Continuidad - Derivabilidad

IES PADRE FEIJOO
2º BHCS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
CONTINUIDAD – DERIVABILIDAD
sen x
si
x≤0

f ( x) = 
2
−
x
+
ax
+
b
si
x
>0

Halla a y b para que f ( x) sea continua y derivable en x = 0 .
1.- Dada la función
2.- Calcula los valores que deben tomar los parámetros a y c para que la función
 ax 2 + c
f ( x) = 
 Lx
si
si
3.- Halla a y b para que
x≤ 1
x >1
sea derivable en x = 1 .
 x 3 + 1
f ( x) = 
 a x + b
si
si
4.- Halla los valores de a y b para que la función
x≥0
x<0
sea continua y derivable en x = 0 .
 ax 2 + bx − 1
f ( x) = 
 2bx − 2
x ≤1
x >1
si
si
sea continua y derivable en el conjunto de los números reales.
5.- Estudia la derivabilidad en función de a y b de
 cos x − 1

f ( x) =  x 2 + a

b
 x − 1
6.- Estudia la continuidad y derivabilidad de la función
 ex

f ( x) =  1 − x 2
 x

si
si
si
x<0
0≤ x<2
x≥2
si
si
si
x≤0
0< x ≤1
x >1
 x 2 + ax + b
si x ≤ 0
f ( x) = 
 e − x + 1
si x > 0
Determina los valores de a y b para los cuales la función f (x ) sea continua y derivable en x = 0 .
7.- Dada la función
8.- Estudia la derivabilidad en x = 1 de la función

x

f ( x) =  1 + x
 2
9.- Se considera la función real de variable real definida por:
si x ∈ [ 0,1 )
si x ∈ [1, 3 )
− x 2 − x + a

f ( x) = 
3
bx
si x ≤ 1
si x > 1

Calcúlense los valores de a, b, para que f sea continua y derivable en todos los puntos.
 −7 x
+5
si − 3 < x ≤ 1

3
 2
10.- Dada la función: f ( x) = − x + a x + 4 si 1 < x ≤ 3
 b x − 15
si 3 < x < 6

x −1

a) Determina los valores de a y b para que f sea una función continua en todo su dominio.
b) ¿En qué puntos de su dominio la función obtenida en el apartado anterior es derivable?
11.- Estudia la derivabilidad en x = 0 de las siguientes funciones:
a)
f ( x) =
x
b)
f ( x) = x ⋅ x
12.- Estudia la derivabilidad de la función
c)
 x 2 − 2 x
f ( x) =  3
 x − 3 x 2 + 3 x
f ( x) =
x
1+ x
si x > 1
si x ≤ 1
d)
f ( x) = x3