9 Soluciones en serie de ecuaciones lineales II

9 Soluciones en serie de ecuaciones lineales II
9.1. Ecuación indicial
Si x = 0 es un punto singular regular de la ecuación y 00 + P (x)y 0 + Q(x)y = 0, entonces p(x) = xP (x),
q(x) = x2 Q(x) son analíticas en x = 0:
p(x) = xP (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . ,
q(x) = x2 Q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + . . .
La ecuación indicial general es
r(r − 1) + a0 r + b0 = 0,
y las soluciones se llaman raíces indiciales.
Ejemplo:
La ecuación indicial de la ecuación xy 00 + y = 0:
xP (x) = 0, x2 Q(x) = x, entonces a0 = 0 y b0 = 0.
La ecuación indicial es r(r − 1) = 0.
Las raíces indiciales son r1 = 1 y r2 = 0.
9.1.1. Existencia de soluciones según la naturaleza de las raíces indiciales
Sea x = 0 un punto singular regular de la ecuación.
Las raíces indiciales son r1 y r2 reales.
Tres casos:
Caso 1: r1 − r2 no es un número entero. Entonces existen dos soluciones linealmente independientes y1 (x)
∞
X
e y2 (x) de la ecuación de la forma
cn xn+r .
n=0
Caso 2: Si r1 − r2 = N , N entero, existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación con la
forma:
∞
X
y1 (x) =
cn xn+r1 , c0 6= 0,
n=0
y2 (x) = Cy1 (x) ln x +
∞
X
bn xn+r2 , b0 6= 0
n=0
donde puede que C = 0.
Caso 3: Si r1 = r2 , siempre existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación que tienen la
forma:
∞
X
y1 (x) =
cn xn+r1 , c0 6= 0,
n=0
y2 (x) = Cy1 (x) ln x +
∞
X
bn xn+r2 , b0 6= 0.
n=0
1
9.2. Ecuación de Bessel
x2 y 00 + xy 0 + (x2 − ν 2 )y = 0,
ν≥0
x = 0 es un punto singular regular de la ecuación
Existe al menos una solución de la ecuación de la forma
∞
X
cn xn+r
n=0
2
2
2
Como xP (x) = 1 y x Q(x) = x − ν , la ecuación indicial es
x2 − ν 2 = 0
Las raíces son r1 = ν y r2 = −ν
Sea r1 = ν , entonces:
x2 y 00 + xy 0 + (x2 − ν 2 )y =
¤
£
P∞
= xν (1 + 2ν)c1 x + n=0 [(k + 2)(k + 2 + 2ν)ck+2 + ck ]xk+2 =
=0
½
(1 + 2ν)c1 = 0
(k + 2)(k + 2 + 2ν)ck+2 + ck = 0

 (1 + 2ν)c1 = 0
−ck
, k = 0, 1, 2, . . .
 ck+2 =
(k + 2)(k + 2 + 2ν)
Si c1 = 0 → c3 = 0, c5 = 0, c7 = 0, . . .
c2n−2
Si k + 2 = 2n → c2n = 2
, n = 1, 2, . . .
2 n(n + ν)
n
(−1) c0
, n = 1, 2, 3, . . .
22n n!(1 + ν)(2 + ν) . . . (n + ν)
Z ∞
1
Se elige c0 = ν
→ Γ(x) =
tx−1 et dt
2 Γ(1 + ν)
0
c2n =
n
(−1)
=
2n+ν n!(1 + ν)(2 + ν) . . . (+ν)Γ(1 + ν)
2
Por la propiedad Γ(1 + α) = αΓ(α),
n
(−1)
, n = 0, 1, 2, . . .
= 2n+ν
2
n!Γ(1 + ν + n)
c2n =
9.2.1. Funciones de Bessel de primera clase
Función de Bessel de primera clase (de primera especie) de orden ν :
Jν (x) =
³ x ´2n+ν
(−1)
n!Γ(1 + ν + n) 2
n=0
∞
X
n
Función de Bessel de primera clase o de primera especie de orden −ν :
J−ν (x) =
³ x ´2n−ν
(−1)
n!Γ(1 − ν + n) 2
n=0
∞
X
n
2
Son convergentes en [0, ∞)
Observaciones:
Si ν = 0, las dos soluciones son iguales
Si ν > 0 y además r1 − r2 = ν − (−ν) = 2ν no es un entero positivo, Jν (x) y J−ν (x) son soluciones
linealmente independientes de la ecuación de Bessel en (0, ∞) (Caso I) , la solución general en el
intervalo es
y = c1 Jν + c2 J−ν
Si r1 − r2 = 2ν es un entero positivo, sólo se puede asegurar que exista una segunda solución en
forma de serie:
• Si ν = m es un entero positivo, J−m (x) y Jm (x) no son linealmente independientes (J−m (x) =
KJm (x))
• Se puede demostrar que si 2ν es un entero positivo impar, Jν y J−ν son linealmente independientes
La solución general es y = c1 Jν (x) + c2 J−ν (x), ν 6= entero
Ejemplo: La solución general de la ecuación
µ
¶
1
x2 y 00 + xy 0 + x2 −
y=0
4
es
y = c1 J1/2 (x) + c2 J−1/2 (x)
donde:
J1/2 (x) =
³ x ´2n+1/2
(−1)
n!Γ(3/2 + n) 2
n=0
∞
X
J−1/2 (x) =
n
³ x ´2n−1/2
(−1)
n!Γ(1/2 + n) 2
n=0
∞
X
n
9.2.2. Funciones de Bessel de segunda clase
Si ν 6= entero, la función
Yν (x) =
cos(νπ)Jν (x) − J−ν (x)
sen(νπ)
y la función Jν (x) son linealmente independientes y soluciones de la ecuación de Bessel, por tanto, otra
forma de la solución general es:
y = c1 Jν (x) + c2 Yν (x)
Yν se llama función de Bessel de segunda clase
Si ν → m donde m es un número entero:
lı́m Yν (x) = Ym (x)
ν→m
Entonces Ym (x) y Jm (x) son soluciones linealmente independientes de
x2 y 00 + xy 0 + (x2 − m2 )y = 0
Conclusión: para cualquier valor de ν , la solución general de la ecuación
3
x2 y 00 + xy 0 + (x2 − ν 2 )y = 0
es
y = c1 Jν (x) + c2 Yν (x)
9.2.3. Ecuación paramétrica de Bessel
La ecuación paramétrica de Bessel es
x2 y 00 + xy 0 + (λ2 x2 − ν 2 )y = 0
Haciendo el cambio de variable t = λx en la ecuación de Bessel y aplicando la regla de la cadena,
obtenemos la ecuación de Bessel
t2 y 00 + ty 0 + (t2 − ν 2 )y = 0
y la solución general es:
y = c1 Jν (t) + c2 Yν (t)
es decir, la solución de la ecuación paramétrica de Bessel es
y = c1 Jν (λx) + c2 Yν (λx)
9.2.4. Propiedades de las funciones de Bessel
Funciones de Bessel de orden m = 0, 1, 2, 3 . . .
m
1. J−m (x) = (−1) Jm (x)
m
2. Jm (−x) = (−1) Jm (x)
½
0, m > 0
3. Jm (0) =
1, m = 0
4. lı́mx→0 Ym (x) = −∞
4
Ejercicios del capítulo
1. Determina la solución general de la ecuación diferencial respectiva:
a ) x2 y 00 + xy 0 + (x2 − 1)y = 0.
b ) 16x2 y 00 + 16xy 0 + (16x2 − 1)y = 0.
c ) x2 y 00 + xy 0 + (36x2 − 41 )y = 0.
2. Comprueba que la ecuación diferencial
x2 y 00 + (1 − 2n)y 0 + xy = 0, x > 0,
posee una solución particular y = xn Jn (x).
3. Comprueba que la ecuación diferencial
xy 00 + (1 − 2n)y 0 + xy = 0, x > 0,
posee una solución particular y = xn Jn (x).
4. Comprueba que la ecuación diferencial
xy 00 + (λ2 x2 − ν 2 + 1/4)y = 0, x > 0,
√
tiene la solución particular y = xJn (λx), donde λ > 0.
5. Aplica los resultados de los tres problemas anteriores para hallar una solución particular en (0, ∞)
de la ecuación diferencial dada:
a ) xy 00 − y 0 + xy = 0.
b ) 4x2 y 00 + (16x2 + 1)y = 0.
c ) xy 00 − 5y 0 + xy = 0.
6. Funciones de Bessel esféricas
Sea ν = 12 , 32 , 52 , . . . la función de Bessel Jν (x) se puede expresar en términos de funciones elementales sen(x), cos(x):
Ejemplo: Forma alternativa de J1/2 (x):
J1/2 (x) =
Por Γ(1 + α) = αΓ(α) y Γ( 12 ) =
• n = 0, Γ(1 +
1
2)
=
1
1
2 Γ( 2 )
=
• n = 1, Γ(1 + 32 ) = 32 Γ( 32 ) =
• n = 2, Γ(1 + 52 ) = 52 Γ( 52 ) =
• En general Γ(1 +
Así:
1
2
+ n) =
√
³ x ´2n+1/2
(−1)
n!Γ(1 + 12 + n) 2
n=0
∞
X
n
π:
1√
2 π
3 √
22 π
=
5! √
25 2! π
3! √
23 π
(2n+1)! √
22n+1 n! π
∞
n
³ x ´2n+1/2 √
X
(−1)n 2n+1
(−1)
√
x
= 2πx
(2n + 1)!
(2n + 1)! π 2
n=0
n=0 n!
22n+1 n!
Es un desarrollo de MacLaurin de la función sen x:
r
2
J1/2 (x) =
sen x
πx
J1/2 (x) =
∞
X
7. Expresa J−1/2 en términos de cos x y de una potencia de x.
5