Clase 08. Miércoles 09-12-15

Cálculo II
Tema 1. Integral indefinida o antiderivada
SEMANA 03. CLASE 08. MIÉRCOLES 09/12/15
15.5. Productos de potencias de senos y cosenos de igual argumento.
Para las integrales de la forma
∫
senm (x) cosn(x)dx ,
donde m y n son enteros positivos mayores que uno:
• Si la potencia del seno es impar y positiva, conserve un factor seno y transforme
los demás a cosenos, desarrolle e integre:
∫
sen2k +1(x) cosn (x)dx =
=
∫
∫
(sen2 (x))k
14
4244
3
cosn(x)sen(x)dx
Transformar a cos enos
(1 − cos2 (x))k cosn(x).
14444244443
potencias del cos eno
sen(x)
1
424
3
dx
derivada int erna
• Si la potencia del coseno es impar y positiva, conserve un factor coseno y
transforme los demás a senos, desarrolle e integre:
∫
cos2k +1(x)senm (x)dx =
=
∫
∫
(cos2 (x))k
14244
3
senm (x) cos(x)dx
Transformar a senos
(1 − sen2 (x))k senm (x).
14444244443
potencias del seno
cos(x)
1
424
3
dx
derivada int erna
• Si las potencias del seno y del coseno son pares y no negativas, use
repetidamente las identidades
1 − cos(2x)
1 + cos(2x)
y cos2 (x) =
sen2 (x) =
2
2
para convertir el integrando en uno con potencias impares del coseno:
∫
sen2k1 (x) cos2k2 (x)dx =
=
∫
∫
(sen2 (x))k1 (cos2 (x))k2 dx
k1
 1 − cos(2x) 


2


k2
 1 + cos(2x) 

 dx
2


Ejemplo ilustrativo 47.
Resuelva la integral
∫
sen3 (x) cos4 (x)dx .
Solución.
∫
∫
sen3 (x) cos4 (x)dx =
∫
sen2 (x)sen(x) cos4 (x)dx
(1 − cos2 (x))sen(x) cos4 (x)dx =
José Luis Quintero
∫
(cos4 (x)sen(x) − cos6 (x)sen(x))dx =
cos5 (x) cos7 (x)
−
+C
5
7
26
Cálculo II
Tema 1. Integral indefinida o antiderivada
15.6. Productos de potencias de senos y cosenos de argumentos diferentes.
Las integrales de la forma
∫
sen(αx)sen(βx)dx;
∫
∫
sen(αx) cos(βx)dx;
cos(αx) cos(βx)dx ,
se resuelven pasando a una suma de senos y/o cosenos con las identidades:
1
sen(α)sen(β) = cos(α − β) − cos(α + β)
2
1
sen(α) cos(β) = sen(α − β) + sen(α + β)
2
1
cos(α) cos(β) = cos(α − β) + cos(α + β)
2
Ejemplo ilustrativo 48.
Resuelva la integral
∫
sen(5x) cos(4x)dx .
Solución.
∫
sen(5x) cos(4x)dx =
∫
=−
1
1
sen(x) + sen(9x) dx =
2
2
∫
sen(x)dx +
1
2
∫
sen(9x)dx
1
1
cos(x) −
cos(9x) + C
2
18
15.7. Productos de potencias de tangente y secante.
Para las integrales de la forma
∫
tgm(x) secn (x)dx ,
donde m y n son enteros positivos mayores que uno:
• Si la potencia de la tangente es impar y positiva, conserve un factor sec(x)tg(x)
y transforme los restantes factores a secantes. Luego, desarrolle e integre:
∫
tg2k +1(x) secn (x)dx =
=
∫
∫
2
k
(tg
(x))
1424
3
secn −1(x) sec(x)tg(x)dx
Transformar a secantes
2
k
(sec
(x) −
secn −1(x).
14444
41)
244444
3 sec(x)tg(x)
14
4244
3 dx
Potencias de sec ante
derivada int erna
• Si la potencia de la tangente es par y positiva, el integrando se reduce a
potencias de la secante, en efecto:
∫
tg2k (x) secn (x)dx =
∫
(sec2 (x) − 1)k secn (x)dx.
• Si la potencia de la secante es par y positiva, conserve un factor sec2 (x) y
transforme los restantes factores a tangentes. Luego, desarrolle e integre:
∫
José Luis Quintero
tgm (x) sec2k (x)dx =
∫
2
−1
(sec
(x))k3
144244
tgm (x) sec2 (x)dx.
Transforme a tan gentes
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