36 0) (``` = − + + yvx xy yx ` `` ` 1 ) 1(`` by ky yyxyxvy − − = → − − − = 0

2. SERIES
MM_III
Las funciones de Bessel.
Las funciones de Bessel son de las más útiles de las funciones especiales, son esenciales en cualquier
problema de física o ingeniería que tenga simetría cilíndrica y aparecen en multitud de otros problemas(*).
Estas funciones tienen propiedades muy interesantes e útiles como las relaciones de recurrencia entre
ellas mismas, la distintas formas de generarlas, los comportamientos asintóticos y otras muchas otras
más. Voy a describir las más usuales; más adelante veremos que no son las únicas funciones que
presentan tan útiles propiedades. Cada autor las introduce según sus preferencias personales que suelen
ser interesantes. Por ejemplo es usual establecer las funciones de Bessel resolviendo la ecuación de ondas
en coordenadas cilíndricas donde acaba apareciendo la ecuación de Bessel. Yo he introducido parte de
ellas para ilustrar el método de Frobenius que quizás no sea la forma más atractiva, pero también tiene
sus ventajas. Ahora las presentaré todas las funciones de Bessel, como la hacen Arfken y Weber (aunque
sin incluir demostraciones), de una manera forma mucho más elegante y potente, casi mágica, junto con
sus propiedades más útiles (nosotros usaremos algunas de ellas). Hay un programa en marcha iniciado
por el NIST (“National Institute of Standards” and Technology, sustituto del famoso “National Bureau of
Standards”) para crear una librería digital de funciones matemáticas, pero de momento todas propiedades
de las funciones especiales pueden encontrarse en las insustituibles tablas de Abramowitz y Stegun (ver
bibliografía).
Antes de entrar en harina merece la pena analizar la ecuación de Bessel con más detalle para conseguir
percibir lo que describen sus soluciones. Para ello lo mejor es usarlas con frecuencia para que nos sean
familiares, como no hay tiempo para esto veremos, al menos, que las expresiones [2.47], [2.48], [2.50] y
[2.54] aunque bastante opacas, por no decir horribles, son realmente tan entrañables como las funciones
trigonométricas .
La ecuación de Bessel
x 2 y ' '+ xy '+( x 2 − v 2 ) y = 0
se puede rescribir
y ' ' = −(1 −
v2
1
) y − y' →
2
x
x
y ' ' = − ky − by '
[2.57]
que es idéntica a la ecuación del oscilador amortiguado salvo que k y b, las constantes de fuerza del
muelle y del amortiguamiento respectivamente, dependen de la variable x. No es nada extraño, por tanto,
que las soluciones sean funciones oscilatorias amortiguadas, pero con algunas diferencias respecto al
movimiento oscilatoria amortiguado de la dinámica clásica:
a) La constante de fuerza k del oscilador amortiguado es positiva para (1 − v / x ) > 0 , así la
semejanza se aplica cuando x > v .
b) La constante de fuerza disminuye hacia el valor 1 con valores crecientes de x, por tanto la
semejanza se hace mejor a mayor valor de x, en otras palabras la frecuencia de las oscilaciones
2
2
crecen hacia k = 1 (aquí la “masa” es la unidad).
c) El amortiguamiento disminuye hacia cero con la variable x, así que la semejanza tiende a ser con
el oscilador sin amortiguamiento a x grandes.
______________________________________________
*Además parece ser que las funciones de Bessel también son solución de las ecuaciones de warp (!!!!): “In 2364, Starfleet
propulsion expert Kosinski, when asked how the USS Enterprise-D flew to the Triangulum Galaxy, he stated in his long, windy
explanation that he may not have applied the Bessel functions correctly. In the opinion of Commander William Riker, the explanation
was nonsensical, yet he couldn't provide an explantion for how the starship arrived at their current position. (TNG: "Where No One
Has Gone Before") Warp equations are used to adjust the warp fields and subspace bubble patterns that envelops the starship,
distorting the local spacetime continuum and moving the starship at velocities that exceed the speed of light. In 2364 Starfleet
propulsion expert Kosinski claimed to have discovered a revolutionary new method of warp equations, based in the simply test
different ways of entering warp speed and different intermix formulas, associated with the nature of elementals like space and time”
(Start Trek Series The New Generation: "Where No One Has Gone Before")
G.NAVASCUÉS
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36
2. SERIES
MM_III
En resumen, se debe esperar que las soluciones de la ecuación de Bessel empiecen a oscilar y a
amortiguarse a partir de un cierto valor de x y que estas oscilaciones tiendan a una frecuencia constante
con un amortiguamiento cada vez menor. Dicho de otro modo estas funciones se parecen, para valores de
x no demasiado pequeños, a las funciones seno y coseno suavemente amortiguadas. Este paralelismo es
más sorprendente cuando veamos que se pueden combinar linealmente con el número complejo i, como
las trigonométricas, para dar a nuevas funciones (Bessel de 3ª especie), que serían equivalentes a las
exponenciales de argumento imaginario puro, o incluso tomar como argumento un número imaginario
puro (Bessel modificadas) que serían las “hiperbólicas” correspondientes. Las funciones de Bessel (y otras
funciones especiales que veremos) están llenas de agradables sorpresas que ahora voy a presentar. Sin
embargo son demasiadas para poder ser asimiladas, ni falta que hace: lo importante es saber que existen
para acudir a ellas por si nos resuelven el problema que tengamos entre manos. Para ayudar a digerir el
aluvión de expresiones remarco, con formato negrita las ideas y con recuadros las expresiones, más
importantes para nosotros (aunque la propiedad más importante será siempre aquella que por muy
inusual que sea nos resuelve algún problema).
Esquemáticamente las próximas hojas contienen funciones que están ligados a distintos problemas de
física que veremos más adelante:
Bessel de PRIMERA ESPECIE
Bessel de SEGUNDA ESPECIE
Bessel de TERCERA ESPECIE
Bessel MODIFICADAS
Bessel ESFÉRICAS
muestro en cada una de ellas entre otras cosas (sin ser exhaustivo):
LA FUNCIÓN GENERATRIZ
RELACIONES DE RECURRENCIA
ECUACION DIFERENCIAL QUE OBEDECEN
REPRESENTACIÓN INTEGRAL
RELACIONES WRONSKIANAS
COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO
GRÁFICAS
Otras propiedades como la ortogonalidad, de enorme importancia, las veremos cuando estudiemos le
teoría de Sturm-Liouville. Lo que expongo a continuación sigue en parte a la de Arfken y Weber (ver
bibliografía) y en parte a la de la Wikipedia y a la d la página web de WolframMathWord.
FUNCIÓN GENERATRIZ Y
DEFINICIÓN DE FUNCIONES DE BESSEL DE 1ª ESPECIE
Existe una función, llamada generatriz,
⎧ x ⎛ 1 ⎞⎫
g ( x, t ) = exp⎨ ⎜ t − ⎟⎬
⎩ 2 ⎝ t ⎠⎭
[2.58]
cuyo desarrollo Laurent en la variable t define las funciones de Bessel de 1ª especie y orden n como los
coeficientes de dicho desarrollo:
⎧ x ⎛ 1 ⎞⎫ n =∞
g ( x, t ) = exp⎨ ⎜ t − ⎟⎬ = ∑ J n ( x)t n
⎩ 2 ⎝ t ⎠⎭ n = −∞
⎧ xt ⎫
⎬
⎩2⎭
Desarrollando las exponenciales exp ⎨
y
[2.59]
⎧ x⎫
exp⎨− ⎬ e igualando potencias de t se llega a la forma
⎩ 2t ⎭
explícita de las funciones de Bessel de 1ª especie de orden n entero:
∞
J n ( x) = ∑
s =0
G.NAVASCUÉS
(−1) s ⎛ x ⎞
⎜ ⎟
s!( s + n)! ⎝ 2 ⎠
2s+n
=
xn
x n+ 2
−
+ ...
2 n n! 2 n + 2 (n + 1)!
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para n=0,1,2,3,...
[2.60]
37
2. SERIES
MM_III
(que está de acuerdo con [2.47] para ν entero). Y para n negativos:
∞
J − n ( x) = ∑
s =0
(−1) s + n ⎛ x ⎞
⎜ ⎟
s!( s − n)! ⎝ 2 ⎠
2 s −n
[2.61]
En este caso como (s-n)!=∞ para s=0,1,..,n-1 (ver notas de la función Gamma) la serie puede empezar
en s=n, haciendo el cambio s por s+n, las funciones Bessel de orden negativo se pueden escribir como:
(−1) s + n ⎛ x ⎞
J − n ( x) = ∑
⎜ ⎟
s = 0 s!( s + n)! ⎝ 2 ⎠
∞
2s+n
[2.62]
(que está de acuerdo con [2.48] para ν entero). De [2.60] y [2.62] se deduce que:
J − n ( x) = (−1) n J n ( x)
n=entero
(en acuerdo también con [2.56]). Por lo que J − n ( x )
y
[2.63]
J n ( x) son linealmente dependientes. Para
valores no enteros n los desarrollos [2.60] y [2.62] se extienden para definir J ν (x ) y J −ν (x ) .
Sin embargo [2.63] sólo se verifica para funciones de orden entero, es más J ν (x ) y J −ν (x ) son
linealmente independientes.
RELACIONES DE RECURRENCIA
La función generatriz proporciona no sólo las definiciones de las funciones Bessel sino relaciones entre
ellas llamadas relaciones de recurrencia, de gran utilidad. Derivando la función generatriz con respecto a
t, usando la propia definición e igualando los coeficientes de t se llega:
J n −1 ( x) + J n +1 ( x) =
2n
J n ( x)
x
[2.64]
Haciendo lo mismo pero con la derivada respecto a x se llega a:
J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ' ( x)
[2.65]
J 0 ' ( x) = − J 1 ( x) .
[2.66]
donde n=0, como casoparticular es:
Sumando [2.64] y [2.65] se llega a:
J n −1 ( x) =
n
J n ( x) + J n ' ( x) .
x
[2.67]
Multiplicando [2.67] por xn y reordenando términos llegamos a:
[
Restando [2.65] de [2.64] se obtiene:
[2.68]
n
J n ( x) − J n ' ( x)
x
[2.69]
J n +1 ( x) =
G.NAVASCUÉS
]
d n
x J n ( x) = x n J n −1 ( x) .
dx
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38
2. SERIES
MM_III
que multiplicando por x-n y reordenando términos se llega a:
[
]
d −n
x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) .
dx
[2.70]
ECUACION DIFERENCIAL DE BESSEL
Cualquier función Zν que verifica las relaciones de recurrencia [2.64] y [2.65] (sin necesidad de ser una
función de Bessel), o que verifique las recurrencias equivalentes [2.67] y [2.68] o [2.69] y [2.70]) es
solución de la ecuación de Bessel (se demuestra manipulando las relaciones de recurrencia hasta escribir
la ecuación diferencial):
x 2 Zν ' '+ xZν '+( x 2 −ν 2 ) Zν = 0
[2.71]
En particular las Jn obtenidas por la generatriz satisfacen la ecuación de Bessel. La ec. [2.71] se puede
rescribir como
d2
d
Zν (kρ ) + ρ
Zν (kρ ) + (k 2 ρ 2 − ν 2 ) Zν (kρ ) = 0
2
dρ
dρ
ρ2
[2.72]
que es la ecuación de la parte radial que resulta, en coordenadas cilíndricas, de la separación
de variables (método que veremos detalladamente) de la ecuación ∇
importancia para nosotros lo físicos.
ψ + k 2ψ = 0 , de ahí su
2
REPRESENTACIÓN INTEGRAL
Las funciones de Bessel pueden ser descritas por integrales (lo que se llama representación integral de
una función). Otra vez la función generatriz nos ayuda para obtener estas representaciones. Haciendo el
cambio t=exp(iθ) en la función generatriz se llega a:
∞
∞
n =1
n =1
exp(ixsenθ ) = J 0 ( x) + 2∑ J 2 n ( x) cos(2nθ ) + 2i ∑ J 2 n −1 ( x) sen((2n − 1)θ )
o
exp(ixsenθ ) =
∞
∑i
n
n = −∞
J n ( x)e inθ
[2.73]
[2.74]
De [2.73] y con ayuda de la ortogonalidad de las funciones seno y coseno se llega:
n. par
⎧ J ( x),
cos( xsenθ ) cos nθdθ = ⎨ n
0
n.impar
⎩ 0,
n. par
⎧ 0,
1 π
θ
θ
θ
sen
(
xsen
)
senn
d
=
⎨
n.impar
π ∫0
⎩ J n ( x),
1
π∫
π
[2.75]
De donde se obtiene:
J n ( x) =
1
π
∫
π
0
cos(nθ − xsenθ )dθ
n = 0,1,2,...
[2.76]
exp(ix cos θ )dθ
[2.77]
Para n=0 se puede rescribir como:
J 0 ( x) =
G.NAVASCUÉS
1
2π
∫
2π
0
exp(ixsenθ )dθ =
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1
2π
∫
2π
0
39
2. SERIES
MM_III
TEOREMAS DE ADICIÓN Y DE ACOTACIÓN
Más resultados interesantes se pueden, una vez más, obtener de la función generatriz. Del producto de la
función generatriz g(x,t)=g(u+v,t)= g(u,t) g(v,t) se llega a:
J n (u + v) =
∞
∑ J (u) J
s = −∞
s
n−s
(v )
.
[2.78]
Del producto de las funciones generatrices g(x,t)g(x,-t) se llega a:
1 = [J 0 ( x)] + 2[J1 ( x)] + 2[J 2 ( x)] + ...
2
2
2
⇒
J 0 ( x) ≤ 1
y
J n ( x) ≤ 1
2,
n = 1,2,3,...
[2.79]
DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES DE NEUMANN Nυ≡ Yυ (Bessel de 2ª especie)
Para la ecuación diferencial con υ no entero tenemos dos soluciones linealmente independientes: Jν (x ) y
J −ν (x) . Para υ=n entero necesitamos una segunda solución como ya vimos en el apartado 2.3.1. Para
n=0 la obtuvimos usando la fórmula de Liouville en relación con el método de Frobenius (también la
podríamos haber obtenido para υ=n entero, aunque no lo hicimos). Ahora voy a presentarlas para todo
valor de υ, son las funciones de Neumann o de Bessel de 2ª especie:
Nν ( x ) =
cosνπJ ν ( x) − J −ν ( x)
sinνπ
[2.80]
Para υ no entero satisface la ecuación de Bessel ya que es una combinación lineal de dos soluciones de
esa ecuación y es linealmente independiente de Jν (x ) . Para υ=n entero, caso problemático, queda
indeterminado y la definición hay tomarla como un límite. Aplicando la regla de L’Hospital y desarrollando
en potencias de x se llega a:
N n ( x) = −
n
n
2⎛ x⎞ 1 ⎛ x⎞
⎛ x⎞
(n − 1)!⎜ ⎟ + .... + ⎜ ⎟ ln⎜ ⎟ + ...
π
π ⎝ 2 ⎠ n! ⎝ 2 ⎠
⎝2⎠
1
que como era de esperar después de la discusión al final de la sección 2.3 (ver ecuaciones [2.38] y
[2.39]), aparece la función logaritmo que hace de N n (x ) una función linealmente independiente de J n (x) .
En el caso particular
ν =0:
N 0 ( x) =
2
π
(ln x + γ − Ln 2) + O( x 2 )
[2.81]
(γ=.5572… es la constante de Euler-Mascheroni, ver notas de la función Gamma) vemos que
Y0 ( x) ≡ N 0 ( x) , ver ecuación [2.54] (¡Ojo! algunos autores usan “Y” y otros “N” para nombrar a todas las
funciones de Bessel de segunda especie).
Observe que ahora ya se puede poner de la solución general de la forma
y ( x) = c1 J ν ( x) + c 2 Nν ( x)
no importando que υ sea entero o no. No se necesitan los órdenes negativos de J para
completar la solución general. Además esta expresión tiene la ventaja de que si la solución
física debe ser finita en x=0, c2 es idénticamente nulo. Otra importante idea, como ya he
mencionado, es que las J y las N se comportan como funciones tipo coseno y seno amortigadas
respectivamente en el límite de x grandes. Este paralelismo es muy útil tenerlo presente, es
G.NAVASCUÉS
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2. SERIES
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más las funciones que se definen mas adelante (Hankel o de Bessel de 3ª especie) juegan el
mismo papel con respecto a las J y N que las exponenciales imaginarias con respecto al coseno
y al seno, como ya había anunciado previamente.
REPRESENTACIÓN INTEGRAL (Estas representaciones se pueden demostrar con ayuda de las funciones de
Hankel, ver más adelante):
Nν ( x ) = −
2
π
∞
∫ cos( x cosh t )dt
=−
0
2
∞
cos( xt )dt /(t
π∫
2
− 1)1 / 2
x>0
[2.83]
0
RELACIONES DE RECURRENCIA
Nν (x) , al ser combinación de funciones que verifican ciertas relaciones de recurrencia, satisface las esas
mismas relaciones de recurrencia (luego es solución de la ecuación de Bessel).
RELACIONES WRONSKIANAS
Utilizando las propiedades del wronskiano (que veremos en el capítulo siguiente) se llega:
Jν ( x) J −ν ' ( x) − Jν ' ( x) J −ν ( x) = −
2ν
2 sinνπ
=−
x ν!(−ν )!
xπ
[2.84]
que con ayuda de las relaciones de recurrencia se llega a:
2 sin νπ
xπ
2 sinνπ
Jν J −ν −1 − J −ν Jν +1 ( x) = −
xπ
2
Jν Nν '− Jν ' Nν =
xπ
2
Jν Nν +1 − Jν +1 Nν = −
xπ
J ν J −ν +1 − J −ν J ν −1 ( x) =
[2.85]
[2.86]
[2.87]
[2.88]
COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO
Extendiendo el comportamiento al plano complejo:
Para − π < arg z < π :
Para
Jν ( z ) =
− π < arg z < π : Nν ( z ) =
2 ⎧
1 π⎤
1 π ⎤⎫
⎡
⎡
⎨ Pν ( z ) cos ⎢ z − (ν + ) ⎥ − Qν ( z ) sen ⎢ z − (ν + ) ⎥ ⎬
2 2⎦
2 2 ⎦⎭
zπ ⎩
⎣
⎣
2 ⎧
1 π⎤
1 π ⎤⎫
⎡
⎡
⎨ Pν ( z ) sin ⎢ z − (ν + ) ⎥ + Qν ( z ) cos ⎢ z − (ν + ) ⎥ ⎬
2 2⎦
2 2 ⎦⎭
zπ ⎩
⎣
⎣
[2.89]
[2.90]
donde ( µ = 4ν ):
2
Pν ( z ) ~ 1 −
Qν ( z ) ~
( µ − 1)( µ − 9) ( µ − 1)( µ − 9)( µ − 25)( µ − 49)
+
− ...
2!(8 z ) 2
4!(8 z ) 4
µ −1
1!(8 z )
−
G.NAVASCUÉS
( µ − 1)( µ − 9)( µ − 25)
+ ...
3!(8 z )3
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2. SERIES
MM_III
Para z real y suficientemente grande se obtienen los comportamientos predichos: las funciones coseno y
seno levemente amortiguadas:
J ν ( x) ⎯x⎯
⎯→
→∞
2
1 π ⎤ cos( x - νπ / 2 + π / 4)
⎡
cos ⎢ x − (ν + ) ⎥ ~
xπ
2 2⎦
x
⎣
[2.91]
Nν ( z ) ⎯x⎯
⎯→
→∞
2
1 π ⎤ sin( x - νπ / 2 + π / 4)
⎡
sin ⎢ x − (ν + ) ⎥ ~
xπ
2 2⎦
x
⎣
[2.92]
COMPORTAMIENTO CERCA DE x=0
J ν ( x) ⎯x⎯
⎯→ =
→ +0
1 ⎛ x⎞
⎜ ⎟
Γ(v + 1) ⎝ 2 ⎠
v
[2.93]
−v
⎧
1
1
⎛ x⎞
J −ν ( x) = −
⎜ ⎟ , v ≠ entero
⎪ −
sen(vπ )Γ(−v + 1) ⎝ 2 ⎠
⎪ sen(vπ )
2
x
⎪
⎯→ = ⎨
Nν ( x) ⎯x⎯
( Ln + γ ),
v=0
→ +0
π
2
⎪
−v
(v − 1)! ⎛ x ⎞
⎪
v = entero ≠ 0
−
⎜ ⎟ ,
⎪
π
2
⎝
⎠
⎩
[2.94]
Que muestra el comportamiento singular en x=0 de una de las series de acuerdo con lo predicho al buscar
la segunda solución en las ecuaciones diferenciales con puntos singulares regulares.
CEROS
Veremos que conocer los ceros de las funciones de Bessel será de gran utilidad. De momento
observamos que, como consecuencia de la dependencia de la frecuencia de las oscilaciones de
las funciones de Bessel con la posición, la distancia entre ceros disminuye hacia una constante,
que es π. En la tabla adjunta se observa que los primeros ceros ya no difieren mucho de π (ver [2.91] y
[2.92]). En las gráficas que presento enseguida se observa también que las dos soluciones J y N se
entrecruzan de tal forma que los ceros de una función se interponen entre dos ceros sucesivos de la otra.
Los nueve primeros ceros (k=1,...,9) de J n (x) , n=1,...,9:
G.NAVASCUÉS
k
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
1
2.405
3.832
5.135
6.379
7.586
8.780
2
5.520
7.016
8.147
9.760
11.064 12.339
3
8.654
10.173 11.620 13.017 14.373 15.700
4
11.792 13.323 14.796 16.224 17.616 18.982
5
14.931 16.470 17.960 19.410 20.827 22.220
6
18.071 19.616 21.117 22.583 24.018 25.431
7
21.212 22.760 24.270 25.749 27.200 28.628
8
24.353 25.903 27.421 28.909 30.371 31.813
9
27.494 29.047 30.571 32.050 33.512 34.983
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2. SERIES
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GRÁFICAS (N=Y)
Gráficas de los cinco primeros órdenes de las funciones de Bessel de primera y segunda especie. Observe:
el carácter oscilatorio y como tienden, amortiguándose, a las funciones coseno y seno respectivamente.
Funciones Jv y Nv se entrelazan y los ceros de una están entre dos ceros sucesivos de
la otra, es esta figura lo vemos para J0 y N0:
J0(x)
N0(x)
G.NAVASCUÉS
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2. SERIES
MM_III
La simetría de las funciones Bessel se refleja en estos ejemplos: las cuatro primeras órdenes de las
funciones de Bessel de primera especie:
DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES HANKEL DE ORDEN n (de Bessel de 3er orden)
Estas funciones en representación integral se suelen usar como alternativa para introducir las funciones
Bessel (ver más abajo en el apartado de las representaciones integrales). Aquí las obtenemos en
combinación lineal como el “coseno” y “seno” de las funciones de Bessel de 1ª y 2ª especie
Recuerde la definición semejante:
H ν(1) = J ν ( x) + iNν ( x)
[2.95]
H ν( 2 ) = J ν ( x) − iNν ( x)
[2.96]
exp(±ix) = cos( x) ± isen( x) .
DESARROLLO DE LAS FUNCIONES EL DE ORDEN n
Utilizando los desarrollos de Jv y Nv se llega a (es usual que sólo interese el primer término):
H 0(1) = i
2
π
H 0( 2) = −i
ln x + 1 + i
2
π
2
π
ln x + 1 − i
(γ − ln 2) + ...
2
π
(γ − ln 2) + ...
[2.97]
[2.98]
Hν(1) = −i
(ν − 1)! 2 ν
( ) + ...,
ν >0
[2.99]
Hν( 2) = i
(ν − 1)! 2 ν
( ) + ...,
ν >0
[2.100]
π
π
π
π
RELACIONES DE RECURRENCIA
Al ser combinaciones de funciones Bessel de 1ª y 2ª especie, las H(i)υ(x) satisfacen automáticamente las
mismas relaciones de recurrencia (luego también son solución de la ecuación de Bessel)
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2. SERIES
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RELACIONES WRONSKIANAS
Análogamente a lo que hizo con las funciones de Bessel de 1ª y 2ª especie y utilizando las relaciones de
recurrencia se llega:
4
ixπ
2
Jν −1 Hν(1) − Jν Hν(1−)1 =
ixπ
2
Jν Hν( 2−1) − Jν −1 Hν( 2) =
ixπ
Hν( 2) Hν(1+)1 − Hν(1) Hν( 2+1) =
[2.101]
[2.102]
[2.103]
FUNCIONES DE BESSEL MODIFICADAS Iν Y Kν
DEFINICIÓN DE Iν COMO MODIFICADA DE Jν
Si en la ecuación de Bessel en su forma equivalente [2.72], que es la misma que la parte radial
de la ecuación de ondas, cambiamos k por ik, obtenemos la ecuación:
d2
d
ρ
Y (kρ ) + ρ
Yν (kρ ) − (k 2 ρ 2 + ν 2 )Yν (kρ ) = 0
2 ν
dρ
dρ
2
[2.104]
que es la ecuación de la parte radial que resulta, en coordenadas cilíndricas, de la ecuación de
difusión (lo veremos explícitamente). Por tanto las soluciones de la nueva ecuación son, con el cambio
k→ik, debe ser Yν ( kρ ) = Zν (ikρ ) , funciones Bessel de argumento imaginario pero ellas mismas son reales,
estas nuevas funciones convenientemente normalizadas definen las funciones Bessel modificadas:
Iν ( x ) ≡ i −ν Jν (ix ) = e − iνπ / 2 Jν ( xe iνπ / 2 )
[2.105]
DESARROLLOS DE Iν
Del desarrollo [2.60] se llega:
∞
1
⎛ x⎞
Iν ( x) = ∑
⎜ ⎟
s = 0 s!( s + ν )! ⎝ 2 ⎠
2 s +ν
∞
1
⎛ x⎞
I −ν ( x) = ∑
⎜ ⎟
s = 0 s!( s − ν )! ⎝ 2 ⎠
2 s −ν
[2.106]
Observe que las ecuaciones de Bessel modificadas son efectivamente reales. Observe además que
I − n ( x) = I n ( x)
[2.107]
Jν ( x) ≡ iν Iν (−ix)
[2.108]
RELACIONES DE RECURRENCIA
Cambiando x por –ix en [2.205]) resulta:
que usada en [2.64], que cambiando x por ix y que usando [2.65] da respectivamente:
iν −1 Iν −1 (−ix) + iν +1 Iν +1 (−ix) =
Iν −1 ( x) + Iν +1 ( x) =
2ν ν
i Iν (−ix)
x
2ν
Iν ( x)
x
Iν −1 ( x) + Iν +1 ( x) = 2 Iν ' ( x)
G.NAVASCUÉS
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[2.109]
[2.110]
[2.111]
45
2. SERIES
MM_III
REPRESENTACIÓN INTEGRAL
De la ecuación [2.77]:
I 0 ( x) =
2
π
π
∫ cosh( x cosh θ )dθ
[2.112]
0
en general para υ>-1:
ν π /2
2
⎛z⎞
Iν ( z ) = 1 / 2
⎜ ⎟
π (ν − 1 / 2)! ⎝ 2 ⎠
∫ cosh( z cosh θ ) sin
2ν
θ dθ
[2.113]
0
DEFINICIÓN DE Kν COMO ANÁLOGA A Nν
Cuando υ entero, como ocurre con las “Jν” y precisamente por su relación directa con ellas, sólo tenemos
una única función Bessel modificada independiente (ver también [2.107]). La segunda función de Bessel
modificada se defina en forma similar a las de Neumann (ver [2.80]):
Kν ( x ) ≡
que es equivalente a:
π I −ν ( x) − Iν ( x)
2
sin νπ
[2.114]
Kν ( x) ≡ (π 2) iν +1 H ν(1) (ix) = (π 2) iν +1 ( J ν (ix) + iNν (ix) )
[2.115]
como se puede comprobar usando [2.80] y [2.105]. (Ojo con la notación, cada autor la etiqueta como
quiere y no hay unanimidad en su definición: la definición dada no satisface las relaciones de recurrencia
de Iν para conseguirlo se añade el factor cos(υπ))
DESARROLLOS DE Kν
Usando el desarrollo de
H ν(1) , ecuaciones [2.97] y [2.99]:
K 0 ( x) = − ln x − γ + ln 2 + ....
[2.116]
Kν ( x) = 2ν −1 (ν − 1)! x −ν + ...
[2.117]
REPRESENTACIÓN INTEGRAL
Se demuestra que es una transformada Fourier coseno:
∞
∞
cos( xt )dt
2
1/ 2
0 (t + 1)
K 0 ( x) = ∫ cos( xsenht )dt = ∫
0
x>0
[2.118]
GRÁFICAS
G.NAVASCUÉS
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46
2. SERIES
MM_III
COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO
Extendiendo el comportamiento al plano complejo:
⎧⎡
2
1 π ⎤⎫
exp⎨i ⎢ z − (ν + ) ⎥ ⎬[Pν ( z ) + iQν ( z )]
πz
2 2 ⎦⎭
⎩⎣
⎧ ⎡
2
1 π ⎤⎫
H ν( 2) ( z ) =
exp⎨− i ⎢ z − (ν + ) ⎥ ⎬[Pν ( z ) − iQν ( z )]
πz
2 2 ⎦⎭
⎩ ⎣
Para
− π < arg z < 2π :
Para
− 2π < arg z < π :
Para
− π / 2 < arg z < π / 2 :
Iν ( z ) =
Para
− π / 2 < arg z < π / 2 :
Kν ( z ) =
H ν(1) ( z ) =
ez
2πz
e−z
[Pν (iz ) − iQν (iz )]
2z / π
[Pν (iz ) + iQν (iz )]
[2.119]
[2.120]
[2.121]
[2.122]
donde ( µ = 4ν ):
2
Pν ( z ) ~ 1 −
Qν ( z ) ~
( µ − 1)( µ − 9) ( µ − 1)( µ − 9)( µ − 25)( µ − 49)
+
− ...
2!(8 z ) 2
4!(8 z ) 4
µ −1
1!(8 z )
−
( µ − 1)( µ − 9)( µ − 25)
+ ...
3!(8 z )3
FUNCIONES DE BESSEL ESFÉRICAS
La parte radial de la ecuación de ondas en coordenadas esféricas es:
r2
d 2R
dR
+ 2r
+ (k 2 r 2 + n(n + 1)) R = 0
2
dr
dr
[2.123]
con n>0. Esta ecuación no es una ecuación de Bessel, sin embargo con el cambio
R(kr ) = Z (kr ) / kr se transforma en la de Bessel de orden n+1/2:
r2
dZ
d 2Z
+r
+ ( k 2 r 2 − ( n + 1 / 2) 2 ) Z = 0 .
2
dr
dr
[2.124]
cuyas soluciones son las funciones de Bessel Z de 1ª, 2ª y 3ª clase y, todas ellas, de orden n + 1 / 2 . Por
tanto las soluciones de [1.123] son, con el cambio correspondiente R (kr ) = Z ( kr ) / kr , inmediatas y con
la normalización que se muestra a continuación, se definen como funciones de Bessel esféricas:
DEFINICIONES
G.NAVASCUÉS
j n ( x) =
2
J n +1 / 2 ( x)
πx
[2.125]
nn ( x) =
2
2
N n +1 / 2 ( x) = (−1) n +1
J − n −1 / 2 ( x)
πx
πx
[2.126]
hn(1) ( x) =
2 (1)
H n +1 / 2 ( x) = j n ( x) + in n ( x)
πx
[2.127]
hn( 2) ( x) =
2 ( 2)
H n +1 / 2 ( x) = j n ( x) − in n ( x)
πx
[2.128]
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2. SERIES
MM_III
Utilizando los desarrollos de J, N y las H se llega: (hay que usar también que
z!( z + 1 / 2)!= 2 −2 z −1π 1 / 2 (2 z + 1)! ):
(−1) s ( s + n)! 2 s
x
s = 0 s!( 2 s + 2n + 1)!
∞
jn ( x) = 2 n x n ∑
nn ( x) =
(−1) n +1 ∞ (−1) s ( s − n)! 2 s
x
∑
2 n x n +1 s = 0 s!(2 s − 2n)!
hn(1) ( z ) = (−1) n +1
eiz
z
[
i s (n + s )!
(2 z )
∑
s = 0 s!( n − s )!
∞
hn( 2) ( z ) = hn(1) ( z )
Caso n=0:
j0 ( x) =
senx
x
[2.129]
n0 ( x) = −
cos x
x
[2.130]
−s
[2.131]
]
*
[2.132]
i
h0(1) ( x) = − eix
x
h0( 2 ) ( x) =
i − ix
e
x
[2.133]
LIMITE x→0
Del comportamiento asintótico de las funciones de Bessel se llega a:
1
nπ
)
sen( x −
2
x
nπ
1
nn ( x) ~ − cos( x −
)
x
2
ei ( x−nπ / 2 )
hn(1) ( x) ~ −i
x
− i ( x −nπ / 2 )
e
hn( 2 ) ( x) ~ i
x
jn ( x) ~
[2.134]
[2.135]
[2.136]
[2.137]
RELACIONES DE RECURRENCIA
De las relaciones de recurrencia de las funciones de Bessel se llaga a: (f=j,n o h)
f n +1 ( x) + f n −1 ( x) =
2n + 1
f n ( x)
x
nf n −1 ( x) − (n + 1) f n +1 ( x) = (2n + 1) f n ' ( x)
[2.138]
[2.139]
Reordenando y por inducción se obtiene:
n
⎡ 1 d ⎤ ⎡ senx ⎤
jn ( x) = (− x) ⎢
⎣ x dx ⎥⎦ ⎢⎣ x ⎥⎦
n
[2.140]
n
⎡ 1 d ⎤ ⎡ cos x ⎤
nn ( x) = −(− x) ⎢
⎣ x dx ⎥⎦ ⎢⎣ x ⎥⎦
n
[2.141]
n
ix
⎡1 d ⎤ ⎡e ⎤
h ( x) = (− x) ⎢
⎢ ⎥
⎣ x dx ⎥⎦ ⎣ ix ⎦
(1)
n
n
⎡1 d ⎤
h ( x) = (− x) ⎢
⎣ x dx ⎥⎦
( 2)
n
G.NAVASCUÉS
n
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n
⎡ e − ix ⎤
⎢ − ix ⎥
⎣
⎦
[2.142]
[2.143]
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2. SERIES
MM_III
GRÁFICAS
G.NAVASCUÉS
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