Hoja 2

Estadı́stica. 2o Ingenierı́a Informática. Curso 2004/2005.
Departamento de Matemáticas
Hoja 2
1.- En un examen se plantean 10 cuestiones a las que debe responderse verdadero o falso. Un alumno aprobará
el examen si al menos 7 respuestas son acertadas. ¿Qué probabilidad de aprobar tiene un estudiante que
responde todo al azar? ¿Y uno que sabe el 30% de la asignatura?
2.- Una persona ebria realiza un paseo aleatorio de la siguiente forma: cada minuto da un paso hacia el norte o
hacia el sur con probabilidad 1/2, y los sucesivos pasos son independientes. La longitud del paso es 1 m.
a) Calcular la probabilidad de que al cabo de una hora haya dado exactamente 20 pasos hacia el norte.
b) Calcular la probabilidad de que al cabo de una hora esté a menos de 3 metros del punto de partida.
3.- Supongamos que un juego que consiste en sucesivos lanzamientos de moneda. Si sale cara un jugador gana la
cantidad que ha apostado, y si sale cruz pierde esta cantidad. Supongamos que el jugador adopta la estrategia
de doblar la apuesta después de cada jugada en que haya perdido y retirarse del juego en el momento en que
gane por primera vez en algún lanzamiento. La apuesta en el primer lanzamiento es de una unidad monetaria.
Calcular la distribución de la última apuesta realizada por el jugador. Obtener la media de esta distribución
y comentar el resultado (Paradoja de San Petersburgo).
4.- La probabilidad de error en la transmisión de un bit por un canal de comunicación es p = 10−4 . ¿Cuál es la
probabilidad de que se produzcan más de tres errores al transmitir un bloque de 1000 bits?
5.- Un individuo se reúne una vez por semana con su grupo de amigos, son 10 en total, para cenar. Cada semana
sortean una botella de vino entre ellos.
a) Calcular la probabilidad de que el individuo gane por primera vez la quinta semana.
b) Calcular la probabilidad de que en 8 semanas no gane nada.
c) Calcular la probabilidad de que en 8 semanas gane 4 botellas.
6.- Supongamos que el número de mensajes que entran en un canal de comunicación en un intervalo de t segundos de duración es una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro 0.3t. Calcular las
probabilidades de los siguientes sucesos:
a) En un intervalo de 10 segundos llegan exactamente 3 mensajes.
b) En un perı́odo de 20 segundos llegan a lo sumo 20 mensajes.
c) El número de mensajes que llegan en un intervalo de 5 segundos está comprendido entre 3 y 7.
7.- En cada página de una enciclopedia caben 3000 letras. La editorial estima que se comete una errata en cada
50000 letras. Suponiendo que el número de erratas por página sigue aproximadamente una distribución de
Poisson, se pide
a) Calcular la probabilidad de que en una página haya exactamente dos erratas.
b) Si se van revisando las páginas una a una, calcular la probabilidad de que la primera errata que se encuentra
aparezca en la quinta página revisada.
c) Calcular la probabilidad de que en las cinco primeras páginas haya al menos dos erratas.
8.- Una editorial tiene contratados a varios correctores de pruebas. Un tercio de ellos son considerados excelentes
y el resto normales. El numero de erratas detectadas por cada corrector sigue una distribución de Poisson.
Un corrector excelente detecta una media de 3 erratas por cada hora de trabajo y uno normal una media de
2.
Hallar la probabilidad de que un corrector elegido al azar encuentre 12 erratas si trabaja 5 horas seguidas.
9.- Se sabe que aproximadamente el 20% de los usuarios de Windows-NT no cierran el programa adecuadamente.
Supongamos que el Windows-NT está instalado en un ordenador público que es utilizado aleatoriamente por
personas que actúan independientemente unas de otras.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 6 de las 9 primeras personas que van a usar el ordenador cierre
adecuadamente el Windows-NT?
b) ¿Cuál es el número medio de personas que usan el ordenador desde el momento en que se instala hasta
que alguien no cierra el programa adecuadamente?
10.- En cierta población, el número diario de accidentes de tráfico sigue una distribución de Poisson de parámetro
0.9.
a) Calcular la probabilidad de que en un dı́a haya al menos dos accidentes.
b) Si los accidentes en los diferentes dı́as se producen de manera independiente, calcular la probabilidad de
que en un año haya más de 90 dı́as en los que se producen al menos dos accidentes.
1
11.- Calcular el área esperada de un cuadrado cuyo lado tiene longitud aleatoria con distribución uniforme en el
intervalo (0, 1). Calcular y dibujar las gráficas de las funciones de distribución y de densidad de la variable
aleatoria área.
12.- Los impulsos procedentes de una fuente emisora tienen una intensidad cuya función de distribución es F (x) =
x4 /81, para 0 ≤ x < 3 (por tanto, F (x) = 0 para x < 0 y F (x) = 1 para x ≥ 3).
a) Se observan 10 de estos impulsos, cuyas intensidades se suponen independientes. ¿Cuál es la probabilidad
de que al menos 2 de ellos tengan una intensidad superior a 2?
b) Si se observan 100 impulsos independientes ¿cuál es la probabilidad de que al menos 75 de ellos tengan
una intensidad superior a 2?
c) Si se observan secuencialmente impulsos independientes producidos por la fuente emisora ¿Cuál es la
probabilidad de que haya que observar 14 de estos impulsos para encontrar 4 que tengan una intensidad
superior a 2?
13.- De una estación parte un tren cada 20 minutos. Un viajero llega de improviso. Hallar:
a) Función de distribución de la variable aleatoria “tiempo de espera”.
b) Probabilidad de que espere al tren menos de 7 minutos.
c) Esperanza y varianza de la variable aleatoria “tiempo de espera”.
d) Probabilidad de que espere exactamente 12 minutos.
14.- El tiempo X (expresado en minutos) entre dos visitas consecutivas en una página web durante el horario
diurno es una variable aleatoria continua con función de densidad
1
f (x) = e−x/3 , para x > 0.
3
a) Calcular E(X) y P {X > 1}.
b) Calcular la función de distribución de X.
c) Calcular la probabilidad de que el intervalo entre dos visitas sea mayor que 4 minutos si se sabe que su
duración ya ha sido al menos 2 minutos.
d) Se observan de manera secuencial las duraciones (que se suponen independientes) de intervalos consecutivos
entre visitas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya que observar 12 de estos intervalos para encontrar 3 que
tengan una duración mayor que 4 minutos?
15.- En un centro de cálculo universitario se reciben programas a una tasa promedio de λ = 0.1 programas por
segundo. Suponiendo que el número de llegadas por unidad de tiempo tiene distribución de Poisson, entonces
el tiempo X transcurrido entre dos llegadas consecutivas tiene distribución exponencial de parámetro λ.
Calcular la probabilidad de que en un intervalo de 10 segundos no llegue ningún programa al centro de
cálculo.
16.- Supongamos que el tiempo de CPU requerido para ejecutar cierto tipo de programas sigue aproximadamente
una distribución exponencial de parámetro 1/140 por milisegundo. El sistema está organizado de tal manera
que si un trabajo no se completa en un perı́odo de 100 milisegundos se envı́a a una cola de espera. Calcular
la probabilidad de que un programa que llega al ordenador sea enviado a dicha cola de espera. Si a lo largo
de un dı́a se envı́an 800 programas ¿cuál es el número esperado de programas que se finalizarán dentro del
primer perı́odo de 100 milisegundos?
17.- En un cierto sistema eléctrico el voltaje X es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de distribución: F (x) = 0, para x ≤ 0, F (x) = x/(1 + x), para x ≥ 0. Demostrar que F es efectivamente una
función de distribución. Calcular su correspondiente densidad y la probabilidad del intervalo (3,5).
18.- Un programa se divide en tres bloques que se compilan simultánea e independientemente por tres ordenadores
en paralelo. El tiempo en minutos requerido por cada ordenador es una variable aleatoria con función
distribución F (t) = 1−e−5t (para t > 0). El programa está completo cuando los tres bloques están compilados.
a) Calcular el tiempo medio requerido por cada ordenador para compilar el bloque que le ha correspondido.
b) Calcular la función de distribución del tiempo necesario para compilar el programa completo. ¿Cuál es la
probabilidad de que este tiempo esté comprendido entre 6 y 7 minutos?
19.- El tiempo de servicio (en dı́as) de una cierta máquina es una v.a. con función de densidad f (t) = (1/α)e−t/α ,
para t > 0, (siendo α una constante mayor que cero). Si η es la v.a. que expresa el número de dı́as en que la
máquina funciona el dı́a completo, obtener la distribución de η.
20.- El tiempo de duración de los chips producidos por un fabricante de semiconductores es una variable aleatoria
cuya distribución es aproximadamente normal con µ = 5.106 horas y σ = 5.105 horas. Un fabricante de
ordenadores está dispuesto a comprar una gran cantidad de chips siempre que al menos el 95% del lote tenga
un tiempo de vida superior a 4.106 horas. ¿Qué decisión deberı́a tomar en vista de la información disponible?
2
21.- Dos modelos probabilı́sticos que se utilizan en Economı́a para estudiar el reparto de ingresos en una población
son las distribuciones de Pareto y logarı́tmico normal cuyas respectivas funciones de densidad son:
f (x) =
θxθ0
, para x > x0 ,
xθ+1
1
g(x) = √
exp[−(log x − µ)2 ]/2σ 2 ], para x > 0,
x 2πσ
donde x0 , θ > 0, µ ∈ R y σ > 0 son parámetros.
a) Demostrar que f es una función de densidad. Calcular la correspondiente función de distribución y la
media.
b) Comprueba que si X es una variable aleatoria N (µ, σ), entonces Y = eX es una variable aleatoria con
función de densidad g.
22.- El tiempo de CPU, T , requerido para realizar un trabajo, elegido aleatoriamente de entre los que llegan a un
centro de cálculo, sigue aproximadamente una distribución hiperexponencial dada por
P {T ≤ t} = FT (t) = α(1 − e−λ1 t ) + (1 − α)(1 − e−λ2 t ),
donde α = 0.6, λ1 = 10, λ2 = 1. Calcular
a) La función de densidad de T .
b) El tiempo medio de servicio E(T ).
c) La varianza del tiempo de servicio V (T ).
23.- Una central hidroeléctrica tiene, en esquema, el siguiente funcionamiento desde el punto de vista económico (durante el perı́odo de un año): hay un coste fijo anual de c1 euros (destinado a gastos de personal y
mantenimiento). Cada kw.-h. de energı́a producida tiene un coste de c2 euros y se vende a un precio de c3 .
Supongamos que la cantidad de energı́a producida (que depende de la cantidad de lluvia caı́da en la zona)
puede considerarse aproximadamente una v.a. X con distribución absolutamente continua y densidad dada
por f (x) = α2 x exp(−αx), para x ≥ 0 (α > 0). Se pide:
a) Calcular la ganancia esperada anual.
b) Calcular la probabilidad de que al final del año la empresa que gestiona la central tenga deudas, supuesto
que dispone inicialmente de c4 pesetas (c4 < c1 ).
24.- El valor absoluto V de la velocidad de una molécula de un gas sigue la distribución de Maxwell cuya densidad
es
p
2/π 2 −v2 /2σ2
f (v) =
v e
,
σ3
para v ≥ 0. El parámetro σ > 0 depende de la temperatura del gas. Calcular la media de la v.a. “energı́a
1
cinética”, definida por X = mV 2 (m es la masa).
2
25.- Un fabricante vende un artı́culo a un precio fijo unitario. Si el peso del artı́culo es inferior a 8 Kg. éste
resulta no apto para la venta, lo cual representa la pérdida total de su valor. El peso de un artı́culo se puede
considerar como una v.a. con distribución N (µ, 1). El coste de producción de un artı́culo es c = 0.05µ + 0.30.
Calcular el peso medio µ que maximiza el beneficio esperado por el fabricante.
26.- a) La probabilidad de que una componente de un cierto tipo tenga alguna averı́a en las primeras 75 semanas
es 0.9. Un sistema consta de seis de estas componentes que funcionan en paralelo de manera independiente.
¿Cuál es la probabilidad de que fallen exactamente cuatro de ellas en las primeras 75 semanas si se sabe que,
al menos, dos de las componentes han fallado en ese perı́odo?
b) Supongamos ahora que el tiempo (en semanas) de funcionamiento sin averı́as de cada componente es una
v.a. absolutamente continua con función de densidad
1 x −3/4 −( x3 )1/4
f (x) =
e
, para x > 0
12 3
Calcular la probabilidad de que una componente funcione más de 50 semanas sin averiarse.
27.- Supongamos que, para cada S > 0 prefijado, el número de árboles existentes en cualquier zona de extensión
S de un determinado bosque es una v.a. con distribución de Poisson de parámetro θS, (con θ > 0 constante).
Calcular la distribución de la distancia entre cualquier punto dado y el árbol más próximo a él.
28.- Sea X una v.a. con función de distribución continua F . Demostrar que Y = F (X) tiene distribución uniforme
en el intervalo (0,1). Comentar el interés de este resultado en relación con el problema de generar números
aleatorios.
3