d - Canek
Anuncio
1 24 Aplicaciones . E: Un circuito eléctrico consiste de una resistencia de R ohms ./ en serie con un condensador de capacitancia C farads (F), un generador de E volts (V) y un interruptor. Si en el tiempo t D 0 se cierra el interruptor y si la carga inicial en el capacitor es cero, determine la carga en el condensador en cualquier tiempo. Suponga que R, C y E son constantes. D: H La ED que modela la carga Q.t/ es R dQ 1 C Q D E; dt C Tomando la TL de esta ED y denotando por dQ O D s ˇ f Q.t/g ˇ f Q.t/g D Q.s/ & ˇ dt O Q.0/ D s Q.s/; obtenemos E 1 RC s C 1 E 1 O O O O Rs Q.s/ C Q.s/ D ) Q.s/ Rs C D Q.s/ D ) C s C C s EC O ) Q.s/ D D s.RC s C 1/ E EC O ) Q.s/ : D R 1 1 sRC s C s sC RC RC O Sólo falta tomar la TL inversa de Q.s/ para obtener la solución. Usemos fracciones parciales. Buscamos constantes A & B de modo que E R A B O D C Q.s/ D ; 1 1 s sC s sC RC RC lo cual sólo es posible si 1 A sC RC CB 0 D E A E ) D ) A D EC: R RC R C Bs D E : R Si s D 0, tenemos: 1 A 0C RC Si s D 1 , entonces: RC A.0/ C B 24. canek.azc.uam.mx: 25/ 1/ 2011 1 RC D E ) B D EC: R 2 De ese modo, tenemos que EC O Q.s/ D s de donde Q.t/ D ˇ ) Q.t/ D 1 1 EC s e t RC ˇ 1 ˚ EC ; 1 sC RC EC 1 sC RC D EC EC e 1 t RC ) EC:
