Ficha 1

Ejercicios Vectores
1) Dados los vectores de la figura, representa los
siguientes vectores:
r r
a) v + w
r r
b) u + v
r
c) 3u
r
d) − 2v
r r
e) v − w
r r
f) u − v
r
r
r
g) 3v + 4u − 2 w
r r r
h) 2u − 3v + w
Hoja1
10) Dibujar en el siguiente gráfica la fuerza que es
necesario aplicar para mantener al punto P en equilibrio.
11) Dos fuerzas de magnitud 40 Newtons (N) y 60 N
2) En la siguiente figura determina cuales de las siguientes actúan sobre un objeto con ángulos de 30º y − 45º con la a
parte positiva del eje x como se muestra en la figura. Hallar
relaciones son ciertas o falsas:
la dirección y la magnitud de la fuerza resultante.
ur ur r
a) A + B = F
ur ur r
b) K + G = F
ur ur ur r
c) C = D − E + F
ur ur ur ur
d) D = G + H + E
ur ur ur ur
e) E + D = G + H
ur ur ur r
f) H − C = G − F
r r
r r
r
r
3) Dados los vectores v = 3i − 5 j y w = − 2i + 3 j hallar:
r
r
a) 2v + 3w
r r
d) v + w
r
v
g) r
v
r
r
b) 3v − 2 w
r r
e) v − w
r
w
h) r
w
r
c) v −
r
f) v +
r
w
r
w
r
r
i) 4v − 3w
12) Un aeroplano está viajando a una velocidad de 340 millas
por hora formando con la vertical de despegue un ángulo de
62º. Un viento de 42 millas por hora está soplando de frente
con un ángulo de 125º. Hallar la velocidad a que se aleja el
avión y el ángulo a que forma su dirección.
4) Dados los puntos P (1, 0) , Q (5, 7) y M (0,1) , calcular las
uuur uuuur
coordenadas de un punto N sabiendo que PQ : MN .
r
r
r
5) Dados los vectores a (3, − 2) , b (− 1, 2) y c (0,5) , calcular 13) Calcular el ángulo que forman los siguientes vectores:
r
r
r
r
r
m y n de modo que c = ma + nb .
a) u = (1, 4) , v = (− 4,1)
r
r
b) x = (3,1) , y = (1, 2)
r
r
6) Demostrar que si dos vectores libres u = (u1 , u2 ) y
r
r
c) a = 3,1 , b = 1, 3
v = (v1 , v2 ) son paralelos y v1 , v2 ≠ 0 , entonces se cumple
r r
14) En una base ortonormal B = i , j se tiene que
u1 u2
=
que:
r r r
r
r
r
v1 v2
a = 2i − j , b = xi + 2 j . Hallar x para que:
(
)
(
)
r
{ }
7) Determina razonadamente si están alineados o no los a) Los vectores ar y b sean perpendiculares.
r
puntos A( − 5, 7) , B (3, − 6) y C (10, − 18) .
b) El módulo de b sea 8 .
r r
r r
8) Sea B = { u , v} una base del plano vectorial y sean los c) a y b no formen una base.
r r
r r
r r
vectores: a = 3u − 2v , b = u + v , c = − 2u + 3v
r r
r
15) Sean u y v dos vectores tales que u = 9 y
Expresar:
r r r r
r
r r
a) c como combinación lineal de a y b .
( u + v ) ⋅ ( u − v ) = 17 . Calcula el módulo de vr .
r r
r
b) a como combinación lineal de b y c .
r
r r
16) Hallar un vector de módulo 5 que sea paralelo al
c) b como combinación lineal de a y c .
r
r
r
vector v = 36i − 27 j .
9) Dados los vectores cuyas coordenadas en una base
r
ortonormal son u = (2, − 3) y v = ( − 1,3) , calcula el módulo 17) Dado el triángulo ABC de vértices A = (1, 2) , B = (3, 6)
del vector resultante de la siguiente combinación lineal:
y C = (4,3) . Determina que clase de triángulo es según sus
r
r 151 r
lados (equilátero, isósceles o escaleno) y según sus
w = 103u +
v
ángulos (acutángulo, rectángulo u obtusángulo).
3
Ejercicios Vectores
Hoja2
18) Halla un par de vectores unitarios de igual dirección 33) Considera el cuadrilátero de vértices A( − 4, 2) , B (2,1)
r
r
r
que el vector u = − 12i + 5 j .
, C (7,5) y D(1, 6) .
a) Halla su perímetro.
19) Halla un vector unitario de igual dirección y sentido
b) Demuestra que es un paralelogramo.
r
r
r
que el vector w = 8i − 15 j .
c) Comprueba que la suma de sus ángulos interiores es de
360º.
20) Hallar las coordenadas de cuatro vectores que sean
r
perpendiculares a v = (6, − 2) .
34) Se llama argumento de un vector al ángulo que éste
forma con la parte positiva del eje horizontal.
21) Hallar el valor o valores de b para que los vectores Halla el valor de n para que el argumento α del vector sea
r
r
x = (3, b) e y = (2, − 1) :
el indicado en cada caso:
r
r
a) Sean ortogonales.
a) a = ( − 1, n) , α = 180º
b) b = (n, − 2) , α = 225º
r
r
b) Sean paralelos.
c) c = (3, n) , α = 60º
d) d = (− 1, n) , α = 150º
45º
c) Formen un ángulo de
.
22) Los puntos A( − 1, − 2) , B(1,1) y C (4, 0) son tres vértices 35) Dados los vectores de la figura: r
a) Determinar las coordenadas de u
consecutivos de un paralelogramo. Calcula vectorialmente
r
y v respecto a la base canónica.
las coordenadas del otro vértice.
r r r r
b) Halla u , v , u + v .
r r
23) El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo sus c) Halla u ⋅ v
r
r
vértices los puntos A(3,5) , B(1,3) y C(n,10). Hallar el valor d) Halla la proyección de u sobre v .
de n y el área del triángulo.
r r
e) Calcula el ángulo que forman los vectores u y v .
un vector unitario en la dirección y sentido
24) Sea un rectángulo ABCD de dimensiones AB=8cm y f) Encuentra
r
u
del
vector
.
BC=5cm. Hallar el producto escalar de los vectores
r
r uuur r uuur
g) Halla un vector ortogonal a u de modulo unidad.
m = AB y n = AC .
r
r
r
r
r
que forman los vectores u y v ,
25) Dos vectores a y b cuyos módulos son a = 8 y 36) Halla el ángulo
r
r
r r
r
sabiendo que u = 4 , v = 6 y u + v = 7 .
b = 11 forman un ángulo de 120º. Calcular el módulo del
r r r
r
r
r r
vector suma s = a + b .
37) Dos vectores a y b son tales que a = 10 , b = 10 3 y
r r
26) Dados los puntos A(2,1) , B (6, 3) , C (4, 0) y D (3,1) a + b = 20 . Halla el ángulo que forman dichos vectores.
demostrar que el polígono ABCD es un rectángulo y halla
su perímetro y su área.
38) Sean A, B, C y D cuatro puntos arbitrarios del plano.
Demuestra que siempre se verifica:
r r
27) Sea B = { u , v} la base que se indica en la figura y sea
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB ⋅ CD + AC ⋅ DB + AD ⋅ BC = 0
r
28) Hallar las coordenadas del vector x de la figura
39) Luis se lanza al agua desde el
punto A con intención de llegar al
embarcadero que se encuentra
situado al otro lado del río, a 200 m,
en perpendicular a la corriente
desde el punto A. Observa que por
mucho esfuerzo que hace, y nadando
r
r
a una velocidad de 3 km/h y por mucho esfuerzo que
29) Si u = 2 , v = 3 y ambos forman un ángulo de 30º,
hace, no puede llegar al embarcadero, sino a un árbol que
r
r
calcular el módulo del vector u − 2v .
se encuentra a 100 m del embarcadero. ¿Qué velocidad
tiene la corriente del río? ¿Cuántos metros nadó en
r r
realidad? ¿Qué tendría que haber hecho para llegar con
30) Dados los vectores u y v , indica razonadamente el
r r
r r
seguridad al embarcadero?
ángulo que forman si se sabe que u ⋅ v = − u ⋅ v .
r
31) Demuestra que si el vector u es perpendicular a los
r r
vectores v y w , también es perpendicular a cualquier
combinación lineal de ellos.
32) Demostrar el teorema de Pitágoras usando vectores,
r r
llamando u y v a los catetos, identificando la hipotenusa
y calculando los módulos correspondientes.
40) Sea AB un segmento de longitud m y M su punto
medio. Si P es un punto cualquiera del plano y d es su
distancia a M, demuestra que se
cumple:
2
uuur uuur
 m
PA ⋅ PB = d 2 −  
 2