Propiedades de las funciones de Bessel

Funciones de Bessel.
1.
Función generatriz y desarrollo en serie.
1. Al igual que los polinomios de Legendre las funciones de Bessel de primera
especie se pueden introducir a través de una función generatriz.
g(x, t) = e
x
(t− 1t )
2
=
n=∞
X
Jn (x)tn
(1)
n=−∞
Notese que entendemos las funciones de Bessel como los coeficientes, que dependen de x, de una serie en la variable t. A diferencia de los polinomios de
Legendre, esta serie no es una serie de Taylor sino de Laurent pues contiene
potencias negativas.
2. Expandiendo el producto de las dos exponenciales podemos llegar expresiones
en forma de serie de Taylor:
xt
2
x
− 2t
e e
=
∞
∞
X
xr tr X
r=0
2r r!
s=0
xs t−s
(−1)s s
2 s!
=
∞ X
∞
X
(−1)s x r+s
r=0 s=0
r!s! 2
tr−s
(2)
Para poder identificar este producto con la serie en (1) haremos el cambio de
índice n = r − s o equivalentemente r = n + s y r + s = n + 2s. Sustituyendo
obtenemos:
n=∞
X
∞
X
n=−∞ s=0
Jn (x) =
∞
X
s=0
2.
(−1)s x n+2s n
t
s!(n + s)! 2
(−1)s x n+2s
xn+2
xn
= n − n+2
s!(n + s)! 2
2 n! 2 (n + 2)!
(3)
(4)
Relaciones de Recurrencia
Podemos deducir relaciones de recurrencia similares a las encontradas para los
polinomios de Legendre de la siguiente forma:
∞
∞
X
dg(x, t)
1
1
1
1X
1
n
Jn (x)t =
= x(1 + 2 )g(x, t) = x(1 + 2
Jn (x)(tn + tn−2 (5)
dt
2
t
2
t n=0
2x
n=0
Por otro lado
∞
dg(x, t) X
nJn (x)tn−1
=
dt
n=0
1
(6)
Igualando términos en tn en ambas expresiones llegamos a
Jn−1 (x) + Jn+1 (x) =
2n
Jn (x)
x
(7)
Podemos encontrar una segunda relación de recurrencia derivando con respecto a
x:
por otro lado
n=∞
1
1
1
1 X
dg(x, t)
Jn (x)tn
= (1 − )g(x, t) = (1 − )
dx
2
t
2
t n=−∞
(8)
∞
dg(x, t) X ′
=
Jn (x)tn
dx
n=0
(9)
Igualando términos en tn en ambas expresiones llegamos a:
Jn−1 (x) − Jn+1 (x) = 2Jn′ (x)
Sumando y restando las dos relaciones de recurrencia obtenemos:
n
Jn−1 (x) = Jn (x) − Jn (x)
x
n
Jn+1 (x) = Jn (x) − Jn′ (x)
x
3.
(10)
(11)
(12)
Propiedades.
1. Las funciones de Bessel no son polinomios. Su serie de Taylor tiene infinitos
términos.
2. Para x << 1 las funciones de Bessel se pueden aproximar como
xn
Jn (x) ∼ n
(13)
2 n!
El término dominante a x pequeños es una potencia del mismo orden que la
función de Bessel (ver figura) . De lo que se deduce además que J0 (x) = 1 y que
Jn (x) = 0 para n > 0
3.
J−n (x) = (−1)n Jn (x)
(14)
Esto se puede demostrar haciendo
J−n (x) =
∞
X
s=0
(−1)s x 2s−n
s!(s − n)! 2
2
(15)
1
J0
J1
J2
J3
J4
0.5
0
−0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Figura 1: Representación de las cinco primeras funciones de Bessel. Son funciones oscilantes
pero no periódicas.
Las contribuciones a la serie para valores s = 0, . . . , n − 1 son cero. Así que
podemos hacer el cambio s → s + n
∞
X
(−1)s+n x 2s+n
J−n (x) =
= (−1)n Jn (x)
(s + n)!s! 2
s=0
(16)
4. La paridad de las funciones de Bessel está bien definida:
Jn (−x) = (−1)n Jn (x)
(17)
Esto se puede comprobar de la siguiente forma:
g(−x, −t) = e
−x
(−t+ 1t )
2
=
n=∞
X
(−1)n Jn (−x)tn
(18)
n=−∞
que por otro lado es igual a:
g(−x, −t) = e
−x
(−t+ 1t )
2
=e
x
(t− 1t )
2
=
n=∞
X
n=−∞
3
Jn (x)tn
(19)
20
5.
J0′ (x) = J1 (x)
(20)
Es un caso particular de la segunda relación de recurrencia.
Ejercicio Demuestralo
6. Si sustituimos t = eiθ en la función generatriz:
iθ
g(x, e ) =
n=∞
X
x
Jn (x)einθ = e 2 (e
iθ −e−iθ )
= eix sin θ
(21)
n=−∞
de donde concluimos que
ix sin θ
e
n=∞
X
=
Jn (x)einθ
(22)
n=−∞
7. Del mismo modo si sustitiuimos t = ieiθ
iθ
g(x, ie ) =
n=∞
X
x
Jn (x)in einθ = e 2 (ie
iθ −(ieiθ )−1 )
ix
= e 2 (e
iθ +e−iθ )
= eix cos θ
(23)
n=−∞
y por tanto:
eix cos θ =
n=∞
X
in Jn (x)einθ
(24)
n=−∞
de esta propiedades puede venir un justificación física de la función generatriz.
Consideremos la onda plana en d=3 propagandose a lo largo de un eje perpendicular al eje z. En coordenadas cilíndricas escribiremos
~
eik~r = eikr cos θ
(25)
renombrando x = kr tenemos la expansión de una onda plana (propagandose
perpendicularmente al eje de la cilíndricas) en ondas cilíndricas
eix cos θ
n=∞
X
n=−∞
4
in Jn (kr)einθ
(26)