Ficha teórica correspondiente a Repartido Nº 10

UdelaR Facultad de Ciencias
Curso de Física I p/Lic. Física y Matemática
Curso 2012
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
1. Equilibrio estable –Un punto de equilibrio es estable, si al desplazarse del
mismo una desviación pequeña se origina una fuerza neta que tiende a regresar al
sistema hacia el estado de equilibrio (fuerza de restauración.)
2. Movimiento oscilatorio- Cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza neta
proporcional al desplazamiento respecto del punto de equilibrio y dirigido en el
sentido de él se genera un movimiento repetitivo hacia delante y hacia atrás
alrededor del punto de equilibrio.
El movimiento armónico simple (M.A.S.) es un caso particular del anterior, en
el que la oscilación es entre dos posiciones espaciales durante un tiempo
indefinido sin perder energía. Ejemplo sistema masa-resorte, péndulo simple.
3. Ecuación de movimiento y características de un M.A.S.
F = -kx
F = ma
ma + kx = 0
notación:
d 2x
dt
2
Llamando
k
, resulta
m
x +
Cuya solución es:
2
2
x ,
dx
dt
x
x=0
(1)
x(t) = A cos( t + )
(2)
que se verifica derivando dos veces y sustituyendo en (1).
donde A,
y
son constantes de movimiento:
Amplitud (A) es el desplazamiento máximo respecto al punto de equilibrio,
constante de fase y es la frecuencia angular que depende del sistema
físico considerado.
También son soluciones de (1), expresiones equivalentes:
x(t) = A sen( t + ’) (2’) y x(t) = C1 cos( t) + C2 sen( t) (2’’)
Derivando (2) se obtiene:
x (t) = v(t) = -A
x (t) = a(t) = -A
sen( t + ) (3)
cos( t + ) (5)
vMAX = A
(4)
aMAX = A
(6)
Se llama fase al argumento de la función trigonométrica ( t + ), el periodo
(T) es el tiempo que tarda el sistema en regresar a tener el mismo valor de x
con el mismo valor de v (completar un ciclo).
T
2
(7)
mientras que la frecuencia f es la cantidad de ciclos completados por unidad de tiempo
Ay
f
1
T
2
(8)
pueden determinarse a través de las condiciones iniciales
x0 = Acos
v0 = - Asen
arctg
v0
x0
(9)
A=
x0 2
v0
2
(10)
4. Energía de un oscilador armónico simple - El
sistema es conservativo, es decir que la energía
mecánica se mantiene constante.
Ficha Nº7
1
UdelaR Facultad de Ciencias
Curso de Física I p/Lic. Física y Matemática
1
1
m v 2 = m 2 A 2 sen 2 ( t
2
2
1 2 1 2
U = kx = kA cos 2 ( t )
2
2
k
Teniendo en cuenta que 2
m
K=
)
Curso 2012
(11)
(12)
1
1
1
1
m v 2 + kx 2 = kA 2 = m 2 A 2
(13)
2
2
2
2
La energía de un oscilador armónico simple es una constante de movimiento y es proporcional al cuadrado de la amplitud. Su
energía mecánica total es igual a la energía potencial máxima almacenada en el resorte cuando x = ± A, en esos puntos v = 0.
En la posición de equilibrio (x = 0), toda la energía está en forma de energía cinética.
A partir de (13), se puede determinar la velocidad v correspondiente a un desplazamiento arbitrario x:
E=K+U=
k
( A2
m
v=
A2
x2 ) =
x2
(14)
5. Péndulo simple – Sistema mecánico que se mueve en un movimiento oscilatorio,
masa puntual m suspendida por una cuerda ligera (sin masa) de longitud L.
La fuerza restauradora es la componente tangencial del peso, que actúa siempre hacia
opuesta al desplazamiento.
Ft = -mg sen

=m
d 2s
dt 2
= m s
g
sen
L
si
s desplazamiento medido a lo largo del arco
≈
es pequeño, sen
= 0,
s=L
y resulta un M.A.S.
(errores: 5º-0,24%, 10º 0,5 %, 15º-1,14%)
g
L

max
(15)
con
(t)=
max
cos( t + )
g
L
es el desplazamiento angular máximo y,
el periodo vale
T=
2
(16)
(17)
2
L
g
(18)
6. Péndulo físico – Objeto colgante de masa m que oscila alrededor de un eje fijo que pasa
por O, siendo d la distancia del centro de masa (CM) a O, e I O su momento de inercia
respecto al centro de oscilación O. Ecuación de movimiento -mgd sen = I 
suponiendo oscilaciones pequeñas, al igual que en el caso anterior resulta

mgd
IO
=-
2
y el periodo vale T =
(19)
2
con
IO
mgd
2
mgd
IO
(20)
7. Péndulo de torsión – Aparece un momento de
torsión restaurador: = -K
= -K
Ficha Nº7
= I  por lo que
con K constante de torsión
T= 2
I
K
(21)
2