d - Canek

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Aplicaciones .
E: Un circuito eléctrico consiste de una resistencia de R ohms ./ en serie con un condensador
de capacitancia C farads (F), un generador de E volts (V) y un interruptor. Si en el tiempo
t D 0 se cierra el interruptor y si la carga inicial en el capacitor es cero, determine la carga en el
condensador en cualquier tiempo. Suponga que R, C y E son constantes.
D: H La ED que modela la carga Q.t/ es
R
dQ
1
C Q D E;
dt
C
Tomando la TL de esta ED y denotando por
dQ
O
D s ˇ f Q.t/g
ˇ f Q.t/g D Q.s/
& ˇ
dt
O
Q.0/ D s Q.s/;
obtenemos
E
1
RC
s
C
1
E
1
O
O
O
O
Rs Q.s/
C Q.s/
D
) Q.s/
Rs C
D Q.s/
D
)
C
s
C
C
s
EC
O
) Q.s/
D
D
s.RC s C 1/
E
EC
O
) Q.s/
:
D R
1
1
sRC s C
s sC
RC
RC
O
Sólo falta tomar la TL inversa de Q.s/
para obtener la solución. Usemos fracciones parciales.
Buscamos constantes A & B de modo que
E
R
A
B
O
D C
Q.s/
D ;
1
1
s
sC
s sC
RC
RC
lo cual sólo es posible si
1
A sC
RC
CB 0 D
E
A
E
)
D
) A D EC:
R
RC
R
C Bs D
E
:
R
Si s D 0, tenemos:
1
A 0C
RC
Si s D
1
, entonces:
RC
A.0/ C B
24. canek.azc.uam.mx: 25/ 1/ 2011
1
RC
D
E
) B D EC:
R
2
De ese modo, tenemos que
EC
O
Q.s/
D
s
de donde
Q.t/ D ˇ
) Q.t/ D
1
1
EC
s
e
t
RC
ˇ
1
˚
EC
;
1
sC
RC
EC
1
sC
RC
D EC
EC e
1
t
RC
)
EC: