Ejercicios de Cálculo II Relación 2: Derivadas

Ejercicios de Cálculo II
Relación 2: Derivadas (I)
1) Sean f : R → R y a ∈ R. Se define la función g : R∗ → R como sigue:
g(h) =
f (a + h) − f (a − h)
.
2h
Prueba que si f es derivable en a, entonces g tiene límite en 0.
¿Es cierto el recíproco?
2) Sea f : A → R una función derivable en a ∈ A ∩ A0 . Prueba que existen M, δ ∈ R+
verificando que:
x ∈ A, |x − a| < δ ⇒ | f (x) − f (a)| ≤ M|x − a|.
¿Es cierta esta afirmación suponiendo solamente que f es continua en el punto a?
3) Estudia la derivabilidad, y calcula la derivada donde sea posible, de las funciones
siguientes :
q
a) f (x) = 1+x
1−x , ∀x ∈ [−1, 1[;
b) f (x) = 12 x |x|, ∀x ∈ R;
c) f (x) = xx , si x > 0 y f (0) = 1;
√ √x
d) f (x) = x , ∀x > 0.
4) Estudia la derivabilidad, y calcula la derivada donde sea posible, de las funciones
siguientes :
√
a) f (x) = 2x − x2 , ∀x ∈ [0, 1];
p
b) f (x) = (x2 − 3x + 2) 3 |x − 2|, ∀x ∈ R;
c) f (x) =
2x
1+|x| ,
d) f (x) = x
∀x ∈ R;
p
n
|x|, ∀x ∈ R, con n ∈ N.
5) Comprueba que la función f : R → R,
(
2x, si x < 0
f (x) =
3x2 , si x ≥ 0
es continua pero no es derivable en el origen.
Universidad de Granada
Departamento de Análisis Matemático
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Cálculo II
1o B Grado en Matemáticas
Ejercicios de Cálculo II
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6) Se considera f : R → R definida como sigue:

−1/x2

si x < 0
e
f (x) = x22x+1
si 0 ≤ x ≤ 1


log(x)
1+ x
si x > 1
Estudia la continuidad y derivabilidad de f .
7) Calcula la derivada de:
√
3
a) f (x) = x2 + 1, ∀x ∈ R;
b) f (x) = x4 ex log(x), ∀x ∈ R;
√
c) f (x) = log(x + 1 + x2 ), ∀x ∈ R;
1
d) f (x) = e x2 , ∀x ∈ R∗ .
8) Calcula la tangente de las siguientes funciones en los puntos dados:
x
en el origen;
x2 +1
y = x2 + 1 en (3, 10);
a) y =
b)
c) y = |x| en (1, 1).
9) Sean a, b, c ∈ R y f , g : R → R las funciones definidas por:
f (x) = x2 + ax + b , g(x) = x3 − c
Determina los valores de a, b, c que hacen que las gráficas de f y g pasen por el
punto (1, 2) y tengan la misma recta tangente en dicho punto.
10) (*) Calcula las rectas tangentes a la función f (x) =
1
x
que pasan por el punto (−1, 1).
11) Estudia la derivabilidad de la función parte entera.
12) Si g y h son funciones derivables en R, estudia la derivabilidad de la función
f : R → R definida por
f (x) = g(x), ∀x ∈ Q, f (x) = h(x), ∀x ∈ R \ Q.
13) Da un ejemplo de una función inyectiva f : A → R, derivable en un punto a ∈ A ∩ A0
con f 0 (a) 6= 0, y tal que f −1 no sea derivable en el punto f (a).
14) (*) Sea f : R → R una función. Supongamos que existen números reales K ≥ 0 y
α > 1 tales que
| f (x)| ≤ K|x|α ,
para cualquier x en un entorno de cero. Demuestra que la función f es derivable en
0. ¿Qué se puede decir si α = 1?.
(*) A entregar el 20 de marzo de 2014.
Universidad de Granada
Departamento de Análisis Matemático
Análisis Matemático
1o B Grado en Matemáticas