unidad uno - Expreso Sideral SA

COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN
GEMELLI
AREA MATEMATICAS
“Las matemáticas son el lenguaje con el cual Dios escribió el universo”.
Galileo Galilei
CALCULO
GRADO UNDECIMO
2012
PGF03-R03
PRESENTACION
Este módulo conserva la filosofía y la metodología sobre las cuales se concibió y desarrollo
la primera edición de esta obra, en él se cubren los conceptos básicos, definiciones,
ejercicios, gráficas y métodos matemáticos en forma clara y concisa, las explicaciones se
han reducido al mínimo a favor de la exposición de ejemplos concretos, pretendiendo el
desarrollo de una clase activa, lo cual ayuda muchísimo en el análisis de situaciones
propuestas.
El objetivo de este módulo es ofrecer al estudiante un conocimiento que le permita disfrutar
leer y aprender los conceptos de las matemáticas, para ello se emplean oraciones reducidas,
explicaciones claras y ejemplos resueltos. Así mismo a lo largo de todo el texto se ofrece
aplicaciones prácticas que facilitan la comprensión de los conceptos expuestos.
Las matemáticas en su esencia han sido estudiadas y desarrolladas por hombres que a lo
largo de la historia dejan un legado de escuelas constructoras de esta ciencia:
Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran público. Todo el mundo recuerda
su famoso teorema. Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho
más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino
también de la Aritmética, de la Astronomía y de la Música.
Pero antes de Pitágoras otras dos culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas
muy potentes: los babilonios y los egipcios.
René Descartes utilizó las ciencias y las matemáticas para explicar y pronosticar
acontecimientos en el mundo físico
Sin duda Newton es el autor del primer paso de la carrera espacial. Las Leyes descubiertas
por él son las que han permitido al hombre poner un pie en la Luna o enviar naves a Marte y
Venus, explorar los planetas exteriores: Júpiter, Saturno, Neptuno y Urano. Su modelo de
telescopio ha permitido ver más lejos en cielo. Sin duda los astrónomos le deben mucho a
Newton. Pero los matemáticos y de paso el resto de los científicos le deben tanto o más. Él
junto a Leibniz, aunque sería mejor decir al mismo tiempo que Leibniz, son los descubridores
de la más potente y maravillosa herramienta matemática: el Cálculo.
A principios del siglo XIX, un joven matemático acaba de resolver un problema de más de
2.000 años de antigüedad: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17
lados. Hoy junto a Weber comparten por igual la gloria de ser los padres de las dos
herramientas más potentes del universo matemático: el cálculo diferencial y el cálculo
integral. El instrumento ideal para entender y explicar el funcionamiento del mundo real,
desde las cosas más próximas hasta el rincón más alejado del universo.
Comité Área de Matemáticas.
MATEMATICAS – Cálculo 11
2
PGF03-R03
Contenido
UNIDAD 1 ................................................................................................................................. 5
SISTEMAS NUMERICOS ......................................................................................................... 5
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES .............................................................................. 6
LOS NUMEROS REALES ..................................................................................................... 8
INTERVALOS ....................................................................................................................... 9
DESIGUALDADES .............................................................................................................. 21
INECUACIONES ................................................................................................................. 22
VALOR ABSOLUTO............................................................................................................ 25
UNIDAD 2 ............................................................................................................................... 30
FUNCIONES ........................................................................................................................... 30
FUNCIONES ....................................................................................................................... 31
CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES ............................................................................. 32
OPERACIONES CON FUNCIONES ................................................................................... 35
COMPOSICION DE FUNCIONES ...................................................................................... 36
SUCESIONES ..................................................................................................................... 41
SUCESIONES MONOTONAS ............................................................................................ 43
SUCESIONES ACOTADAS ................................................................................................ 45
LIMITE DE UNA SUCESION .............................................................................................. 47
SUCESIONES CONVERGENTES - SUCESIONES DIVERGENTES................................. 48
UNIDAD 3 ............................................................................................................................... 56
PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMA ALGEBRAICO ANALITICO ........................... 56
LAS MATEMATICAS DEL MOVIMIENTO........................................................................... 57
LIMITES .............................................................................................................................. 58
LIMITE DE FUNCIONES..................................................................................................... 59
TEOREMA DE LIMITES ..................................................................................................... 60
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES ..................................................................................... 60
FUNCIONES CONTINUAS ................................................................................................. 64
CALCULO DIFERENCIAL ................................................................................................... 69
DERIVADA DE UNA FUNCION .......................................................................................... 69
MATEMATICAS – Cálculo 11
3
PGF03-R03
FORMULAS DE LAS DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ....................................... 75
UNIDAD 4 ............................................................................................................................... 78
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AVANZADOS ......................................................... 78
SEGUNDA DERIVADA ....................................................................................................... 79
REGLA DE LA CADENA ..................................................................................................... 83
DERIVACION IMPLICITA ................................................................................................... 84
OTRAS DERIVADAS .......................................................................................................... 86
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS................................................ 90
APLICACIONES DE LA DERIVADA ................................................................................... 91
ESTRATEGIA PARA DETERMINAR EL CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO ................ 93
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD ........................................................................................ 95
PUNTOS DE INFLEXION ................................................................................................... 96
CONDICIONES DE EXISTENCIA ....................................................................................... 97
MAXIMOS Y MINIMOS ....................................................................................................... 98
APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS .................................................................... 102
CALCULO INTEGRAL ...................................................................................................... 105
INTEGRAL INDEFINIDA ................................................................................................... 106
METODOS DE INTEGRACION ........................................................................................ 108
BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................................... 122
MATEMATICAS – Cálculo 11
4
PGF03-R03
UNIDAD 1
SISTEMAS NUMERICOS
PROPOSITOS
Identificar las clases de intervalos y las diferentes notaciones y efectuar
desigualdades e inecuaciones dando el conjunto solución.
Comprender el concepto de función real
rango.
reconociendo su dominio y
MATEMATICAS – Cálculo 11
5
PGF03-R03
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
LOS SISTEMAS NUMERICOS
Las matemáticas nacieron independientemente en las antiguas civilizaciones que poblaron la
Tierra. Las necesidades sociales y económicas en cada comunidad impulsaron el desarrollo
del pensamiento matemático y sus aplicaciones
En todos los pueblos surgió un sistema de numeración que permitía contar los objetos. Pero
el desarrollo del concepto de número fue muy lento y transcurrieron muchos siglos desde el
momento en que se utilizaron para contar hasta que se escribieron.
Las primeras ramas de las matemáticas que se desarrollaron fueron la aritmética y la
geometría. A pesar de que en algunos casos la aritmética se limitaba al arte de contar y la
geometría a medir tierras y trazar fronteras
Los antiguos chinos utilizaron un sistema de numeración decimal y multiplicativo. En cambio
los romanos utilizaron un sistema aditivo y acumulativo. En los egipcios existió la tendencia a
utilizar las matemáticas en la solución de problemas prácticos cotidianos. Dividir porciones de
alimentos entre personas o animales; calcular la cantidad de bloques para construir una
edificación o el número de personas necesarias para transportar un bloque pesado.
Fueron los egipcios la primera gran civilización en utilizar las fracciones y el cálculo con
fracciones, pero sólo con numerador uno.
Las fracciones surgen del proceso de medición que combina la aritmética con la geometría.
La geometría nació en Egipto y fue más tarde trasmitida a los griegos. La medición de
cuerpos sólidos: pirámides, cubos y esferas, fue hecha probablemente por medios
experimentales más que por cálculo matemático. Los más importantes descubrimientos en
geometría son obra de os griegos. Con los griegos el mundo pasó de los intentos de resolver
problemas prácticos de aritmética y geometría a la construcción de las estructuras teóricas.
La escuela de Pitágoras, formuló la teoría de las proporciones, y la de los intervalos
musicales proporcionales a la longitud de una cuerda tensionada. Pitágoras fue el primero en
definir los números inconmensurables, más tarde llamados irracionales.
MATEMATICAS – Cálculo 11
6
PGF03-R03
La aparición de las fracciones fue sólo la primera etapa. La siguiente, fue el descubrimiento
de las magnitudes inconmensurables.
"Dos magnitudes son inconmensurables si su cociente no es número racional"
La diagonal de un cuadrado y el lado, son magnitudes inconmensurables. No existe ninguna
unidad de medida de longitud,-por pequeña que sea, que nos permita expresar estas dos
longitudes como múltiplos enteros de la misma unidad de medida.
El hecho de que el cociente entre la diagonal de un cuadrado y su lado no se pueda expresar
como una fracción, produjo gran impresión en los pensadores, riegos. Este cociente
superaba el concepto de número que hasta ese momento se tenía.
EI concepto de número no fue ampliado por los griegos a las magnitudes inconmensurables.
Fueron los matemáticos orientales, tiempo después, quienes llamaron números irracionales a
estas magnitudes.
1. Enumere en forma preposicional el anterior texto.
2. Indica de todas las proposiciones del texto cuales son relevantes y organiza un
escrito.
MATEMATICAS – Cálculo 11
7
PGF03-R03
LOS NUMEROS REALES
ORDEN DE LOS REALES
El conjunto de los números reales es ordenado. Intuitivamente, lo anterior significa que si
sobre una línea recta colocamos dos números diferentes a y b de tal manera que a esta a la
izquierda de b, esto significa que “a es menor que b”.
A
b
La base para este proceso es la siguiente definición:
Existe un conjunto +, tal que + C , llamado conjunto de números reales positivos, el cual
satisface las siguientes condiciones:
Si a
+yb
Para cada a ≠ 0: a
0
+
(a+b)
+0 -a
+ y a. b
+
+ pero no ambos.
+
Y las siguientes propiedades de orden:
Propiedad de tricotomia: Para dos números reales cualesquiera a y b, uno y solo uno de
los siguientes enunciados es verdadero: a < b, a = b, a > b
Propiedad transitiva: a < b
b<c
a<c
Propiedad de monotonía de la adición: a < b
a + c < b + c,
Propiedad de monotonía de la multiplicación: a < b c
a<b c
+
-
c
a. c < b. c
a. c < b. c
MATEMATICAS – Cálculo 11
8
PGF03-R03
INTERVALOS
Algunos subconjuntos del Conjunto de los Números Reales, son: el Conjunto de los Números
Naturales, el Conjunto de los Números Enteros, el Conjunto de los Números Racionales y el
Conjunto de los Números Irracionales. Estudiaremos a continuación otros subconjuntos del
Conjunto de los Números Reales, a los cuales llamaremos intervalos.
Para esto es conveniente recordar que es posible establecer una correspondencia biunívoca,
entre los puntos de una recta (recta numérica), y el Conjunto de los Números Reales. Así,
para cada número real corresponde un, y sólo un, punto de la recta numérica, e
inversamente cada punto de la recta numérica representa un, y sólo un, número real.
Los intervalos corresponden a un subconjunto de números reales comprendido entre dos
extremo.
Otra manera de expresar conjunto de números descritos por desigualdades es utilizando la
notación de intervalo. Esta notación es una manera conveniente y compacta de representar
intervalos en la recta numérica.
Se utiliza paréntesis o circulo vacío para indicar que un extremo no esta incluido, y corchetes
o circulo relleno para indicar que se incluye el extremo.
Definición
Sean y números reales tales que es menor que
.Se llama intervalo abierto de
extremos y , al conjunto cuyos elementos son los números reales que cumplen la
condición de que:
Notación:
i.) El intervalo abierto de extremos y lo denotaremos por
ii.) Si
y
y
escribimos
, por ejemplo, la expresión
, significa que
.
De esta manera se tiene que:
MATEMATICAS – Cálculo 11
9
PGF03-R03
El intervalo abierto de extremos
siguiente:
y
lo representamos geométricamente de la manera
Definición
Sean y números reales tales que
. Se llama intervalo cerrado de extremos y , al
conjunto cuyos elementos son los números reales que cumplen la condición de que:
Notación:
i.El intervalo cerrado de extremos y lo denotaremos por
ii.Si
y
y
escribimos
, por ejemplo, la expresión
, significa que
.
De esta manera se tiene que:
El intervalo cerrado de extremos
siguiente:
y
lo representamos geométricamente de la manera
Observación: Note que en el intervalo abierto de extremos y
mientras que en el intervalo cerrado se incluyen los extremos.
no se incluyen extremos,
MATEMATICAS – Cálculo 11
10
PGF03-R03
Definición
Sean y números reales tales que
.Se llama intervalo semi-abierto de extremos
"abierto" en y "cerrado" en , al conjunto cuyos elementos son los números reales
cumplen la condición de que:
y ,
que
Este intervalo lo denotaremos por:
Notación:
Si
y
escribimos
De esta manera se tiene que:
Geométricamente el intervalo semi-abierto, de extremos y , "abierto" en y "cerrado" en ,
lo representamos de la manera siguiente:
En forma similar se define el intervalo "semi-abierto" de extremos
"abierto" en , y se denota
y
, "cerrado" en
y
de la manera siguiente:
Geométricamente este intervalo se representa de la manera siguiente:
MATEMATICAS – Cálculo 11
11
PGF03-R03
Definición
Sea un número real. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que
denotaremos por
El símbolo
lo
y lo representamos geométricamente de la manera siguiente:
se lee "más infinito" así:
En forma similar:
i. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que
, lo denotaremos por
y lo representaremos geométricamente de la manera siguiente:
Así:
ii. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que
, lo denotaremos por
y lo representaremos geométricamente de la manera siguiente:
MATEMATICAS – Cálculo 11
12
PGF03-R03
Así:
El símbolo
se lee "menos infinito"
iii. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que
, lo denotaremos por
y lo representaremos geométricamente de la manera siguiente:
Así:
Un intervalo es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de un
segmento de la recta real.
Imagen:
Conjunto de números
El segmento coloreado de azul representa al intervalo de extremos -1 y 0, y el señalado con
rojo, al intervalo de extremos 1 y 2.
Los puntos -0,5; -0,001; - 0 , 7 ︵ ; -0,12345... pertenecen al intervalo coloreado en azul. Es
decir, pertenecen a este intervalo todos los números reales comprendidos entre -1 y 0.
Un intervalo puede contener a sus dos extremos, a uno solo o a ninguno.
Si los dos extremos del intervalo pertenecen al intervalo, se dice que es cerrado.
MATEMATICAS – Cálculo 11
13
PGF03-R03
Imagen:
Intervalo cerrado
El intervalo cerrado [0, 2] contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluidos sus
extremos, 0 y 2.
Si los extremos del intervalo no pertenecen a él, se dice que es abierto.
Imagen:
Intervalo abierto
El intervalo abierto (0, 2) contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, excluidos los
extremos, 0 y 2.
Si el extremo menor del intervalo no pertenece al intervalo y el extremo mayor sí, se
dice que es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha.
Imagen:
Intervalo semiabierto por la derecha
El intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha (0, 2] contiene todos los puntos
comprendidos entre 0 y 2, incluido el 2 y excluido el 0.
MATEMATICAS – Cálculo 11
14
PGF03-R03
Si el extremo menor del intervalo pertenece al intervalo y el extremo mayor no, se dice
que es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha.
Imagen:
Intervalo semiabierto por la izquierda
El intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha [0, 2) contiene todos los puntos
comprendidos entre 0 y 2, incluido el 0 y excluido el 2.
Semirrectas
Los intervalos también se pueden corresponder con los puntos de una semirrecta en la recta
real. Las semirrectas pueden ser cerradas o abiertas.
Imagen:
Semirrecta cerrada
La semirrecta (-∞, 2] contiene todos los puntos menores que 2, incluido éste.
Imagen:
Semirrecta cerrada por la izquierda
La semirrecta [0, ∞) contiene todos los puntos mayores que 0, incluido éste.
Imagen:
Semirrecta abierta en 2
MATEMATICAS – Cálculo 11
15
PGF03-R03
La semirrecta (-∞, 2) contiene todos los puntos menores que 2, excluido éste.
Imagen:
Semirrecta abierta en 0
La semirrecta (0, ∞) contiene todos los puntos mayores que 0, excluido éste.
Tabla resumen clases de intervalos
Nombre de
intervalo
Notación de
intervalo
Notación de
conjunto
Abierto
(a,b)
x/a < x < b
Cerrado
a,b
Abierto a izquierda
Cerrado a derecha
(a,b
x/a
x
b
x/a < x
b
cerrado a
izquierda
abierto a derecha
a,b)
Infinito
(a + )
Infinito
a+ )
Infinito
(- , b)
x/x < b
infinito
(- , b
x/x
x/a
Grafica
x<b
x/x > a
x/x
a
b
Operaciones con intervalos
Los intervalos son subconjuntos del conjunto de los reales y por lo tanto las operaciones
unión, intersección y diferencia también están definidas en el conjunto .
MATEMATICAS – Cálculo 11
16
PGF03-R03
MODELACIÓN 1
Dados los intervalos A = [3,5], B = (4,7) y C = [8,10], entonces
A
B = {x
/3 x
5}
{x
/4 < x < 7} = (4,5]
A
C = {x
/3 x
5}
{x
/8
A
B = {x
/3 x
5}
{x
/4 < x < 7} = (3,7]
x
10} =
MODELACIÓN 2
Representa el intervalo que esta en la siguiente notación {x
/-3 < x
3/5}
Notación de intervalo ( -3, 3/5]
Y su grafica
MATEMATICAS – Cálculo 11
17
PGF03-R03
Dado los siguientes intervalos
A = [-7,2], B = (-4,3) y C = (conjuntos:









, -1), halla y escribe eb forma de intervalos los siguientes
A C
A B
B C
A–C
A (B C)
B–A
A – (B C)
A (B - C)
A (B C)
Escribe la notación correspondiente a cada uno de los intervalos representados
gráficamente:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-2
-1
0
1
2
3
-3
4
5
-2
-1
0
1
2
6
7
8
9
10
3
11
10
9
4
5
12
Escribe la notación correspondiente y representa gráficamente cada uno de los siguientes
intervalos:
{X
/5 x
8}
{X
/2/5
x
1}
{X
/2/5
x
3}
MATEMATICAS – Cálculo 11
18
PGF03-R03
Haz la notación conveniente y realiza la grafica de cada intervalo:
A {x
B {x
C {x
D {x
E {x
F {x
G {x
H {x
I {x
J {x
K {x
L {x
/-3 < x -1}
/1,7 < x 6}
/-1 < x < 2/5}
/-0,25 < x < 0,5}
/ 3/2 x < 6}
/-1/10 x - 3/4}
/-4 < x 2/5}
/-2,5 x 3,5}
/7,5 x 8}
/-5/6 x < 1/2}
/-3 < x < 0}
/-10/3 x -1}
Escribe la notación correspondiente y graficar cada intervalo:
A {x
B {x
C {x
D {x
E {x
F {x
/7 < x}
/ 5/2 < x}
/ x < -3}
/- <x< }
/ x 1/10}
/ 5/2 x}
Identifica el intervalo correspondiente a cada grafica:
-1
0
1
2
3
4 9/2 5
-1
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
MATEMATICAS – Cálculo 11
19
PGF03-R03
Elabore un texto explicativo sobre el anterior mentefacto
MATEMATICAS – Cálculo 11
20
PGF03-R03
DESIGUALDADES
Las expresiones a
b, a
b, a
bya
b reciben el nombre de desigualdades.
Si a 0, decimos, entonces, que a es no negativo y de igual manera si a
es no positivo.
0, decimos que a
Las relaciones de orden cumplen ciertas propiedades.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Propiedad tricotomia: si a b
a
b v a = b, v a
R, se cumple una y solo una de las siguientes afirmaciones:
b
Propiedad de monotonía:
Si a b y c R, entonces a + c
Si a b y c R, entonces a - c
Si a b y c R+, entonces a. c
Si a b y c R-, entonces a. c
Si a b y c R+, entonces a/c
Si a b y c R-, entonces a/c
b+c
b-c
b. c
b. c
b/c
b/c
Propiedad Transitiva:
Si a b y b c, entonces a c
Si a b y c d, entonces a + c b + d
Es bueno aclarar que estas propiedades también se cumplen si sustituimos el signo mayor
que Y menos que, por mayor o igual que, o menor o igual que, respectivamente.
MODELACIÓN 1
Elevar a la segunda potencia los dos miembros de la desigualdad 3 = 2
SOLUCION
Propiedad: Dados a, b, c
a
a
R+ y a
b = am
bm
b entonces ac bc
b entonces am bm
MATEMATICAS – Cálculo 11
21
PGF03-R03
3 2
( 3)2 ( 2)2
3
2
Esta desigualdad conserva el mismo sentido de la desigualdad propuesta.
INECUACIONES
Las desigualdades algebraicas que se verifican para ciertos valores de las variables o
incógnitas se denominan inecuaciones.
Resolver una inecuación es hallar los valores de la variable que hacen cierta la desigualdad.
Al conjunto de dichos valores se le llama conjunto solución o raíces de la inecuación.
MODELACIÓN 1
Hallar el conjunto solución de 3x – 5
Expresión dada
Efectuando
Simplificando
Despejando
3x – 5 7
3x – 5 + 5
3X 12
x 4
7
7+5
En esta respuesta la variable x puede tomar todos los valores menores o iguales a 4. Si se
representa en la recta real, tenemos:
-
+
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
MODELACIÓN 2
Hallar el conjunto solución de 1 x + 1
Expresión dada
Efectuando
5
1 x+1 5
1 - 1 x + 1 5 – 1 por lo tanto 0
x
4
MATEMATICAS – Cálculo 11
22
PGF03-R03
El conjunto solución son todos los valores comprendidos entre 0 y 4, sin incluirlos a ellos.
Este intervalo es abierto.
-
+
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Estos intervalos se pueden expresar en notación de conjuntos y en notación de intervalo. Si
se expresa el conjunto solución en notación de conjuntos, se tendría {x/ 0 < x < 4}, y en
notación de intervalo (0,4).
MODELACIÓN 3
Resolvamos la inecuación: 2x – 3 + 6 2 + 4x
4
3
Inecuación dada
2x – 3 + 6 2 + 4x
4
3
Multiplicando ambos por 12
3(2x -3) + 72 24 + 16x
Distributiva
6x – 9 + 72
Transposición de términos
6x – 16x
Reducción de términos
-10x
Dividiendo por –10
x
S = {x
24 + 16x
24 + 9 – 72
-39
3,9
R/x < 3,9} = (- , 3,9)
MATEMATICAS – Cálculo 11
23
PGF03-R03
Elabore un texto explicativo sobre el anterior mentefacto:
MATEMATICAS – Cálculo 11
24
PGF03-R03
VALOR ABSOLUTO
Para cualquier número real ha, se cumple que el valor absoluto de a denotado por tal es:
|a| =
A, si a 0
0, si a = 0
-a si a 0
Lo anterior indica que el valor absoluto de un número nunca es negativo.
Observa la siguiente recta numérica:
-
5 unidades
-5
–4
–3
5 unidades
–2
–1
0
1
2
3
4
+
5
En esta recta la distancia desde el punto 0 al punto –5 es de 5 unidades, y de la misma
manera, la distancia desde el punto –5 al punto 0 es de 5 unidades. Esta distancia se
denomina valor absoluto. En general la distancia de cualquier numero (punto) al origen es el
valor sin signo de ese numero.
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
En el concepto de valor absoluto se cumplen algunas propiedades básicas para la solución
de inecuaciones o ecuaciones con valor absoluto. A continuación exponemos estas, sin
demostrarlas:
(1): |x| 0
(2): |x| = 0, x = 0
(3): |x| = |-x|
(4): |xy| = |x| |y|
(5): |x/y| = |x/y, si y 0
(6): |x| a
-a x a
(7): |x| a
x -a o x a
(8): |x+y| |x| + |y| conocida con el nombre de desigualdad triangular.
(9): |x| a
-a x a
MATEMATICAS – Cálculo 11
25
PGF03-R03
(10): |a|2 = a2
(11): |a b| ||a| -|b||
(12): |x| = a
(a 0)
(x = a v x = -a)
(13): |x| = |a|
x = a v x = -a
(14): (a 0 |x| a)
-a x a
(15): |x| a
x a v x -a
(16): |x| |a|
x2 a2
MODELACIÓN 1
Resolver la inecuación |7x + 14|
21
SOLUCION
Por la propiedad 7 sabemos que:
|7x + 14|
7x – 14 21
7x 21 + 14
7x 35
x 5
21
Luego la solución es (- , -1)
v 7x – 14 -21
v 7x -21 + 14
v 7x -7
v x -1
(5 + )
MODELACIÓN 2
|2x - 3| 3x - 8
|2x - 3| 3x – 8
(3x – 8 0) (-3x + 8 2x – 3
(x 8/3 ) (-3x + 8 2x – 3 2x – 3 3x - 8)
(x 8/3)
(x 11/5 x 5)
..S = {x
R/x
11/5 }
{x
R/x
8/3}
{x
R/x
3x - 8)
5 } = 5, + )
MODELACIÓN 3
|5 – 3X| 2x + 6
|5 – 3X| 2x + 6
X - 1/5 V X
S = {x
R/x
5 – 3X
11
- 1/5}
{x
2X + 6 V 5 – 3X
R/x
-2X – 6
11} = (- , - 1/5)
(11, + )
MATEMATICAS – Cálculo 11
26
PGF03-R03
En cada uno de los siguientes ejercicios resuelve la inecuación o ecuación dada.










|x| 2
|x - 2| 1
|x - 5| 1
|x + 2| 1
2
|x - 1| 1
|2x + 1| 5
|7 – 3x| 1
2
|x - 10| 0.3
|25x - 8| 7
|2x - 7| 0.01
Resuelve cada inecuación y determina su conjunto solución; escribe el intervalo solución.






|x - 6| 4
|3 – 2x| 3x - 8
|x - 3| |x + 2|
|2/3x - 1| 2
|2x + 8| |x + 1| + 3
|5x - 4| 3x – 2
MATEMATICAS – Cálculo 11
27
PGF03-R03
Un antropólogo puede utilizar ecuaciones lineales para estimar la estatura de un hombre o
una mujer dada la longitud de ciertos huesos. La estatura en centímetros de un hombre y una
mujer con un humero de longitud x es dada por: (x esta en cm).
H(x) = 2.89x + 70.64 (en cm)
M(x) = 2.75x + 71.48 (en cm)
Respectivamente. En algunas ruinas se encontraron húmeros con longitud de 45 cm.
 suponiendo que el humero pertenecía a un hombre, ¿cual era su estatura?
 Si el humero pertenecía a una mujer ¿cual era su estatura?
 ¿Para que estatura serian iguales la longitud del humero de una mujer y la longitud del
humero de un hombre?
En el juego de video un aeroplano vuela de izquierda a derecha a lo largo de la trayectoria
representada por Y = 1 + (1/x) y dispara proyectiles en dirección tangente a la trayectoria, a
blancos que están a lo largo del eje X en las posiciones x = 1, 2, 3,4 y 5. Se sabe que la
pendiente de la tangente a la trayectoria en P (1,2) es m = -1 y en Q (3/2, 5/3) es m = - 4/9.
Determina si los proyectiles darán en algún blanco si el avión los dispara cuando esta en:
 P
 Q
MATEMATICAS – Cálculo 11
28
PGF03-R03
Completa el siguiente mentefacto
Inecuaciones
VALOR ABSOLUTO
//
Desigualdades
MATEMATICAS – Cálculo 11
29
PGF03-R03
UNIDAD 2
FUNCIONES
PROPOSITO
Hallar el dominio, codominio, rango y las diferentes formas para representar
grafica una función
MATEMATICAS – Cálculo 11
30
PGF03-R03
FUNCIONES
Una función F de A en B, denotada por:
F: A
B
Es una relación entre dos conjuntos llamados el dominio (A) y el condominio (B) de la
función, tales que a cada elemento del dominio le corresponde uno y solamente un elemento
del rango que es, axial mismo, subconjunto del codominio.
A
B
1
a
2
b
3
Dominio
Codominio
Simbólicamente
F: A
B
F
AXB
X A, y B/(x, y)
(X, y) F (x, z) F
F
y=z
Dominio y Rango
En una función, el conjunto de las abscisas de los pares ordenados (x, y) es el dominio y el
conjunto de las ordenadas, el rango.
Dom(F) = x/(x,y) F
Rang (F) = y/(x, y) F
Notación Funcional
Si (x, y)
F, entonces afirmamos que por la función F el elemento x del dominio le
corresponde el elemento y del rango, o que Y es la imagen de X por la función F. Y
escribimos:
Y = F(x) V F(x) = y
MATEMATICAS – Cálculo 11
31
PGF03-R03
Que se lee, Y es la imagen de X por F, o también F de x igual a Y.
Y = F(x)
x
Graficas de Funciones
G (f) = (x, y)
A X B/y = F(x)
En la grafica de una función normalmente los valores del dominio están asociados con el eje
de abscisas y los valores del rango con el eje de ordenadas.
Si es posible que alguna recta vertical intercepte una grafica en más de un punto, entonces la
grafica no representa una función.
CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES
Funciones polinomicas: Función constante
Función idéntico
Función lineal
Función cuadrática
Función polinomicas en general
Funciones racionales
Funciones Radicales
Funciones trascendentales:
Funciones especiales:
Funciones exponencial
Función logarítmica
Funciones trigonometriítas
Funciones segmentadas
Función valor absoluto
Función parte entera o mayor entero
MODELACIÓN 1
Representa gráficamente la función Y = F(x) = -4
MATEMATICAS – Cálculo 11
32
PGF03-R03
Solución
x
0
1
1
2
2
y
-4
-4
-4
-4
-4
Al observar la tabla de valores, se advierte que la expresión no tiene variable independiente
(variable en x), entonces para cualquier valor del dominio, la función toma siempre el mismo
valor, en este caso –4.
Toda función de la forma Y = F(x) = c, donde c es una constante, recibe el nombre de
función constante. Esta función tiene la característica de que todo numero real x del dominio,
le asigna un mismo valor.
MODELACIÓN 2
Determinar analítica y gráficamente el dominio y el rango de la relación:
S = {(x, y) x2 – y + 2 = 0}
Solución
Hallemos analíticamente el dominio y el rango de S
Dominio
X2 – y + 2 = 0
X2 + 2 = y
Ds = R
Rango
X2 – y + 2 = 0
X2 = -2 + y
X=
-2 + y
Rs = { y/y R y 2} = 2, + )
Determinemos ahora el dominio y el rango
X2 – y + 2 = 0
X2 + 2 = y
El hecho de haber obtenido analíticamente el rango como el intervalo 2, + )
Indica que sobre el eje Y, solo hay grafica para valores de Y mayores o iguales que 2. La
parte sombreada nos señala el área donde no existe grafica.
MATEMATICAS – Cálculo 11
33
PGF03-R03
MODELACIÓN 3
Representar gráficamente la función F(x) = |s.f., definida en los R. Hallemos la tabla de
valores:
X
F(x)
-3
3
-2
2
-1
1
0
0
1 2 3
1 2 3
Al observar la figura se advierte que ella
Divide al primero y segundo cuadrante,
Por lo tanto:
La función Y = F(x) = |x|, se llama función
Valor absoluto y tiene la característica que
La grafica divide al primero y segundo
Cuadrante.
Df = R Rf = { y/y R y 0}
Consulte cada una de las clases de funciones, dando a conocer concepto y dos ejemplos.
Aplicando los principios básicos de graficación, traza la grafica de cada una de las siguientes
funciones y verifícalas utilizando la calculadora.
MATEMATICAS – Cálculo 11
34
PGF03-R03
 F(x) = -3
 F(x) = 3 – 2x
2
 F(x) = x2 – 2x – 1
 F(x) = x3 – 2x + 1
 F(x) = 3x+1
 F(x) =
4x2
 F(x) = 2e-x + 1
 F(x) = ln (1 - x)
 F(x) = 1/x
 F(x) = x - 2
X–1
 F(x) = x2 – 4
X2 – 1
 F(x) =
x-2
X+1
 F(x) = x /| x|
 F(x) = | x2 - 1|
 F(x) = x + 2, si x
-1 x2, si x
-1
OPERACIONES CON FUNCIONES
Las funciones pueden combinarse a través de las operaciones aritméticas de adición,
sustracción, multiplicación y división para producir nuevas funciones. Para dos funciones F y
G la suma F + G, la diferencia F – G, el producto F. G y el cociente F/G se definen como
siguen:
Sean F y G funciones con dominios A y B, respectivamente, entonces las funciones F + G, F
– G, F. G y F/G, se definen como sigue:
MATEMATICAS – Cálculo 11
35
PGF03-R03
(F + G) (x) = F(x) + G(x)
(F - G) (x) = F(x) - G(x)
(F . G) (x) = F(x) . G(x)
(F / G) (x) = F(x) / G(x)
Dom(F + G) = A
Dom(F - G) = A
Dom(F . G) = A
Dom(F / G) = x
B
B
B
A
B/ G(x)
0
COMPOSICION DE FUNCIONES
En general dad dos funciones arbitrarias F y G, empezamos con un numero x en el dominio
de G y obtenemos su imagen G(x). Si este numero G(x) pertenece al dominio de F, entonces
podemos calcular el valor de F G(x) . El resultado es una nueva función h(x) = F G(x) , que
obtenemos sustituyendo G en F. A esta función se le llama función compuesta de F y G, se
denota con F o G y se lee “F compuesta con G de x”.
MODELACIÓN 1
Si F(x) = x y G(x) =
Dom (F) = 0, + )
tenemos:
(F + G) (x) =
(F - G) (x) =
(F . G) (x) =
(F / G) (x) =
4 – x2, encontremos las funciones F + G, F – G, F. G, F/G
Dom (G) = -2,2
0, + )
-2,2 = 0,2 y empleando las definiciones
x + 4 – x2
x - 4 – x2
x . ( 4 – x2) = 4 – x3
x / 4 – x2 = x / 4 – x2
MATEMATICAS – Cálculo 11
36
PGF03-R03
MODELACIÓN 2
Dadas F(x) = 5x2 – 3x + 2 y G(x) = 4x + 3 determinemos:
(F º G) (-2)
(G º F) (2)
(F º G) (x)
El dominio de F º G
(F º G) (-2) = F G (-2)
= F (-5)
= 5(-5)2 – 3(-5) + 2 = 142
(G º F) (2)
= G F (2)
= G (16)
= 4(16) + 3 = 67
(F º G) (x)
= F G (x)
= F (4x + 3)
= 5(4x + 3)2 – 3(4x + 3) + 2
= 5(16x2 + 24x + 9) – 12x – 9 + 2 = 80x2 + 108x + 38
(G º F) (x)
= G F (x)
= G (5x2 – 3x + 2)
= 4(5x2 – 3x + 2) + 3 = 20x2 – 12x + 11
Dom (f) = R y Dom (g) = R, como para cada X
R (dominio de G), el valor de F(x)
(dominio de F), entonces el dominio de F º G también es R.
R
MODELACIÓN 3
Dadas dos funciones F(x) = (x2 - 9) y G(x) = 1/x-3, definidas en R, determinar F(x). G(x) e
igualmente su dominio.
F(x). G(x) = (x2 – 9) (1/x-3)
F(x) . G(x) = x2 – 9
x-3
F(x) . G(x) = (x – 3) (x + 3)
X–3
F(x). G(x) = x + 3
Calculamos ahora D (F. G)
MATEMATICAS – Cálculo 11
37
PGF03-R03
F(x) = x2 – 9
Df = R (- ,+ )
G(x) = 1/x-3
X = 3, luego Dg = R – (3)
Por consiguiente
D (f . g) = Df
Dg
= (- ,+ )
R – (3)
= R – (3)
Sean las funciones de F(x) = 2x2, G(x) = 7x + 4
H(x) = 1/x2-3; P(x) = x+3/2, resuelve las siguientes operaciones entre ellas:
F(x) + G(x)
F(x) + H(x) – P(x)
F(x) . P(x)
P(x)
F(x)
H(x) + P(x)
H(x) . G(x)
H (x)
F(x) + G(x)
P(x) . P(x)
G (x)
H(x) + H(x)
MATEMATICAS – Cálculo 11
38
PGF03-R03
Si F(x) = 2x2 – x – 3, G(x) =
x + 5, h(x) = 1/x, r(x) = x3 – 1 y t(x) = x/ x+5 determina:
(G + r) (2)
(F - t) (-3)
(G / F) (4)
(r . t) (3)
(F º G) (1/4)
(G º F) (4)
(F + G) (x)
(H / t) (x)
(r - F) (x)
 Si el costo de una boleta para un concierto se aumenta en x pesos, el incremento del
beneficio en miles de pesos se da por la función G(x) = 24 –5x + x2, x 8. Encuentra el
incremento en el beneficio si el costo de la boleta se aumenta en :
$ 1.000
$ 2.000
$ 5.000
 El numero aproximado de accidentes en un mes relacionados con conductores de x años
de edad puede estimarse mediante la función : A(x) = x2 – 48x + 587
Calcula el número aproximado de accidentes en un mes relacionado con personas de:
18 años
21 años
25 años
 Las ganancias P obtenidas en millones de pesos, por concepto de la construcción de un
edificio de oficinas de Y pisos, puede calcularse mediante la función :
F (y) = 0.02y2 + 0.1y – 0.3. Determina las ganancias aproximadas obtenidas de la
construcción del edificio de oficinas de:
3 pisos
7 pisos
12 pisos
MATEMATICAS – Cálculo 11
39
PGF03-R03
 El numero de centímetros que se estira un resorte cuando una masa m en kilogramos se
sujeta a este puede calcularse mediante la función:
G (m) = 3.4m2 – 0.3m2 Cuanto se estirara el resorte si se sujeta a el las siguientes
masas.
3 kg
4 kg
4.5 kg
 El numero de bacterias en un cultivo, después de y horas, esta dado por la función: F(t) =
500et
Halla el número de bacterias:
Al iniciarse el cultivo
1 hora después
2 horas y media más tarde de iniciado el cultivo.
Completa el mentefacto de funciones y elabore un texto explicativo.
MATEMATICAS – Cálculo 11
40
PGF03-R03
SUCESIONES
Sucesión de números reales es una función cuyo dominio es el conjunto de los números
naturales N y su condominio es el conjunto de los números reales R.
Simbólicamente: S: N
R, define una sucesión.
Formas para determinar una sucesión
De las sucesiones an bn y cn analizadas en párrafos anteriores y del concepto de términos
n-esimo o termino general (Sn) podemos asegurar que una sucesión se puede determinar de
dos formas:
Conociendo los términos de la sucesión (elementos), establecer el termino n-esimo o termino
general; y
Conociendo el término n-esimo o término general, establecer los términos que forma la
sucesión.
Para determinar el termino n-esimo o termino general debemos conocer como mínimo cinco
términos de la sucesión y analizar que transformación se les realizo a los números naturales
(0, 1, 2,3,.............) para obtener los términos de la sucesión que son números reales.
MODELACIÓN 1
Establecer el término general de la sucesión cuyos términos son:
Sn = 2,3/2,4/3,5/4,6/5,.....
Analicemos en forma semejante al ejemplo 1
Al numero natural cero (0) lo transformamos en 2; 0
2
Al numero natural uno (1) lo transformamos en 3/2; 1
3/2
Al numero natural dos (2) lo transformamos en 4/3; 2
4/3
Al numero natural cuatro (4) lo transformamos en 6/5; 4
6/5
Observa que los términos de la sucesión son números fraccionarios, donde el numerador
esta formado por el número natural más 2 y el denominador es el número natural más 1,
entonces:
Sn = n + 2 n
n+1
N
MATEMATICAS – Cálculo 11
41
PGF03-R03
MODELACIÓN 2
Encontramos los 8 primeros términos de la sucesión definida por:
Sn = 2n
n
2n + 1
Primer termino
N
2º = 1 = 1
2(0) + 1 0+1
Segundo termino 21
= 2 = 2/3
2(1) + 1 2+1
Tercer termino
22 = 4 = 4/5
2(2) + 1 4+1
Cuarto termino
23 = 8 = 8/7
2(3) + 1 6+1
y seguimos reemplazando en el termino general a n por los números naturales hasta obtener
el numero de términos pedidos, luego.
Sn = 2n
=
2n + 1
1, 2/3, 4/5, 8/7, 16/9, 32/11, 64/13, 128/15,..........
Encuentra los 6 primeros términos en cada una de las sucesiones siguientes:
Sn = (-1/3) n n
Sn = n + 3 n
2
Sn = 2 / 2n + 1
N
N
n
N
Sn = n2 n
N
Sn = 1 / 2n n
N
Sn = (-1) n2 n
N
MATEMATICAS – Cálculo 11
42
PGF03-R03
Sn = 2n - 1 n
3
N
Sn = n3 n
N
Sn = n2 n
N
Halla el término general para cada una de las siguientes sucesiones:
Sn = 0,2,4,6,8,10,.........
Sn = -2,1/2,4/3,7/4,2,13/6,.........
Sn = 0,1/4,2/3,9/8,8/5,25/12,.........
Sn = 0,1/3,2/6,3/11,4/18,5/27,.........
Sn = 0,3/2,6/5,9/8,12/11,15/14,.........
SUCESIONES MONOTONAS
Se dice de una sucesión es monótona creciente si cada termino de ella es mayor o igual que
el termino inmediatamente anterior.
Simbólicamente es monótona creciente si Sn Sn + 1 para todo n
N
MODELACIÓN 1
Dada la sucesión n/2 = 0,1/2, 1,3/2, 2,5/2, 3,7/2......... Analizar el comportamiento de sus
términos.
El primer termino es 0, el segundo termino es ½, el tercer termino es 1, el cuarto termino es
3/2, etc. Observamos en los términos que:
Se dice que una sucesión es monótona decreciente, si cada termino de ella es menor o igual
que el termino inmediatamente anterior.
Simbólicamente es monótona decreciente si Sn Sn + 1 para todo n
N
MATEMATICAS – Cálculo 11
43
PGF03-R03
MODELACIÓN 2
15 – 2n = 5, 13/3, 11/3, 3, 7/3, 5/3,1..... Analizar el
3
Comportamiento de su términos.
Dada la sucesión
Analizando los términos de la sucesión, vemos que:
Primer termino 5, segundo termino 13/3, tercer termino 11/3, cuarto termino 3, quinto termino
7/3.... Etcétera.
Podemos observar también que:
5
13/3; 13/3
11/3
3,....... etc.
Podemos obtener otra conclusión sobre las sucesiones, y es cuando estas tienen todos sus
términos iguales. Estas sucesiones reciben el nombre de sucesiones constantes.
Clasifica las siguientes sucesiones en monótonas crecientes, decrecientes o constantes,
según el caso.
1/n2 + 1 n N
7n + 3/ 2n+1 n N
(1)n n N
2n n N
3n + 5/ 4n + 12 n N
2n + 1/ n + 3 n N
4n + 1/ 2n + 2 n N
n/n+1 n N
n2 n N
(1/2)n n N
MATEMATICAS – Cálculo 11
44
PGF03-R03
SUCESIONES ACOTADAS
Sucesión acotada superiormente
Una sucesión es acotada superiormente cuando existe un numero real M (COTA) mayor o
igual que todo termino de la sucesión.
MODELACIÓN 1
Hallemos los 7 primeros términos de la sucesión cuyo termino general es 2/ n+1 , n
analicemos su solución.
Ny
Los siete primeros términos son: 2/ n+1 = 2, 1,2/3,2/4,2/5,2/6,2/7......
Observando los términos, notamos que cada uno de ellos es menor que 2 (primer termino).
Por lo tanto, la sucesión 2/ n+1 es acotada superiormente.
Sucesión acotada inferiormente
Una sucesión es acotada inferiormente si existe un numero real m (COTA) menor o igual que
todo termino de la sucesión
MODELACIÓN 1
Hallemos los 7 primeros términos de la sucesión cuyo término general es
analicemos su solución.
2n + 2 , y
Los siete primeros términos son: 2n + 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12,14......
Notamos que existe un numero real que es menor que cada uno de los términos de la
sucesión. En nuestro ejemplo, el termino 2 cumple esta condición. Por lo tanto el 2 es una
cota inferior de la sucesión 2n + 2 .
MATEMATICAS – Cálculo 11
45
PGF03-R03
Identifica una cota superior en las sucesiones siguientes: (n
N)
2 / 3n
n / 2 + n2
1 / n2 + 2
2n – 1
52n+1
(2n)
1 + n2
Identifica una cota inferior en cada una de las sucesiones siguientes: (n
N)
2n / 3n + 1
2n + 1
3n / n + 1
2n
3n - 1
Identifica la cota superior o inferior de las sucesiones siguientes:
Sn = 2, 1,1/2,1/4,1/8,1/16
Sn = 2, 4, 6, 8, 16, 32,64
Sn = 0, 1, 4, 9, 16,25
Sn = 1,1/2,1/4,1/8,1/16
MATEMATICAS – Cálculo 11
46
PGF03-R03
LIMITE DE UNA SUCESION
Un numero real A es el limite de una sucesión Sn si el valor absoluto de la diferencia
entre Sn y A es tan pequeño como deseemos, siempre que n tome valores cada vez mas
grandes.
Simbólicamente Lim Sn = al
m, donde m se hace tan pequeño como deseemos,
n
Cuando n se hace muy grande.
MODELACIÓN
Dada la sucesión n + 1/ n = 2, 3/2,4/3,5/4,6/5,7/6......... Con n
Graficar la sucesión y analizarla.
0,
Al graficar obtenemos
Al analizar la representación grafica de la sucesión, vemos que los términos se acercan hacia
el valor 1. Ósea que a medida que n toma valores cada vez mas grandes, los términos de la
sucesión se aproximan al valor 1, es decir, el limite de la sucesión n + 1/ n con n 0,
cuando n toma valores muy grandes es igual a 1.
Simbólicamente Lim Sn =
n + 1/ n = 1, n
0yn
N.
n
MATEMATICAS – Cálculo 11
47
PGF03-R03
SIMULACION
Determina el límite de las sucesiones cuyo término general es: (n
N)
1+2/n+1
2 / 2n
1 / n2 + 1
2–1/n+2
1 – 1 / 2n
1 / 2n+ 2
2n + 1 / 3n + 2
n / 2n + 1
6 (-5/6)n
SUCESIONES CONVERGENTES - SUCESIONES
DIVERGENTES
Una sucesión es convergente si el límite tiende a un valor determinado. Una sucesión es
divergente si el límite de ella no existe.
MODELACIÓN
Dada la sucesión 3n / n + 1
sucesión cuando n tiende a
=
0,3/2, 2,9/4,12/5,15/6.....
Calculemos el limite de la
Si hacemos que en la sucesión 3n / n + 1 n tome valores muy grandes, venos que los
términos de la sucesión se acercan al valor de 3, luego:
Lim 3n / n + 1 = 3
n
MATEMATICAS – Cálculo 11
48
PGF03-R03
La sucesión tiende a un valor determinado, el 3 ósea la sucesión tiene un limite y recibe el
nombre de convergente.
MODELACIÓN
Dada la sucesión n = 0, 1, 2, 3, 4, 5,6....... Calculemos el limite de la sucesión cuando n
tiende a
Si hacemos que n tome valores muy grandes, venos que los términos de la sucesión no
tienden a ningún valor determinado.
Entonces, podemos afirmar que la sucesión no tiene límite.
Simbólicamente
Lim n , no existe
n
A este tipo de sucesiones se les llama divergentes.
Determina el limite de las siguientes sucesiones: (n
convergentes.
Sn =
Sn =
Sn =
Sn =
Sn =
Sn =
Sn =
Sn =
N) y diga si son divergentes o
3n + 1
2n – 1/2
n2 / 1 + n
-n / n + 2
-2n / 3n - 2
n+2/n+1
- n + 1/ 2 + n
n / 6 + 2n
MATEMATICAS – Cálculo 11
49
PGF03-R03
Elabora un texto explicativo sobre el anterior mentefacto “sucesión”
MATEMATICAS – Cálculo 11
50
PGF03-R03
RESPONDA LAS
INFORMACION:
PREGUNTAS
1
A
4
DE
ACUERDO
CON
LA
SIGUIENTE

Un camión se compro en 1995. La relación entre el costo del camión y la depreciación
dada por su uso, se representa en la grafica siguiente, en la cual, el tiempo se ubica en el
eje horizontal (años de vida útil) y el valor en el eje vertical (millones de pesos):

De acuerdo a la grafica, se pueden afirmar que el camión pierde la totalidad de su valor
en:
120 años
20 años
15 años
8 años

La pendiente de la recta que representa la depreciación del camión es igual –6, esta
indica la relación entre la variación del precio del camión y los años de uso. En este caso
se puede afirmar que:
Por cada año que transcurre, el precio del camión disminuye en 6 millones de pesos.
Por cada año que transcurre, el camión aumenta en su precio 6 millones de pesos.
Cada vez que el precio del camión disminuye en 6 millones, significa que tiene un año
menos de vida útil.
MATEMATICAS – Cálculo 11
51
PGF03-R03
Cada vez que el precio del camión aumenta en 6 millones, significa que tiene un año menos
de vida útil.

La relación del precio del camión (p) y los años de vida útil (t), se aproxima a la función
lineal p(t) = 120 – 6t y la grafica que describe se representa en el primer cuadrante
porque:
El dominio de la función esta formado por los números reales entre 0 y 8
El recorrido de la función esta formado por los números reales entre 0 y 120
Económicamente no es posible que P y t tomen valores negativos.
El año cero corresponde al año de adquisición del motor.

Si el camión fue comprado en 1995, un registro tabular que ilustra la información de la
grafica es:
A
Precio del camión (millones de pesos)
Tiempo (años)
120 112 96
84
1995 1996 1997 1998
B
Precio del camión (millones de pesos)
Tiempo (años)
120 132 114 156
1995 1996 1997 1998
C
Precio del camión (millones de pesos)
Tiempo (años)
120 114 108 102
0
1
2
3
D
Precio del camión (millones de pesos)
Tiempo (años)
120
0

108
1
96
2
84
3
Las siguientes piezas son utilizadas en la industria de la ornamentación como piezas de
seguridad. Se ha colocado x en las dimensiones de cada pieza, ya que pueden variar de
acuerdo con las necesidades de los compradores.
Para que el fabricante de estas piezas logre construir la pieza 2, debe:
A una pieza de dimensiones (2x+5). 2x. 3x quitarle un pedazo de dimensiones x.x (2x + 5)
MATEMATICAS – Cálculo 11
52
PGF03-R03
Ensamblar 5 piezas iguales, de dimensiones s.f. (2x+5).
Ensamblar tres piezas, dos de dimensiones iguales de 2x. (2x+5) y otra de dimensiones x.x
(2x+5)
Ensamblar tres piezas, dos de estas iguales cuyas dimensiones corresponden a 2x. X y la
otra de 3x. 2x (2x + 5)

De acuerdo a la información y grafico de la pregunta anterior, si la pieza uno fuese hueca
y quisiera colocar piezas en su interior, de la forma y dimensiones que se indican en la
figura.
La máxima cantidad de piezas que debe contener la pieza 1 es:
9, porque en la base contiene 5, luego 3 y finalmente 1
4, porque en la base contiene 3, luego 1
9, porque en cada vértice hay 1, en cada lado hay 1 y en el interior 3
4, porque en cada vértice hay 1 y en el centro 1

Un estudiante de 11 recoge datos con las edades de sus 25 compañeros de curso y los
organiza en filas de la siguiente manera:
17
17
16
16
16
15
16
16
17
15
17
15
15
16
15
15
17
17
15
17
16
17
17
17
16
El estudiante concluye que 2/5 de los estudiantes tienen 17 años, esto significa que:
3/5 de los estudiantes son menores de 17 años
MATEMATICAS – Cálculo 11
53
PGF03-R03
por cada fila de cinco personas hay dos estudiantes de 17 años
de las cinco filas por lo menos dos son estudiantes de 17 años
el 40% de los estudiantes tienen 17 años.

De acuerdo a la información y cuadro de la pregunta anterior ¿con cual de las siguientes
opciones se podría diferenciar la información recogida por el estudiante?

De acuerdo a la información y tabla de las preguntas anteriores podemos inferir con un
estudiante de 11B que observa que su curso guarda las mismas proporciones de
números de estudiante por edad. Si en 11b hay 12 alumnos cuya edad es de 17 años se
puede afirmar que:
El número de estudiantes de 11B es 25
El número de estudiantes menores de 16 años es 18
El numero de estudiantes de 15 años esta entre 8 y 10
El número de estudiantes de 11B es mayor que 25

La figura que se forma a partir de un cierto numero de cubos, que tendrá de arista la
mitad de longitud de la arista de los cubos que componen la figura anterior, como se
ilustra a continuación.
4 cm
2 cm
1 cm
El volumen en cada figura:
Aumenta, dado que se van dispersando más los cubos resultantes en cada figura
MATEMATICAS – Cálculo 11
54
PGF03-R03
Crece, pues es directamente proporcional al número de cubos resultantes en cada figura
Se conserva invariante, pues si se encajan cada uno de los cubos en cada figura formando
uno solo, la arista de estos nuevos cubos quedarían de igual longitud.
No varia, puesto que la suma de los volúmenes de los cubos que componen cada figura,
siempre es constante.

De acuerdo a la información y grafica de la pregunta anterior se puede afirmar que la
superficie total de la figura 3 en relación con la superficie total de la figura 1 es:
La suma de la superficie de los 64 cubos de un centímetro de arista es 4 veces la superficie
del cubo de 4 cm. de arista.
La superficie de la figura 3 esta en razón de 1 a 4 con respecto a la superficie de la figura 1
La superficie total de la figura 3 es mayor que la superficie de la figura 1 por estar compuesta
por un mayor número de cubitos.
La superficie total de las dos figuras es la misma, pues la arista del cubo de la figura 1 es
equivalente a la suma de las aristas de cuatro cubos de la figura 3.
MATEMATICAS – Cálculo 11
55
PGF03-R03
UNIDAD 3
PENSAMIENTO VARIACIONAL Y
SISTEMA ALGEBRAICO ANALITICO
PROPOSITOS
Adquirir habilidades en la solución de limites infinitos y en el infinito de una función
Comprender y aplicar la derivación por definición y por fórmula, aplicarlas en la
solución adecuada de situaciones que requieran de su uso.
MATEMATICAS – Cálculo 11
56
PGF03-R03
LAS MATEMATICAS DEL MOVIMIENTO
Cuando los grandes matemáticos del siglo XVII, Isaac Newton y Gottfriel Wilhelm von Leibniz
desarrollaron el cálculo como una forma para medir el movimiento, estaban, en cierto modo,
introduciendo en la matemática el principio de las películas cinematográficas. De la misma
forma que una película de cine consiste en la repetición de fotografías de un objeto, el
cálculo transforma el movimiento en la naturaleza muerta que puede ser observada figura por
figura.
Al inventarse el cálculo, los matemáticos podían tratar a un objeto en movimiento como un
punto describiendo una trayectoria a través del espacio y deteniendo la acción, calcular la
velocidad del objeto y su aceleración en un momento especifico. El planeta en que vivimos
esta en movimiento, como también lo están las moléculas de aire que respiramos. Por medio
del cálculo, estos movimientos pueden definirse a pesar de que no puede verse.
La secuencia fotográfica nos muestra que un movimiento puede descomponerse en
pequeños incrementos de variación, en forma análoga, el cálculo trata el movimiento como
un número infinito de instantes.
 Enumere en forma preposicional el anterior texto.
 Indica de todas las proposiciones del texto cuales son relevantes y organiza un corto
escrito con ellos.
MATEMATICAS – Cálculo 11
57
PGF03-R03
LIMITES
[Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite es, a no
dudarlo, el más importante, y quizás el más difícil... lo que vamos a definir no es la palabra
'límite', sino la noción de función que tiende hacia un límite.
[el análisis matemático moderno utiliza un método especial, que fue elaborado en el
transcurso de muchos siglos, y constituye ahora su instrumento básico. Nos referimos al
método de los infinitésimos o, lo que en esencia es lo mismo, de los límites.
Definición provisional
[La función f tiende hacia el límite l cerca de a, si se puede hacer que f (x) esté tan cerca
como queramos de l haciendo que x esté suficientemente cerca de a, pero siendo distinto de
a... solamente hace falta que f (x) esté próximo a l cuando x está próximo a a pero es distinto
de a. Sencillamente no nos interesa el valor de f (a) ni siquiera la cuestión de si f (a) está
definido.
Definición
[La función f tiende hacia el límite l en a
para todo x, si
, entonces
>
> 0 tal que,
.
Esta función es tan importante (todo lo que emprendamos a partir de ahora va a depender de
ella) que sería en vano pasar adelante sin saberla. ¡Apréndala el lector de memoria si es
necesario, como si fuese un poema!
[El número l al que tiende f cerca de a se designa por
cuando x tienda hacia a)... La ecuación
(léase: el límite de f (x)
MATEMATICAS – Cálculo 11
58
PGF03-R03
tiene exactamente el mismo significado que la frase
f tiende hacia l en a.
LIMITE DE FUNCIONES
Decir que lim f(x) = L significa que la diferencia entre f(x) y L se puede hacer
x
a
Arbitrariamente pequeña con tal que x este lo suficientemente cerca de a pero diferente de
este.
Tratemos ahora de precisar esto.
Consideremos la función f(x) = 2x – 3 y analicemos el comportamiento de f(x) muy cercano o
próximo a 4.
X se acerca a 4 por la izquierda
X
3.7
F(x) 4.4
3.8
4.6
3.9
4.8
X se acerca a 4 por la derecha
3.99 3.999 3.9999 4
4.98 4.998 4.9998 5
4.0001 4.001 4.01 4.1
5.0002 5.002 5.02 5.2
4.2
5.4
4.3
5.6
F(x) tiende hacia 5
F(x) tiende hacia 5
Observamos entonces que si el valor de x se aproxima a 4, sin importar porque lado, f(x) se
aproximara a 5 y concluimos que:
x
lim 2x - 3 = 5
a
MATEMATICAS – Cálculo 11
59
PGF03-R03
TEOREMA DE LIMITES
[I.
Si f (x) = c, constante, tendremos:
Si
II.
y
, resulta:
, siendo k una constante.
III.
IV.
V.
VI.
, siempre que
sea un número real. (Ayres,
10)]
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Supongamos que C es una constante y que los limites lim f(x) y lim g(x) existen
x
a
x
a
 lim c = c
x
a
 lim x = a
x
a
 lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x)
x
a
x
a x
a
 lim f(x) - g(x) = lim f(x) – lim g(x)
x
a
x
a x
a
MATEMATICAS – Cálculo 11
60
PGF03-R03
 lim c f(x) = lim f(x)
x
a
x
a
 lim f(x) g(x) = lim f(x). lim g(x)
x
a
x
a x
a
 lim f(x) / g(x) = lim f(x) / lim g(x) si lim g(x)
x
a
x
a x
a
x
a
 lim f(x) n = lim f(x) n n
x
a
x
a
 lim x = a, n
x
a
 lim f(x) =
x
a
0
Z+
Z+ (n es par y se supone que a
lim f(x), n
0)
Z+(n es par y se supone que lim f(x)
x
a
0)
MODELACIÓN 1
lim X2 – X + (X3 + X)9
X 1
lim X2 – X + lim (X3 + X)9
X 1
X 1
lim X2 – lim X + lim X3 + lim X 9
X 1
X 1
X 1 X 1
12 – 1 + 13 + 1
9
= 29 = 512
MATEMATICAS – Cálculo 11
61
PGF03-R03
Halla en cada caso el límite propuesto:

Lim x2
X 2

Lim (3x + 2)
X
-3

Lim (2x - 1)
X 0

Lim (-x2 + 1)
X 1

Lim (-x2 + x - 2)
X
2

Lim (3x3 – 2x2 + 4)
X
1

Lim x2 + 1
X
-1 X

Lim
x+1
X
3 x–4

Lim sen x
X
¶/2

Lim tan x
X ¶

Lim cos ¶ x
X 1

Lim sen ¶ x / 2
X 1
MATEMATICAS – Cálculo 11
62
PGF03-R03
LIMITES INDETERMINADOS
En la evaluación de límites se puede presentar, algunas veces formas extrañas que no
presentan ni dicen nada. Estas formas reciben el nombre de indeterminadas, como:
,- ,
0/0, / , 0º, 1 , º
Si en el cálculo del límite aparece alguna de estas formas, se debe calcular e limite utilizando
otros procesos, con el propósito de abitar la indeterminación.
MODELACIÓN 1
Lim
x3 + 3x2 + 2x = (-2)3 + 3(-2)2 + 2(-2)
X
-2 x2 – x – 6
(-2)2 -(-2) –6
= 0/0 indeterminada
Lim
x3 + 3x2 + 2x = Lim
x(x + 1) (x + 2)
X
-2 x2 – x – 6
X
-2 (x + 2) (x - 3)
Lim
X
-2
x(x + 1)
x-3
= -2 (-2 + 1) = - 2
-2 –3
5
MODELACIÓN 2
Lim
X
1
x–1= 1–1 =0
x–1 1 -1
0
Lim
X
1
x – 1 = Lim
x–1
X
1
Lim
X
1
Lim
X
1
x–1 .
x–1
x+1
x+1
x–1
(x – 1) ( x + 1)
1
=
x+1
1
.
1+1
=1
2
MATEMATICAS – Cálculo 11
63
PGF03-R03
Lim
X
-1
x2 - 1
x+1
Lim
X
-1
2x2 – x - 3
x+1
Lim
X
3
x-3
x2 – 9
Lim
X
-1
x3 + 1
x+1
Lim
X
-2
x3 + 8 =
x+ 2
Lim
X
1
x3 + x - 2
x3 – x2 – x + 1
Lim
X
5
x2 - 5
x2 – 25
Lim
X
0
2+x- 2
2
Lim
X
0
3+x- 3
x
FUNCIONES CONTINUAS
Intuitivamente, una función f es continua si su gráfica no contiene interrupciones, ni saltos ni
oscilaciones indefinidas. Aunque esta descripción es, por lo general, suficiente para decidir si
una función es continua observando simplemente su gráfica, es fácil engañarse, y la
definición rigurosa es muy importante.
Las funciones continuas constituyen la clase básica de funciones para las operaciones del
análisis matemático. La idea general de función continua viene a ser la de que su gráfica sea
continua; esto es, que la curva pueda dibujarse sin separar el lápiz del papel.
MATEMATICAS – Cálculo 11
64
PGF03-R03
Intervalos finitos
Sean a y b dos números tales que a < b. El conjunto de todos los números x comprendidos
entre a y b recibe el nombre de intervalo abierto de a a b y se escribe a < x < b. Los puntos a
y b reciben el nombre de extremos del intervalo. Un intervalo abierto no contiene a sus
extremos.
El intervalo abierto a < x < b junto con sus extremos a y b recibe el nombre de intervalo
cerrado de a a b y se escribe a x b.
Sea a un número cualquiera. El conjunto de todos los números x tales que x < a recibe el
nombre de intervalo infinito. Otros intervalos infinitos son los definidos por x a, x > a y x a.
(Ayres, 2)]
Definición de función continua
La función f es continua en a si
.
Una función se dice continua en un intervalo dado si es continua en todo punto x de este
intervalo...
Así, para dar una definición matemática de esa propiedad de las funciones que viene
caracterizada por el hecho de que su gráfica sea continua (en el sentido usual de la palabra),
fue necesario definir primero la continuidad local (continuidad en el punto a), y luego, a partir
de ella, definir la continuidad de la función en todo el intervalo.
LIMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO
Si el valor f(x) de una función crece o decrece sin cota cuando x tiende a a, entonces lim f(x)
no existe. Sin embargo, se puede describir.
Lim f(x) = +
V
Lim f(x) = -
Para indicar que f(x) crece o decrece sin límite.
MATEMATICAS – Cálculo 11
65
PGF03-R03
MODELACIÓN
La función f(x) = 1/x2, cuando x tiende a 0 ¿tiene limite? Calculemos el valor de la función en
puntos próximos a 0 como indica la tabla.
X tiende a 0 por la izquierda
X
F(x)
-1
1
-1
X tiende a 0 por la
2
-10
102
-10104
3
-10106
0
?
derecha
10-3
106
F(x) crece sin límite
10-2
104
F(x)
10-1
102
crece
-1
1
sin
límite
Observa en la tabla como cuando x tiende a 0 tanto por la izquierda como por la derecha, los
valores de la función son cada vez mayores y cuanto mas nos aproximamos a 0 mayor es el
valor de la función.
La función f(x) crece tanto como queremos, siempre que x tome un valor suficientemente
próximo a 0. Cuando esto sucede, la función f(x) tiene por limite + cuando x tiende a 0.
Simbólicamente escribimos:
Lim 1 / x2 = +
LIMITES EN EL INFINITO
La indeterminación / , en una función racional, se resuelve dividiendo numerador y
denominador de la función entre la potencia de mayor grado.
Los posibles casos son:
X, si grado de p(x) > grado de Q(x)
Lim P(x) =
x→ +∞
Q(x)
0, si grado de p(x) < grado de Q(x)
M / n, si grado de p(x) = grado de Q(x). Siendo m y n
Los coeficientes de los términos de mayor grado de p(x) y Q(x),
respectivamente.
MATEMATICAS – Cálculo 11
66
PGF03-R03
Simbólicamente escribimos:
Lim
x→ +∞
1 = 0 y Lim
1=0
x→ -∞
x
x
MODELACIÓN 1
Calculemos el valor de los siguientes limites:
Lim
x→ +∞
x+1=0
x2 + 4
Dividimos numerador y denominador por x2
Lim
x→ +∞
x+1
Lim
2
x
= x→ +∞
x2 + 4
x2
=0+0 = 0= 0
1+0
1
Hallemos
Lim
x→ +∞
Lim
x→ +∞
1+1
x x2
1+ 4
x2
4x3 + 8x2 – 1
√x6 + 1
4x3 + 8x2 – 1 = 4 . ∞3 + 8 . ∞2 – 1 = ∞
√x6 + 1
√∞6 + 1
∞
Aunque esta fracción no es una función racional también sirve la técnica de dividir por la
máxima potencia de x.
Lim
x→ ∞
4x3 + 8x2 – 1 = Lim
x→ ∞
√x6 + 1
(4x3 + 8x2 – 1)
x3
(√x6 + 1)
X3
= Lim
4+8 - 1
x
x3
√ 1 + 1/x6
= Lim
4+0–0 =4
1+0
x→ ∞
x→ ∞
MATEMATICAS – Cálculo 11
67
PGF03-R03
Lim
3X2
x2 + 2
Lim
x→ +∞
√2x3 - 8
5x2 - 6
Lim
(√x2 + X – X)
Lim
(√x2 + 1 – X)
Lim
x2 - 2X + 5
8X3 + X + 2
x→ +∞
x→ +∞
x→ +∞
x→ +∞
MATEMATICAS – Cálculo 11
68
PGF03-R03
CALCULO DIFERENCIAL
DERIVADA DE UNA FUNCION
El concepto más importante del cálculo y en general de todas las matemáticas es el de
derivada. Dos problemas analizados nos conducen al concepto de derivada:
Por un lado, calcular la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado, y por el
otro lado, calcular la velocidad instantánea de un cuerpo que se desplaza con movimiento
variado.
A pesar de ser estos dos problemas cualitativamente diferentes, el procedimiento para
encontrar la solución es similar.
La razón de cambio en un instante y la pendiente de la recta tangente la curva se definieron
como el limite del cociente entre el incremento de la variable dependiente sobre el
incremento de la variable independiente, cuando este ultimo tiende a cero, siempre que
exista.
Incrementos
x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un
valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,
o bien
función y = f (x
cociente
x a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x0 a x = x0 + x), la
y = f (x0 + x) - f (x0) a partir del valor y = f (x0). El
MATEMATICAS – Cálculo 11
69
PGF03-R03
Pendiente
[Si h 0, entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)) determinan, como en la
figura 6, una recta cuya pendiente es
Figura 6.
Como indica la figura 7, la 'tangente' en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de
estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí no hemos hablado nunca del 'límite'
de rectas, pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a,
f (a)) debería ser
MATEMATICAS – Cálculo 11
70
PGF03-R03
Figura 7.
Definición
[La función f es derivable en a si
existe.
En este caso el límite se designa por f' (a) y recibe el nombre de derivada de f en a.
(Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de f.)
Definimos la tangente a la gráfica de f en (a, f (a)) como la recta que pasa por (a, f (a)) y
tiene por pendiente f' (a). Esto quiere decir que la tangente en (a, f (a)) sólo está definida si f
es derivable en a.
[Para una función dada f, la derivada f' se designa a menudo por
No hace falta decir que las distintas partes de esta expresión carecen de todo significado
cuando se consideran separadamente; las d no son números, no pueden simplificarse, y la
expresión completa no es el cociente de otros dos números 'df (x)' y 'dx'. Esta notación se
MATEMATICAS – Cálculo 11
71
PGF03-R03
debe a Leibniz (generalmente considerado como el codescubridor independiente del cálculo
infinitesimal junto con Newton) y es llamada afectivamente notación de Leibniz.
Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él consideraba
no como el límite de los cocientes (f (a+h)-f (a))/h, sino como el 'valor' de este cociente
cuando h es un número 'infinitamente pequeño'. Esta cantidad 'infinitamente pequeña' fue
designada por dx y la correspondiente diferencia 'infinitamente pequeña' f (x+dx)-f (x) por df
(x). Aunque es imposible reconciliar este punto de vista con las propiedades de los números
reales, algunos encuentran simpática esta noción de la derivada
[La derivada de y = f (x) con respecto a x se puede representar por uno cualquiera de los
símbolos
En otras palabras, la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la tangente
de dicha función en ese punto}
En conclusión se llama derivada de la función Y = f(x) en el punto x, al límite del
cociente incremental:
Lim
x→ 0
Y = Lim f(x + h) – f (x)
X
h→ 0
h
Y´= f ´(x) = dy / dx = Lim
h→ 0
f(x + h) – f (x) Notación de la derivada
h
Llamada incremento de una función
MODELACIÓN 1
Dada f(x) = 3x2 + 2x – 5, analizar Y / X, cuando X tiende a cero (0).
Solución
Por definición: Y =
f(x + h) - f(x)
h
Desarrollando: = 3(x + h)2 + 2 (x + h) – 5 – (3x2 + 2x - 5)
h
MATEMATICAS – Cálculo 11
72
PGF03-R03
Simplificando: = 3x2 + 6xh+3h2 + 2x + 2h – 5 – 3x2 – 2x + 5
h
Agrupando términos = 6xh + 3h2 + 2h
h
Factorizando
= h (6x + 3h + 2)
h
Como h → 0
Lim
h→ 0
Y
h
= Lim
h→ 0
6x + 3h + 2
=
6x + 3 (0) + 2
=
6x + 2
En cada uno de los siguientes ejercicios emplea la regla de los 5 pasos para hallar la
derivada:
F(x) = 37
F(x) = 9x - 2
F(x) = 2 + 8x – 5x2
F(x) = 1 / (x - 2)
F(x) = x3
F(x) = x2 – x + 1
F(x) = 2x2 – x + 5
F(x) = x3 – 12x + 11
F(x) = 10x2 + 9x – 4
F(x) = 15 – s + 4s2 – 5s4
MATEMATICAS – Cálculo 11
73
PGF03-R03
ACTIVIDAD DE APLICACIÓN
Un cuerpo se desplaza en línea recta de acuerdo con la ecuación x = 4t2 + 3t + 5 (x en cm . t
en seg) halla el valor de la velocidad promedio v, cuando t pasa de 2 a 10 seg.
A una empresa transportadora de aceite se le averió un camión y por un orificio se escapo el
aceite, reduciéndose el volumen V, al cabo de t segundos en
V(t)=2000-40t + 0.2t2. ¿A que velocidad disminuye el volumen en el instante
t = 30?
Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad promedio de 160 pies/
seg y alcanza una altura s = 160t – 16t2 al cabo de t seg ¿Qué velocidad lleva cuando
alcanza la altura de 256 pies?.
Una partícula se mueve a través de una curva recorriendo un espacio dado por s=4t2 – 3t +
40, en donde s seda en milímetros y t en segundos. Halla la velocidad instantánea al
comenzar el quinto segundo.
Un cuerpo se desplaza en sentido horizontal (hacia la derecha) de acuerdo con la ley x = t3
– 3t2 – 9t + 5. Encuentra la velocidad promedio cuando t cambia de 2 a 5,7 seg (x en cm y t
en seg)
El espacio recorrido por un automóvil en línea recta viene dado por la ecuación F(t) = t3 – 6t2
+ 9t + 4. Calcula el espacio recorrido cuando llega a estado de reposo. Sugerencia: halla S/t
e iguala a 0.
MATEMATICAS – Cálculo 11
74
PGF03-R03
FORMULAS DE LAS DERIVADAS DE ALGUNAS
FUNCIONES
En las fórmulas siguientes u, v y w son funciones derivables de x.
1.
, siendo c una constante.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
MATEMATICAS – Cálculo 11
75
PGF03-R03
Derivada de una constante
La derivada de la función constante f(x) = k es cero
D / dx (k) = 0
MODELACIÓN
La derivada de F(x) = -3 es F`(x) = 0
Derivada de una potencia
Si f(x) = xn entonces: d/ dx (xn) = nxn-1
EJEMPLO
Calcular la derivada de la función y = -3x2
Y `= 2 (-3) x2-1
Y `= -6 x1
Derivada de una suma
Si y = f (x) + g(x) entonces y`= f `(x) + g`(x)
MODELACIÓN
Calcular la derivada de la función y = 3x3 + 6x2 – 2x + 1
Consideremos y como la suma de las funciones g = 3x3, h = 6x2, u = 2x y v = 1.
Luego y`= g`+ h`+ u`+ v`, por lo tanto y`= 9x2 + 12x – 2
Derivada Del Producto
La derivada del producto de dos funciones es iguala la derivada de la primera función, por la
segunda, mas el producto de la primera función por la derivada de la segunda. Luego
podemos afirmar que:
Si y = f g entonces y`= f `. g + f . g`
MATEMATICAS – Cálculo 11
76
PGF03-R03
MODELACIÓN
Calcular la derivada de la función y = 2x (4x - 1) (3x + 2)
La derivada del producto de varias funciones se obtienen al sumar los términos que resultan
al multiplicar la derivada de cada uno de los factores por los otros factores sin derivar:
y = (2x) (4x - 1) (3x + 2)
y`= (2) (4x - 1) (3x + 2) + (2x) (4) (3x + 2) + 2x (4x - 1) (3)
y`= (8x - 2) (3x + 2) + 8x (3x + 2) + (8x2 – 2x) (3)
y`= 24x2 + 16x – 6x – 4 + 24x2 + 16x + 24x2 – 6x
y`= 72x2 + 20x - 4
Derivada Del Cociente
SI Y = f / g entonces y`= f `g – fg`
g2
MODELACIÓN
Calcular la derivada de y =
2x en el punto x = 3
3x + 1
La función y es el cociente de las funciones f = 2x y g = 3x + 1. por lo tanto para calcular y se
aplica la formula para hallar la derivada del cociente de dos funciones.
Y`= 2(3x + 1) – 2x (3)
(3x + 1)2
Y`= 6x + 2 – 6x =
2
(3x + 1)2
(3x + 1)2
y `(3) =
2
= 2 = 1
(3(3) + 1)2
100
50
MATEMATICAS – Cálculo 11
77
PGF03-R03
UNIDAD 4
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AVANZADOS
PROPOSITOS
Comprender y aplicar la integración por definición y por fórmula, aplicarlas en la
solución adecuada de situaciones que requieran de su uso.
MATEMATICAS – Cálculo 11
78
PGF03-R03
SEGUNDA DERIVADA
[Para una función cualquiera f, al tomar la derivada, obtenemos una nueva función f' (cuyo
dominio puede ser considerablemente más pequeño que el de f ). La noción de derivabilidad
puede aplicarse a la función f', por supuesto, dando lugar a otra función (f' )', cuyo dominio
consiste en todos los punta a tales que f' es derivable en a. La función (f' )' se suele escribir
por lo general simplemente f'' y recibe el nombre de derivada segunda de f. Si f'' (a) existe,
entonces se dice que f es dos veces derivable en a, y el número f'' (a) recibe el nombre de
derivada segunda de f en a...
No existe razón alguna para detenerse en la derivada segunda; podemos definir f''' = (f'' )', f''''
= (f''' )', etc. Esta notación se hace pronto difícil de manejar, por lo que se suele adoptar la
siguiente abreviación (se trata en realidad de una definición recursiva):
Las distintas funciones f (k), para k 2, son a veces llamadas derivadas de orden superior de
f... De hecho, se puede dar una definición para f (0), a saber,
Debemos mencionar también la notación de Leibniz para las derivadas de órdenes
superiores. El símbolo natural de Leibniz para f'' (x), a saber,
se abrevia poniendo
, o más frecuentemente
.
Una notación parecida se usa para f (n)(x).
MATEMATICAS – Cálculo 11
79
PGF03-R03
Máximos y mínimos
[Si f'(a) > 0, la función f(x) es creciente en el punto x = a y si f'(a) < 0, es decreciente en dicho
punto. Cuando f'(a) = 0, diremos que la función es estacionaria en el punto x = a.
Una función y = f(x) tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto x = a, cuando f(a) es
mayor (menor) que los valores de la función para los puntos inmediatamente anteriores y
posteriores al considerado.
La diferencial de una función
[La diferencial de una función surgió históricamente del concepto de 'indivisible'. Este
concepto, que desde un punto de vista moderno nunca estuvo muy claramente definido, era
en su tiempo (en el siglo XVIII) fundamental en el análisis matemático. Las ideas referentes a
él sufrieron cambios esenciales en el transcurso de varios siglos. Los indivisibles, y más
tarde la diferencial de una función, se representaban como verdaderos infinitésimos, como
algo de magnitud constante extremadamente pequeña, que sin embargo no era cero. La
definición dada en esta sección es la aceptada en el análisis moderno. De acuerdo con esta
definición, la diferencial es una magni
x, y al mismo tiempo
x. La otra propiedad fundamental de la diferencial, el carácter de su
y, sólo puede reconocerse 'en movimiento', por así decirlo: si
x que se aproxima a cero (que sea un infinitésimo), entonces
la diferencia entre dy
y
x.
Esta sustitución de los incrementos pequeños de la función por la diferencial forma la base
de la mayoría de las aplicaciones del análisis infinitesimal al estudio de la naturaleza. El
lector verá esto de un modo particularmente claro en el caso de las ecuaciones diferenciales.
MATEMATICAS – Cálculo 11
80
PGF03-R03
Dada la función y = f(x) se define:
(a)
(b)
dx, leído diferencial de x, por la relación dx = x.
dy, leído diferencial de y, por la relación dy = f'(x)dx.
La diferencial de una variable independiente es, por definición, el incremento que
experimenta; sin embargo, la diferencial de una variable dependiente o función no es igual a
su incremento.
Si dx = x es relativamente pequeño con respecto a x
aproximadamente hallando dy.
y se puede obtener
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
Y = -3x3
Y = 5x3
Y = 9x3
Y = ½ x3
Y=
3/2 x3
Y = 8x3
MATEMATICAS – Cálculo 11
81
PGF03-R03
Halla la derivada de las siguientes funciones (suma):
Y = x3 – 3x2
Y = -11x3 – 2
Y = 9x3 + 2x – 7
Y = 7x2 + 3x3
Y = 8x3 + 7x2
Y = - ¾ x3 + 9/2 x2 + 11x – 1
Calcula las derivadas de los siguientes productos de funciones:
Y = (3x + 7) (4x - 3) (5x + 8)
Y = (5x - 2)2 (6x + 1)
Y = (9x - 12) (8x + 3)
Y = (11x2 + 3) (x2 - 1) (x + 3)
Y = 14x2 (2x - 1) (8x - 3)
Y = 17x3 (7x + 3) (2x - 9)
Y = (x + 1) + (4x - 3)2
Y = (x + 1) (x + 2) (x + 3)
Aplica la fórmula para calcular la derivada del cociente de dos funciones y deriva:
Y= x+3
2x – 1
Y= x+1
x–1
Y = 3x - 4
3x + 2
Y = -3x
(4x – 2)2
Y = 6x + 1
4x2 – 3
Y = (x2)
(x – 1)
Y = 9x2 + 2
7x4 – 1
Y = 11x3 – 5x - 6
2x2 – 3x + 2
Y = 16x3 + 9x - 5
4x2 + 3x + 1
MATEMATICAS – Cálculo 11
82
PGF03-R03
REGLA DE LA CADENA
En general la derivada de la función compuesta g o f (x) = g (f (x)) es el producto de la
derivada de la segunda función cada una con respecto a su variable independiente.
Si y = (g o f) (x), entonces y`= g`(f (x)) . f `(x)
MODELACIÓN
Calcular la derivada de la función h(x) = (5x - 2)3
La función h(x) es una función compuesta por f(x) = 5x – 2 y g(x) = x3
Por lo tanto:
H(x) = (g o f) (x) = g (f (x))
H(x) = g`(f (x)) . f `(x)
h(x) = (5x - 2)3
h`(x) = 3(5x - 2)2 5
Derivada
De la
Función
Externa
derivada
de la
función
interna
Aplica la regla de la cadena y calcula la derivada de las siguientes funciones:
Y = (2x - 1)2
Y = (4x + 3)2
(2x - 3)2
Y = (7x - 3)2
X–1
Y = 12x (4x - 3)2
Y = 7 (x + 1)2
Y = (6x - 1) (x + 3)2
2
2
Y = (4x – 3x)
Y = 1 / (4x - 9)2
Y = (4x - 3)-2
MATEMATICAS – Cálculo 11
83
PGF03-R03
DERIVACION IMPLICITA
Pasos para la derivación implícita
Diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto a la variable que se defina (visualmente
es x).
Agrupar todos los términos que involucren la derivada con respecto a la variable definida en
el paso 1 al lado izquierdo de la ecuación, y trasladar los términos restantes al lado derecho
de la ecuación.
Simplificar la expresión resultante del paso anterior para la expresión de la derivada.
MODELACIÓN
Calcular la derivada implícita dy/dx en la ecuación: x2/4 + y2 – 2y = 0
Dado que y depende del valor de x entonces se derivan ambos miembros de la igualdad
respecto de la variable x:
D / dx (x2/4 + y2 – 2y) = d / dx (0)
Se aplica la regla para derivar la suma de funciones:
D / dx (x2/4) + d / dx (y2) – (2y) = d/dx (0)
Para derivar el primer termino del lado izquierdo de la igualdad, se aplica la derivada de una
potencia y para el segundo y tercer termino, la regla de la cadena.
2x/4 + 2y dy/dx – 2 dy/dx = 0
Se factoriza la derivada de y respecto a x:
X/2 + 2 dy/dx – (y - 1) = 0
Se despeja dy/dx : dy/dx = x / 4 (1 - y)
MATEMATICAS – Cálculo 11
84
PGF03-R03
Deriva implícitamente y despeja la derivada en cada una de las siguientes ecuaciones, hallar
dy/dx:
 X2 + y2 = 25
 X2/16 + y2/4 = 1
 (x - 1)2 + (y - 2)2 = 9
 x2 + y2 – 6y = 0
 (x + 1)2 / 9 – (y - 3)2 = 1
 (x - 3)2 + (y - 2)2 / 4 = 1
 x2/9 + y2 = 1
 x2 – 2x + y2/4 – y/2 – ¼ = 0
MATEMATICAS – Cálculo 11
85
PGF03-R03
OTRAS DERIVADAS
DERIVADA DEL LOGARITMO NATURAL
SI Y = Ln x, entonces y`= 1 / x
MODELACIÓN
Calcular la derivada de y = ln x3
Se puede calcular la derivada de y = ln x3 procediendo por dos caminos distintos. Si se
aplica la propiedad del logaritmo de una potencia se puede convertir la función compuesta en
el producto de la función constante 3 por la función logarítmica.
Y = ln x3 = 3 ln x, luego y`= 3 1/x = 3/x
El mismo resultado se obtiene al aplicar la derivada del logaritmo natural de una función:
Y = ln x3, luego y`= 1/x3 3x2 = 3/x
Calcula las siguientes derivadas:
Y = 1/x. Ln x2
Y = (x + 3)2
Ln x
Y = (3x - 1)2 ln x
Y = 7 ln x / 7x – 1
Y = ln (1 – 2x)/ x
Y = 6x / ln x4
Y = 1 / 2 ln x2
Y = ln (2x + 16 / ln x)
Y = ln x4 + 7/2x – 3
Y = ln (x - 3) / ln (x + 2)
MATEMATICAS – Cálculo 11
86
PGF03-R03
DERIVADA DE LA FUNCION Y =
e
x
La derivada de la función y = ex coincide consigo misma.
Si y = ex entonces y`= ex
DERIVADA DE LA FUNCION Y =
a
x
Sigue los pasos que a continuación se mencionan:
Toma logaritmos naturales en ambos miembros de la igualdad
Aplica la propiedad relativa al logaritmo de una potencia
Deriva ambos miembros de la igualdad
Despeja y`y reemplaza a y por su valor
Debes obtener y`= ax ln a
MODELACIÓN
Calcular la derivada de y = 5x
Se aplica directamente la formula si y = 5x, entonces y`= 5x ln 5
También se puede obtener la derivada, aplicando logaritmo natural en ambos miembros de la
igualdad:
Ln y = ln 5x
Se aplica logaritmo de una potencia:
Ln y = x ln 5
Se deriva implícitamente ambos miembros de la igualdad:
Y`/ y = ln 5
MATEMATICAS – Cálculo 11
87
PGF03-R03
Se despeja y : y`= y ln 5
Se reemplaza a y por 5x:
Y`= 5x ln 5
DERIVADA DE LA FUNCION Y =
e
u
La derivada de la función y = eu, donde u es una función de x se obtiene al aplicar la regla de
cadena:
Si e u entonces y`= eu . u`
MODELACIÓN
Calcular la derivada de y = elnx
Como y = elnx, entonces y`= elnx . 1/x, porque 1/x es la derivada de ln x
DERIVADA DE LA FUNCION Y =
a
u
La derivada de la función y = au, donde u es una función de x se obtiene al aplicar la regla de
cadena:
Si y = au entonces y`= u`au ln a
DERIVADA DE LA FUNCION Y =
u
v
Si y = uv entonces y`= uv (ln u + v u`/ u)
DERIVADA DE LA FUNCION LOGARITMO
Si y = ln u, entonces y`= u`/ u
MATEMATICAS – Cálculo 11
88
PGF03-R03
Calcula las siguientes derivadas de una función exponencial
Y = 3x
Y = 3 x / 2x
Y = 2x
Y = (x + 1) 7x
Y = (1/2)x
Y = 3x / lnx
Y = (2x + 1) ex
Y = ln (5x - 1)
Aplica el procedimiento estudiado y calcula las siguientes derivadas de la función:
Y = (2x + 7)lnx
Y = (ex)lnx
Y = (ex)lnx2
Y = (3x - 7)2x + 1
Y = (4x – 1 / 3x + 2)5x – 7
Y = (4x - 3)2x
Y = (1/x)1/x
Y = (9x - 3)lnx
Calcula las siguientes derivadas de la función y = au
Y = 2 lnx / x+1
Y = 4 x-3/4x-1
Y = 3x2(2x+1)
Y = 3(6x-1)3
Y = 4(4x +3)5
Y = 4x2-2 3x+1
Y = 5 (2x - 1)3
Y = ln 5 (5+3x) / 3 4x-1
Calcula las siguientes derivadas de la función y = eu
Y = ex2
Y=e
x
Y = 5x2 ex
Y = 65x / ln x2
Y = ex+1 5x-2 ln x
Y = e5
MATEMATICAS – Cálculo 11
89
PGF03-R03
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Si y = sen u, entonces y`= u`cos u
Si y = cos x, entonces y`= x`sen x
Si y = tan x, entonces y`= x`sec2 x
Si y = cot x, entonces y`= -x`csc2 x
Si y = sec x, entonces y`= x` sec x. Tg x
Si y = csc x, entonces y`= -x` csc x. Ctg x
Encuentra el valor de la derivada de las siguientes funciones:
Y = sen (3x)
Y = sen (4x + 1)
Y = cos (3x2)
Y = cos (4x2 + 2)
Y = tan (9x)
Y = tan (5x2 + 3)
Y = ctan (4x2 + 3)
Y = sec (4x)
Y = sec (2x2 + x + 1)
MATEMATICAS – Cálculo 11
90
PGF03-R03
ACTIVIDAD DE APLICACIÓN
Sea (y = x4 – 3x2 + 1)10, encuentra dy y utiliza este valor para estimar el incremento de y
cuando x cambia de 1 a 1.01
Sea y = 3x2 – 5, usada para estimar y cuando x cambia de 2 a 2.1
El trazado del tobogán de un parque de diversiones tiene la forma de un arco de curva de la
ecuación y = 1/(x2+1) con x 0. Calcula la pendiente del tobogán a 1,2,3 y 4 m de distancia
de la vertical del lanzamiento.
El espacio recorrido por un móvil en función del tiempo viene dado por la expresión s(t) = 3t
+ 1. Demuestra que la velocidad media es constante en todo intervalo.
Un cuerpo desciende por un plano inclinado y su desplazamiento vienen dado por la formula
s = 2t2. calcula la velocidad instantánea cuando t = 5 seg.
Si se mide en pies y t en segundos, halla la velocidad en el instante t = 2 de los siguientes
movimientos:
S = t2 + 3t
S = t3 – 3t2
S=
t+2
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Crecimiento y decrecimiento
Una función f es creciente en un intervalo (a,b) cuando para todo par de puntos x1,x2
si x1 x2
f(x1) f(x2).
(a,b),
Si la función es creciente en un intervalo, la tasa de variación media para dos puntos
cualesquiera del mismo es mayor que cero, es decir:
x1
x2
f(x1)
f(x2).
y/ x = f(x2) – f(x1) / x2 – x1
x1
x2
f(x1)
0
f(x2).
MATEMATICAS – Cálculo 11
91
PGF03-R03
Y por lo tanto , la derivada es positiva si f es diferenciable en (a,b)
En nuestro ejemplo , la función y = x2 es creciente en el intervalo (0, + ).
Observa igualmente en la grafica como al tomar x los valores –2,-4,-6,-8...... cada vez
menores los correspondientes valores 4,16,36,64..... de la función aumentan. La función y =
x2 decrece para estos puntos.
Una función f es decreciente en un intervalo (a,b) cuando para todo par de puntos x1,x2
(a,b) si x1 x2
f(x1) f(x2).
Si la función es decreciente en un intervalo, la tasa de variación media para dos puntos
cualesquiera del mismo menor que cero es decir:
x1
x2
f(x1)
f(x2).
y/ x = f(x2) – f(x1) / x2 – x1 0
x1 x2
f(x1) f(x2).
Y por lo tanto , la derivada es negativa siempre que sea derivable en (a,b), luego:
Dada una función f, derivable en el intervalo (a,b):
Si f(x)
0,
x
(a,b), f(x) es creciente en el intervalo.
Si f(x)
0,
x
(a,b), f(x) es decreciente en el intervalo.
Si f(x) = 0,
x
(a,b), f(x) es constante en el intervalo.
MATEMATICAS – Cálculo 11
92
PGF03-R03
ESTRATEGIA PARA DETERMINAR EL CRECIMIENTO Y
DECRECIMIENTO
Para determinar el crecimiento o decrecimiento de una función y = f(x), supuesta la existencia
de la derivada, conviene tener en cuenta el procedimiento que se ilustra en el siguiente
ejemplo:
MODELACIÓN
Hallemos los intervalos en que f(x) = x3 – 3/2 x2 es creciente o decreciente.
f `(x) = 3x2 – 3x
Calculemos f `(x)
Hallamos los puntos que anulan f `(x), los cuales determinan intervalos en el dominio
(números críticos o valores críticos)
3x2 – 3x = 0
3x(x-1) = 0
x=0 V x=1
Calculemos el signo de f`(x) en dichos intervalos. En los intervalos donde f `(x)
es creciente y donde f `(x) 0 es decreciente.
INTERVALO
VALOR PRUEBA
SIGNO E f `(X)
CONCLUSION
-
x 0
X = -1
F `(-1) = 6 0
creciente
0 x 1
X = 1/2
F `(1/2) = -3/4 0
decreciente
0 la función
1
x
X=2
F `(2) = 6 0
creciente
Los valores de prueba de la tabla se han escogido por conveniencia, ya que podían haberse
usado otros.
MATEMATICAS – Cálculo 11
93
PGF03-R03
Identifica los intervalos en cada función es creciente o decreciente.
Y = - (x + 1)2
F(x) = x4 – 2x2
F(x) = 1 / x2
Y = x2 / x + 1
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento en cada función y grafícalas.
F(x) = -2x2 + 4x + 3
F(x) = x2 – 6x
F(x) = -2x3 + 3x2 – 12x
F(x) = x3 – 6x2 + 5
F(x) = x4 – 2x3
F(x) = x 1/3 + 1
MATEMATICAS – Cálculo 11
94
PGF03-R03
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
Observa que en todos los puntos del intervalo (a,b) la curva se mantiene por encima de la
tangente en dichos puntos. En este caso se dice que la curva es cóncava hacia arriba
(cóncava).
Si por el contrario la curva se mantiene por debajo de la tangente, se dice que la curva es
cóncava hacia abajo (convexa).
Analíticamente se expresa:
La función s es cóncava hacia arriba (cóncava) en un intervalo (a,b) si cumple algunos de los
criterios equivalentes:


F `(x) es creciente en este intervalo
F `(x) 0 en dicho intervalo
Análogamente y = f(x) es cóncava hacia abajo (convexa) en un intervalo (a,b) si cumple
alguno de los criterios equivalentes:


F `(x) es decreciente en este intervalo
F `(x) 0 en dicho intervalo
De lo anterior, se deduce que la determinación de los intervalos de concavidad y convexidad
de una función en R se basa en el estudio del signo de la segunda derivada.
MODELACIÓN
Determinemos los intervalos de concavidad y convexidad de f(x) = x3 – 3x2
F `(x) = 3x2 – 6x
F `(x) = 6x – 6 = 0
6(x - 1) = 0
x=1
Analizamos el siguiente cuadro el signo de f `(x) en cada tramo o intervalo.
MATEMATICAS – Cálculo 11
95
PGF03-R03
INTERVALO
VALOR DE PRUEBA
SIGNO F `(x)
CONCLUSION
-
x 1
X=0
F `(0) = - 6 0
Convexa
1
x
X=2
F `(2) = 6 0
Cóncava
Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de las siguientes funciones:
Y = x2 – 3x + 5
Y = x3 – 2x2 + 15
Y = x4 – x3 + 5x
Y = x3 – 3x2 + 1
Y = x4 + 2x3 - 6
PUNTOS DE INFLEXION
En los puntos de abscisas a, c, d y f las tangentes están por encima o por debajo de la curva.
Sin embargo en los primeros puntos de abscisas b y e la tangente atraviesa la curva. Estos
son los puntos de inflexión.
Los puntos de inflexión de una curva son aquellos en los que se produce un cambio de
concavidad a convexidad o viceversa. La tangente en dichos puntos atraviesa la curva.
Un punto cualquiera x = c de una curva es un punto de inflexión si f `` (c) = 0 en ese punto, y
si la grafica en cóncava hacia arriba en un lado de el y cóncava hacia abajo en el otro lado o
viceversa.
MATEMATICAS – Cálculo 11
96
PGF03-R03
CONDICIONES DE EXISTENCIA
Si f, f `y f `` son derivables en x = a:
Condición necesaria: si a es u punto de inflexión, entonces f ``(a) = 0.
Condición suficiente: si f ``(a) = 0 y f ``(a) 0, entonces a es u punto de inflexión.
La condición necesaria es evidente, puesto que si f `(a)
0 (convexa).
0 es o f ``(a)
0 (cóncava) o f ``(a)
La justificación de la condición suficiente no corresponde a este curso:
MODELACIÓN
Determinemos el o los puntos de inflexión de f(x) = x3 – 3x + 2
Condición necesaria: f ``(x) = 6x = 0
x=0
Condición suficiente: f ``(x) = 6 f ``(0) 0
en x = 0 hay una inflexión.
Como f(0) = 2, el punto (0,2) es el punto de inflexión (P.I)
Hallar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de las siguientes
funciones:
Y = x3 – 3x
Y = x (x - 1)2
Y = x4 – 3x2 + 5
Y = x3 – 3x2
Y = x3 – 2x2
Y = x3 + 6x2 + 12x + 9
MATEMATICAS – Cálculo 11
97
PGF03-R03
MAXIMOS Y MINIMOS
Una función tiene un máximo absoluto en c si f(c) ≥ f(x), para todo x en el dominio de f.
Analógicamente, f tiene un mínimo absoluto en d si f(d) ≤ f(x), para todo x en el dominio de f.
Observa en la gráfica cómo los valores de la función f(x) en puntos cercanos a x = a son
todos menores que f (a), es decir,
F(x) < f(a) para x muy próximo a x = a
En este caso se dice que f(x) tiene un máximo relativo en x = a. Por otra parte los valores de
la función f(x) en puntos cercanos a x = b son todos mayores que f(b), es decir,
F(x) > f(b) para x muy próximo a x = b
Observa que este mínimo relativo no es el punto más bajo de la gráfica; es mínimo sólo en
relación con los puntos muy próximos a él. De la misma forma, el máximo relativo no tiene
por qué ser el punto más alto de la gráfica.
La recta tangente a la función en los máximos y mínimos es horizontal, su pendiente vale O
y la derivada en dichos puntos es O. Pero la derivada puede anularse y la función puede no
tener ni máximo ni mínimo relativo.
MODELACIÓN
f(x) = x3 → f ´(x) = 3x2 que para x = O. f ´(O) = O, siendo f creciente en ese punto.
Si en, x = a existe un máximo o mínimo relativo, entonces f ' (a) = O.
Si f ´(a) = O, no necesariamente existe un máximo o un mínimo relativo en x = a.
Una vez determinados los intervalos en los cuales f es creciente o decreciente es fácil
localizar sus extremos relativos aplicando uno de los siguientes criterios:
Criterio de la primera derivada
Sea c un valor crítico de una función f continua en un intervalo abierto (a, b) que contiene a
c. Si f es derivable en el intervalo, excepto a lo sumo en c, f(c) puede clasificarse como
sigue:
Si f ' cambia de negativa a positiva en c, f(c) es un mínimo relativo de f
Si f ' cambia de positiva a negativa en c, f(c) es un máximo relativo de f
Si f ' no cambia su signo en c, f(c) no es ni mínimo ni máximo relativo.
MODELACIÓN
MATEMATICAS – Cálculo 11
98
PGF03-R03
Hallemos los extremos relativos de f(x) = -3x5 + 5x3
Determinamos primero los puntos críticos
F(x) = -15x4 + 15x2 = -15x2(x2 - 1)
= -15x2(x-1) (x+1) = 0
x = 0; x = 1; x = -1
f ``(x) = - 60x3 + 30x
de donde:
PUNTO CRITICO
(-1,-2)
(0,0)
(1,2)
SIGNO DE F ``(X)
F ``(-1) = 30 0
F ``(0) = 0
F ``(1) = - 30 0
CONCLUSION
mínimo relativo
el criterio no decide
máximo relativo
Por tanto, hay máximo en el punto (1,2) y mínimo en (-1,-2).
En x = 0 acudimos a la primera derivada y concluimos que ahí se representa el punto de
inflexión.
MODELACIÓN
Analizar y graficar las siguientes funciones:
F(x) = x3 – 3x + 2
Dominio
Dom(f) = R
Intersecciones
Con el eje x, y = 0
X3 – 3x + 2 = 0
(x - 1)2 (x + 2) = 0
2
(x - 1) (x + 2) = 0
x = 1; x = -2
Con el eje y, x = 0
F(0) = 03 – 3 .0 + 2
y=2
MATEMATICAS – Cálculo 11
99
PGF03-R03
Simetría
F (-x) = (-x)3 – 3 (-x) + 2
= -x3 + 3x + 2
f(-x) f(x)
Luego f(x) no es simétrica respecto al eje y y tampoco respecto al origen ya que
f(x)
-f(x).
Asintotas
Como f(x) es polinomica esta definida para todos los reales, por tanto no hay asintotas
verticales.
Como lim f(x) = , entonces no hay asintotas horizontales.
Puntos críticos
F(x) = 3x2 – 3
3x2 – 3 = 0
3(x2 - 1) = 0
3(x + 1)(x - 1) = 0
x=-1 Vx=1
por tanto
-1,f(-1) = (-1,4) y 1, f(1) = (1,0)
máximos y mínimos
analicemos los signos de f `(-1) y f`(1)
f `(x) = 6x
f `(-1) = -6
0
f `(1) = 6
0
existe un máximo en x = -1
y un mínimo en x = 1
Concavidad y punto de inflexión
f `(x) = 0
6x = 0
x=0
por el paso (6) es:
cóncava hacia abajo (convexo) para x
0
MATEMATICAS – Cálculo 11
100
PGF03-R03
y cóncava hacia arriba (cóncavo) para x
0
Por tanto en x = 0 existe el punto de inflexión 0, f(0) = (0,2)
Tabla de valores
Para precisar la grafica es conveniente hallar algunos valores cercanos al máximo, mínimo y
puntos de inflexión.
X
Y
-1.5
3.1
-1
4
-0.5
3.4
0
2
0.5
0.6
1
0
1.5
0.9
Grafica cada función analizando dominio, rango, simetría, asintotas, intersección con los
ejes, máximos, mínimos, puntos de inflexión, concavidad y convexidad.
F(x) = x2 – 8x + 1
F(x) = x2 – 12x + 38
F(x) = x3 – 6x2 + 9x + 3
F(x) = 2x3 + 3x2 – 12x
F(x) = 2x2 – 3x3
F(x) = x3 + x2 – 2x -2
MATEMATICAS – Cálculo 11
101
PGF03-R03
APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS
Hay situaciones en matemáticas, en física, en química, en economía y en otras disciplinas en
las que aparece una función que conviene optimizar. Asi, por ejemplo, un empresario,
teniendo en cuenta que el costo por unidad y el precio de venta al público dependen del
número de unidades fabricadas, puede calcular este numero para maximizar este beneficio.
Para abordar este tipo de situaciones no existe normas fijas, pero si hay reglas o pasos que
habitualmente hay que seguir.
Regla practica

Hallar la expresión algebraica de la función teniendo en cuenta los datos del problema.

Si la función depende de más de una variable hay que buscar relaciones entre ellas hasta
poder dejar la función dependiendo de una sola.

Cálculos de los máximos y mínimos de la función.

Interpretación de los resultados en el contexto del problema analizando si se adaptan o
no a lo pedido.
MODELACIÓN
Encontrar dos números positivos cuya suma sea 60 y su producto sea el máximo.
Sean los números x y y
Hallemos el producto M, que es la cantidad que hay que maximizar.
Entonces: M = x . y
Observa que M depende de dos variables, pero con los datos del problema se puede
expresar a M en función de una sola variable.
Como x + y = 60, entonces y = 60 – x y reemplazamos este valor de y en la expresión
original, obtenemos:
M = x (60 - x)
M = 60x – x2; 0
x
60
Hallemos el máximo de M
M`(x) = 60 – 2x
MATEMATICAS – Cálculo 11
102
PGF03-R03
Los valores críticos son las soluciones de M`(x) = 0, es decir x = 30.
Hallemos M ``(x):
M ``(x) = -2; -2
0
M ``(30) = -2; -2
Como M ``(30)
0
0, entonces M tiene un máximo en x = 30 el otro número es:
Y = 60 – x
Y = 60 – 30 = 30
Los números buscados son: x = 30; y = 30
Enunciando el problema x + y = 60; 30 + 30 = 60
M=x.y
M = (30) (30)
M = 900 máximo
Encuentra dos números positivos cuyo producto sea 100 y su suma sea mínima.
La diferencia de dos números es 30. halla los números de tal forma que su producto sea lo
mas pequeño posible.
La suma del doble de un numero y el quíntuplo de otro debe ser 70 ¿ que numero debe ser
para que su producto sea el mas grande?
Se debe construir un canal horizontal con una lamina de 8 cm. de ancho, doblando
verticalmente hacia arriba partes iguales en ambos costados.¿ cuantos cm. debe doblarse la
lamina para obtener un canal de capacidad máxima?
Construye una caja de base cuadrada y sin tapa con una lamina de cartón cuya área es 100
cm2 ¿ que dimensiones debe tener para que su volumen sea el máximo?
MATEMATICAS – Cálculo 11
103
PGF03-R03
MATEMATICAS – Cálculo 11
104
PGF03-R03
CALCULO INTEGRAL
ANTIDERIVACION O INTEGRACION
Una función f es una antiderivada de una función f es un intervalo dado, si f `(x) = f(x), para
todo valor de x en el intervalo.
En general se llaman funciones primitivas o las antiderivadas y al proceso de encontrar una
antiderivada se le denomina antiderivacion o integración. La operación se indica escribiendo
el signo integral , delante de la expresión dad así:
f(x)dx = f(x), que se lee la integral de f()xdx es igual a f(x).
El signo se lee integral o integral de.
La diferencia dx indica que x es la variable de integración.
MATEMATICAS – Cálculo 11
105
PGF03-R03
INTEGRAL INDEFINIDA
El conjunto de todos los antiderivados de f(x) se llama la integral de f(x) y se nota:
f(x)dx
FORMULAS DE INTEGRACION
1
F(X) dx = f (x) + C
2
xn dx = x n+1 / n + 1 + C; n
-1
3
ax dx = ax / ln a + C
4
ex dx = ex + C
5
dx / x = ln x + C
6
cos x dx = sen x + C
7
sen x dx = - cos x + C
8
sec2 x dx = tan x + C
9
csc2 x dx = - cot x + C
10
sec x tan x dx = sec x + C
11
csc x cot x dx = - csc x + C
12
a dx = a dx
13
tg x dx = ln sec x + C
14
ctg x dx = ln sen x + C
15
sec x dx = ln sec x + tg x + C
16
csc x dx = ln csc x – ctg x + C
17
x –1 dx = ln x + C
Formula 12
MATEMATICAS – Cálculo 11
106
PGF03-R03
Hallar la integral respecto a x de la función f(x) = 7x4
La función f(x) es el producto de la constante 7 y la unción h(x) = x4, por lo tanto:
7x4 dx = 7 x4 dx = 7 (x5 / 5) + C
INTEGRAL DE LA SUMA
La integral de una suma o resta de funciones respecto a la misma variable es la suma de las
integrales de las funciones sumandos.
f(x)
g (x) dx = f(x) dx
g(x) dx
MODELACIÓN
Hallar la integral de la función f(x) = 3x2 – 7x + 3.5
Por ser la función f(x), la suma de las funciones h(x) = 3x2, l(x) = -7xyr(x) = 3,5 se tiene:
(3x2 – 7x + 3.5) dx = 3x2 dx - 7x dx + 3.5 dx
3x2 dx - 7x dx + 3.5 dx = 3x3/3 + C1 – 7x2/2 + C2 + 3.5x + C3
Entonces: (3x2 – 7x + 3.5) dx = x3 – 7x2 / 2 + 3.5x + C
Halla la antiderivada más general en los siguientes ejercicios:
4 dx
(2 – 3x) dx
1/2 x dx
(x2 + 4x - 2) dx
x3 dx
x / 4 dx
( 3 - x) dx
( 2 - x)2 dx
(2x3 – 3x2 + 4x -5) dx
(5 – 6x + 2x2 + 3x3) dx
sen2 x cos x dx
sen 2x cos 2x dx
sec2 2x dx
sec2 x tan x dx
ctan2 x csc x dx
x cos x2 dx
cos 4x dx
x sen x2 dx
MATEMATICAS – Cálculo 11
107
PGF03-R03
METODOS DE INTEGRACION
INTEGRACION POR SUSTITUCION

Se identifican las funciones cuyo producto es la función que se desea integrar.

Una de las funciones corresponde a la función primitiva y debe existir la posibilidad de
obtener con la otra función, su derivada.

Se halla la derivada de la función compuesta.

Se designa con una variable la primera función que forma la función compuesta.

La función que se debe integrar se expresa en términos de la nueva variable

Se expresa la integral hallada en términos de la primera variable.

Se verifica la integral.
MODELACIÓN
Calcular
4x3 ex4 dx
La función a integrar es el producto e dos funciones, una de las cuales es la derivada interna
de una función compuesta. Llamamos u al exponente de e, u = x4, con lo cual du = 4x3 dx. Al
sustituir estos valores en la integral tenemos:
4x3 ex4 dx = ex4 (4x3 dx) = eu du. Esta es una integral inmediata
Luego :
4x3 ex4 dx =
exu du = eu + C, volviendo a la variable original,
Tenemos: 4x3 ex4 dx = ex4 + C
INTEGRACION POR PARTES
Cuando la función que desea integrar es igual al producto de dos funciones, una de las
cuales es la derivada de una función conocida, se puede aplicar el método de integración por
partes.
La función que se desea integrar se expresa como el producto de dos funciones. A una de
ellas se le nota por u, la otra función incluido dx se nota por dv.
La parte seleccionada como dv debe ser integrable
MATEMATICAS – Cálculo 11
108
PGF03-R03
El sustraendo u dv debe ser mas simple que udv
u dv = u v - u dv
MODELACIÓN
Hallar x sen x dx
Se hace u = x y dv = sen x dx
Se obtiene u = dv = sen x dx = - cos x y dv = dx
x sen x dx = x (- cos x) - (- cos x) dx = x cos x + cos x dx
x sen x dx = - x cos x + sen x + C
La integral se ha simplificado porque basta con calcular la integral de cos x que es inmediata.
Calcula las siguientes integrales: por el método que consideres más apropiado:
7X3 dx
2x2 x dx
dx / x7
(12x3 + 5x3 + 3x + 1) dx
(7x - 3)2 dx
(9x ½ + 5x 2/3) dx
x (81 – x2) dx
(3x + 7x2)2 dx
1/2x 2 dx
7 sec x tan x dx
ÁREA DE UNA FUNCIÓN Y EL EJE DE ABSCISAS
1. La función es positiva
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por
encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
MATEMATICAS – Cálculo 11
109
PGF03-R03
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la
ecuación.
2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración
los puntos de corte.
MODELACIÓN 1
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y
conocer los límites de integración.
En segundo lugar se calcula la integral:
MODELACIÓN 2
Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte
con el eje OX y el punto de abscisa x = e.
MATEMATICAS – Cálculo 11
110
PGF03-R03
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.
2. La función es negativa
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por
debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:
MODELACIÓN 1
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.
MATEMATICAS – Cálculo 11
111
PGF03-R03
MODELACIÓN 2
Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.
La función toma valores positivos y negativos
En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para
calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
MATEMATICAS – Cálculo 11
112
PGF03-R03
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la
ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada
intervalo.
MODELACIÓN 1
Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x 3 − 6x2 + 8x y el eje
OX.
El área, por razones de simetría, se puede escribir:
2. Calcular el área del círculo de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
MATEMATICAS – Cálculo 11
113
PGF03-R03
El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.
Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.
Hallamos los nuevos límites de integración.
MATEMATICAS – Cálculo 11
114
PGF03-R03
MODELACIÓN 1
Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
MODELACIÓN 2
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y
conocer los límites de integración.
Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área
comprendida entre x = 0 y x = 3.
MATEMATICAS – Cálculo 11
115
PGF03-R03
MODELACIÓN 3
Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
Ecuación de la recta que pasa por AB:
Ecuación de la recta que pasa por BC:
MODELACIÓN 4
Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.
MATEMATICAS – Cálculo 11
116
PGF03-R03
MODELACIÓN 5
Hallar el área limitada por la recta
correspondientes a x = 0 y x = 4.
, el eje de abscisas y las ordenadas
MATEMATICAS – Cálculo 11
117
PGF03-R03
MODELACIÓN 6
Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.
1.
Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de
x= 2
2.
y
x = 8.
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.
3. Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
4. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.
MATEMATICAS – Cálculo 11
118
PGF03-R03
5. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas:
x = 6,
x = 12.
6. Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.
7. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los
puntos (−1, 0) y (1, 4).
8. Hallar
el área limitada por la recta
correspondientes a x = 0 y x = 4.
, el eje de abscisas y las
ordenadas
9. Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.
10. Hallar
el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes
coordenados.
11. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.
12. Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
13. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje
OX.
14. Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2
15. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la
curva en los puntos de intersección con el eje OX.

Andrés sale de su casa y maneja lentamente hacia el oriente en el tráfico de su ciudad.
Cuando llega ala autopista maneja mas rápido, pero siempre hacia el oriente hasta que
llega a un centro comercial. Allí se queda durante una hora. Luego, regresa a su casa
MATEMATICAS – Cálculo 11
119
PGF03-R03
manejando hacia el occidente rápidamente por la autopista y luego lentamente en el
trafico de la ciudad.
En cada una de las graficas siguientes se muestra en el eje vertical la distancia que
Andrés se encuentra de su casa con respecto del tiempo que ha transcurrido ( en el eje
horizontal) desde el momento de salir de ella. ¿ Cual de todas las graficas muestra mejor
el viaje de Andrés?.

Pedro y Luís participaran en una carrera de atletismo. Ellos se preparan haciendo
carreras diariamente y Alfredo les controla el tiempo. Después de varios días de
preparación Alfredo llega a la siguiente conclusión:
Pedro avanza en el primer segundo de su carrera 6m y cada segundo posterior avanza
0.25 m mas de lo que avanzo en el segundo anterior, así que a los dos segundos el ha
avanzado 12.25m y Luís por su parte avanza en cada segundo 7m, o sea que a los dos
segundos ha avanzado 14m.
Para tener opción de ganar la carrera se deben correr 80m en 9 segundos.
Alfredo afirma que ninguno de los dos lograra tener opción de ganar la carrera porque:
A.
B.
C.
D.

Dos personas salen simultáneamente de un mismo sitio y se dirigen a sus lugares de
trabajo en sus respectivos automóviles. Un sitio esta a 24km y el otro a 28km, ambas
personas llegan al mismo tiempo a sus sitios de trabajo. La velocidad promedio de una de
las personas es 12km/h inferior a la de la otra. El sistema de ecuaciones o ecuación que
satisface el enunciado es:
A.
B.
C.
D.

Pedro y Luís recorren 63m en 9 segundos.
En el quinto segundo Pedro y Luís corren 7m
En el primer segundo Pedro recorre 6.5m y Luís recorre 7.25m
Pedro debería avanzar en cada segundo 0.73m más que en el segundo anterior y Luís
a razón de 9m por cada segundo.
4x – 336 = 0
28/x = 24/ (x- 12)
(28/x = 24/y) y = x – 12
28 (x - 12) = 24x
Un hombre puede pintar una habitación en 12 horas y otro pinta la misma habitación en
10 horas. Si ambos hombres trabajaran juntos, el tiempo que les toma a los dos pintar la
habitación se representa por el sistema de ecuaciones o ecuación
A. X/12 + x/10 = 1
B. 10x + 12x = 120
C. x/12 + y/10 = 1, x = y
MATEMATICAS – Cálculo 11
120
PGF03-R03
D. 22x – 120 = 0

La ecuación 5 – 2x = x + 5 es equivalente a
A.
B.
C.
D.
-3x = 0 V –x = -10
– 2x = x + 5 V 5 – 2x = - (x + 5)
– 2x = x + 5
x = 0 V x = 10

Cuando la grafica de una parábola y la grafica de una circunferencia se intersectan,
puede suceder que se crucen hasta en:
A. Cuatro puntos
B. Ningún punto
C. Tres puntos
D. Dos puntos

En los extremos de una palanca de longitud 80 cm. se cuelgan dos pedazos de metal de
120 gramos y 320 gramos:
80
120
320
Si el sistema esta en equilibrio, el sistema de ecuaciones o ecuación que satisface el
enunciado es:
12 y = 32x
x = 80 - y
120 y = 320x
x = 80 – y
3 y = 8 (80 - y)
3 y = 8x
x = 80 -
MATEMATICAS – Cálculo 11
121
PGF03-R03
BIBLIOGRAFIA
Chávez, López, Hugo Hernán, guía de recursos matemáticos 11
Editorial: Santillana, santa fe de bogota, Colombia 2000
Torres, López Blanca Nubia, Olimpiadas matemáticas 11
Editorial: Voluntad, santa fe de bogota, Colombia 2000
Grupo editor, matemáticas 2000
Editorial: Voluntad, santa fe de bogota, Colombia 1992
Centeno, R Gustavo, nueva matemática constructiva
Editorial: libros y libres S.A, santa fe de bogota, Colombia 1992
Ramirez, Sierra Ricardo, ingenio matemático 11
Editorial: Voluntad, santa fe de bogota, Colombia 2006
González, C, Marco, matemática practica 11
Editorial: Voluntad, santa fe de bogota, Colombia 1989
Examen de estado para el ingreso a la educación superior, órgano de difusión del ICFES,
servicio nacional de pruebas.
Montenegro Colorado, Alejandro, matemáticas para el ICFES
Editorial: los tres editores Ltda.
Uribe, Julio A, matemática 11 (una propuesta curricular)
Editorial: Bedout, Medellín, Colombia 1990
MATEMATICAS – Cálculo 11
122