1.2.1Clase4ModelosdeSistemasMecanicos

Análisis y Control de
Sistemas Lineales
Modelado de Sistemas mecánicos
Contenido
◼ Modelos de elementos mecánicos de
traslación
◼
Ejemplos
◼ Modelos de elementos mecánicos de
rotación
◼
Ejemplos
◼ Ejercicios
Modelos de elementos
mecánicos de traslación
x2
x1
x1
El efecto de la gravedad
d2y
M 2 + Ky = f (t )
dt
y = (x −  )
d 2x
M 2 + Kx = f (t ) + K
dt
d 2x
M 2 + Kx = f (t ) + Mg
dt
Ejemplo 1: Modelo de un
sistema masa resorte
m d2x/dt2
d 2x
dx
m 2 + b + kx = Fext.
dt
dt
m = 1kg
ms2 X (s) + bsX (s) + kX (s) = Fext. (s)
X ( s)
1
G( s ) =
= 2
Fext. (s) ms + bs + k
N s
b = 0 .2
m
N
k =5
m
Fext. = 9.81N
Ejemplo 2: Modelo de un carrito
con resorte y amortiguamiento
mx + bx + kx = u(t )
1
U (s)
m
= 2
X ( s) s + b s + k
m
m
Ejemplo 3: Masas en
movimiento
y1,v1
K1
y2,v2
K2
M1
B1
M 1 y1 + B1 y1 + K1 y1 + K 2 ( y1 − y2 ) = 0
M 2 y2 + B2 y 2 + K 2 ( y2 − y1 ) = 0
( K1 + K 2 ) y1 − K 2 y2 + B1 y1 + M 1 y1 = 0
− K 2 y1 + K 2 y2 + B2 y 2 + M 2 y2 = 0
M2
B2
Ejemplo 4: Sistema de
suspensión de un automóvil
M1 es la masa de la llanta,
Chasis de
M2 es ¼ de la masa del
chasis del automóvil, K1 es automóvil
la constante elástica de la
llanta y K2 es la constante
K2
elástica del resorte de
suspensión y B1 es la
constante del amortiguador.
La entrada r(t) es el nivel de Llanta
la calle y la salida y(t) es la
posición vertical del chasis
del automóvil respecto a
algún punto de equilibrio.
y(t) = salida
M2
B1
q(t)
M1
K1
r(t) = entrada
Ejemplo 4: Sistema de
suspensión de un automóvil
M 2 = M / 4 = 225kg
K 2 = 3571N / m
B1 = 357 N  s / m
M 1 = 10kg
K1 = 17855N / m
Fent. = 544 N
Fent es producida por el
desplazamiento r(t)
Chasis de
automóvil
K2
Llanta
y(t) = salida
M2
B1
q(t)
M1
K1
r(t) = entrada
M 1q + B1 ( q − y ) + K2 ( q − y ) + K1q = K1r
M 2 y + B1 ( y − q ) + K2 ( y − q) = 0
Ejercicio 1: Encuentre el
modelo
◼ A)
◼ B)
Ejercicio 2: Encuentre Y(s)/F(s)
Considere que antes de la
aplicación de la fuerza f(t),
el sistema se encontraba en
reposo. Encuentre:
◼
◼
Las ecuaciones
diferenciales que describen
el comportamiento
dinámico
La función de transferencia
de la posición de la masa 1
respecto a la fuerza de
entrada.
k1
b1
M1
y(t)
f(t)
k2
M2
x(t)
Modelos de elementos
mecánicos de rotación

M k = K (1 −  2 )
Fricción viscosa rotacional
M B = B (1 − 2 )
Ejemplo 5: Flecha de un
motor
Consideraciones
◼ La barra es
indeformable
◼ La fricción es viscosa
J

B
Mm
TL
J + B = M m − TL
Ejemplo 6: Sistema de polea
con contrapeso

J
r
T
B
T
x
m
K
f
El momento de inercia
de la polea respecto al
eje de rotación es J; la
constante de fricción en
el eje es B. El radio de
la polea es r. La
constante del resorte
es K, la masa del
objeto es m y la tensión
de la cuerda es T. Se
aplica una fuerza f en
el sentido de la fuerza
de gravedad
( J + m  r 2 ) + B + K  r 2 = f  r
Ejemplo 8: Transmisión de
torque sin pérdidas
Considere
◼ La relación de radios
◼ La conservación de la
potencia
T11 = T22
T
1
◼ El torque de reacción en
cada flecha.
J11 + T1 = T
J 22 = T2 − TL
◼ Poner todo en términos
de 1
(J
r11 = r2 2
r11 = r22
2 
+
J
(
r
r
)
1
2 1 2 )1 = T − TL (r1 r2 )
r1,J1
T1
T2
2
r2,J2
TL
Ejemplo 9: Péndulo simple
Consideraciones
◼ El ángulo  es pequeño
◼
sen()=
◼ Sin fricción en el pivote

◼ La masa m está
suspendida del techo por
una barra indeformable de
longitud l.
J =l m
J = −lmg  sen( )
l = − g  sen ( )
2
T
− mg  sen ( )
l
m
mg
Ejemplo 10: Péndulo con
restricción
Consideraciones
◼ El ángulo  es pequeño.
◼ Sin fricción en el pivote
◼ La masa m está
suspendida del techo por
una barra indeformable de
longitud l.
◼ La barra está restringida
a la distancia a por medio
de dos resortes con
constantes K1 y K2.
a
K2

K1
T
l
m
mg
Ejemplo 10: Péndulo con
restricción (2)
El desplazamiento en el eje x
x = a  sen( )
El brazo de palanca en el eje y
y = a  cos( )
y
K2
a

x
El equilibrio de momentos
alrededor del punto de pivote
K1
T
− mg  sen ( )
J + K1  x  y + K 2  x  y = −lmg  sen ( )
l 2  m   + ( K1 + K 2 )  a  sen ( )  a cos( ) = −lmg  sen ( )
l
m
J = l 2m
mg
Ejercicio 3: Barra y bola
Consideraciones
◼ La bola NO rueda, sino,
simplemente se desliza
SIN fricción por la barra.
◼ El ángulo α es pequeño
α
◼ Se aplica un torque T al
eje conectado al centro
de la barra con fricción B.
Euler-Lagrange: Definiciones
◼ Coordenadas generalizadas qi: Conjunto de
coordenadas independientes que se
requieren para describir completamente el
movimiento de un sistema
◼ Cantidad de coordenadas generalizadas:
número de grados de libertad
◼ Lagrangiano: 𝐿 = 𝑇 − 𝑈
Donde
T es la energía cinética
U es la energía potencial
Euler-Lagrange: Lagrangiano
El Lagrangiano L es función de la coordenadas
generalizadas 𝑞𝑖 , de las derivadas de las
coordenadas generalizadas 𝑞1ሶ y del tiempo t.
𝐿 = 𝐿(𝑞𝑖 , 𝑞𝑖 ,ሶ 𝑡)
Ecuación de Euler-Lagrange para sistemas
conservativos, o ecuación de movimiento de
Lagrange para n coordenadas generalizadas
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
−
= 0,
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖ሶ
𝜕𝑞𝑖
(𝑖 = 1, 2, … , 𝑛)
Función de disipación de
Raleigh
En los sistemas no conservativos, se disipa energía
(sistemas amortiguados). D es la función de disipación
de Raleigh. Suponiendo r amortiguadores viscosos, la
función D se define como:
1
𝐷 = (𝑏1 𝛿12 + 𝑏2 𝛿22 + ⋯ + 𝑏𝑟 𝛿𝑟2 )
2
Donde 𝑏𝑖 es el coeficiente del i-ésimo amortiguador
viscoso y 𝛿𝑖 es la diferencia de velocidad a través del iésimo amortiguador viscoso, la cual puede expresarse
en función de las velocidades generalizadas 𝑞𝑖ሶ .
Euler-Lagrange para sistemas
no conservativos
Para sistemas no conservativos, mediante el uso de la
función de disipación de Raleigh tenemos:
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿 𝜕𝐷
−
+
= 0,
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖ሶ
𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑞𝑖ሶ
(𝑖 = 1, 2, … , 𝑛)
Si además existen fuerzas de entrada (generalizadas),
con 𝑄𝑖 como la fuerza generalizada para la i-ésima
coordenada generalizada
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿 𝜕𝐷
−
+
= 𝑄𝑖 ,
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖ሶ
𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑞𝑖ሶ
(𝑖 = 1, 2, … , 𝑛)
Ejemplo 12: Encuentre
Y(s)/F(s) por Euler-Lagrange
Considere que antes de la
aplicación de la fuerza f(t), el
sistema se encontraba en
equilibrio.
k2
Encuentre las ecuaciones
diferenciales que describen el
comportamiento dinámico
y(t)
M2
f(t)
x(t)
M1
.
b1
k1
Ejemplo 12: Encuentre
Y(s)/F(s) por Euler-Lagrange (2)
La energía cinética
1
1
𝑇 = 𝑀1 𝑥ሶ 2 + 𝑀2 𝑦ሶ 2
2
2
La energía potencial, la cual considera 0
cuando x=0 y y=0.
1
1
𝑈 = 𝑘1 𝑥 2 + 𝑘2 𝑥 − 𝑦 2
2
2
La función de disipación de Raleigh es:
1
𝐷 = (𝑏1 𝑥ሶ 2 )
2
k2
f(t)
x(t)
M1
b1
k1
Con f(t) como la fuerza generalizada para la
coordenada x, el Lagrangiano es:
𝐿 =𝑇−𝑈=
y(t)
M2
1
1
1
1
𝑀1 𝑥ሶ 2 + 𝑀2 𝑦ሶ 2 − 𝑘1 𝑥 2 − 𝑘2 𝑥 − 𝑦
2
2
2
2
2
Ejemplo 12: Encuentre
Y(s)/F(s) por Euler-Lagrange (3)
Las ecuaciones de Lagrange
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿 𝜕𝐷
−
+
= 𝑓(𝑡)
𝑑𝑡 𝜕𝑥ሶ
𝜕𝑥 𝜕𝑥ሶ
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿 𝜕𝐷
−
+
=0
𝑑𝑡 𝜕𝑦ሶ
𝜕𝑦 𝜕𝑦ሶ
Son:
𝑑
𝑀 𝑥ሶ + 𝑘1 𝑥 + 𝑘2 (𝑥 − 𝑦) + 𝑏1 𝑥ሶ = 𝑓(𝑡)
𝑑𝑡 1
𝑑
𝑀 𝑦ሶ − 𝑘2 (𝑥 − 𝑦) + 0 = 0
𝑑𝑡 2
finalmente
𝑀1 𝑥ሷ + 𝑏1 𝑥ሶ + 𝑘1 𝑥 + 𝑘2 (𝑥 − 𝑦) = 𝑓(𝑡)
𝑀2 𝑦ሷ + 𝑘2 (𝑦 − 𝑥) = 0
y(t)
M2
k2
f(t)
x(t)
M1
b1
k1
Tarea 1: Grúa
◼
◼
◼
◼
◼
◼
◼
◼
◼
Es un sistema de dos grados de
libertad.
La energía potencial cuando x = 0 y
 = 0 se toma como cero.
El ángulo  es pequeño.
Hay fricción B en el pivote del
péndulo y en el carrito Beq.
La posición horizontal de la masa
respecto al sistema coordenado
tiene dos partes.
La velocidad de la masa tiene
componente horizontal y vertical.
La barra que sostiene la masa no se
deforma y su masa es despreciable.
Se desprecia la fuerza que el
péndulo hace sobre el carrito
Se aplica al sistema una fuerza
externa F
x
F
M
B
l

m
mg
Tarea 1: Grúa (cont)
Datos para simulación
Condiciones iniciales para
simulación:
x0 = 0
0 = 0.35rad
Velocidades y aceleraciones = 0
Impulso rectangular de fuerza F:
amplitud 2N, duración 0.5s
Masa del carro, M = 1kg
Masa del péndulo, m = 0.125kg
Gravedad, g = 9.81m/s^2
Longitud péndulo, l = 0.3m
Fricción viscosa péndulo, B = 0.0025 Nms/rad
Fricción viscosa carrito, Beq = 0.005 Ns/m
x
F
M
B
l

m
mg