Antideridadas, Suma de Riemann y Teorema Fundamental del

Ejercicios propuestos
Antiderivadas, Suma de Riemann, y Teorema
Fundamental del Cálculo
Cálculo 20. Sem-A11
Prof. José Luis Herrera
• Antiderivadas
1. La velocidad de un cuerpo, lanzado hacia arriba verticalmente con una velocidad inicial v0 , despreciando la resistencia del aire, se expresa por la fórmula
v = v0 − gt
donde t es el tiempo transcurrido y g la aceleración de la gravedad. A qué
distancia de la posición inical se encontrará este cuerpo a los t segundos de
haberlo lanzado.
2. La velocidad de un cuerpo, lanzado hacia arriba verticalmente con una velocidad inicial v0 , contando la resistencia del aire, se expresa por la fórmula
g
v0
v = c · tan − t + arctan
c
c
donde t es el tiempo transcurrido, g la aceleración de la gravedad y c es una
constante. Hallar la altura a la que se eleva el cuerpo.
3. La función de costo marginal C 0 está determinada por una compañia como
C 0 (x) = 4x−1/2 + 1
donde C(x) dólares es el costo total de producción de x unidades cuando se
producen no más de 25 unidades. Si el costo de producción de 4 unidades es
de $50, determine, (a) la función de costo total y (b) el costo de producción
de 10 unidades.
4. El punto (3, 2) está en una curva, y en cualquier punto (x, y) de la curva la
recta tangente tiene una pendiente igual a 2x − 3. Determine una ecuación
de la curva.
5. Un coleccionista de arte compró por $1000 un cuadro de un artista cuya
obra aumenta de valor con frecuencia respecto al tiempo y de acuerdo a la
fórmula
dV
= 5t3/2 + 10t + 50,
dt
donde V dólares es el valor previsto de un cuadro t años después de su
compra. Si esta fórmula fuese válida para los siguientes 6 años, cuál serı́a el
valor previsto del cuadro 4 años después?
6. Suponga que F1 y F2 son antiderivadas de f sobre un intervalo I. Cómo se
relacionan F1 y F2 ? Explique.
7. Una partı́cula se está moviendo con aceleración
a(t) = sin(t) + 3 cos(t),
halle la posición de la partı́cula, que satisface las condiciones s(0) = 0 y
v(0) = 2.
• Cáculo de área. Suma de Riemann
1. Hallar el área del triángulo mixtilı́neo, limitado por el arco de la parábola
y = x2 , el eje x y la vertical x = a (a > 0).
2. Evalue las siguientes integrales definidas utilizando la definición.
Z
Z
2
(x + 1)dx;
−2
0
Z
1
(2x + π)dx ;
10
−10
(x2 + x)dx
3. Para la siguiente función
(
f (x) =
3x
si 0 ≤ x ≤ 1
2(x − 1) + 2 si 1 < x ≤ 2
calcule la integral
Z
2
f (x)dx.
0
utilizando la definición.
• Teorema Fundamental del Cálculo
1. Para cada una de las siguientes funciones, hallar G0 (x).
Z
x2 +x
Z
q
a)G(x) =
1
Z R tan(x) f (t)dt
3
c)G(x) =
arctan(x);
0
Sugerencia para b):
t2
dt
−x2 1 + t2
Z 5
x2
d)G(x) = R 2
dx
s(t)dt x2 + 1
|x|
2z + sin(z)dz;
Rx
−x2
=
R0
−x2
+
Rx
0
x
b)G(x) =
.
2. Para las siguientes funciones, hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los intervalos de concavidad.
Z
x
f (x) =
0
Z
s
√
ds;
1 + s2
x
f (x) =
0
1+t
dt;
1 + t2
Z
x
1
1
dθ
θ
3. Para las siguientes expresiones, decida si la afirmación es verdadera o falsa.
Después justifique su respuesta.
R
– Si ab f (x)dx ≥ 0, entonces f (x) ≥ 0 para toda x en [a, b].
R
– Si f (x) ≥ 0 y ab f (x)dx = 0, entonces f (x) = 0 para toda x en [a, b].
2
4. Resuelva cada uno de los siguientes lı́mites.
1 Z x 1+t
dt;
x→0 x 0 2 + t
1 Z x 1+t
dt
x→1 x − 1 1 2 + t
a) lim
b) lim
5. Demuestre que 12 x|x| es una antiderivada de |x| y utilice este hecho para
R
obtener una fórmula sencilla para ab |x|dx.
R
6. (a) Halle una aproximación a la integral 14 (x2 +2x−5)dx usando la suma de
Riemann con puntos extremos de la derecha y n = 8. (b) Dibuje un diagrama
para ilustrar la aproximación del inciso (a). (c) Aplique la definición de
integral para evaluar la integral. (d) Interprete el resultado que se obtenga.
7. Halle una función f y un número a tal que
Z
x
6+
a
√
f (t)
dt
=
2
x
t2
para toda x > 0.
8. La función de Fresnel viene dada por la siguiente expresión
Z
x
S(x) =
sin(πt2 /2)dt.
0
En su teorı́a de la difracción de las ondas luminosas, Fresnel también usó la
función
Z x
C(x) =
cos(πt2 /2)dt.
0
(a) Sobre cuales intervalos C es creciente? (b) Sobre cuales intervalos C es
cóncava hacia arriba?
9. Suponga que en un inicio la temperatura en una varilla larga y delgada que
se encuentra colocada a lo largo del eje x es C/(2a), si |x| ≤ a, y 0 si |x| > a.
Se puede demostrar que si la difusividad calorı́fica de la varilla es k, por lo
tanto la temperatura de esa varilla en el punto x, en el instante t, es
Z a
C
2
√
T (x, t) =
e−(x−u) /(4kt) du
a 4πkt 0
Hallar la distribución de temperaturas que se produce a partir de un punto
caliente inicial concentrado en el origen, calculando el siguiente lı́mite
lim T (x, t)
a→0
Esta guı́a es sólo una recopilación de algunos ejercicios interesantes y otros no
tan interesantes. No pretende ser un sustituto de los libros que deben estár
estudiando. Los ejercicios aquı́ citados, fueron extraidos del Purcell, Stewart
Leithold y Demidovich.
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