́ tener la solución de la integral.
Esto es,
Z
Z
r
m
cos x sen x dx D cosr x sen2nC1 x dx D
r C1
r C2nC1 cos x
cosr C3x
n.n 1/ cosr C5 x
x
n cos
D
C C:
n
C
C . 1/
r C1
r C3
2
r C5
r C 2n C 1
Veamos un primer ejemplo de este tipo de integrales.
6
Cálculo integral
Ejemplo 2.4.5 Calcular la integral
H
Z
cos4 kt sen3 kt dt.
Primero separamos un factor sen kt:
Z
Z
cos4 kt sen3 kt dt D cos4 kt sen2 kt sen kt dt:
Luego consideramos la identidad sen2 kt D 1 cos2 kt.
Z
Z
Z
cos4 kt sen3 kt dt D cos4 kt sen2 kt sen kt dt D cos4 kt.1
cos2 kt/ sen kt dt:
Ahora aplicamos el cambio de variable: y D cos kt & dy D k sen kt dt. Entonces:
Z
cos4 kt.1
1
k
cos2 kt/ sen kt dt D
Z
y 4 .1
y 2 / dy D D
1
k
Z
.y 4
y 6 / dy D
1
k
1 5
y
5
1 7
y
7
C C:
Finalmente, consideramos el cambio de variable realizado (y D cos kt) y concluimos
Z
1
1
cos4 kt sen3 kt dt D
cos7 kt
cos5 kt C C:
7k
5k
Ejemplo 2.4.6 Calcular la integral
Z
=3
cos4 3t sen3 3t dt.
0
H Primero calculamos la integral indefinida y luego la definida. Si en el ejemplo anterior consideramos
k D 3, entonces la integral indefinida ya está calculada y además está dada por:
Z
1
1
cos7 3t
cos5 3t C C:
cos4 3t sen3 3t dt D
21
15
Ahora tomamos a una de las primitivas de esta familia infinita y obtenemos el valor de la integral definida.
Z
0
=3
1
cos7 3t
21
1
D
cos7 21
1
. 1/7
D
21
1
1
D
C
21
15
cos4 3t sen3 3t dt D
=3
1
cos5 3t
D
15
0
1
1
1
5
7
5
cos cos .0/
cos .0/ D
15
21
15
1
1
1
. 1/5
.1/7
.1/7 D
15
21
15
1
1
2
2
4
C
D
D
:
21
15
15 21
105
Cuando m > 1 (impar) & r D 0, se tienen integrales del tipo:
Z
Z
Z
cosr x senm x dx D cos0 x sen2nC1 x dx D sen2nC1 x dx:
Ejemplo 2.4.7 Calcular la integral
Z
sen5
t
dt.
2
H En esta integral no aparece el factor coseno, pero la función seno tiene un exponente entero positivo
impar; entonces, la integral pertenece a la familia que estamos tratando.
2.4 Integración de potencias de funciones trigonométricas
7
t
y se lo colocamos junto a la diferencial dt.
2
Z
Z
t
t
t
dt:
sen5 dt D sen4 sen
2
2
2
t
t 2
t
t
y la identidad sen2 D 1 cos2 :
Luego consideramos que sen4 D sen2
2
2
2
2
2
2
Z
Z
Z Z t
t
t
5t
4t
2t
2t
sen
dt D sen
sen dt D
sen
sen dt D
1 cos
sen dt:
2
2
2
2
2
2
2
Primero separamos un factor sen
1
t
sen dt. Entonces:
2
2
2
Z
Z
t
t
cos2
sen dt D 2 .1 y 2 /2 dy D 2 .1 2y 2 C y 4 / dy D
2
2
2 3 1 5
4
2 5
y C y C C D 2y C y 3
y C C:
D 2 y
3
5
3
5
Ahora aplicamos el cambio de variable: y D cos
Z 1
t
& dy D
2
t
Finalmente, consideramos el cambio de variable realizado (y D cos ) y concluimos:
2
Z
t
t
4
t
2 5t
sen5 dt D 2 cos C cos3
cos C C:
2
2
3
2 5
2
Ejemplo 2.4.8 Calcular la integral
Z
2
sen5
t
dt.
2
H Primero calculamos la integral indefinida y luego la definida. Por el ejemplo anterior sabemos que la
integral indefinida está dada por
Z
t
t
4
t
2 5t
sen5 dt D 2 cos C cos3
cos C C:
2
2
3
2 5
2
Ahora tomamos a una de las primitivas de esta familia infinita y obtenemos el valor de la integral definida.
Z 2
t
4
t
2 5 t 2
t
sen5 dt D
2 cos C cos3
cos
D
2
2 3
2 5
2 4
2 5
4
2 5
D
2 cos C cos3 cos 2 cos C cos3
cos
D
3
5
2
3
2
5
2
4
2
4 3 2 5
4
2
16
D . 2/. 1/ C . 1/3
. 1/5 C 2.0/
.0/ C .0/ D 2
C D
:
3
5
3
5
3
5
15
2.4.3
Integrales
Z
2n
sen x dx,
Z
2m
cos
x dx &
Z
sen2n xcos2m x dx; donde n, m 2 N C
En estas familias de integrales, las funciones seno y coseno están afectadas por exponentes enteros positivos
pares (2m, 2n). Para calcular estas integrales se aplican las identidades trigonométricas
sen2 x D
1
.1
2
cos 2x/
&
cos2 x D
1
.1 C cos 2x/:
2
La aplicación de estas identidades
se realiza tantas veces como sea necesario, hasta obtener integrales
Z
casi inmediatas de la forma cos 2kx dx, con k natural; o bien integrales que pertenezcan a las familias
anteriormente tratadas, en cuyo caso se aplicará el procedimiento correspondiente.
8
Cálculo integral
Ejemplo 2.4.9 Calcular las integrales
Z
sen2 x dx
Z
&
cos2 x dx.
1
Para la primera integral aplicaremos la identidad sen2 x D .1 cos 2x/ y para la segunda, la identidad
2
1
cos2 x D .1 C cos 2x/.
2
Z
Z
Z
Z
1
1
1
1
.1 cos 2x/ dx D
dx
cos 2x dx D
x
sen 2x C C I
sen2 x dx D
2
2
2
2
Z
Z
Z
Z
1
1
1
1
2
.1 C cos 2x/ dx D
dx C cos 2x dx D
x C sen 2x C C:
cos x dx D
2
2
2
2
H
Ejemplo 2.4.10 Calcular la integral
H
Z
sen2 xcos2 x dx.
1
.1
2
Aplicamos a la vez las identidades sen2 x D
Z
cos 2x/ y cos2 x D
1
.1 C cos 2x/.
2
Z
1
1
1
.1 cos 2x/ .1 C cos 2x/ dx D
.1 cos2 2x/ dx D
2
2
4
Z
Z
Z
1
1
1
1
1
D
.sen2 2x/ dx D
Œ1 cos 2.2x/ dx D
.1 cos 4x/ dx D
4
4
2
4
2
1
1
1
1
D
x
sen 4x C C D x
sen 4x C C:
8
4
8
32
sen2 xcos2 x dx D
Z
Observe que en este desarrollo aplicamos las identidades:
1
cos2 2x D sen2 2x
&
1
sen2 2x D Œ1
2
cos 2.2x/ D
1
.1
2
cos 4x/:
Ejemplo 2.4.11 Calcular la integral
H
Z
Z
sen4 2x dx.
Aplicaremos primero la identidad sen2 u D
1
.1
2
cos 2u/ y luego cos2 u D
1
.1 C cos 2u/.
2
Z Z
2
1
1
.sen 2 2x/2 dx D
1 cos 2.2x/
dx D
.1 cos 4x/2 dx D
2
4
Z
Z
1
1
1
D
.1 2cos4x C cos2 4x/ dx D
x .2/ sen 4x C cos2 4x dx D
4
4
4
Z
Z
1
1
1
1
1
1
D
x
sen 4x C
Œ1 C cos 2.4x/ dx D
x
sen 4x C
.1 C cos 8x/ dx D
4
2
2
4
2
2
1
1
1
1
3
1
1
D x
sen 4x C
x C sen 8x C C D x
sen 4x C
sen 8x C C:
4
8
8
8
8
8
64
sen4 2x dx D
Z
Ejemplo 2.4.12 Calcular la integral
Z
sen2 2x cos4 2x dx.
2.4 Integración de potencias de funciones trigonométricas
H
9
1
1
.1 cos 2u/ y cos2 w D .1 C cos 2w/.
2
2
Z
Z
Z
1
1
.1 cos 4x/ .1 C cos 4x/2 dx D
sen2 2xcos4 2x dx D .sen 2 2x/.cos2 2x/2 dx D
2
4
Z
Z
1
1
D
.1 cos 4x/.1 C cos 4x/.1 C cos 4x/ dx D
.1 cos2 4x/.1 C cos 4x/ dx D
8
8
Z
Z
Z
1
1
2
2
2
D
.sen 4x/.1 C cos 4x/ dx D
sen 4x dx C .sen 4x/ cos 4x dx D
8
8
Z
Z
1
1
1
2
.1 cos 8x/ dx C
.sen 4x/ 4 cos 4x dx D
D
8
2
4
1
1
1 .sen 4x/3
1
1
1
3
x
sen 8x C
CC D
x
sen 8x C sen 4x C C:
D
16
8
32
3
16
8
6
Aplicamos a la vez las identidades sen2 u D
2.4.4
Integrales
Z
tanr x secm x dx; donde r 2 Q, m 2 N par
Cuando m D 2,
Z
tanr x sec m x dx D
Z
tanr x sec 2 x dx;
que se calcula mediante un cambio de variable. Si y D tan x, entonces dy D sec2 x dx. Por lo tanto:
1. Para r ¤ 1,
Z
2. Para r D 1,
Z
1
y r C1
CC D
tanr C1 x C C:
r C1
r C1
Z
dy
dy D
D ln y C C D ln.tan x/ C C .
y
tan x sec x dx D
Z
y r dy D
tanr x sec2 x dx D
Z
y
r
2
1
Cuando m > 2, expresamos el natural par m como m D 2n C 2, donde n es un número natural.
En este caso:
Z
tanr x sec m x dx D
Z
tanr x sec 2nC2 x dx;
que calculamos de la siguiente manera. Primero separamos un factor sec2 x para escribirlo junto a la
diferencial dx.
Z
Z
r
2nC2
tan x sec
x dx D tanr x sec2n x sec 2 x dx:
Como sec2n x D .sec 2 x/n , entonces utilizamos la identidad sec2 x D 1 C tan2 x. Ası́:
Z
tanr x sec 2n x sec2 x dx D
Z
tanr x .sec 2 x/n sec2 x dx D
Z
tanr x.1 C tan2 x/n sec2 x dx:
Ahora aplicamos el mismo cambio de variable: y D tan x ) dy D sec2 x dx. Por lo tanto:
Z
tanr x.1 C tan2 x/n sec2 x dx D
Z
y r .1 C y 2 /n dy:
Y debido a que n es un número natural .n D 1; 2; 3; :::/, podemos obtener el desarrollo de .1 C y 2 /n ,
para luego multiplicar cada uno de sus .n C 1/ términos por el factor y r . Se obtiene ası́ la integral
de una suma algebraica de funciones, que es igual a la suma algebraica de las integrales de dichas
10
Cálculo integral
funciones. Esto es,
Z
Z
n.n 1/ 4
r
2 n
r
2
2n
y .1 C y / dy D y 1 C ny C
y CCy
dy D
2
Z
n.n 1/ r C4
r C2n
r
r C2
y
CCy
dy D
D
y C ny
C
2
Z
Z
Z
Z
n.n 1/
r
r C2
r C4
D y dy C n y
dy C
y
dy C C y r C2n dy D
2
y r C1
y r C3
n.n 1/ y r C5
y r C2nC1
Cn
C
CC
C C;
D
r C1
r C3
2
r C5
r C 2n C 1
siempre y cuando r C k ¤ 0, para k D 1; 3; 5; :::; .2n C 1/.
Recuperamos el cambio de variable realizado (y D tan x), para obtener la solución de la integral. Esto
es,
Z
tanr C1 x
tanr C3 x
n.n 1/ tanr C5 x
tanr C2nC1 x
tanr x secm x dx D
Cn
C
CC
C C:
r C1
r C3
2
r C5
r C 2n C 1
Veamos un primer ejemplo de este tipo de integrales.
Ejemplo 2.4.13 Calcular la integral
H
Z
p
tan x sec 6 x dx.
Primero separamos un factor sec2 x y lo escribimos junto a la diferencial dx.
Z
Z
p
p
tan x sec6 x dx D
tan x sec 4 x sec 2 x dx:
Luego consideramos que sec4 x D .sec 2 x/2 y la identidad sec2 x D 1 C tan2 x.
Z
Z
Z
p
p
p
tan x sec 4 x sec 2 x dx D
tan x .sec 2 x/2 sec2 x dx D
tan x.1 C tan2 x/2 sec2 x dx:
Ahora aplicamos el cambio de variable: y D tan x ) dy D sec2 x dx:
Z
Z
p
p
tan x.1 C tan2 x/2 sec 2 x dx D
y.1 C y 2 /2 dy:
p
Desarrollamos .1 C y 2 /2 y luego multiplicamos por y, para posteriormente integrar
Z
Z
Z
p
2 2
1=2
2
4
y .1 C y / dy D y .1 C 2y C y / dy D .y 1=2 C 2y 5=2 C y 9=2 / dy D
Z
Z
Z
2
2
2
D y 1=2 dy C 2 y 5=2 dy C y 9=2 dy D y 3=2 C 2
y 7=2 C y 11=2 C C:
3
7
11
Finalmente, consideramos el cambio de variable realizado (y D tan x) y concluimos
Z
p
2
4
2
tan x sec6 x dx D tan3=2x C tan7=2 x C tan11=2 x C C:
3
7
11
Ahora veamos como proceder ante una integral definida.
Ejemplo 2.4.14 Calcular la integral definida
Z
0
=4
p
tan x sec 6 x dx.
2.4 Integración de potencias de funciones trigonométricas
11
H Primero calculamos la integral indefinida y luego la definida. Por el ejemplo anterior sabemos que la
integral indefinida es
Z
p
2
4
2
tan x sec 6 x dx D tan3=2 x C tan7=2x C
tan11=2 x C C:
3
7
11
Ahora tomamos una de las primitivas de esta familia infinita y obtenemos el valor de la integral definida.
Z
0
=4
2
4
2
3=2
7=2
11=2
tan x sec x dx D
tan x C tan x C
tan
x
D
3
7
11
0
2
4
2
2
4
2
3=2 7=2 11=2 3=2
7=2
11=2
D
tan
C tan
C
tan
tan .0/ C tan .0/ C
tan
.0/ D
3
4
7
4
11
4
3
7
11
2 3=2 4 7=2
2
2 3=2 4 7=2
2
.1/ C .1/ C .1/11=2
.0/ C .0/ C .0/11=2 D
D
3
7
11
3
7
11
2
4
2
154 C 132 C 42
338
D C C
0D
D
:
3
7 11
231
231
=4 p
6
Cuando m > 2 (par) & r D 0, las integrales son del tipo
Z
Z
Z
tanr x secm x dx D tan0 x sec2nC2 x dx D sec2nC2 x dx:
Ejemplo 2.4.15 Calcular la integral
Z
sec8 2x dx.
H En esta integral no aparece el factor tangente, pero la función secante tiene un exponente entero positivo
par; entonces, la integral pertenece a la familia que estamos tratando. Primero separamos un factor sec2 2x:
Z
Z
sec 8 2x dx D sec 6 2x sec2 2x dx:
Luego consideramos que sec6 2x D .sec 2 2x/3 y la identidad sec 2 2x D 1 C tan2 2x. Por lo tanto:
Z
Z
Z
Z
sec 8 2x dx D sec6 2x sec2 2x dx D .sec 2 2x/3 sec2 2x dx D .1 C tan2 2x/3 sec2 2x dx:
Ahora aplicamos el cambio de variable y D tan2x ) dy D 2 sec2 2x dx. Entonces:
Z
Z
1
.1 C tan2 2x/3 sec 2 2x dx D
.1 C y 2 /3 dy:
2
Desarrollamos .1 C y 2 /3 para luego integrar
Z
Z
1
1
.1 C y 2 /3 dy D
.1 C 3y 2 C 3y 4 C y 6 / dy D
2
2
1
3 5 1 7
1
1
3
1
3
D
y C y C y C y C C D y C y 3 C y 5 C y 7 C C:
2
5
7
2
2
10
14
Finalmente, recuperamos el cambio de variable realizado (y D tan 2x) y concluimos
Z
1
1
3
1
sec8 2x dx D tan 2x
tan3 2x C tan5 2x C tan7 2x C C:
2
2
10
14
12
Cálculo integral
2.4.5
Integrales
Z
cotr x cscm x dx; donde r 2 Q, m 2 N par
Cuando m D 2,
Z
cotr x cscm x dx D
Z
cotr x csc 2 x dx;
que se calcula mediante un cambio de variable. Si y D cot x, entonces dy D csc2 x dx. Por lo tanto:
Z
Z
y r C1
1
r
2
CC D
cotr C1 x C C .
1. Para r ¤ 1, cot x csc x dx D
y r dy D
r C1
r C1
Z
Z
Z
dy
D ln y C C D ln.cot x/ C C:
2. Para r D 1, cotr x csc2 x dx D
y 1 dy D
y
Cuando m > 2, expresamos al natural par m como m D 2n C 2, donde n es un número natural.
En este caso:
Z
cotr x csc m x dx D
Z
cotr x csc2nC2 x dx;
que calculamos de la siguiente manera. Primero separamos un factor csc2 x:
Z
Z
r
2nC2
cot x csc
x dx D cotr x csc2n x csc2 x dx:
Luego consideramos que csc 2n x D .csc 2 x/n y utilizamos la identidad csc2 x D 1 C cot2 x.
Z
Z
Z
cotr x csc2n x csc2 x dx D cotr x .csc 2 x/n csc2 x dx D cotr x.1 C cot2 x/n csc 2 x dx:
Ahora aplicamos el mismo cambio de variable: y D cot x ) dy D csc 2 x dx: Entonces:
Z
Z
r
2 n
2
cot x.1 C cot x/ csc x dx D
y r .1 C y 2 /n dy:
Y notamos que, salvo el signo negativo, hemos llegado a lo obtenido en el caso próximo anterior.
Procedemos entonces a desarrollar .1Cy 2 /n , para luego multiplicar a cada término por y r ; obtenemos
la integral de una suma algebraica de funciones, que igualamos a la suma algebraica de las integrales
de dichas funciones. Esto es,
Z
Z
n.n 1/ 4
r
2 n
r
2
2n
y .1 C y / dy D
y 1 C ny C
y CCy
dy D
2
Z n.n 1/ r C4
r
r C2
r C2n
D
y C ny
C
y
CCy
dy D
2
Z
Z
Z
Z
n.n 1/
r
r C2
r C4
r C2n
D
y dy C n y
dy C
y
dy C C y
dy D
2
r C1
y
y r C3
n.n 1/ y r C5
y r C2nC1
D
Cn
C
CC
;
r C1
r C3
2
r C5
r C 2n C 1
siempre y cuando r C k ¤ 0 para k D 1; 3; 5; :::; .2n C 1/. Siendo este el caso, consideramos el cambio
de variable realizado (y D cot x) para ası́ tener la solución de la integral. Esto es,
r C1
Z
cot x
cotr C3 x
n.n 1/ cotr C5 x
cotr C2nC1 x
r
m
cot x csc x dx D
Cn
C
CC
C C:
r C1
r C3
2
r C5
r C 2n C 1
Veamos un primer ejemplo de este tipo de integrales.
Z
Ejemplo 2.4.16 Calcular la integral cot3 x csc6 x dx.
2.4 Integración de potencias de funciones trigonométricas
13
H Calculamos esta integral de la siguiente manera. Primero separamos un factor csc2 x para escribirlo
junto a la diferencial dx.
Z
Z
cot3 x csc6 x dx D cot3 x csc 4 xcsc2 x dx:
Luego consideramos que csc4 x D .csc 2 x/2 y utilizamos la identidad csc 2 x D 1 C cot2 x.
Z
Z
Z
cot3 x csc4 x csc2 x dx D cot3 x .csc 2 x/2 csc 2 x dx D cot3 x.1 C cot2 x/2 csc2 x dx:
Aplicamos el cambio de variable: y D cot x ) dy D csc2 x dx. Luego desarrollamos .1 C y 2 /2 y
multiplicamos por y 3 , para posteriormente integrar. Entonces:
Z
Z
Z
cot3 x.1 C cot2 x/2 csc 2 x dx D
y 3 .1 C y 2 /2 dy D
y 3 1 C 2y 2 C y 4 dy D
4
Z
y
y6
y8
D
y 3 C 2y 5 C y 7 dy D
C2
C
C C:
4
6
8
Finalmente, recuperamos el cambio de variable realizado (y D cot x) para ası́ tener la solución de la integral.
Esto es,
Z
1 6
1 8
1 4
3
6
cot x csc x dx D
cot x C cot x C cot x C C:
4
3
8
Cuando m > 2 & r D 0 se tienen integrandos donde no aparece el factor cotangente. Estas integrales
son del tipo:
Z
Z
Z
cotr x cscm x dx D cot0 x csc 2nC2 x dx D csc 2nC2 x dx:
Ejemplo 2.4.17 Calcular la integral
Z
csc6 3x dx.
H En esta integral no aparece el factor cotangente, pero la función cosecante tiene un exponente entero
positivo par; entonces, la integral pertenece a la familia que estamos tratando. Primero separamos un factor
csc2 3x, para escribirlo junto a la diferencial dx. Esto es:
Z
Z
csc 6 3x dx D csc 4 3x csc2 3x dx:
Usamos csc4 3x D .csc2 3x/2 y la identidad csc2 3x D 1 C cot2 3x:
Z
Z
Z
Z
csc6 x dx D csc4 3x csc2 3x dx D .csc 2 3x/2 csc2 3x dx D .1 C cot2 3x/2 csc 2 3x dx:
Ahora aplicamos el cambio de variable: y D cot 3x ) dy D 3 csc2 3x dx. Entonces:
Z
Z
1
2
2
2
.1 C cot 3x/ csc 3x dx D
.1 C y 2 /2 dy:
3
Desarrollamos .1 C y 2 /2 para luego integrar
Z
Z
1
1
.1 C y 2 /2 dy D
.1 C 2y 2 C y 4 / dy D
3
3
1
2 3
1 5
D
y
y
y C C:
3
9
15
1
3
2
1
y C y3 C y5
3
5
CC D
Finalmente, consideramos el cambio de variable realizado (y D cot 3x) y concluimos
Z
1
2
1
csc6 3x dx D
cot 3x
cot3 3x
cot5 3x C C:
3
9
15
14
Cálculo integral
2.4.6
Integrales
Z
secr x tanm x dx; donde r 2 Q, m 2 N impar
Cuando m D 1,
Z
sec r x tanm x dx D
Z
sec r x tanx dx;
que se calcula de la siguiente manera. Primero separamos un factor sec x, para escribirlo junto a
tan x dx:
Z
Z
Z
secr x tan x dx D .sec x/r tan x dx D .sec x/r 1 sec x tan x dx:
Esto se calcula mediante un cambio de variable. Si y D sec x, entonces dy D sec x tan x dx. Por lo
tanto:
Z
Z
yr
1
C C D secr x C C .
1. Para r ¤ 0, secr x tan x dx D y r 1 dy D
r
r
Z
Z
Z
2. Para r D 0, secr x tan x dx D sec 0 x tan x dx D tan x dx D ln.sec x/ C C .
Cuando m > 1, expresamos al impar m como m D 2n C 1, donde n es un número natural.
En este caso:
Z
secr x tanm x dx D
Z
secr x tan2nC1 x dx;
que calculamos de la siguiente manera. Primero separamos un factor sec x y un factor tan x para
escribirlos junto a la diferencial dx.
Z
Z
secr x tan2nC1 x dx D secr 1 x tan2n x sec x tan x dx:
Luego consideramos que tan2n x D .tan2 x/n y utilizamos la identidad tan2 x D sec2 x 1.
Z
Z
secr x tan2nC1 x dx D secr 1 x tan2n x sec x tan x dx D
Z
Z
r 1
2 n
D .sec x/
.tan x/ sec x tan x dx D .sec x/r 1 .sec 2 x 1/n sec x tan x dx:
Ahora aplicamos el mismo cambio de variable: y D sec x ) dy D sec x tan x dx. Entonces:
Z
Z
.sec x/r 1 .sec 2 x 1/n sec x tan x dx D y r 1 .y 2 1/n dy:
Y como en los casos anteriores, debido a que n es un número natural .n D 1; 2; 3; :::/, podemos obtener
el desarrollo de .y 2 1/n , para luego multiplicar a cada uno de sus .n C 1/ términos por el factor y r 1 .
Se obtiene ası́ la integral de una suma algebraica de funciones, que es igual a la suma algebraica
de las integrales de dichas funciones. Esto es, se procede como en los casos anteriormente tratados.
Finalmente, se concluye considerando el cambio de variable realizado.
Veamos un primer ejemplo de este tipo de integrales.
Z p
Ejemplo 2.4.18 Calcular la integral
sec3 x tan5 x dx.
H
En este caso:
Z p
sec3 x tan5 x dx D
Z
sec 3=2x tan5 x dx;
la cual calculamos de la siguiente manera. Primero separamos un factor sec x y un factor tan x para escribirlos junto a la diferencial dx.
Z
Z
3=2
5
sec x tan x dx D sec1=2x tan4 x sec x tan x dx:
2.4 Integración de potencias de funciones trigonométricas
15
Luego consideramos que tan4 x D .tan2 x/2 y utilizamos la identidad tan2 x D sec 2 x 1.
Z
Z
3=2
5
sec x tan x dx D sec1=2 x tan4 x sec x tan x dx D
Z
Z
D .sec x/1=2.tan2 x/2 sec x tan x dx D .sec x/1=2 .sec 2 x 1/2 sec x tan x dx:
Ahora aplicamos el cambio de variable y D sec x ) dy D sec x tan x dx:
Z
Z
1=2
2
2
.sec x/ .sec x 1/ sec x tan x dx D y 1=2 .y 2
1/2 dy:
Desarrollamos .y 2 1/2 , luego multiplicamos cada uno de sus tres términos por el factor y 1=2 , obtenemos
la integral de una suma algebraica de funciones e integramos.
Z
Z
y 1=2 .y 2 1/2 dy D y 1=2 .y 4 2y 2 C 1/ dy D
Z
2 11=2
2
2
D .y 9=2 2y 5=2 C y 1=2 / dy D
y
.2/ y 7=2 C y 3=2 C C:
11
7
3
Para concluir, consideramos el cambio de variable realizado y D sec x.
Z p
4
2
2
sec 3 x tan5 x dx D
sec11=2x
sec7=2 x C sec 3=2x C C:
11
7
3
Otro ejemplo con una integral definida.
Ejemplo 2.4.19 Calcular la integral definida
Z
=3
p
sec3 x tan5 x dx.
0
H Primero calculamos la integral indefinida y luego la definida. Por el ejemplo anterior sabemos que la
integral indefinida es
Z p
4
2
2
sec3 x tan5 x dx D
sec11=2 x
sec 7=2x C sec3=2 x C C:
11
7
3
Ahora tomamos una de las primitivas de esta familia infinita y obtenemos el valor de la integral definida.
Z
2
4 7=2
2 3=2 =3
11=2
tan x dx D
sec
x
sec x C sec x
D
11
7
3
0
2
11=2 4
7=2 2
3=2
2
4
2
11=2
7=2
3=2
D
.sec /
.sec / C .sec /
.sec 0/
.sec 0/ C .sec 0/
D
11
3
7
3
3
3
11
7
3
2
4 7=2 2 3=2
2
4 7=2 2 3=2
D
.2/11=2
.2/ C .2/
.1/11=2
.1/ C .1/
D
11
7
3
11
7
3
2 5p
4 3p
2 p
2
4
2
64 32
4 p
2
4
2
D
.2 2/
.2 2/ C .2 2/
C
D
C
2
C
D
11
7
3
11 7
3
11
7
3
11 7
3
p
596 p 64
4 D
2
D
149 2 16 :
231
231
231
=3 p
0
sec3 x
5
2.4.7
Integrales
Z
cscr x cotm x dx; donde r 2 Q, m 2 N impar
Procedemos como en el caso anterior (2.4.6).
16
Cálculo integral
Cuando m D 1:
Z
r
m
csc x cot x dx D
Z
csc r x cotx dx;
Primero separamos un factor csc x para escribirlo junto a cot x dx.
Z
Z
Z
csc r x cot x dx D .csc x/r cot x dx D .csc x/r
Si y D csc x, entonces dy D csc x cot x dx. Por lo tanto:
Z
Z
yr
r
CC D
1. Para r ¤ 0, csc x cot x dx D
y r 1 dy D
r
Z
Z
Z
2. Para r D 0, cscr x cot x dx D csc0 x cot x dx D cot x dx
1
csc x cot x dx;
1 r
csc x C C .
r
D ln.sen x/ C C .
Cuando m > 1, expresamos al impar m como m D 2n C 1, donde n es un número natural.
En este caso:
Z
r
m
csc x cot x dx D
Z
cscr x cot2nC1 x dx;
la cual calculamos de la siguiente manera. Primero separamos un factor csc x y un factor cot x para
escribirlos junto a la diferencial dx.
Z
Z
cscr x cot2nC1 x dx D csc r 1x cot2n x csc x cot x dx:
Luego consideramos que cot2n x D .cot2 x/n y utilizamos la identidad cot2 x D csc 2 x 1.
Z
Z
Z
r
2nC1
r 1
2n
csc x cot
x dx D csc x cot x csc x cot x dx D .csc x/r 1 .cot2 x/n csc x cot x dx D
Z
D .csc x/r 1 .csc 2 x 1/n csc x cot x dx:
Ahora aplicamos el mismo cambio de variable y D csc x ) dy D
Z
Z
r 1
2
n
.csc x/ .csc x 1/ csc x cot x dx D
yr
csc x cot x dx:
1
.y 2
1/n dy:
Y como en los casos anteriores, podemos obtener el desarrollo de .y 2 1/n , para luego multiplicar
cada uno de sus .n C 1/ términos por el factor y r 1 . Se obtiene ası́ la integral de una suma algebraica
de funciones, que es igual a la suma algebraica de las integrales de dichas funciones. Finalmente, se
concluye considerando el cambio de variable realizado.
Veamos un primer ejemplo de este tipo de integrales.
Z
cot3 2x dx
p
.
Ejemplo 2.4.20 Calcular la integral
3
csc 2x
H
En este caso,
Z
1
cot3 2x
p
dx
D
.csc 2x/ 3 cot3 2x dx:
3
csc 2x
Aplicamos el procedimiento mencionado: primero separando factores .csc 2x/ y .cot 2x/, para luego utilizar
la identidad cot2 2x D csc2 2x 1.
Z
Z
1
4
.csc 2x/ 3 cot3 2x dx D .csc 2x/ 3 .csc 2x/1 cot2 2x .cot 2x/ dx D
Z
4
D .csc 2x/ 3 cot2 2x .csc 2x cot 2x/ dx D
Z
4
D .csc 2x/ 3 csc2 2x 1 .csc 2x cot 2x/ dx:
Z
2.4 Integración de potencias de funciones trigonométricas
17
Si y D csc 2x, entonces dy D 2 csc 2x cot 2x dx. Además,
Z
Z
4
4
2
3
.csc 2x/
csc 2x 1 .csc 2x cot 2x/ dx D y 3 y 2
1 3 5
y3
2 5
D
Z 2
4
1
1
3
3
dy D
y
1
y
dy
2
2


1
1 3 5
3
. 3/y 3 C C D
y 3 C 1  C C:
2 5
y3
Pero y D csc 2x. Por lo tanto,
Z
3
cot 2x
p
dx D
3
csc 2x
3
2

5
 1 .csc 2x/ 3
5
C
1

1
3 1p
3
csc5 2x C p
C C:
3
2 5
csc 2x
CC D
1
.csc 2x/ 3
2.4.8
Integrales
Z
sen mx sen px dx,
Z
sen mx cos px dx,
Z
cos mx cos px dx; .m ¤ p/
Estas familias de integrales difieren de las anteriormente estudiadas, pues los argumentos .mx & px/ de las
funciones seno y coseno son diferentes .mx ¤ px/.
Para calcular estas familias de integrales, utilizaremos identidades trigonométricas que se obtienen, a su
vez, de las identidades para sen.˛ C /, sen.˛ /, cos.˛ C /, cos.˛ /.
1. Como
sen.˛ C / D sen ˛ cos C sen cos ˛
&
sen.˛
/ D sen ˛ cos sen cos ˛;
entonces, al sumar estas identidades se obtiene:
sen.˛ C / C sen.˛
de donde,
sen ˛ cos D
/ D 2 sen ˛ cos ;
1
Œsen.˛ C / C sen.˛
2
/ :
2. Como
cos.˛
/ D cos ˛ cos C sen ˛ sen &
cos.˛ C / D cos ˛ cos sen ˛ sen ;
al sumar estas identidades se obtiene:
cos.˛
/ C cos.˛ C / D 2 cos ˛ cos ;
de donde,
cos ˛ cos D
1
Œcos.˛
2
/ C cos.˛ C / :
3. Como
cos.˛
/ D cos ˛ cos C sen ˛ sen &
cos.˛ C / D cos ˛ cos al restar la segunda identidad de la primera se obtiene:
cos.˛
/
de donde,
sen ˛ sen D
cos.˛ C / D 2 sen ˛ sen ;
1
Œcos.˛
2
/
cos.˛ C / :
sen ˛ sen ;
18
Cálculo integral
Resumiendo, tenemos las identidades trigonométricas
1. sen ˛ cos D
1
Œsen.˛ C / C sen.˛
2
2. cos ˛ cos D
1
Œcos.˛
2
/ C cos.˛ C /;
3. sen ˛ sen D
1
Œcos.˛
2
/
/;
cos.˛ C /.
También debemos tener presente las identidades
sen. / D
Ejemplo 2.4.21 Calcular la integral
H
Z
sen &
cos. / D cos :
sen 5x cos 2x dx.
Aplicamos la primera identidad.
Z
1
1
Œsen.5x C 2x/ C sen.5x 2x/ dx D
2
2
1 1
1
D
. cos 7x/ C . cos 3x/ C C D
2 7
3
1
1
D
cos 7x
cos 3x C C:
14
6
sen 5x cos 2x dx D
Z
Z
Œsen 7x C sen 3x dx D
Ejemplo 2.4.22 Calcular la integral
H
Z
sen 2x cos 5x dx.
Aplicamos la primera identidad.
1
1
Œsen.2x C 5x/ C sen.2x 5x/ dx D
2
2
Z
1
1 1
D
Œsen 7x sen 3x dx D
. cos 7x/
2
2 7
1
1
D
cos 7x C cos 3x C C:
14
6
Z
sen 2x cos 5x dx D
Z
Z
Œsen 7x C sen. 3x/ dx D
1
. cos 3x/ C C D
3
Ejemplo 2.4.23 Calcular la integral
H
Z
sen 8x sen 5x dx.
Aplicamos la tercera identidad.
Z
Z
1
1
Œcos.8x 5x/ cos.8x C 5x/ dx D
Œcos 3x cos 13x dx D
2
2
1 1
1
1
1
D
.sen 3x/
.sen 13x/ C C D sen 3x
sen 13x C C:
2 3
13
6
26
sen 8x sen 5x dx D
Z
Ejemplo 2.4.24 Calcular la integral
Z
cos 5x cos 7x dx.
2.4 Integración de potencias de funciones trigonométricas
H
19
Aplicamos la segunda identidad.
Z
Z
Z
1
1
Œcos.5x 7x/ C cos.5x C 7x/ dx D
Œcos. 2x/ C cos.12x/ dx D
cos 5x cos 7x dx D
2
2
Z
1
1 1
1
D
Œcos 2x C cos 12x dx D
.sen 2x/ C .sen 12x/ C C D
2
2 2
12
1
1
D sen 2x C
sen 12x C C:
4
24
Ejercicios 2.4.1 Potencias de trigonométricas. Soluciones en la página 20
Aplicar las técnicas de integración de potencias trigonométricas para calcular las siguientes integrales indefinidas.
Z
Z
Z
sen2 x cos3 x dx ;
cos2 3y dy ;
cot2 x csc4 x dx ;
1.
13.
25.
2.
Z
14.
Z
26.
Z
cot2 4x dx ;
3.
Z
15.
Z
27.
Z
csc4 3x dx ;
4.
Z
sen xcos x dx ;
16.
Z
cos y dy ;
28.
Z
tan3 sec3 d ;
5.
Z
cos5 2y dy ;
17.
Z
sen4 y dy ;
29.
Z
tan5 sec5 d ;
6.
Z
tan5 y dy ;
18.
Z
sen4 cos2 d ;
30.
Z
cot3 csc 5 d ;
7.
Z
19.
Z
31.
Z
sen 5x cos 3x dx ;
8.
Z
sen 2y dy ;
20.
Z
tan 3x dx ;
32.
Z
sen 4x sen 2x dx ;
9.
Z
cot3 y dy ;
21.
Z
sec4 3x dx ;
33.
Z
cos 3x cos 2x dx ;
10.
Z
sen5 x cos2 x dx ;
22.
Z
tan4 x sec6 x dx ;
34.
Z
sen 2x sen 3x dx ;
11.
Z
sen5 2y dy ;
23.
Z
tan4 3x dx ;
35.
Z
cos x cos 4x dx ;
12.
Z
24.
Z
36.
Z
sen 2x cos 3x dx .
cos3 2y dy ;
3
tan y dy ;
4
3
5
4
sen x cos x dx ;
3
5
cot y dy ;
sen2 2y dy ;
4
4
sen x cos x dx ;
4
2
4
tan x sec x dx ;
2
6
sec 2x dx ;
20
Cálculo integral
Ejercicios 2.4.1 Potencias de trigonométricas. Preguntas: página 19
1
sen3 x
3
1
2. sen 2y
2
1.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
1
sen5 x C C .
5
1
sen3 2y C C .
6
1
ln.cos y/ C sec2 y C C .
2
1
2
1
sen5 x
sen7 x C sen9 x C C .
5
7
9
1
1
1
sen 2y
sen3 2y C sen5 2y C C:
2
3
10
1 4
sec y sec2 y C ln.sec y/ C C .
4
1
1
cos7 x
cos5 x C C:
7
5
1
1
cos3 2y
cos 2y C C .
6
2
1 2
csc y C ln.csc y/ C C .
2
1
2
1
cos3 x C cos5 x
cos7 x C C .
3
5
7
1
1
1
cos 2y C cos3 2y
cos5 2y C C .
2
3
10
1 4
csc y C csc2 y ln.csc y/ C C .
4
1
1
yC
sen 6y C C .
2
12
1
1
y
sen 4y C C .
2
8
»
–
1
1
3x sen 4x C sen 8x C C .
128
8
3
1
1
y C sen 2y C
sen 4y C C .
8
4
32
1
1
3
y
sen 2y C
sen 4y C C .
8
4
32
»
–
1
1
1
sen 4
sen3 2 C C .
16
4
3
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
1
1
tan3 x C tan5 x C C .
3
5
1
tan 3x x C C .
3
1
1
tan 3x C tan3 3x C C .
3
9
1
2
1
tan5 x C tan7 x C tan9 x C C .
5
7
9
1
1
tan3 3x
tan 3x C x C C .
9
3
1
1
1
tan 2x C tan3 2x C tan5 2x C C .
2
3
10
1 3
1
cot x
cot5 x C C .
3
15
1
cot 4x x C C .
4
1
1
cot 3x
cot3 3x C C .
3
9
1 5
1 3
sec sec C C .
5
3
1 9
2 7
1
sec sec C sec5 C C .
9
7
5
1 5
1 7
csc csc C C .
5
7
1
1
cos 8x
cos2x C C .
16
4
1
1
sen 2x
sen 6x C C .
4
12
1
1
sen x C
sen 5x C C .
2
10
1
1
sen x
sen 5x C C .
2
10
1
1
sen 3x C
sen 5x C C .
6
10
1
1
cos x
cos 5x C C .
2
10