b a b a ba sen sen cos cos cos − =+ b a b a ba sen sen

CUADERNILLO-TRIGONOMETRÍA
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TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS ÚTILES
PITÁGORAS DE FORMA TRIGONOMÉTRICA:
y → Cateto opuesto.
Teorema de Pitágoras :
R2 = x2 + y2
R
1=
x → Cateto contiguo.
x2 y2
+
R2 R2
Las funciones trigonométricas :
y
x
sen α =
, cos α =
R
R
Sustituyendo las funciones trigonoméricas en el teorema de Pitágoras :
x2 y2
1 = 2 + 2 = cos 2 α + sen 2 α , independie ntemente del ángulo.
R
R
sen 2 α + cos 2 α = 1
SUMAS DE ÁNGULOS:
sen(a + b ) = sen a cos b + cos a sen b
sen(a − b ) = sen a cos b − cos a sen b
cos(a + b ) = cos a cos b − sen a sen b
cos(a − b ) = cos a cos b + sen a sen b
Para encontrar la expresión análoga de la tangente, simplemente hay que desarrollar a
partir del cociente entre la función seno y coseno:
tg (a + b ) =
tg a + tg b
1 − tg a tg b
tg(a − b ) =
tg a − tg b
1 + tg a tg b
1
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE:
Estas expresiones se deducen utilizando la suma de ángulos pero para el caso particular
de que los ángulos sean iguales:
sen(a + a ) = sen 2a = 2 sen a cos a
cos(a + a ) = cos 2a = cos 2 a − sen 2 a
tg (a + a ) = tg 2a =
2 tg a
1 − tg 2 a
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD:
sen
A
1 − cos A
=
2
2
cos
A
1 + cos A
=
2
2
tg
A
1 − cos A
=±
2
1 + cos A
SUMA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Utilizando la suma y resta de ángulos tanto para el seno como el coseno, y haciendo por
convenio a+b=A y a-b=B podemos deducir las siguientes expresiones:
sen A + sen B = 2 sen
A+ B
A− B
cos
2
2
sen A − sen B = 2 cos
A+ B
A−B
sen
2
2
2
CUADERNILLO-TRIGONOMETRÍA
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cos A + cos B = 2 cos
A+ B
A−B
cos
2
2
cos A − cos B = −2 sen
tg A ± tg B =
A+ B
A− B
sen
2
2
sen( A ± B )
cos A cos B
TEOREMA DE LOS SENOS:
a
b
c
=
=
sen A sen B sen C
c
A
Podemos obsrvar que hay tres
ecuaciones que relacionan los ángulos
opuestos de cada lado de un tri - ángulo
cualquiera .
B
b
C
a
TEOREMA DE LOS COSENOS:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
Ø Para la resolución de combinada de ángulos y lados de un triángulo de forma
no especificada, podemos utilizar un el teorema de los senos conjuntamente
3
CUADERNILLO-TRIGONOMETRÍA
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con el teorema de los cosenos (dependiendo del lado que queramos
calcular).
TABLA DE ALGUNOS ÁNGULOS IMPORTANTES:
30º π
0
1
sen α
cos α
tg α
(
0º (0 rad)
4
2
0
=1
=1
2
3
1
3
rad
6
)
2
2
= 3
3
(
45º π
2 rad
2
2
2
2
1
)
( 3 ) rad
60º π
3
1
2
4
2
=1
3
( 2 ) rad
90º π
2
2
0
=1
±∞
4