Práctica 4 - Facultad de Ingeniería

Práctica 4
2014
Funciónes trascendentes
Práctica No 4
1.
(a) Escriba la de…nición de logaritmo de un número real x > 0.
(b) Halle un valor aproximado de ln(2); utilizando un polinomio de Taylor de cuarto grado.
Halle una cota del error cometido.
p
(c) Calcule en forma aproximada ln(64), ln(1=8), y ln( 3 16).
(d) Represente grá…camente a la función f (x) = ln(x).
2.
(a) Escriba la de…nición del número e y represente grá…camente a la función y = ex .
p
(b) Halle un valor aproximado de e utilizando un polinomio de taylor de cuarto grado.
p
(c) Encuentre una cota del error cometido al calcular e en el inciso anterior.
3. Escriba a la expresión como el logaritmo de una única cantidad:
(a) ln(x
(b)
1
3
2)
(c) 2 ln(3)
ln(x + 2).
[2 ln(x + 3) + ln x
ln(x2
(d)
1)].
2
3
[ln(x2
1
2
ln(x2 + 1).
1)
ln(x + 1)
ln(x
1)].
4. A partir de las grá…cas de f (x) = ln(x) y g(x) = ex , dibuje una grá…ca aproximada de las
siguientes funciones:
(a) y = ln( x).
(e) y = ln(x + 1).
(i) y = ex 2 .
(b) y =
(f) y = ln jx + 1j.
(j) y = 2
(h) y = e x .
(k) y = 21 ex .
2 ln(x).
(c) y = 2 + ln(x).
(d) y = ln jxj.
(g) y = jln(x + 1)j.
e x.
(Es decir, se pretende que vea como se debe modi…car las grá…cas de ln (x) y/o ex para obtener
la grá…ca de la función dada).
5. Demuestre que:
(a) lim ex = +1.
(b) lim ex = 0.
x!+1
x! 1
6. Evalúe los siguientes logaritmos:
(a) log2 8.
(b) log9 3.
(c) log8 32.
(d) log0:1 100.
(e) log10 0:001.
7. Represente en un mismo sistema de ejes coordenados las funciones y = ax , para los siguientes
valores de a: 1; 2; 1=2; 3; 1=3; 10; 1=10.
Análisis Matemático I-b
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8. Resuelva las siguientes ecuaciones:
(d) log x3 = log 6 + 2 log x.
(a) log2 x log8 x = 4.
(b) ln2 x ln x = 6.
(c) log2 (log2 (x2 )) = 2.
(e) log 4 + 2 log(x
3) = log x.
9. Encuentre la derivada de cada función dada:
p
ln x
.
x
(b) y = 3x .
p
(e) y = ln (x + x2 1).
p
(f) y = 4 + tanh (6x).
2
(c) y = ex x +1 .
xex
(d) y =
.
x + ex
(a) y =
10. Halle la ecuación de la recta tangente a la grá…ca de las siguientes funciones:
(a) y = ln(x2 + 3),
(b) y = (x
x
1)e ,
en x = 2.
en x = 0.
11. Obtenga la ecuación de la recta normal a la grá…ca de y = x ln (x) ; que es perpendicular a la
recta y = x + 7.
12. Determine el punto de la grá…ca de y = ln (2x), cuya recta tangente pase por el orígen.
13. Dada la ecuación: y 00 (x)
y(x) = 0.
(a) Veri…que que las funciones: y(x) = ex e y(x) = e x , son ambas solución de la ecuación.
(b) Veri…que que si A y B son constantes cualesquiera, la función y = Aex + Bex es solución
de la ecuación dada.
(c) Encuentre una solución que pase por el punto de coordenadas (0; 2).
(d) Si k es una constante real cualquiera, halle dos funciones (que no sean una múltiplo de
la otra) que sean solución de: y 00 (x) k 2 y(x) = 0 ¿A partir de allí como podría obtener
más soluciones?
14. Veri…que que la función es solución de la ecuación diferencial:
(a) y = 2 ln x + 3
xy 00 + y 0 = 0.
(b) y = x ln x
x+y
4x
15. Veri…que que la función y =
Z
xy 0 = 0.
x
e
t2
dt es solución de:
0
y 00 (x) + 2xy 0 (x) = 0,
y(0) = 0; y 0 (0) = 1.
16. Sea f una función positiva y derivable en toda la recta real, y sea g(x) = ln(f (x)):
(a) Si g es creciente, ¿Es f creciente necesariamente? Explique la respuesta.
(b) Si la grá…ca de f es cóncava hacia arriba; ¿lo es necesariamente la de g? Explique la
respuesta.
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17. Si r 2 R y f (x) = xr , x 2 (0; 1), calcular f 0 (x) (ojo: solo conoce la de…nición de xr a partir
de la función exp (x)).
18. Demuestre que:
(a) cosh2 (x)
sinh2 (x) = 1.
(b) sinh(x1 + x2 ) = sinh(x1 ) cosh(x2 ) + cosh(x1 ) sinh(x2 ).
(c) cosh(x1 + x2 ) = cosh(x1 ) cosh(x2 ) + sinh(x1 ) sinh(x2 ).
19. Si sinh (x) =
1
,
2
halle el valor en x de las funciones hiperbólicas restantes.
20. Para los intervalos en que las ecuaciones dadas de…nan implícitamente alguna función derivdy
:
able, halle la expresión de
dx
(a) 2y = xy.
(b) x + y 2 = ex=y .
21. En los siguientes ejercicios halle: dominio, imágen, simetrías, asíntotas , máximos y/o mínimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de in‡exión y concavidades. Con
la información obtenida realice un grá…co aproximado de las siguientes funciones.
(a) y = x2 ex .
(b) y =
ln x
.
x
(c) y = tanh(x).
22. Dada f (x) = tanh (x):
(a) Halle dominio e imágen de la función inversa f 1 (x).
d
(b) Halle
f 1 usando la regla de derivación para funciones de…nidas implícitamente.
dx
1 (x + 1)
(c) Pruebe que tanh 1 (x) = ln
si jxj < 1.
2 (1 x)
(d) Veri…que el resultado obtenido en (b) derivando la expresión para f 1 (x) hallada en (c).
(e) Represente grá…camente las funciones f (x) y f
1
(x).
23. Mediante una sustitución x = f (u); adecuadamente elegida, calcule:
24. Calcule las siguientes integrales:
Z 2
1
p
(a)
dx
x2 + 1
0
Z 9
1
p dx
(b)
x
1 2+
(c)
Z
0
2
Z
p
x2
dx.
9 + x2
p
x
p dx
1+ x
25. De…nimos las funciones f (x) = ln (ln (x)) y g (x) = ln ( ln (x)).
(a) Calcule f 0 y g 0 . ¿Se puede a…rmar que f y g di…eren en una constante?.
(b) Busque el dominio de f y g, y grafíquelas. Explique que pasó en el punto anterior.
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26.
(a) Pruebe que si n 2 N, entonces xn
n!ex para todo x
0.
(b) Deduce del punto anterior que si n 2 N, entonces
x 1X
+
ln (k) .
n n k=1
n
ln (x)
(c) Mejore el punto (a) demostrando que si pn (x) = 1 + x +
pn (x) ex para todo x 0.
x2
2
(Hint: para (a) y (c), usar inducción en n, y que f (0) = g (0) y f 0
sale de (a)).
+
x3
6
xn
,
n!
entonces
g 0 , entonces f
g. (b)
+
+
27.
xn
(a) Use los resultados del ejercicio anterior para demostrar que lim x = 0 8 n 2 N: (Hint:
x!1 e
usar xn+1 (n + 1)!ex ).
p (x)
(b) Deduce del punto anterior que si p (x) es un polinomio, entonces lim x = 0: (Esto
x!1 e
dice que la función exponencial crece, en in…nito, más rápido que cualquier polinomio).
28. Demuestre la siguiente desigualdad:
1
1
x
Hint: Probarlo primero para x
1
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ln (x)
15
x
1
8x > 0
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