producto escalar - matematicas con damaso rojas

 CÁLCULO VECTORIAL I PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO) El producto escalar de dos vectores A y B , denotado por A • B , se define como el número (
)
(un escalar, no un vector) que se obtiene del siguiente modo. Ai B = A B cos A, B ( )
( )
Si ( A, B ) es obtuso, cos ( A, B ) < 0 y por tanto: Ai B < 0 Si A, B es agudo, cos A, B > 0 y por tanto: Ai B > 0 PROPIEDADES. Si A, B y C son tres vectores cualesquiera de V2 o V3 , entonces Propiedad fundamental del producto escalar. El producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y solamente si ambos son perpendiculares. Es decir: A ≠ 0 y B ≠ 0 ⇒ Ai B = 0 ⇔ A ⊥ B Conmutatividad del producto escalar: Ai B = Bi A (inmediato). Propiedad asociativa con respecto a un escalar: λ ( Ai B) = (λ A)i B = Ai(λ B) (inmediato). Propiedad distributiva: Ai( B + C ) = Ai B + AiC Módulo de un vector: A = Ai A (inmediato de la definición). Vector nulo: 0 • A = 0 (
)
Como A • B es un escalar, la expresión A • B • C carece de significado. En consecuencia, no se considera la asociatividad del producto punto. EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR. Si consideramos una base ortonormal del espacio tridimensional, a la que llamamos con las letras B = iˆ, ˆj , kˆ . Entonces según la definición se puede comprobar que en los {
}
vectores unitarios iˆ, ˆj , kˆ iˆiiˆ = ˆj i ˆj = kˆikˆ = 1; iˆi ˆj = ˆj ikˆ = iˆi kˆ = 0 Además: 1) Si A = a1 , a2 y B = b1 , b2 son dos vectores de V2 , entonces A • B = a1b1 + a2b2 2) Si A = a1 , a2 , a3 y B = b1 , b2 , b3 son dos vectores de V3 , entonces A • B = a1b1 + a2b2 + a3b3 1
EJEMPLO 1. Si A = 2, −3 y B = − , 4
2
1
−1
A • B = 2, −3 • − , 4 = ( 2 ) ( 2 ) + ( −3)( 4 ) = −13 2
EJEMPLO 2. Si A = 4, 2, −6 y B = −5,3, −2 A • B = 4, 2, −6
•
−5,3, −2 = 4 ( −5 ) + 2 ( 3) + ( −6 )( −2 ) = −2
53 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES Sean A y B dos vectores diferentes del vector cero. Si A no es un múltiplo escalar de B y si OP es la representación de posición de A y OQ es la representación de posición de B (ver fig. 1 en V2 y fig. 2 en V3 ), entonces el ángulo entre los vectores A y B es el ángulo de medida positiva entre OP y OQ e interior al triángulo determinado por O, P y Q . Si A = cB , donde c es un escalar, entonces sí c > 0 , el ángulo entre los vectores mide 0 radianes; y si c < 0 , entonces el ángulo entre los vectores mide π radianes. Si θ es el ángulo entre los vectores A y B , y ambos vectores, diferentes del vector cero, A• B
entonces A • B = A B cos θ ⇒ cos θ =
A B
EJEMPLO 3. Dados los vectores A = 6iˆ − 3 ˆj + 2kˆ y B = 2iˆ + ˆj − 3kˆ . Determine el ángulo entre A y B A • B = 6, −3, 2
•
2,1, −3 = 12 − 3 − 6 = 3
A = 36 + 9 + 4 = 7; B = 4 + 1 + 9 = 14 ⇒ cos θ =
A• B
A B
=
3 7 14
PROYECCIÓN ESCALAR DE UN VECTOR SOBRE OTRO Si A y B son dos vectores diferentes del vector cero, entonces la proyección escalar de B sobre A se define como B cos θ , donde θ es el ángulo entre A y B . La proyección escalar (Segmento proyección) del vector B sobre el vector A es ⎛
⎞
El vector proyección del vector B sobre el vector A es ⎜ A • B2 ⎟ A
⎜⎜
⎟
A ⎟
⎝
⎠ A• B
A
54 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I EJEMPLO 4. Para los vectores A = 6iˆ − 3 ˆj + 2kˆ y B = 2iˆ + ˆj − 3kˆ Se calculó A • B = 3 y A = 7 La componente de B en la dirección de A es la proyección escalar de B sobre A , la cual es A • B = 3 7
A
⎛
⎞
⎜⎜
A
⎝
⎟⎟
⎠
(
)
El vector proyección de B sobre A es ⎜ A • B2 ⎟ A = 3 6 iˆ − 3 ˆj + 2 kˆ = 18 iˆ − 9 ˆj + 6 kˆ 49
49
49
49
EJEMPLO 5. Sean los vectores A = −5iˆ + ˆj y B = 4iˆ + 2 ˆj Determine: a) la proyección escalar de B sobre A ; b) el vector proyección de B sobre A ; c) muestre en una figura las representaciones de posición de A, B y el vector proyección de B sobre A . Se calcula A • B y A A • B = −5,1
•
4, 2 = −20 + 2 = −18; A =
La proyección escalar de B sobre A es ( −5 )
A• B
A
=−
2
+ 12 = 26 18
26
⎛
⎞
A• B ⎟
18
45
9
⎜
A=−
−5iˆ + ˆj = iˆ − ˆj El vector proyección de B sobre A es 2
⎜⎜
⎟
13 13
26
A ⎟
⎝
⎠
Las representaciones de posición de A, B y C , donde C es el vector proyección de B (
)
sobre A . VECTORES PARALELOS Se dice que dos vectores son paralelos si y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro. 3
EJEMPLO 6. Los vectores 3, −4,8 y , −1, 2 son paralelos debido a que 4
3, −4,8 = 4
3
, −1, 2 . 4
Si A es cualquier vector, entonces 0 = 0A ; de modo que el vector cero es paralelo a cualquier vector. Nota: Dos vectores diferentes del vector cero son paralelos si y sólo si la medida en radianes del ángulo entre ellos es 0 o π . 55 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I VECTORES ORTOGONALES Se dice que dos vectores A y B son ortogonales (o perpendiculares) si y sólo sí A • B = 0 . Si A y B son dos vectores diferentes del vector cero, entonces, cos θ = 0 si y sólo sí π
A • B = 0 . Como 0 ≤ θ ≤ π , se infiere de esta proposición que θ = ⇔ A • B = 0 2
EJEMPLO 7. Los vectores −4,5, 0 y 10,8,3 son ortogonales ya que: −4,5, 0
•
10,8,3 = ( −4 )(10 ) + ( 5)( 8 ) + ( 0 )( 3) = 0 Nota: Si A es cualquier vector 0 • A = 0 , y por tanto, el vector cero es ortogonal a cualquier vector. EJEMPLO 8. Dados A = 3iˆ + 2 ˆj y B = 2iˆ + Kjˆ , donde K es un escalar, determine (a) K tal que A y B sean ortogonales; (b) K tal que A y B sean paralelos. A y B Son ortogonales si y sólo sí A • B = 0 ; es decir, ( 3)( 2 ) + 2 ( k ) = 0 ⇒ k = −3 A y B Son paralelos si y sólo si existe algún escalar c tal que 3, 2 = c 2, k ; esto es, 4
. 3
EJEMPLO 9. Demuestre, empleando vectores, que los puntos A ( 4,9,1) , B ( −2, 6,3) y 3 = 2c y 2 = ck Al resolver estas dos ecuaciones simultáneamente se obtiene k =
C ( 6,3, −2 ) son vértices de un triángulo rectángulo. En el triángulo CAB que se muestra en la figura se observa que el ángulo en A puede ser ( ) ( )
un ángulo recto. Se obtienen AB y AC y si el producto punto de estos dos vectores es cero, entonces el ángulo en A es un ángulo recto. AB = −2 − 4, 6 − 9,3 − 1 = −6, −3, 2 ; AC = 6 − 4,3 − 9, −2 − 1 = 2, −6, −3
( )
( AB ) ( AC ) =
•
( )
−6, −3, 2
•
2, −6, −3 = −12 + 18 − 6 = 0
( ) ( )
Se concluye que: AB y AC son ortogonales; de modo que el ángulo en A es un ángulo recto, y por tanto, el triángulo CAB es un triángulo rectángulo. Nota: Si un objeto se mueve de un punto A a un punto B , se denomina vector de ( )
desplazamiento, el cual se denota por V AB , y tiene al vector AB como una 56 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I representación. De modo que, si el módulo de un vector F de fuerza constante se expresa en libras y la distancia de A a B se expresa en pies, y θ es el ángulo entre los ( )
vectores F y V AB , entonces el trabajo W realizado por la fuerza F que mueve un (
) ( )
( )
( )
cuerpo de A a B , se determina por: W = F cosθ V AB = F V AB cosθ = F •V AB EJEMPLO 10. Suponga que una fuerza F tiene una intensidad de 6 lb y la medida del π
ángulo que indica su dirección es . Calcule el trabajo realizado por F al mover un 6
objeto a lo largo de una recta desde el origen al punto P ( 7,1) , donde la distancia se mide en pies. En la figura se muestra las representaciones de posición de F y V OP . Como ( )
( )
F = 6 cos ( π6 ) , 6 sen ( π6 ) y V OP = 7,1 , entonces si W lb − pie es el trabajo realizado, ( )
W = F • V OP = 6 cos ( π6 ) , 6 sen ( π6 )
•
7,1 = 3 3,3
•
7,1 = 21 3 + 3 ≈ 39.37
EJEMPLO 11. Demuestre mediante análisis vectorial que las alturas de un triángulo coinciden en un punto. Sea ABC un triángulo que tiene alturas AP y BQ que intersectan en el punto S . Dibuje la recta que pasa por C y S , y que intersecta el lado AB en el punto R . Se desea demostrar que RC es perpendicular a AB Sean AB, BC , AC , AS , BS y CS representaciones de vectores. Considere que el vector ( )
V AB tiene al segmento dirigido AB como una representación. Se manera semejante ( ) ( ) ( ) ( )
( )
sean V BC , V AC , V AS , V BS y V CS los vectores que tienen al segmento dirigido entre paréntesis como una representación. ( ) ( )
Como AP es una altura del triángulo: V AS • V BC = 0 57 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I ( ) ( )
También, como BQ es una altura del triángulo: V BS • V AC = 0 Con el propósito de probar que RC es perpendicular a AB se demostrará que ( ) ( )
V ( CS ) V ( AB ) = V ( CS ) ⎡V ( AC ) + V ( CB ) ⎤ ⇒ V ( CS ) V ( AC ) + V ( CS ) V ( CB ) ⇒
⎣
⎦
⎡V ( CB ) + V ( BS ) ⎤ V ( AC ) + ⎡V ( CA ) + V ( AS ) ⎤ V ( CB ) ⇒
⎣
⎦
⎣
⎦
V ( CB ) V ( AC ) + V ( BS ) V ( AC ) + V ( CA ) V ( CB ) + V ( AS ) V ( CB )
Al sustituir V ( CA) por −V ( CA ) y al utilizar V ( AS ) V ( BC ) = 0 y V ( BS ) V ( AC ) = 0 se obtiene V ( CS ) V ( AB ) = V ( CB ) V ( AC ) + 0 + ⎡ −V ( AC ) ⎤ V ( CB ) + 0 = 0 ⎣
⎦
V CS • V AB = 0 .
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Las alturas AP, BQ y CR son concurrentes, es decir, coinciden en un punto. EJERCICIOS PROPUESTOS. En los ejercicios del 1 al 4 Calcule A • B 1) (a ) A = ⟨−1, 2⟩; B = ⟨−4, 3⟩; (b) A = 2iˆ − ˆj; B = iˆ + 3 ˆj 1 1
5 4
2) (a ) A = , − ; B = , : (b) A = −2iˆ; B = −iˆ + ˆj 3 2
2 3
2 1 3
1 3 1
3) (a ) A = , , − ; B = , , ; (b) A = 3 ˆj − 2kˆ; B = iˆ + ˆj − 3kˆ 5 4 2
2 5 2
4) ( a ) A = 4, 0, 2 ; B = 5, 2, −1 ; (b) A = 3iˆ − 2 ˆj + kˆ; B = 6iˆ + 7 ˆj + 2kˆ 5) Sean A = −2iˆ + 3 ˆj; B = 2iˆ − 3 ˆj; C = −5 ˆj . Determine cada uno de los siguientes casos: (
)
(
)
a) A • B ; b) A • B + C ; c) −2 A + 3B • 5C ; d) A C • A ; e) B • B − B 6) Sean A = 3, −1 ; B = 1, −1 ; C = 0,5 Determine cada uno de los siguientes casos: (
)
(
)
2
a) B • C ; b) A + B • C ; d) 2C • 3 A + 4 B ; e) B B • A ; f) C − C • C Demuestre que: 7) (a ) iˆ • iˆ = 1 (b) iˆ • kˆ = 0 (c) j • k = 0 8)( a ) ˆj • ˆj = 1 (b) kˆ • kˆ = 1 (c)iˆ • ˆj = 0
Demuestre lo indicado en cada caso para vectores de V3 . A = a1, a2 , a3 ; B = b1, b2 , b3 ;C = c1, c2 , c3
9) A• B = B • A
10) A• (B + C) = A• B + A• C
11) e( A• B) = (eA) • B 12)(a)0 • A = 0 (b) A • A = A
2
58 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I 13) Determine el coseno del ángulo entre A y B y haga un bosquejo. a) A = 1, −3 ; B = −1, 2 ; b) A = −1, −2 ; B = 6, 0 c) A = 2, −1 ; B = −2, −4 ; d) A = 4, −7 ; B = −8,10 Si θ es el ángulo entre A y B , calcule cos θ . 14)(a) A = 4,3 ; B = −1, −1 (b) A = 5iˆ −12 j; B = 4iˆ + 3 ˆj
15)(a) A = −2, −3 ; B = 3,2
(b) A = 2iˆ + 4 ˆj; B = −5 ˆj
16) Determine el ángulo entre A y B y haga un bosquejo. a) A = 12iˆ; B = −5iˆ ; b) A = 4iˆ + 3 ˆj; B = −8iˆ − 6 ˆj c) A = −iˆ + 3 ˆj; B = 2iˆ − 6 ˆj d) A = 3iˆ + j; B = 3iˆ + 3 ˆj 17) Sean A = iˆ + 2 ˆj − kˆ; B = ˆj + kˆ; C = −iˆ + ˆj + 2kˆ . Determine cada uno de los siguientes casos: (
a) A • B ; b) A + C
18) Sean A =
)
•
A
B ; c) A
(
; d) B − C
)
•
2
A• B
A ; e) ; f) B • B − B A B
2, 2, 0 ; B = 1, −1,1 ; C = −2, 2,1 Determine cada uno de los siguientes casos: (
)
A
a) A • C ; b) A − C • B ; c) A
(
; d) B − C
)
•
A ; e) B•C
B C
2
; f) A • A − A Dados los vectores: A = −4, −2, 4 ; B = 2, 7, −1 ; C = 6, −3, 0 y D = 5, 4, −3 19) Obtenga: (a) A • ( B + C ) (b)( A • B)(C • D) (c) A • D − B • C (d )( B • D) A − ( D • A) B 20) Obtenga: ( a ) A • B + A • C (b )( A • B )( B • C ) ( c )( A • B )C + ( B • C ) D ( d )(2 A + 3 B ) • (4C − D ) 21) Para los vectores A =
2, 2, 0 ; B = 1, −1,1 ; C = −2, 2,1 , determine el ángulo entre cada par de vectores. 22) Sean A =
3 3 3
,
,
; B = 1, −1, 0 ; C = −2, −2,1 . Determine el ángulo entre cada 3 3 3
pareja de vectores. 23) Para los vectores A =
2, 2, 0 ; B = 1, −1,1 ; C = −2, 2,1 , determine los cosenos y los ángulos directores. 24) Para los vectores A =
3 3 3
,
,
; B = 1, − 1, 0 ; C = − 2, − 2,1 , determine los 3
3 3
cosenos y los ángulos directores. 59 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I 25) Determine el valor de K tal que la medida en radianes del ángulo entre los vectores π
A = 3iˆ + 2 ˆj; B = 2iˆ + kjˆ sea 4 26) Demuestre que los vectores 6,3 y −1, 2 son ortogonales. 27) Sean A = kiˆ − 2 ˆj y B = kiˆ + 6 ˆj , donde k es un escalar. Obtener el valor de k tal que A y B Sean ortogonales. 28) Sean A = 5i − kj y B = ki + 6 j , donde k es un escalar. Obtenga el valor de k tal que (a) A y B Sean ortogonales, y (b) A y B sean paralelos. 29) Demuestre que los vectores A = 1,1,1 ; B = 1, −1, 0 ; C = −1, −1, 2 son mutuamente ortogonales, esto es, cada pareja de vectores es ortogonal. 30) Muestre que los vectores A = iˆ − ˆj; B = i + j ; C = 2kˆ son mutuamente ortogonales, esto es, cada pareja de vectores es ortogonal. 31) Determine el valor de k tal que los vectores A = kiˆ − 2 ˆj y B = kiˆ + 6 ˆj , tengan direcciones opuestas. 32) Si A = −8iˆ + 4 ˆj y B = 7iˆ − 6 ˆj calcule: (a) la proyección escalar de A sobre B , y (b) El vector proyección de A sobre B 33) Para los vectores del ejercicio 32, (a) obtenga la proyección escalar de B sobre A , y (b) el Vector proyección de B sobre A . 34) Determine la componente del vector A = 5iˆ − 6 ˆj en la dirección del vector B = 7iˆ + ˆj vectores A y B A = 5iˆ − 6 ˆj B = 7iˆ + ˆj , calcule la componente de B en la 35) Para los dirección de A . 36) Calcule: ( a ) cos θ Si θ es el ángulo entre A y C .donde A = −4, −2, 4 ; • C = 6, −3, 0 (b) La componente de C en la dirección de A . (c ) El vector proyección de C sobre A 37) Determine: ( a ) cos θ Si θ es el ángulo entre B y D . Donde B = 2, 7, −1 ; D = 5, 4, −3 (b) La componente de B en la dirección de D . (c ) El vector proyección de B sobre D 38) Obtenga: ( a ) La proyección escalar de A sobre B donde A = −4, −2, 4 ; B = 2, 7, −1 (b) El vector proyección de A sobre B 60 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I 39) Calcule: ( a ) La proyección escalar de D sobre C . Donde C = 6, −3.0 ; D = 5, 4, −3 (b) El vector proyección de D sobre C 40). Si u + v es ortogonal a u − v , ¿qué puede decir acerca de las magnitudes relativas de u y v ? 41) Determine dos vectores de longitud 10, cada uno de los cuales sea perpendicular a −4iˆ + 5 ˆj + kˆ y 4iˆ + ˆj . 42) Determine todos los vectores perpendiculares a 1, −2, −3 y a −3, 2, 0 . 43) Determine el ángulo ABC si los puntos son A (1, 2,3) , B ( −4,5, 6 ) y C (1, 0,1) . 44) Demuestre que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo si los vértices son A ( 6,3,3) , B ( 3,1, −1) y C ( −1,10, −2.5 ) . Sugerencia: compruebe el ángulo en B . 45) ¿Para qué valores de c son ortogonales c, 6 y c, −4 ? 46) ¿Para qué valores de c son ortogonales 2ciˆ − 8 ˆj y 3iˆ + cjˆ ? 47) ¿Para qué valores de c y d son ortogonales u = ciˆ + ˆj + kˆ y v = 2 j + dkˆ ? 48) ¿Para qué valores de a, b y c los tres vectores a, 0,1 , 0, 2, b y 1, c,1 son mutuamente ortogonales? 49) Un vector u = 2iˆ + 3 ˆj + zkˆ que parte del origen apunta hacia el primer octante (es decir, la parte del espacio tridimensional en donde todas las componentes son positivas). Si u = 5 , determine z . 50) Si α = 46º y β = 108º son los ángulos directores para un vector u , determine dos posibles valores para el tercer ángulo. 51) Determine dos vectores perpendiculares u y v tales que cada uno sea perpendicular a w = −4, 2,5 . 52) Determine el vector que parte del origen, cuyo punto final es el punto medio del segmento que une ( 3, 2, −1) y ( 5, −7, 2 ) . 53) ¿Cuáles de las siguientes expresiones no tienen sentido? a) u • ( v • w ) ; b) ( u • w ) + w ; c) u ( v • w ) d) ( u • v ) w 54) ¿Cuáles de las siguientes expresiones no tienen sentido? a) u • ( v + w ) ; b) ( u • w ) w c) u • ( v + w ) d) ( u + v ) w 55) Dados los dos vectores no paralelos A = 3iˆ − 2 ˆj y B = −3iˆ + 4 ˆj y otro vector R = 7iˆ − 8 ˆj determine escalares k y m tales que R = kA + mB . 56) Dados los dos vectores no paralelos A = −4iˆ + 3 ˆj y B = 2iˆ − ˆj y otro vector R = 6iˆ − 7 ˆj , determine escalares k y m tales que R = kA + mB . 61 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I 57) Demuestre que el vector u = aiˆ + bjˆ es perpendicular a la recta con ecuación ax + by = c . Sugerencia: suponga que P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) son dos puntos en la recta, y muestre que n • P1 P2 = 0 . 58) Demuestre que u + v + u − v
2
2
= 2 u + 2 v . 2
2
1
1
2
2
u + v − u − v . 4
4
60) Determine el ángulo entre una diagonal principal de un cubo y una de sus caras. 61) Determine el menor ángulo positivo entre las diagonales principales de una caja rectangular de 4 por 6 por 10 pies. 62) Calcule los ángulos formados por las diagonales de un cubo. 63) Determine el trabajo realizado por la fuerza Demuestre que F = 3iˆ + 10 ˆj Newton al 59) Demuestre que u • v =
mover el objeto 10 metros al norte (es decir, en la dirección ĵ ). 64) Demuestre el trabajo realizado por una fuerza de 100 Newton que actúa en la dirección S 70º E al mover un objeto 30 metros hacia el este. 65) Demuestre el trabajo realizado por una fuerza F = 6iˆ + 8 ˆj libras al mover un objeto de (1, 0 ) a ( 6,8) , donde la distancia está en pies. 66) Demuestre el trabajo realizado por una fuerza F = −5iˆ + 8 ˆj Newton al mover un objeto 12 metros al norte. 67) Calcule el trabajo realizado por una fuerza F = −4kˆ Newton para mover un objeto de ( 0, 0,8 ) a ( 4, 4, 0 ) , donde la distancia está dada en metros. 68) Determine el trabajo realizado por la fuerza F = 3iˆ − 6 ˆj + 7 kˆ libras al mover un objeto de ( 2,1,3) a ( 9, 4, 6 ) , donde la distancia está dada en pies. 69) Calcule la distancia del punto (2, −1, −4) a la recta que pasa por los puntos (3, −2, 2) y ( −9, −6, 6) . 70) Determine la distancia del punto (3, 2,1) a la recta que pasa por los puntos (1, 2, 9) y ( −3, −6, −3) 71) Pruebe, empleando vectores, que los puntos dados son los vértices de un rectángulo A(2, 2, 2); B (2, 0,1); C (4,1, −1) y D (4, 3, 0) 72) Demuestre utilizando vectores que los puntos dados, son los vértices de un paralelogramo. 72) Determine el área del triángulo cuyos vértices son: A(−2,3,1), B (1, 2,3) y P (3, −1, 2) 73) Demuestre, empleando vectores, que los puntos A(−2,1, 6), B(2, 4,5) y C ( −1, −2,1) Son los vértices de un triángulo rectángulo, y determine el área del triángulo. 74) Determine dos vectores unitarios que tengan una representación cuyo punto inicial sea el punto (2, 4) , y que sean tangentes a la parábola y = x 2 en ese punto. 62 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I 75) Determine dos vectores unitarios que tengan una representación cuyo punto inicial sea el punto (2, 4) , y que sean normales a la parábola y = x 2 en ese punto. 76) Si A = 3i + 5 j − 3k ; B = −i − 2 j + 3k y C = 2i − j + 4k , obtenga la componente de B en la dirección de A − 2C. 77) Calcule los cosenos de los ángulos del triángulo que tiene vértices en A(0, 0, 0), B (4, −1, 3) y C (1, 2, 3) . 78) Un vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 8 lb y su dirección 1
está determinada por el ángulo cuya medida en radianes es π . Determine el trabajo 3
realizado por la fuerza al desplazar un objeto. ( a ) A lo largo del eje x desde el origen hasta el punto ( 6, 0 ) , y (b) A lo largo del eje y desde el origen hasta el punto ( 0, 6 ) . La distancia se mide en pies. 79) Un vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 10 lb y su dirección 1
está determinada por el ángulo cuya medida en radianes es π . Determine el trabajo 4
realizado por la fuerza al desplazar un objeto desde el punto (0, −2) hasta el punto (0,5) . La distancia se mide en pies. 80) Un vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 9 lb y su dirección 2
está determinada por el ángulo cuya medida en radianes es π . Determine el trabajo 3
realizado por la fuerza el desplazar un objeto desde el origen hasta el punto ( −4, −2) . La distancia es medida en pies. 81) Dos fuerzas representadas por los vectores F1 y F2 actúan sobre una partícula ocasionando que se desplace a lo largo de una recta desde el punto (2,5) hasta el punto (7,3) . Si F1 = 3iˆ − ˆj y F2 = −4iˆ + 5 ˆj , y si las intensidades de las fuerzas se miden en libras y la distancia en pies, calcule el trabajo realizado por las dos fuerzas al actuar juntas. 82) Si una fuerza tiene la representación vectorial F = 3iˆ − 2 ˆj + kˆ , calcule el trabajo realizado por la fuerza al desplazar un objeto a lo largo de una recta desde el punto P1 (−2,3, 4) hasta el punto P2 = (1, −3,5) . La intensidad de la fuerza se mide en libras y la distancia en pies. 83) Si una fuerza tiene la representación vectorial F = 5iˆ − 3kˆ , calcule el trabajo realizado por la fuerza al desplazar un objeto a lo largo de una recta desde el punto P1 (4,1,3) hasta el punto P2 (−5, 6, 2) . La intensidad de la fuerza se mide en libras y la distancia en pies. 63 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I 84) El vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 10 lb , y los cosenos 1
1
directores de F son cos α =
6 y cos β =
6 . Si la fuerza desplaza un cuerpo a lo 6
3
largo de una recta desde el origen hasta el punto (7, −4, 2) , calcule el trabajo realizado. La distancia se mide en pies. 85) Si A y B son vectores diferentes del vector cero, demuestre que el vector A − cB es ortogonal a B si c =
A• B
B
2
86) Si A = 12iˆ + 9 ˆj − 5kˆ y B = 4iˆ + 3 ˆj − 5kˆ , emplee el resultado del ejercicio 85 Para determinar el valor del escalar c de modo que el valor B − cA sea ortogonal a A . 87) Para los vectores del ejercicio 86 Utilice el resultado del ejercicio 85 a fin de calcular el valor del escalar d de modo que el vector A − dB sea ortogonal a B . 88) Demuestre que si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces los vectores B A + A B y B A − A B . Son ortogonales. 89) Demuestre que si, A y B son dos vectores cualesquiera diferente del vector cero y C = B A + A B entonces el ángulo entre A y C tiene la misma medida en radianes que el ángulo entre B y C . 90) Demuestre que dos vectores diferentes del vector cero son paralelos si y solo si la medida en radianes del ángulo entre ellos es 0 o π . 91) Demuestre, mediante análisis vectorial, que las medianas de un triángulo son concurrentes, es decir coinciden en un punto. 92) Demuestre, mediante análisis vectorial, que el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud del tercer lado. 93) Demuestre, mediante análisis vectorial, que el segmento de la recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a los lados paralelos del trapecio y su longitud es la mitad de la suma de las longitudes de los lados paralelos.
64 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I 94) Observe la figura adjunta donde θ1 es el ángulo de incidencia y θ 2 es el ángulo de refacción, de la ley de Snell, sin θ1 = μ sin θ 2 .Donde μ es el índice de refacción del medio más denso. Demuestre que si A es un vector unitario a lo largo del rayo incidente, B es un vector unitario a lo largo del rayo refractado, F es un vector unitario en la interface y N es el vector normal unitario en la interface como se muestra en la figura, entonces A • F + μ B • F = 0 95) Demuestre el siguiente teorema: Si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces 2
2
2
A • B = A + 2 A • B + B . 2
2
2
96) Demuestre el teorema de Pitágoras: A + B = A + B si y solo si A y B son ortogonales. 97) Demuestre la ley del paralelogramo: Si A y B son dos vectores cualesquiera, 2
2
2
2
entonces A + B + A − B = 2 A + 2 B ¿Cuál es la interpretación geométrica de esta identidad? Observe la figura adjunta que muestra el paralelogramo determinado por las representaciones de los vectores A y B . Sugerencia : Observe la figura adjunta que muestra el paralelogramo determinado por
las representaciones de los vectores A y B.
A+B A A‐B
B 98) Demuestre la desigualdad de Cauchy – Schwartz para vectores bidimensionales: u •v ≤ u v 99) Demuestre la desigualdad del triángulo para vectores bidimensionales u + v ≤ u + v Sugerencia: utilice el producto punto para calcular u + v ; luego utilice la desigualdad de Cauchy – Schwartz 65 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I 100) Un peso de 30 libras está suspendido por tres cables con tensiones resultantes 3iˆ + 4 ˆj + 15kˆ; − 8iˆ − 2 ˆj + 10kˆ y aiˆ + bjˆ + ckˆ . Determine a, b y c , de modo que la fuerza neta apunta hacia arriba. 101) Las medianas de un triángulo se encuentran en un punto P (el centroide) que está a dos tercios del camino de un vértice al punto medio del lado opuesto. Demuestre que ( a + b + c ) , donde A, B y C son los vectores de P es la cabeza del vector de posición 3
posición de los vértices, y use esto para determinar P si los vértices son ( 2, 6,5) , ( 4, −1, 2 ) y ( 6,1, 2 ) . 102) Sean a, b, c y d los vectores de posición de los vértices de un tetraedro. Demuestre que las rectas que unen los vértices con los centroides de las caras opuestas se cortan en un punto P , y dé una fórmula vectorial sencilla para él, 103) ¿Sí U = aiˆ + bjˆ + ckˆ es un vector unitario, entonces a, b y c son los cosenos directores de U ? 104) ¿Si U y V son vectores unitarios, entonces el ángulo θ entre ellos satisface θ = U i V ? 105) ¿El producto punto para vectores satisface la ley asociativa? 106) ¿Sí U i V = U V para vectores no nulos U y V , si y sólo si U es un múltiplo escalar de V ? 107) ¿Si U = V = U + V , entonces U = V = 0 ? 108) ¿Si U + V y U − V son perpendiculares, entonces U = V ? 109) ¿Para cualesquiera dos vectores U y V , U + V
2
= U
2
+V
2
+ 2U i V ? 110) ¿Para cualquier vector U , U i U = U i U ? 111) ¿Al multiplicar cada componente de un vector V por el escalar a se multiplica la longitud de V por a ? 112) Dados los vectores U ( 5, −1, 2 ) ,V ( −1, 2, −2 ) , calcula: a) U i V b) U y V c) (U ,V ) d) proyección de U sobre V y proyección de V sobre U . (Segmento y vector). e) ¿Cuánto tiene que valer x para que el vector ( 7, 2, x ) sea perpendicular U ?
113) Calcula el ángulo que forman A y B sabiendo que A = 3; B = 5; A + B = 7 114) ¿Sí U i V = U i W ⇒ U = W ?
66 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected] CÁLCULO VECTORIAL I 115) Demuestra que si A y B son dos vectores no nulos que tienen el mismo módulo, entonces A + B y A − B son ortogonales.. 116) Demuestre que las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto. 67 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected]