Resumen de la unidad

Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato
I.E.S. “Ramón Giraldo”
Unidad 4:
TRIGONOMETRÍA 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
La palabra tri-gono-metría significa “medida de las figuras con tres esquinas”, es decir,
de los triángulos. La trigonometría estudia las relaciones entre las longitudes de los
lados de un triángulo y las medidas de sus ángulos. Por ello, las razones trigonométricas
se definieron originariamente mediante triángulos rectángulos. No obstante, interesa
definirlas usando la circunferencia unidad, es decir, en la llamada circunferencia
goniométrica.
Unidades para medir ángulos
Las unidades más utilizadas para medir ángulos son:
º = grado sexagesimal (un grado sexagesimal es la medida del ángulo central
correspondiente a una de las 360 partes en que se divide una circunferencia)
Rad = radián (un radián es la medida del ángulo central que subtiende un arco igual al
radio)
Para convertir grados sexagesimales en radianes, y viceversa, basta tener en cuenta la
siguiente relación:
180º   rad
En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas de un ángulo agudo  son las
distintas razones (cocientes) que hay entre los lados.

c
Cateto contiguo
b
Cateto opuesto
a
us
n
e
t
po a
Hi
Razones trigonométricas fundamentales:
cateto opuesto b

sen  
hipotenusa
a
cateto contiguo c

cos  
a
hipotenusa
Otras razones trigonométricas:
cateto opuesto b sen
 
cateto contiguo c cos 
hipotenusa
a
1
cosec  
 
cateto opuesto b sen 
hipotenusa
a
1
sec  
 
cateto contiguo c cos 
cateto contiguo c
1
cotg  
 
cateto opuesto b tg
tg  
Cipri
Departamento de Matemáticas
1
Mateemáticas I
I.E.S. “Ramón Girraldo”
2. RA
AZONES TRIGONO
T
OMÉTRICA
AS DE UN ÁNGULO CUALQU
UIERA
En uun sistema de
d ejes coorrdenados coonsideremoss una circun
nferencia dde radio unidad y
un ánngulo  quue tenga uno
o de sus ladoos sobre el eje OX. Enttonces, a diccho ángulo  se
le puuede asociaar de manerra única unn punto, so
obre la circu
unferencia, de coorden
nadas
 x, y  de manerra que
 x, y    cos  ,ssen  
y
 x, y    cos  ,sen  
sen 

cos 
1
x
La ciircunferenciia anterior se
s llama cirrcunferenciia goniométtrica.
o, los signoos de las razzones
Depeendiendo deel cuadrantee en el que se encuenttre el ángulo
trigonométricas fundamentales son:
ucción de ángulos
á
al primer
p
cua drante
Redu
Sea  el ánguloo del primerr cuadrante relacionado
o, en cada caso, con el ángulo  .
 Si  es un ángulo del
d segundoo cuadrante, entonces
s   sen 
sen
co s    cos 
 Si  es un ángulo del
d tercer cuuadrante, en
ntonces
s    sen
sen
n
co s    cos 
 Si  es un ángulo del
d cuarto cuuadrante, en
ntonces
s    sen
sen
n
co s   cos 
Ángu
ulos mayorres de 360º
Si  es un ánguulo mayor de
d 360º, enntonces  y  , donde    0º ,3600º  es el ressto de
dividdir  entre 360º, tienen
n las mismaas razones trrigonométriicas.
3. RA
AZONES TRIGONO
T
OMÉTRICA
AS DE ALG
GUNOS ÁN
NGULOS
0º
n
sen
0
cos
1
30º
1
2
3
2
45º
2
2
2
2
Triggonometría
a
60º
3
2
1
2
90º
9
1
0
2
Resúm
menes de Maatemáticas para Bachilleerato
I.E.S. ““Ramón Gira
aldo”
4. RE
ELACION
NES ENTRE
E RAZONE
ES TRIGO
ONOMÉTR
RICAS
sen 2  cos 2   1
: sen 
2
1  cotg 2  cosec 2
Relación fundamentaal
d Pitágorass)
(teorema de
: cos 
2
1  tg 2  sec 2 
5. RE
EDUCCIÓ
ÓN DE LAS
S RAZONE
ES TRIGON
NOMÉTRIICAS
Ángu
ulos compllementarioss:  y 90º 
(ii)
sen  90º    cos 
cos  90ºº    sen 
Ángu
ulos suplem
mentarios:  y 180º 
(iii)
sen 180º    sen 
os 
cos 1800º     co
(iiii)
Ángu
ulos que diifieren en 1180º:  y 180º 
sen 1800º    sen 
cos 1880º     cos
c 
(iiv)
Ángu
ulos opuesttos  y  o que sum
man 360º:  y 360º 
sen     sen  360
0º     ssen 
cos     cos  360º    coos 
6. RA
AZONES TRIGONO
T
OMÉTRICA
AS DE LA
A SUMA Y LA DIFE
ERENCIA, DEL
ÁNG
GULO DOB
BLE Y DEL
L ÁNGULO
O MITAD
(ii)
Cipri
Razoones trigon
nométricas de la suma
a y diferenccia de ánguulos
Departa
amento de M
Matemática
as
3
Matemáticas I
I.E.S. “Ramón Giraldo”
sen      sen  cos   cos  sen 
cos      cos  cos   sen  sen 
tg     
tg   tg 
1  tg  tg 
(ii)
Razones trigonométricas del ángulo doble
sen  2   2 sen  cos 
2 tg 
tg  2  
2
2
cos  2   cos   sen 
1  tg 2
(iii)
Razones trigonométricas del ángulo mitad
1  cos 
 
sen    
2
2
1  cos 
 
cos    
2
2
1  cos 
 
tg    
1  cos 
2
El signo + o – depende del cuadrante en el que se sitúe

2
.
7. TRANSFORMACIONES
  
sen   sen   2sen 
 2

   
 cos 


 2 
  
sen   sen   2sen 
 2

   
 cos 


 2 
  
cos   cos   2 cos 
 2

   
 cos 


 2 
  
cos   cos   2sen 
 2

   
 sen 


 2 
sen   cos  
1
sen      sen     
2
cos   cos  
1
sen      sen     
2
cos   cos  
1
cos      cos     
2
1
sen   sen    cos      cos     
2
Trigonometría
4
Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato
I.E.S. “Ramón Giraldo”
8. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que aparecen una o varias razones
trigonométricas.
Para resolverlas hay que expresar dicha ecuación en función de un mismo ángulo y de
una sola razón trigonométrica, o factorizarla. Para ello se usarán las fórmulas vistas en
los apartados anteriores.
En este tipo de ecuaciones siempre hay que comprobar que los valores obtenidos
verifican la ecuación original, es decir, son solución.
9. SISTEMAS TRIGONOMÉTRICOS
Un sistema de ecuaciones es trigonométrico cuando al menos una de sus ecuaciones lo
es.
Para resolverlos:
1) Utilizaremos lo visto en el apartado anterior correspondiente a la resolución
de ecuaciones trigonométricas y
2) Los métodos que conocemos para resolver sistemas de ecuaciones.
Cipri
Departamento de Matemáticas
5