Opción A - ies inca garcilaso

Prueba de acceso a la Universidad. Septiembre 06
Andalucía. Matemáticas II (opción A)
Opción A
Ejercicio 1.Sea f :    la función definida por f ( x)  x2  x
(a) [0.75 puntos] Estudia la derivabilidad de f.
(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
(c) [0.75 puntos] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y
valor de la función).
Solución
(a) Escribimos f como una función definida a trozos aplicando la definición del
valor absoluto:
2

 x  x, x  0
f ( x)   2

 x  x, x  0
f es derivable en (, 0) por ser polinómica en ese intervalo.
2 x  1, x  0
f
´(
x
)


f es derivable en (0, ) por ser polinómica en ese intervalo.
2 x  1, x  0
Estudio de la derivabilidad en x=0:
Una condición necesaria es que f sea continua en x=0 . Analizamos la continuidad en
x=0:
lim f ( x)  lim x 2  x  0 , lim f ( x)  lim x 2  x  0 y f (0)  0
x 0
x 0
x 0
x 0
lim f ( x)  f (0)  0
x 0
f(x) es continua en x=0.
Para que f sea derivable en x=0, deben coincidir además las derivadas laterales en x=0:
f ´(0 )  lim f ´( x)  lim 2 x  1  1
f ´(0 )  lim f ´( x)  lim 2 x  1  1
x 0
x 0
x 0
x 0
Por tanto f no es derivable en x=0, se trata de un punto anguloso.
Concluimos el estudio: f es derivable en   0 .
(b) Estudiaremos la monotonía de f en los intervalos en los que es derivable:
 1  1

1
1
f es creciente en   , 0    ,  
En (, 0) : f ´( x)  2 x  1; f ´( x)  0 si x   ; f ´( x)  0 si 0  x   
2
2

 

2
2 

1
1
1
1



 f es decreciente en ,   0, 
En (0, ) : f ´( x)  2 x  1; f ´( x)  0 si 0<x  ; f ´( x)  0 si x 

 


2
2

2  2

1
1
y x  la función tiene sendos mínimos relativos cuyos valores
2
2
coinciden en ambos casos (-0.25) puede comprobarse fácilmente que en estos
puntos la derivada se anula y que en ellos la función pasa de ser decreciente a
creciente.
(c) En x  
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En x=0, la función pasa de decreciente a creciente, tiene pues en ese punto un
máximo relativo. Por tratarse de un punto anguloso, como analizamo en el epígrafe
(a), la función no es derivable en ese punto, lo que no es óbice para que tenga un
máximo relativo(valor mayor de la función en un entorno del punto) el valor de
dicho máximo es 0.
La representación gráfica de la función nos confirma la corrección del análisis
realizado:
Ejercicio 2. Calcula
(a) [1.5 puntos]
(b) [1 punto]
5 x 2  x  160
 x2  25 dx
  2 x  3  tg  x
2
 3x  dx , siendo tg la función tangente.
Solución
(a) Se trata de una integral racional. Puesto que la fracción algebraica es impropia,
efectuamos la división:
5 x 2  x  160
x 2  25
5 x
2
+125
5
5 x 2  x  160
 x  35

 5 2
2
x  25
x  25
 x  35
 10B  40  B  4
x  35
A
B


 A( x  5)  B( x  5)  x  35  
2
x  25 x  5 x  5
10 A  30  A  3
5 x 2  x  160
 x  35 
x  35

 x2  25 dx    5  x2  25 dx  5x   x2  25dx 
3
4
 5x  
dx  
dx  5 x  3ln x  5  4l n x  5  K , K  
x5
x5
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La solución que obtenemos con DERIVE si bien está expresada de forma diferente,
al desarrollarla, coincide con la nuestra:
(b) Se trata de una integral inmediata que puede verse de la forma
2
 tg f ( x) f ´( x)dx siendo f(x)=x  3x :
  2 x  3  tg  x
2
 3x  dx   ln cos( x 2  3x)  K , K  
En este caso, salvo la constante, DERIVE presenta la solución del mismo modo:
Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales
x y
 z  1
x  y
z  4
x
 y z    2
(a) [1.5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro 
(b) [1 punto] Resuelve el sistema para  =2
Solución
(a) Estudiamos el rango de la matriz y la matriz ampliada para los distintos valores
del parámetro  :


A  1
1

1 1



 1  A/B=  1
1
1
1 


1 1
1
1

1
1 1 1 

 1 4  ;
1
1   2 
1   2  1  (  1)(  1); A  0    1 o   1
1
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
1 1 1



A  1 1 1  ; r ( A)  2




1 1 1 
 1  
1 1 1 1 1 1 1

A/B= 1 1 1 4  ; 1 1 4  2  0  r ( A / B)  3



1 1 1 3  1 1 3




 1 1 1



A   1 1 1  ; r ( A)  2




1 1 1
  1  
 1 1 1 1

A/B=  1 1 1 4  ; r ( A / B)  2



1 1 1 1



Sintetizando los resultados obtenidos anteriormente:
Valores del
parámetro 
  1 y   1
Rango de A
Rango de A/B
Discusión
3
3
 1
2
3
Sistema compatible
determinado
Sistema incompatible
  1
2
2
Sistema compatible
indeterminado
(b) Para   2 , el sistema es compatible determinado; obtenemos las soluciones
aplicando la regla de Crámer:
1 1 1
4 2 1
x
4
1
1
2 1 1
1 2 1
1
1
1
2 1 1
1 4 1

2 1 1
1 2 4
1 4 1
1 1 4
10  13
0
11  2  4  8
 1; y 
  0; z 

3
2 1 1 3
2 1 1
3
3
1 2 1
1 2 1
1
1
1
1
1
1
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Ejercicio 4. [2.5 puntos] Determina los puntos de la recta r de ecuaciones
x  0


z  3 que equidistan del plano  de ecuación x+z=1 y del plano  ´de
y

1


2
ecuación y-z=3.
Solución
Sea P un pnto de r: P(0,  , 2  1)
2  1  1


4
 4 5 

2

2    4  3  4    3 ; P1  0, 3 , 3 
 2    4  
  2  1  3 

d ( P,  ´) 

2    4    4    4; P2  0, 4,9 
2

d ( P,  ) 
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