(5. Parcial de Análisis)

Colegio La Presentación
Granada
MATEMATICAS II
Examen de Matemáticas
PARCIAL DE ANÁLISIS
NOMBRE: __________________________________________ GRUPO:
FECHA:
1.- [2’5 puntos] Calcula a, b y c para que la función f ( x) = ax 3 + bx 2 + c , sea tangente
en el punto de abscisa 1 a la recta y = −3 x y tenga extremo relativo en 2.
2.- [2’5 puntos] Halla las asíntotas y los extremos relativos de la función:
f ( x) =
x
x +1
2
Haz una gráfica aproximada de la función.
2x
si x ≤ 1

.
3.- Sea la función f : ℝ → ℝ , definida por f ( x ) = 
2
 x + mx + 5 si x > 1
(a) [0’75 puntos] Calcule m para que la función sea continua en x = 1.
(b) [0’75 puntos] Para ese valor de m, ¿es derivable la función en x = 1?
(c) [1 punto] Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0.
4.- [2’5 puntos] Se desea diseñar una tabla con forma de trapecio isósceles, que sea de
área máxima, que tenga una altura de 60 cm y que la longitud del perímetro menos la
longitud de la base mayor mida 280 cm. Determina las longitudes de todos los lados del
trapecio.
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PARCIAL DE ANÁLISIS
NOMBRE: __________________________________________ GRUPO:
FECHA:
SOLUCIÓN
1.- f ' ( x ) = 3ax 2 + bx + c ;
f ' (1) = −3 ⇒ 3a + 2b = −3  a = 1
 
f ' ( 2 ) = 0 ⇒ 12a + 4b = 0  ⇒ b = −3
 
f (1) = −3 ⇒ a + b + c = −3 c = −1
x
; Dom ( f ( x ) ) = ℝ
x +1
Puntos de Corte con los Ejes (OX y OY): ( 0, 0 )
Asíntotas Verticales: No tiene
x
∞
Asíntotas Horizontales: lim 2
=   = 0 ⇒ y = 0 asíntota horizontal.
x →±∞ x + 1
∞
2.- f ( x ) =
2
Monotonía: f ' ( x ) =
1 − x2
(x
2
+ 1)
2
; f '( x) = 0 ⇒
1 − x2
(x
2
+ 1)
2
= 0 ⇒ x = ±1
f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −∞, −1) ∪ (1, +∞ ) ⇒ f ( x ) es decreciente ∀x ∈ ( −∞, −1) ∪ (1, +∞ )
f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −1,1) ⇒ f ( x ) es creciente ∀x ∈ ( −1,1)
1

 1
f ( x ) tiene un mínimo relativo en  −1, −  y un máximo relativo en 1, 
2

 2
2 x3 − 6 x
2 x3 − 6 x
 x = 0
Curvatura: f '' ( x ) =
f
''
x
=
0
⇒
=0⇒
;
(
)
3
3
 x = ± 3
( x2 + 1)
( x2 + 1)
(
f '' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −
) (
)
(
3, 0 ) ∪ ( 3, +∞ ) ⇒ f ( x ) es convexa ∀x ∈ ( −
) (
)
3, 0 ) ∪ ( 3, +∞ )
f '' ( x ) < 0, ∀x ∈ −∞, − 3 ∪ 0, + 3 ⇒ f ( x ) es cóncava ∀x ∈ −∞, − 3 ∪ 0, + 3

− 3 
3
f ( x ) tiene puntos de inflexión en ( 0, 0 ) ,  − 3,
 y  3,

4  
4 

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FECHA:
3.- (a) Dom ( f ( x ) ) = ℝ
f(x) es continua ∀x ∈ ( −∞,1) ∪ (1, +∞ )
Continuidad en x = 1



x
lim f ( x ) = lim 2 = 2
f ( x ) ⇔ 6 + m = 2 ⇔ m = −4
 ⇒ f (1) = lim
x →1
x →1
x →1−

lim f ( x ) = lim ( x 2 + mx + 5 ) = 6 + m 
x →1
x →1+

f (1) = 2
f(x) es continua en x = 1 si, y sólo si m = - 4.
(b) DERIVABILIDAD
Derivabilidad en x = 1
f ' (1− ) = 2 ⋅ Ln 2 
 ⇒ ∃ f ' (1)
f ' (1+ ) = −2

f(x) no es derivable en x = 1.
2 x ⋅ Ln 2 si x < 1
f '( x) = 
si x > 1
2 x − 4
(c) m = f ' ( x0 )


m = f ' ( 0 ) = Ln 2  ⇒ y − 1 = Ln 2 ( x − 0 ) ⇒ y = ( Ln 2 ) x + 1

y0 = f ( 0 ) = 20 = 1
x0 = 0
b+B
4.- Área del trapecio: A = 
⋅h
 2 
280 − b 
2
2
2   280 − b 
B 2 − 64000
 B −b 
b
⇒
=
3600
+
⇒
=
 
2



2 B − 560
 B−b 
 2 
 2 
2
2

l = 60 + 

 2 

2l + b = 280 ⇒ l =
Sustituimos ahora este valor de b en A:

B 2 − 64000 
b+ B
 B+b 
A=

⋅h = 
 ⋅ 60 = 30 ( B + b ) = 30  B +
2 B − 560 
 2 
 2 

45 ( B 2 − 560 B + 73600 )
Derivando tenemos: A ' ( B ) =
A'( B) = 0 ⇒
( B − 280 )
45 ( B 2 − 560 B + 73600 )
( B − 280 )
2
2
= 0 ⇒ B 2 − 560 B + 73600 = 0 ⇒ B = 280 ± 40 3
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A '' ( B ) =
(
432000
( B − 280 )
3
(
FECHA:
)
; A '' 280 + 40 3 > 0 ⇒ B = 280 + 40 3 mínimo relativo de A ( B )
)
A '' 280 − 40 3 < 0 ⇒ B = 280 − 40 3 máximo relativo de A ( B ) . Luego,
B = 280 + 40 3 cm
y
b = 280 − 80 3 cm
y
l = 40 3 cm.