clase 07 - Jos Luis Quintero D vila

ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)
SEMANA 03 – CLASE 07 – LUNES 23/04/12
1. Aplicaciones de interés. A continuación se presentarán algunas aplicaciones de
las ecuaciones diferenciales de primer orden, entre las que destacan:
• Trayectorias ortogonales
• Trayectorias isogonales
• Problemas geométricos
• Crecimiento poblacional
• Desintegración radioactiva
• Ley de enfriamiento de Newton
• Salida de líquidos por orificios
2. Rectas perpendiculares. Dos rectas L1 y L2 , que no son paralelas a los ejes
coordenados, son perpendiculares si y sólo si sus pendientes respectivas satisfacen
la relación m1.m2 = −1 .
3. Curvas ortogonales. Dos curvas C1 y C2 son ortogonales en un punto, si y sólo
si sus tangentes T1 y T2 son perpendiculares en el punto de intersección.
4. Problema 1. Demuestre que las curvas y = x3 y x2 + 3y2 = 4 son ortogonales en
su(s) punto(s) de intersección.
Solución.
Los puntos de intersección de las gráficas son (1,1) y (−1, −1) . Ahora bien, la
pendiente de la recta tangente a y = x3 en un punto cualquiera es
dy dx = y ' = 3x2 ,
de modo que y '(1) = y '(−1) = 3 . Para obtener dy dx de la segunda curva se
utilizará derivación implícita
2x + 6y
dy
dy
x
.
=0⇒
=−
dx
dx
3y
Por tanto,
y '(1,1) = y '(−1, −1) = −
1
.
3
Así, tanto en (1,1) como en (−1, −1) se tiene que
 dy 
 dy 
 dx  .  dx  = −1 .

C1 
C2
5. Trayectorias ortogonales. Cuando todas las curvas de una familia de curvas
G(x, y, c1 ) = 0 cortan ortogonalmente a todas las curvas de otra familia
H(x, y, c2 ) = 0 , se dice que las familias son, cada una, trayectorias ortogonales de
la otra.
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En otras palabras, una trayectoria ortogonal es una curva cualquiera que corta el
ángulo recto a toda curva de otra familia.
6. Problema 2. En la figura 1 se ve que la familia de rectas que pasan por el origen
y = c1x y la familia de círculos concéntricos con centro en el origen x2 + y2 = c2
son trayectorias ortogonales.
Figura 1. Algunas trayectorias ortogonales
7. Observación de interés. Para encontrar las trayectorias ortogonales de una
familia de curvas dada, se halla en primer lugar la ecuación diferencial
dy
= f(x, y)
dx
que describe a la familia. La ecuación diferencial de la segunda familia, ortogonal a
la familia dada, es pues
dy
1
.
=−
dx
f(x, y)
8. Problema 2. Halle las trayectorias ortogonales de la familia de hipérbolas
rectangulares
c
y= 1.
x
Solución.
La derivada de
y=
c1
x
es
c
dy
= − 12 .
dx
x
Reemplazando c1 por c1 = x.y se obtiene la ecuación diferencial de la familia dada:
dy
y
=− .
dx
x
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En tal caso, la ecuación diferencial de la familia ortogonal es
dy x
= .
dx y
Se resuelve esta última ecuación por separación de variables:
ydy = xdx ⇒
∫
ydy =
∫
xdx ⇒ y2 − x2 = c2 .
Las gráficas de las dos familias se observan en la figura 2 para diferentes valores
de c1 y c2 .
Figura 2. Algunas trayectorias ortogonales
9. Trayectorias isogonales. Cuando todas las curvas de una familia de curvas
G(x, y, c1 ) = 0 cortan a todas las curvas de otra familia H(x, y, c2 ) = 0 , formando
ángulo constante α especificado, α ≠ π 2 , se dice que las familias son, cada una,
trayectorias isogonales de la otra.
10. Observación de interés. Para encontrar las trayectorias isogonales de una
familia de curvas dada, formando un ángulo constante α se usa la ecuación
diferencial
yp' =
y'd + tg(α)
1 − y'dtg(α)
,
donde α es el ángulo entre la familia dada, denotada por yd y la familia pedida,
denotada por yp .
11. Problema 3. Encuentre una familia de trayectorias isogonales que corten a la
familia de circunferencias x2 + y2 = r2 , con un ángulo de 45 .
Solución.
La ecuación diferencial de la familia dada es 2yy '+ 2x = 0 , luego
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y' = −
x
,
y
como tg(45 ) = 1 , la ecuación diferencial asociada a la familia pedida será entonces
x
y−x
y
y' =
=
.
x y+x
1+
y
1−
Esta ecuación diferencial es homogénea, se toma por lo tanto la sustitución
y
u= ,
x
resultando la EDO
u' x = −
1 + u2
,
1+u
resolviendo, devolviendo el cambio y simplificando resulta la familia solución:
y 1
arctg   + ln(x2 + y2 ) = c
x 2
12. Problemas geométricos. Los problemas que se tratarán en esta sección
consisten en encontrar una familia de curvas que satisfaga ciertas condiciones
geométricas dadas.
13. Problema 4. Determine la curva sabiendo que la pendiente en un punto (x,y)
cualquiera de la misma, es igual a
y
1+ ,
x
y además que dicha curva pase por el punto (1,1).
Solución.
La curva buscada pertenece a una familia que debe cumplir la condición dada, es
decir,
y
,
x
luego esta ecuación diferencial se asocia a la familia buscada y al resolverla se
llega a a la solución del problema. Como la ecuación es homogénea, se usa la
sustitución
y
u= .
x
Sustituyendo y simplificando resulta u' x = 1 , esta ecuación es de variables
y' = 1 +
separadas, integrando se tiene
∫ ∫
du =
dx
,
x
luego u = ln x + c , devolviendo el cambio y = x ln x + cx . De esta familia interesa
solo la curva que pasa por el punto (1,1), se determina por lo tanto el valor del
parámetro c para cuando x = 1 , y = 1 , de modo que c = 1 . La curva buscada es
y = x ln x + x .
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