Derivabilidad y aplicaciones

Derivabilidad y Aplicaciones de las Derivadas MCS2
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Elías Robles Rodríguez
1. Concepto de Derivada. Interpretación Geométrica.
La derivada de una función f en el punto de abscisa x  a se denota como f ' (a ) y se define
f (a  h)  f (a )
.
h0
h
Este límite coincide justamente con la tasa de variación instantánea de f en el punto de
abscisa x  a .
Geométricamente es el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto
a, f (a)  .
como el límite f ' (a)  lim



Para interpretar el punto anterior, al calcular la derivada en un punto concreto nos dará un
valor y ese valor es la pendiente o la velocidad con la que crece o decrece una función:
 La función crece o decrece linealment e.
m   1
0  m  1  La función crece lentamente .

m  1
 La función crece rapidament e.

- 1  m  0  La función decrece lentamente.
m  1
 La función decrece rápidament e.

m  0
 No crece. Tiene punto de tangencia horizontal (Máx, mín o PI).
A partir de esto podemos definir la función derivada como aquella función que a cada valor x,
del dominio de f, le hace corresponder la pendiente de la recta tangente a f en el mismo valor x
anterior. La manera de calcular la derivada de forma teórica es la siguiente:
Ejemplo 1 Calcula la función derivada de f ( x )  3 x 2  x :

2

f ( x  h)  f ( x)
3 x  h    x  h   3 x 2  x
6 xh  3h 2  h
f ' ( x )  lim
 lim
 lim

h0
h 0
h0
h
h
h
Este
0
h6 x  3h  1
 I  lim
 lim 6 x  3h  1  6 x  1
h 0
h 0
0
h
método no es práctico, es largo y tedioso, por eso, se han calculado todas las derivadas de las
funciones que vamos a estudiar en el bachillerato, y se encuentran en la tabla del punto
siguiente. Estúdialas, si puedes, de memoria y después observa cómo se aplican en los ejemplos
siguientes.
2. Tabla de Derivadas Simples y Compuestas. Reglas de Derivación.
Reglas de derivación para las operaciones:
  f  g '  f ' g '
 k  f '  k  f '
  f  g '  f 'g  f  g '

 f  g ' ( x) 
f ' ( g ( x))  g ' ( x)
 f  f 'g  f  g '
  ' 
g2
g
Tabla de Derivadas Simples y Compuestas:
Derivabilidad, Monotonía, Curvatura y Rectas Tangentes
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f ( x)  k
f ' ( x)  0
f ( x)  x n
f ' ( x)  n  x n 1
1
f ' ( x) 
2 x
1
1 1
f ' ( x)  x n
n
Constantes
f ( x) 
Potencias
f ( x) 
n
x
xx
1
n
f ( x)  ln x
f ' ( x) 
Logarítmicas
f ( x)  log a x
f ' ( x)  e x
f ( x)  a x
f ' ( x)  a x  ln a
f ( x )  sin x
f ( x )  cos x
f ' ( x)  cos x
f ' ( x )   sin x
f ( x )  tan x
f ' ( x )  1  tan 2 x 
f ( x)  g ( x)
P
1
1
f ( x)  n g ( x )  g ( x ) n
f ' ( x) 
1
1
g ( x) n  g ' ( x )
n
1
 g ' ( x)
g ( x)
1
1
f ' ( x) 

 g ' ( x)
g ( x ) ln a
f ' ( x) 
f ( x)  ln g ( x )
L
f ( x)  log a g ( x)
T
1
cos 2 x
f ' ( x)  n  g ( x) n1  g ' ( x)
1
f ' ( x) 
 g ' ( x)
2 g ( x)
f ( x)  g ( x) n
E
1 1

x ln a
f ( x)  e x
Exponenciales
Trigonométricas
f ' ( x) 
1
x
f ( x)  e g ( x )
f ' ( x)  e g ( x )  g ' ( x )
f ( x)  a g ( x)
f ' ( x)  a g ( x )  ln a  g ' ( x)
f ( x )  sin g ( x )
f ( x)  cos g ( x)
f ' ( x )  cos g ( x )  g ' ( x)
f ' ( x)   sin g ( x)  g ' ( x )
1
f ' ( x)  1  tan 2 g ( x)   g ' ( x) 
 g ' ( x)
2
cos g ( x)
f ( x)  tan g ( x)
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Ejemplo 2 Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a)
f ( x )  2 x 5  ln x  x  sin x
1
1

 cos x
x 2 x
f ' ( x)  10 x 4 
b)

f ( x)  3x  1  ln x  e x

1

f ' ( x )  3  ln x  e x  3 x  1    e x 
x


c)
f ( x) 

5x 2  3 x
x
10 x  3
x
  x   5 x
 ln 3 
f ' ( x) 
d)
 1 
 3 x  

2 x 

 x
2

f ( x)  3 x  5 x


5
f ' ( x)  5 3x  5 x
  3  5
4
x

 3x  5 x  ln 5
 2x 
4
e)
2
 2x  1 
 2  
f ( x)   x   ln 3   e  ln x 
 3 
x 
 2x  1 
f ' ( x )  4 x 
 3 
3
 2  3 x  2 x  1  3 x  ln 3 
 
 
32 x


1
0  2  3x 2

2
x6
x3
1

 2 x   2  ln x  2 x 



x
 e  ln x   
2



ln x 




3. Estudio de la derivabilidad de una función a trozos.
El procedimiento para estudiar la derivabilidad de una función normal es calcular su dominio y
decir dónde es continua su derivada.
 Si una FUNCIÓN ES DERIVABLE entonces ES CONTINUA, y no al revés.
 Si una función es continua puede ser derivable.
 Si una función es NO CONTINUA entonces la función es NO DERIVABLE.
El procedimiento para estudiar la derivabilidad de una función a trozos es el siguiente:
1) Estudio la continuidad de la función. Primero en los trozos y luego en cada frontera de cada
trozo. Límites laterales, …
2) Derivo la función a trozos y calculo las derivadas laterales.
3) Concluyo diciendo dónde es derivable.
Ejemplo 3 Estudia la derivabilidad de la siguiente función:
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  5  2x
  x3
 x
e

f ( x )   x 2  1
2   x  1

x  4
 
ln x  3
x  1
1  x  0
0  x 1
1 x  2
2 x4
x4
Estudiemos la continuidad, primero por trozos y después en cada frontera.
  5  2x 
Si x  1 Dom 
  R  3 luego continua en  ,3   3,1 .
  x3 
Si  1  x  0 continua, por ser exponencial, en  1,0 .
Si 0  x  1 continua, por ser polinómica, en 0,1 .
Si 1  x  2 continua, por ser polinómica, en 1,2 .
Si 2  x  4 continua, por ser polinómica, en 2,4 .
Si x  4 Domln(x  3)   3,  porque x  3  0  x  3 . Luego continua en 4,  .
 5  2x 3


3

 xlim
Si x  1   1  x  3 2  D No E de salto e  . Por tanto, NO derivable.
2
 lim e  x  e
 x1
 lim e  x  1
 x0
Si x  0  
 Continua. Por tanto, puede ser derivable.
2
lim

x

1

1
 x0
 lim  x 2  1  0

Si x  1  x 1
 Continua. Por tanto, puede ser derivable.
2 ( x  1)  0
xlim

1
 lim 2 ( x  1)  2
x2
Si x  2  
 Continua. Por tanto, puede ser derivable.
x  4  2
 xlim

2
 lim x  4  0
x4
Si x  4  
 Continua. Por tanto, puede ser derivable.
ln(
x

3
)

0
 xlim
4
Finalmente, f (x) es continua en todos los reales excepto en x  1 y no existe en x  3 . Por
tanto puede ser derivable en las demás fronteras.
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Estudiemos a continuación la derivabilidad de la función, para ello derivémosla y a
continuación estudiemos las derivadas laterales, que es parecido a estudiar la continuidad de la
función derivada.
 1
  x  32

 e  x

 2 x
f ' x   
 2
1

 1
 x  3
x  1
1  x  0
0  x 1
1 x  2
2 x4
x4
Al calcular la derivada omitimos los iguales. Ahora ya sabemos que es derivable en cada
intervalo de definición de cada trozo donde era continua y además sabemos su derivada (pues
acabamos de calcularla). Veamos para calcular las derivadas laterales sólo en los puntos donde
podía ser derivable:
Antes de empezar recordemos el concepto de derivada y
su interpretación geométrica:
f ' (a )
ES LA PENDIENTE de la recta tangente a
en el punto de abscisa
x
f (x)
a.
 
 
 f ' 0   lim  e  x  e

x 0
Si x  0  
 No derivable. Por tanto las pendientes al no coincidir

f
'
0

lim

2
x

0

x0 
por la izquierda y por la derecha, nos vamos a encontrar un pico en torno al punto de abscisa 0
 
 
 f ' 1  lim  2 x  2

x 1
Si x  1  
 Derivable y además existe f ' 1  2 . Esto quiere decir


2


2
 f ' 1  xlim
1
que las pendientes de la función, a la izquierda y a la derecha, en x  1 , son iguales, por tanto,
gráficamente significa que no existe pico y entonces es una curva suave.
 
 
 f ' 2   lim  2  2

x 2
Si x  2  
 NO Derivable. Por tanto las pendientes al no coincidir por

f
'
2

lim
1

1

x2 
la izquierda y por la derecha, nos vamos a encontrar un pico en torno al punto de abscisa 0.
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 
 f ' 4   lim 1  1
x4

Si x  4  
 Derivable y además existe f ' 4  1 . Esto quiere decir
1

1
 f ' 4  lim
x 4 x  3

que las pendientes de la función, a la izquierda y a la derecha, en x  4 , son iguales, por tanto,
gráficamente significa que no existe pico y entonces es una curva suave.
 
Para concluir, se dice que la función es derivable en todos los números reales excepto en
 1,0,2 y además no existe en x  3 .
Gráficamente, veamos la representación de la función y observemos que es eso de los “picos” y
“curvas suaves”. Veremos que donde no es derivable habrá un pico y donde sí habrá una curva
suave.
6
4
2
4
2
2
4
6
2
4
6
Fíjate que las uniones de los trozos en x  1, x  4 que son suaves como las curvas de una
autovía, sin embargo las uniones de los trozos en x  0, x  2 son picos.
4. Monotonía y Curvatura
La monotonía es la parte del análisis que se ocupa del estudio del crecimiento y extremos
relativos de una función. La curvatura se encarga de estudiar si la función tiene forma de  o de
 y de los puntos de la gráfica donde cambia de una forma a otra que son los puntos de
inflexión. La teoría que vamos a usar para realizar los ejercicios nos dice:
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f ( x) es creciente si x  I / f ' ( x)  0
f ( x) es decreciente si x  I / f ' ( x)  0
f ( x) es convexa  si x  I / f ' ' ( x)  0
f ( x) es cóncava  si x  I / f ' ' ( x)  0
f ( x) tiene un máximo en x 0 si f ' ( x0 )  0 y f ' ' ( x0 )  0
f ( x) tiene un mínimo en x 0 si f ' ( x0 )  0 y f ' ' ( x0 )  0
f ( x) tiene un punto de inflexión en x 0 si f ' ' ( x0 )  0
Cabe añadir que los extremos relativos (máximos y mínimos) son puntos de tangencia
horizontal o puntos de pendiente igual a cero.
Veamos cómo aplicar todo esto en un ejemplo que abarque todos los casos que se nos vayan a
presentar, con todas sus rarezas y peculiaridades. Aunque normalmente este ejercicio se pide
para una función de un solo trozo, el estudio se hace mucho más completo en una función a
trozos y además nos sirve para relacionarlo con la representación que es la pregunta a la que la
curvatura y monotonía preceden y además ayudan bastante.
Ejemplo 4 Estudia la monotonía y curvatura de la siguiente función:
 1
x  4
x  6
 2
 4  x  2
 x  6 x  8
 3
2 x 2
f ( x)  x  4 x
1
2 x3

3 x 4
log 5 ( x  2)  1
 x
x4
e
Los pasos que vamos a seguir para estudiar la monotonía y curvatura son los siguientes:
1) Lo primero que hacemos es calcular la derivada e igualamos a cero, para calcular todos los
posibles extremos relativos.
 1
x  4
  x  6 2

 2 x  6
 4  x  2
 2
2 x2
3 x  4
f ' ( x)  
2 x3
0
 1
1

3 x 4

 ( x  2) ln 5
 e  x
x4

Ahora igualamos la derivada a cero y resolvemos cada ecuación:
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 1
  x  6 2  0 No tiene solución en x  4

 2 x  6  0  x  3 solución en  4  x  2

3 x 2  4  0  x   4  1.15 soluciones que existen en  2  x  2

f ' ( x)  0  
3
0  0 No proporciona ninguna informació n o solución en 2  x  3

1
 1
 ( x  2)  ln 5  0 No tiene solución en 3  x  4

 e  x  0 No tiene solución en x  4
2) Realizamos la tabla de la monotonía, en ella han de aparecer en la parte superior todos los
valores frontera, los extremos relativos y los valores del codominio. Estudiaremos el
signo de la función derivada en cada trozo de la tabla, y asignaremos su crecimiento o
decrecimiento donde corresponda. También podremos estudiar si hay máximos y mínimos,
si estos pertenecen al dominio. Veámoslo.
-6
-4
-3
-2
-1.1
1.1
2
3
4


f’(x)
+
+
+
0
+
f (x)
m
M
m
M
m
M
En teoría, si hacemos un seguimiento de la orientación de las flechitas se puede ver
claramente cuándo en la gráfica existe un máximo “M” y cuándo un mínimo “m”. Entonces
podemos directamente poner M y m a discreción. PERO, resulta que esto no se puede hacer
así. Veamos por qué:
 En x  4 la función NO es CONTINUA, entonces no podemos decir que haya un
mínimo.
 El valor x  3 se ha obtenido de un extremo relativo entonces SÍ es un máximo.
 El valor x  2 es un valor frontera y si estudiamos la continuidad en dicho valor la
función SÍ es CONTINUA, entonces SÍ es un máximo.
 Los valores -1.1 y 1.1 son extremos relativos entonces según la tabla SÍ son máximo
y mínimo respectivamente.
 El valor x  4 es un valor frontera, pero la función en dicho valor NO es
CONTINUA por tanto NO es un máximo.
CONCLUSIÓN:
 Los EXTREMOS RELATIVOS siempre son.
 Los VALORES FRONTERA serán siempre que la función sea continua en
dichos valores.
 Los VALORES CODOMINIO nunca serán, porque en ellos la función no existe.
3) Se responde por último a lo que nos pedían. No siempre nos preguntan todo, a veces sólo es
una parte y se responde sólo a eso, aunque nosotros estudiemos todo.
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Por último, contestamos a la monotonía diciendo,
2   2 

 La función es creciente en  4,3    2,
,2   3,4 

3  3 

 La función es decreciente en
 ,6   6,4   3,2   

2 2 
,
  4,
3 3
 3, f (3)    3,1

 Los máximos de la función son:  2
 2    2 16 
  3 , f   3      3 , 3 3 

 


 2, f (2)    2,0 

 Los máximos de la función son:  2
16 
 2   2
 3 , f  3     3 , 3 3 

 


Ejemplo 5 Halla el máximo beneficio de una empresa, desde que empezó hasta pasados 5
años. La función que nos da el beneficio en billones de euros por inversión (centimos de
 t 2  2t  3 0  t  3

euro) es: B(t )   5
3t 5
 t  3
2
Directamente derivemos la función y calculemos los extremos relativos.
 2t  2  0  t  1 solución en 0  t  3

B' (t )  0   5
 2  0 No existe solución en 3  t  5
Estudiemos ahora la monotonía para determinar dónde se alcanza el máximo beneficio. OJO,
porque ahora la función no está definida desde menos infinito hasta más infinito, sino sólo desde
0 hasta 5 y estas dos fronteras nos indican que la función esta acotada, porque digámoslo en
llano se encuentra encajonada, es decir empieza en un valor y termina en otro.
0
B’(t)
1
-
3
-
5
+
B(t)
m
M
m
M
Según la forma que nos indica la tabla, esta función
podría tener dos máximos y dos mínimos, ¿por qué?,
porque puede ser que el valor del máximo en t  1 valga
menos que el valor de la función en la frontera t  5 .
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B(1)  4 Máximo relativo 1,4
Veámoslo: 
 En efecto, ha sucedido lo que pensábamos.
B(5)  5 Máximo absoluto 5,5
Para que no quede ninguna duda echemos un vistazo a la gráfica por si no nos convence o
todavía no lo vemos claro.
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
Por tanto, se concluye el ejercicio diciendo que el MÁXIMO BENEFICIO se alcanza al final
del quinto año.
Por último recordar:
CUANDO UNA FUNCIÓN ESTÉ ACOTADA, LOS MÁXIMOS Y/O MÍNIMOS SE
PUEDEN ENCONTRAR EN LAS FRONTERAS DE LA FUNCIÓN. NO BASTA CON
CALCULAR LOS EXTREMOS RELATIVOS.
5. Recta Tangente.
La recta tangente a una función en el punto de abscisa x  a es:
y  f ( a )  f ' (a )   x  a 
Ejemplo 6 Determina la recta tangente a f ( x)  x 2  1 en el punto de abscisa x  1
Nosotros queremos determinar esta expresión: y  f (1)  f ' (1)   x  1
 f ( x)  x 2  1
Para empezar calculemos su derivada 
 f ' ( x)  2 x
 f (1)  0
A continuación calculemos 
 f ' (1)  2
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Entonces lo que nos queda es lo siguiente:
y  0  2   x  1  y  2 x  2 que es la recta tangente a f en x  1 .
Ejemplo 7 Determina las ecuaciones de la rectas tangentes a f ( x)   x 3  4 x que son
paralelas a y  x  1 .
En este caso los datos no vienen directos, a mi me hace falta el valor a y la función, sólo así,
podré sacar la recta tangente, obtengamos toda la información que se pueda. Empecemos:
y  f ( a )  f ' (a )   x  a 
Si es paralela a la recta y  x  1 entonces tienen la misma pendiente, por tanto, la pendiente de
la recta que quiero hallar es m  1 , eso quiere decir que si m  1  f ' (a)  1 .
Como mi función es f ( x)   x 3  4 x , lo único que me hace falta para calcular la RT es el valor
a. Sabemos que f ' ( x)  3 x 2  4 y por tanto la información f ' (a )  1 podemos traducirla como
que  3a 2  4  1 y de aquí obtenemos a  1
Entonces podemos decir que los valores a que hacen que la función tenga pendiente igual a 1
son:
 f (1)  3
a  1  
 y   3  1  x   1  y  x  2
 f ' (1)  1
 f (1)  3
a 1  
 y  3  1   x  1  y  x  2
 f ' (1)  1
Así quedan calculadas todas las rectas tangentes a f que tenían pendiente 1.
(*) Estos son los dos tipos de ejercicios posibles en selectividad sobre recta tangente
6. Obtención de información de la función a partir de la gráfica de la
derivada.
Dada la gráfica de una función derivada.
 Observaremos desde que valor hasta que valor de x la gráfica es positiva (por encima del
eje OX) e ídem para negativa (gráfica por debajo del eje OX).
 También anotaremos los valores de x donde la gráfica corte al eje abscisa, pues en ellos
obtendremos los extremos relativos y mediante la tabla observaremos si son máximos o
mínimos.
 También veremos los cambios de trozo al encontrar tipos de funciones diferentes. A
veces encontraremos que la derivada es continua en el cambio de trozo, eso significa que
en ese valor de x será derivable.
 Allí donde exista un punto de tangencia horizontal en la gráfica de la derivada habrá un
punto de inflexión para la función original.
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Ejemplo 8 Obtén toda la información para f sabiendo que ésta es la gráfica de f’.
2
1
1
1
2
3
4
5
1
2
3
 La gráfica es negativa en  1,0   2,4.2  , entonces ahí mismo la función original es
decreciente.
 La gráfica es positiva en 0,2  4.2,5 , entonces ahí mismo la función original es
creciente.
 Existen tres puntos de corte, con OX, ( f ' ( x)  0 ) de la gráfica de la derivada en
x  0,2,4.2 , estos son para f los extremos relativos. Ahora al realizar la tabla de la
monotonía obtendremos toda la información para ellos.
-1
0
2
3
4.2
5
f’(x)
+
+
f (x)
m
M
m
 Por tanto existen dos mínimos en 0 y en 4.2 y además un máximo en 2.
 Existe un cambio de trozo que se ve claramente en x  3 , aquí la gráfica de la derivada
es continua, por tanto, la función original es derivable en 3 y su derivada vale f ' (3)  3
.
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 Por último existe un punto de tangencia horizontal en x  1 , eso quiere decir que la
función original posee un punto de inflexión en x  1 . Esto se puede ver también como
“todo máximo o mínimo suave en la gráfica de la derivada será un punto de inflexión en
la función original”.
7. Problemas de Parámetros
Consisten en determinar los parámetros desconocidos aplicando los conocimientos teóricos. A
continuación, detallamos todas las posibles condiciones que nos podemos encontrar por raras
que sean y cómo aplicarlas:
máximo
 f ( a)  b
 La función tiene un
en el punto a, b   
mínimo
 f ' ( a)  0
 f (a )  b
 La función tiene un punto de inflexión en el punto a, b   
 f ' ' (a )  0
 La función corta al eje abscisas OX en a  f (a )  0
 La función corta al eje ordenadas OY en a  f (0)  a
 La función tiene una asíntota horizontal en a  lim f ( x )  a
x
 La función tiene una asíntota vertical en a  al evaluar a en el denominador debe ser 0.
 La función en a tiene una recta tangente con igual pendiente a m0 conocida. Entonces
f ' a   m0 .
 En funciones a trozos ser continua significa que los limites laterales en las fronteras han de
ser iguales.
 En funciones a trozos ser derivable significa ser continua, por tanto, que los limites laterales
en las fronteras han de ser iguales, y además, que las derivadas laterales en las fronteras han
de ser también iguales
 Que dos funciones se corten significa que se han de igualar y resolver la ecuación.
x0
 ax  a
Ejemplo 9 Determina a y b, para que la función f ( x)   2
sea derivable.
x  x  b x  0
Como ha de ser derivable, en particular, será también continua. Por tanto hemos de imponer las
dos condiciones, Continuidad en 0 y derivabilidad en 0. Veámoslo:
 lim  ax  a  a
x  0
Como es continua entonces 
 b  a .
2
lim
x

x

b


b
x  0 
x0
 a
Como también es derivable calculemos la derivada f ' ( x)  
y veamos que las
2
x

1
x

0

 f ' (0 )  lim  a   a

x 0
derivadas laterales son iguales 
  a  1.

2
x

1

1
 f ' (0 )  xlim
0
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Si juntamos los dos párrafos anteriores obtengo
 b  a
 de donde
 a 1
a   1
.

b  1
Ejemplo 10 Determina los parámetros de la función para que tenga un máximo en el
punto (1,2) y un punto de inflexión en el (0,-1). La función es f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d .
Al ver cuatro parámetros deducimos automáticamente que me hacen falta cuatro condiciones:
 f (1)  2
Máximo en el (1,2)  
 f ' (1)  0
 f (0)  1
Punto de inflexión en (0,-1)  
 f ' ' ( 0)  0
Calculemos las derivadas primera y segunda de la función para poder aplicar las condiciones:
f ' ( x)  3ax 2  2bx  c
f ' ' ( x)  6ax  2b
Ahora apliquemos las cuatro condiciones a ver que queda:
f (1)  2  a  b  c  d  2
f ' (1)  0  3a  2b  c  0
Todo esto nos da un sistema de ecuaciones que por lo general
f (0)  1  d  1
f ' ' (0)  0  2b  0
suele ser triangular y por tanto fácil de resolver.
3
9
Las soluciones son a   , b  0, c   , d  1.
2
2
ax  b
para que
xd
tenga una asíntota vertical en x  1 , una asíntota horizontal en y  2 y corta al eje
Ejemplo 11 Determina los parámetros de la siguiente función f ( x) 
ordenadas en y  1 .
Ahora tres parámetros y por tanto otras tres condiciones:
x  d  0

Asíntota vertical en x  1   
 d 1
x  d

ax  b

Asíntota horizontal en y  2   lim
a  a2
x   x  1
Corta al eje ordenadas en y  1  f 0  1   b  1  b  1
A veces no salen tan directos como en este caso y queda un sistema un poquito más largo, pero
no por ello más difícil.
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8. Aplicaciones de las derivadas a los problemas de índole
socioeconómica.
Ejemplo 12 La función que nos da el beneficio de una empresa de construcción de palillos
de piruleta en billones de euros por inversión (céntimos de euro) desde que se crea hasta el

 t 2  2t

5
fin de sus días es: B(t )   t  3  3
2
t  3
 t  4
0t3
3  t  5 Se pide:
t 5
a) ¿Es el beneficio derivable?
Todas las funciones son continuas en su intervalo de definición, veamos las fronteras:
t  3 Continua, puede ser derivable
t  5 Continua, puede ser derivable
lim  t 2  2t  3
t 3

5
lim t  3  3  3
t 3 2
5

t  3  3  2

tlim
5 2

lim t  3  2
t 5 t  4

 2t  2
0t3

 5
B' (t )  
3t 5
2

 1
t 5
2

 t  4
Estudiemos la derivabilidad:
t  5 No derivable
t  3 No derivable
5 5




 f ' 5  tlim
5 2
2

1
 f ' 5   lim
 1
2

t 5 t  4 

Por tanto, es derivable en todos los números reales positivos excepto en x  3, x  5 .
 
 
 
 
 f ' 3   lim  2t  2  4
t 3


5 5

 f ' 3  lim 
t 3 2
2

b) Representa gráficamente el beneficio de esta empresa a lo largo de su existencia
Para realizar la representación gráfica se trata de una función a trozos con una cuadrática,
una lineal y una racional a la que deberíamos estudiarle las asíntotas, pero ¡ojito!, nada de
estudiar cosas fuera del intervalo de definición, en este caso la AV es t  4 que está fuera
del intervalo de definición. Nada de estudiar posición relativa de la AH en el   .
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En estos apuntes sólo estudio la representación de la racional a fondo, las otras dos, de
forma rápida. Prestad atención para no escribir de más ni de menos.
La cuadrática tiene forma de  y sus puntos de corte con el eje OX son t  0 y t  2 .
Aparte en la continuidad hemos visto que su valor en la frontera t  3 es  3 .
La lineal al estar definida en un trocito tan pequeño basta con darle los valores de las
fronteras que ya están calculados en los límites del apartado a). Estos son los puntos 3,3
y 5,2  . Así pues para representar este trozo basta con unir estos dos puntos. Repito que esto
sucede porque se trata de una lineal.
La racional tiene solamente que estudiar su asíntota horizontal y el valor en la frontera
(calculado en los límites). Empecemos:
t 3
lim
 1 Por tanto tenemos la AH y  1 , en nuestro problema B  1 . Veamos la
t   t  4
t 3
1
posición relativa lim
 1  lim
 0 .
t   t  4
t   t  4
Ahora vemos que su valor en la frontera t  5 nos lleva hasta el punto 5,2  . Con esto,
hemos terminado el estudio de la representación.
2
1
2
4
6
8
10
1
2
3
Como veis es continua pero no derivable en 3 y en 5, donde hay picos. Además en la AH
queda arriba la gráfica.
c) ¿Cuándo se alcanza los máximos beneficios? ¿Y los mínimos? ¿Cuándo aumentan los
beneficios?, ¿Cuándo disminuyen?
Este apartado hay dos maneras de hacerlo, una estudiando la monotonía, método que ya
hemos practicado suficiente. Y otra, observando la gráfica, éste va a ser el camino ahora.
Se puede apreciar en la gráfica:
 Los beneficios aumentan en el primer año y después vuelven a aumentar en el cuarto
y quinto año.
 Los beneficios disminuyen en el segundo y tercer año, y después a partir del sexto
año en adelante.
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 El máximo beneficio se alcanza al final del quinto año, y los beneficios ascienden
hasta 2 billones de euros.
 El mínimo beneficio sería realmente pérdidas, y éstas se obtienen al final del tercer
año por un valor de 3 billones de euros deudores.
d) ¿En algún momento tiene pérdidas la empresa?
Mirando directamente a la gráfica se puede observar que el beneficio es negativo durante los
1
años tercero, cuarto y la primera 0.2  parte del quinto año. (También podríamos decir
5
0.2  12  2.4 meses, o bien, decir “una pequeña parte del quinto año”).
e) ¿Deberían los dueños de la empresa haberla cerrado en algún momento a la vista de
los resultados económicos?
Hombre, a mitad del segundo año, deberían de haber visto que los ingresos bajaban en
picaos, el hombre ya…, no sé, debería haber cerrado la empresa porque se veía la cosa mal y
uno nunca sabe hasta cuánto va a llegar a deber. En su caso, sólo fueron tres billones de
euros, que no está nada mal, ¿no? Claro que ellos a lo mejor sabían que las cosas iban a ir a
mejor y por eso, aguantaron el tirón.
Aquí, entra ya un poco el sentido común, que quieras darle un poco de humor, etc…
f) ¿Cuándo la función es no negativa?
Vamos a ver, no negativa, de toda la vida de dios, es que sea positiva (por encima del eje
OX), ¡vamos! Así pues mirando a la gráfica se ve claramente que esto sucede los dos
primeros años, casi todo el quinto año y de ahí en adelante.
Esto se podría haber hecho también sin mirar a la gráfica resolviendo la inecuación

 t 2  2t  0  t  0,2 

5
f ( x )  0   (t  3)  3  0  t  4.2 t  4.2 , 5
2
t  3
 t  4  0  t   ,3  4,  Está definido en 5,   no hay problema
g) ¿Se podría decir que los beneficios de esta empresa se estabilizan? Si es así, ¿A cuánto
ascienden estos?
Sí se estabilizan los beneficios, y además se irán acercando a 1 billón de euros con el paso
de los años. La justificación de esta respuesta es:
t 3
Como el lim
 1 entonces tenemos que la AH es y  1 , en nuestro problema B  1 , o
t   t  4
sea, 1 billón de euros con el paso de los años.
(*) Se puede apreciar en las respuestas que no hay ninguna contestación
matemática, es decir, no se dan intervalos ni se dan puntos, esto es porque
estamos en un problema y hay que contestar en el contexto dado.
Espero que os hayan gustado los apuntes, pues me han llevado tres semanas de trabajo. Deseo que
sea una guía práctica para todos los alumnos de La Presen que los necesiten.
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