2,5 puntos - Mestre a casa

DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA
1. (S-97)Hallar el rango de la matriz
⎛1 a
⎜
B=⎜0 1
⎜1 1
⎝
−1 ⎞
⎟
a −1 0 ⎟
a
− 1 ⎟⎠
1
según sea el valor del
parámetro a [2,5 puntos]
Puesto que el menor
0 1
1 1
= −1 ≠ 0 ⇒ rg B ≥ 2
1 a
1
0 1 a − 1 = a + a 2 − a − 1 − a + 1 = a 2 − a = a(a − 1)
1 1
a
⎧a = 0
a(a − 1) = 0 ⇒ ⎨
⎩a = 1
1)
Para a 0 y a 1
2)
Para a=0
r(B)=3
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬ ⇒ r(B) = 2
⎛ 1 0 1 -1 ⎞
⎛ 1 0 1 -1 ⎞
⎛ 1 0 1 -1 ⎞ ⎪
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎪
⎜ 0 1 -1 0 ⎟ →
⎜ 0 1 -1 0 ⎟ →
⎜ 0 1 -1 0 ⎟ ⎪
↓
↓
⎜ 1 1 0 -1 ⎟ −F1 +F3 →F3 ⎜ 0 1 -1 0 ⎟ −F2 +F3 →F3 ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎪
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠⎭
⎛ 1 0 1 -1 ⎞
⎜
⎟
B = ⎜ 0 1 -1 0 ⎟
⎜ 1 1 0 -1 ⎟
⎝
⎠
3)
Para a=1
⎛ 1 1 1 −1 ⎞
⎜
⎟
B = ⎜0 1 0 0 ⎟
⎜ 1 1 1 −1 ⎟
⎝
⎠
Las dos primeras columnas son independientes, la 3ª es igual a la 1ª y la 4ª es
proporcional a la 1ª r(B)=2
Otra explicación más sencilla: la tercera columna es igual a la primera
r(B)=2
⎛1 0 −1 ⎞
⎜
⎟
2. (S-99)Hallar en función de a el rango de la matriz A = ⎜ 0 a − 3 ⎟
⎜4 1 a ⎟
⎝
⎠
[1,5 puntos] y
calcular cuando exista la matriz inversa A-1 en los casos a = 1 y a= -1 [1 punto].
SOLUCIÓN.
1 0
=1≠ 0 ⇒
4 1
Puesto que el menor
El rango de la matriz A es 2, como mínimo.
Veamos para qué valores del parámetro a el rango es 3:
1 0 −1
0 a − 3 = a 2 + 4a + 3
4 1 a
a 2 + 4a + 3 = 0 ⇒ a =
−4 ± 16 − 12
2
−4 ± 2 ⎧ a = −1
=⎨
2
⎩a = −3
=
Por tanto:
•
Para a≠-1 y a≠-3
•
Para a=-1 o a=-3: rg(A)=2
A −1 existe cuando
rg(A)=3
A ≠ 0 (rango máximo). Por tanto, cuando a = −1 , ∃ A −1 .
1 0 −1
⎛ 1 0 −1 ⎞
⎛ 4 −12 −4 ⎞
⎜
⎟
Para a = 1: A = 0 1 − 3 = 1 + 4 + 3 = 8 .Tenemos A = ⎜ 0 1 − 3 ⎟ → Adj(A) = ⎜⎜ −1 5 −1 ⎟⎟
⎜4 1 1 ⎟
⎜1
4 1 1
3
1 ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
→ Adj ( A )
t
⎛ 1
−1
8
⎛ 4 −1 1 ⎞
⎛ 4 −1 1 ⎞
t
⎜ 2
Adj ( A )
1⎜
⎜
⎟
⎟
5
= ⎜ −12 5 3 ⎟ → A −1 =
= ⎜ −12 5 3 ⎟ = ⎜ − 3
2
8
⎜
A
8⎜
⎜
⎟
⎟
⎜⎜ 1
⎝ −4 −1 1 ⎠
⎝ −4 −1 1 ⎠
−
−1
2
8
⎝
1 ⎞
8⎟
3 ⎟
8⎟
1 ⎟⎟
8⎠
Otra forma de calcular la matriz inversa:
11
30
1 0
1
0
4
0
1
1
8
0
0
0 0 4
8 0 12
0 8 4
0 0
1 0
0 1
1
5
1
1
0
0
1
3
1
0
1
1
1 1
3 0
5 4
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0 0
1 0
0 1
1
0
0
0
1
0
A-1=
1 1
3 0
8 4
4
12
4
0
1
1
1 1
5 3
1 1
0
0
1
3. (J-00)Hallar, si existe, una matriz cuadrada 2×2, A, que cumpla las siguientes
condiciones:
1)
Coincide con su traspuesta.
2)
⎟⎟ A ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
Verifica la ecuación matricial ⎜⎜
⎝ −1 − 1⎠
⎝0 1 ⎠ ⎝ 3
Su determinante vale 9.
⎛1
3)
SOLUCIÓN
1)Si
⎛x
A = At , se dice que A es simétrica ⇒ A = ⎜⎜
⎝y
1⎞
⎛ 1 − 1⎞
⎛ −3 − 3 ⎞
⎟
3 ⎟⎠
[2,5 puntos]
y⎞
⎟
t ⎟⎠
2)
⎛ 1 1⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ −1 − 1⎠
⎛x
⋅ ⎜⎜
⎝y
y ⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ x + y
y + t ⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ x + y − x + t ⎞ ⎛ −3 − 3 ⎞
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⋅⎜
⎟=⎜
⎟=⎜
⎟
t ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ − x − y − y − t ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ − x − y x − t ⎟⎠ ⎜⎝ 3 3 ⎟⎠
− x − 3⎞
⎧ x + y = −3
⎧y = −x − 3
⎛ x
⎟⎟
⇒ ⎨
⇒ ⎨
⇒ A = ⎜⎜
⎩− x + t = −3
⎩t = x − 3
⎝− x − 3 t − 3 ⎠
3)
x
− x−3
= 9 ⇒ x 2 − 3x − x 2 − 3x − 3x − 9 = 9 ⇒ − 9 x = 18 ⇒ x = −2
− x−3 x−3
Por tanto, la matriz A es:
⎛ − 2 − 1⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ − 1 − 5⎠
4. (S-00)Sea A una matriz 4×4 cuyas filas, de arriba a abajo son F1, F2, F3 y F4 y
⎛0
⎜
⎜0
cuyo determinante vale 2. Sea B = ⎜
0
⎜
⎜1
⎝
0 1 0⎞
⎟
0 0 1⎟
. Calcular razonadamente:
1 0 0⎟
⎟
0 0 0 ⎟⎠
a.
El determinante de la matriz A B [1 punto]
b.
El determinante de la matriz 3 A [0,5 puntos]
c.
El determinante de la matriz cuyas filas son (de arriba a abajo):
2F1 + F2 , -F2 , 3F4 y F3+F1 [1 punto]
SOLUCIÓN.
Calculemos el determinante de B:
B =
0 0 1 0
0 0 0 1
(1)
0 0 1
( 2)
0 1
= 1⋅ 0 1 0 = 1⋅
= −1
0 1 0 0
1 0
1 0 0
1 0 0 0
(1) y (2): desarrollando por los adjuntos de la primera fila
a.
A ⋅ B = A ⋅ B = 2 ⋅ (− 1) = −2
b. Si multiplicamos todos los elementos de una línea por un número, el determinante
de la matriz queda multiplicado por dicho número. En nuestro caso, cada una de las
cuatro líneas (filas o columnas) se multiplica por tres, luego el determinante quedará
multiplicado por 34:
3 A = 81.2 = 162
c.
det(2F1 + F2 , −F2 ,3F4 ,F3 + F1 ) = det(2F,
−F2 ,3F4 ,F3 + F1 ) + det(F2 , −F2 ,3F4 ,F3 + F1 ) =
1
&
0
= det(2F1 , −F2 ,3F4 ,F3 ) + det(2F1 , −F2 ,3F4 ,F1 ) = ( −6) det(F1 ,F2 ,F4 ,F3 ) = 6det(F1 ,F2 ,F3 ,F4 ) = 6·2 = 12
&
0
5. (J-01)Tenemos una matriz 3×3 cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C1 ,
C2 , C3 y su determinante vale 2.
a) Se considera la matriz A cuyas columnas son (de izquierda a derecha): -C2 , C3+C2 ,
3C1 , calcular razonadamente el determinante de la matriz A-1 caso de que esta matriz
inversa exista [1,5 puntos].
b) Sea ahora la matriz cuyas columnas son: C1+C2 , C2+C3 , C3-C1. Razonar la existencia
o no existencia de la matriz inversa de la misma [1 punto]
SOLUCIÓN.
Sea B=det(C1, C2, C3) =2
a)
det(A) = det( −C2 ,C3 + C2 ,3C1 ) = det( −C2 ,C3 ,3C1 ) + det( −C2 ,C2 ,3C1 ) = −3det(C2 ,C3 ,C1 ) = 3det(C1 ,C3 ,C2 ) =
= −3det(C1 ,C2 ,C3 ) = −6
Como A ⋅ A−1 = I ⇒ A ⋅ A−1 = A ⋅ A−1 = I = 1 ⇒ A−1 =
b)
La
primera
columna
C1 + C 2 = C 2 + C3 − C3 + C1
es
la
diferencia
1
A
de
=
1
6
la
A −1 =
segunda
1
1
=−
A
6
y
la
tercera:
por lo que el determinante de la matriz será 0 al ser una
columna combinación lineal de las otras ⇒ La matriz no tiene inversa.
6. (S-02)Sean A y B las matrices siguientes:
⎛1 0 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 2 0⎟
⎜1 1 0 ⎟
⎝
⎠
⎛0 1 1⎞
⎜
⎟
B = ⎜1 1 0 ⎟
⎜ 0 0 2⎟
⎝
⎠
Es fácil comprobar que ambas tiene el máximo rango, que es 3. Pero ¿qué ocurre si las
combinamos linealmente? En concreto, estudia el rango de la matriz A + B según los
valores del parámetro . [2,5 puntos]
SOLUCIÓN.
⎛1
⎜
A + λB=⎜ λ
⎜1
⎝
λ
2+λ
1
1+ λ⎞
⎟
0 ⎟ . Veamos para qué valores de λ el rango es máximo, es decir
2λ ⎟⎠
3:
1
1+λ
λ
0 = 4λ + 2λ2 + λ + λ2 − 2 − 2λ − λ − λ2 − 2λ3 = −2λ3 + 2λ2 + 2λ − 2 = −2 ⋅ λ3 − λ2 − λ + 1 ⇒
λ 2+λ
1
1
2λ
⇒
(
λ3 − λ2 − λ + 1 = 0
⇒
( λ − 1) ⋅ ( λ + 1) = 0
2
⇒
)
⎪⎧λ = 1
⎨
⎪⎩λ = −1
Se tiene:
Para λ ≠ −1 y λ ≠ 1 :
Para
λ = −1 :
A + λ B ≠ 0 ⇒ rg (A + λ B) = 3
⎛ 1 −1 0 ⎞
⎜
⎟
A + λB = A − B = ⎜ −1 1
0 ⎟ ⇒ rg (A + λ B ) = 2
⎜ 1
1 − 2 ⎟⎠
⎝
pues el menor
−1 1
= −2 ≠ 0
1 1
Para λ = 1 :
⎛1 1 2 ⎞
⎜
⎟
A + λ B = A + B = ⎜ 1 3 0 ⎟ ⇒ rg (A + λ B ) = 2 pues el menor
⎜1 1 2 ⎟
⎝
⎠
1 1
=2≠0
1 3
⎛ a 2 ab ab ⎞
⎜
⎟
7. (J-06)Sea la matriz A = ⎜ ab a 2 b 2 ⎟
⎜⎜
⎟
ab b 2 a 2 ⎟
⎝
⎠
a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz. [1,5
puntos]
b) Estudiar el rango de A en el caso en que b = −a .
[1 punto]
SOLUCIÓN.
a)
a 2 ab ab (1)
a ab ab ( 2)
1 b
2
2
2
2
2
ab a
b = a b a
b = a b a2
ab b 2 a 2
b b2 a 2
b b2
(
= a 2 ⋅ a 2 − b2
b ( 3)
1
b
2
2
2
b = a 0 a − b2
a2
0
0
b
0
a 2 − b2
( 4)
= a2
a 2 − b2
0
0
2
a − b2
)
2
Propiedades aplicadas:
columna y en la primera fila.
(1) y (2)
(3) F2 − b ⋅ F1
sacar factor común a “a” en la primera
, F3 − b ⋅ F1
(4) y (5) Desarrollo por los elementos de la primera columna
b) Para b = − a , la matriz A es:
⎛ a2
⎜
⎜− a2
⎜⎜ 2
−a
⎝
− a2
a2
a2
− a 2 ⎞⎟
a2 ⎟
⎟
a2 ⎟
⎠
linealmente dependientes, el rango de la matriz es 1.
y como los tres vectores fila son
( 5)
=
a
8. (S-06)Teniendo en cuenta que
b c
r = 7 , calcular el valor del siguiente
y z
p q
x
determinante, sin desarrollarlo,
3a
3b
3c
a+p
b+q
c+r
[2,5 puntos]
−x+a −y+b −z+c
SOLUCIÓN.
3a
a+p
3b
b+q
3c
c+r
−x+a −y+b −z+c
a
= 3⋅ a + p
b
b+q
c
c+r
=
−x+a −y+b −z+c
⎛
a
b
c
a
b
c
⎜
p
q
r
a
b
c
= 3⋅⎜
+
⎜
−x+a −y+b −z+c
⎝ −x+a −y+b −z+c
⎛ a
a b c
b
c
⎜
q
r + p q r
= 3⋅⎜ p
⎜
a b c
x
y
z
−
−
−
⎝
⎞
a
b
c
⎟
=
p
q
r
⎟ = 3⋅
⎟
−x+a −y+b −z+c
⎠
⎞
a b c
⎟
⎟ = −3 ⋅ p q r = −3 ⋅ 7 = −21
⎟
x y z
⎠
⎛ 3 1⎞
⎛1 0⎞
⎟ , I=⎜
⎟
⎝ −8 −3 ⎠
⎝0 1⎠
9. (S-07)Dadas las matrices A = ⎜
a.
Comprobar que det ( A 2 ) = ( det ( A ) )
b.
Estudiar si para cualquier matriz M = ⎜
2
[0,5 puntos]
⎛a b⎞
⎟ de orden 2 se cumple que
⎝c d⎠
det ( M 2 ) = ( det ( M ) )
2
[1 punto]
c.
Encontrar la relación entre los elementos de las matrices M cuadradas
de orden 2 que satisfacen: det ( M + I ) = det ( M ) + det ( I )
[1 pto]
a)
1 0
⎫
⎛ 3 1 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ ⎛1 0⎞
2
A2 = ⎜
= 1⎪
⎟⋅⎜
⎟=⎜
⎟ ⇒ det ( A ) =
0 1
2
⎝ −8 −3 ⎠ ⎝ −8 −3 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠
⎪
2
⎬ ⇒ det ( A ) = ( det ( A ) )
3 1
2
2
= −9 + 8 = −1 ⇒ ( det ( A ) ) = ( −1) = 1 ⎪⎪
det ( A ) =
−8 −3
⎭
⎛a b⎞ ⎛a b⎞
⎛ a 2 + bc ab + bd ⎞
b) M 2 = ⎜
⎟⋅⎜
⎟=⎜
2 ⎟
⎝ c d ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ ac + dc bc + d ⎠
⎫
⎪
⎪
2⎪
2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
a bc + a d + b c + bcd − a bc − abcd − abcd − bcd = a d + b c − 2abcd = ( ad − bc ) ⎬ ⇒
⎪
a b
2
2
⎪
• det ( M ) =
= ad − bc ⇒ ( det ( M ) ) = ( ad − bc )
⎪
c d
⎭
• det ( M 2 ) =
a 2 + bc ab + bd
= ( a 2 + bc ) ⋅ ( bc + d 2 ) − ( ab + bd ) ⋅ ( ac + dc ) =
ac + dc bc + d 2
det ( M 2 ) = ( det ( M ) )
2
Por otra parte es evidente para cualquier matriz cuadrada de cualquier orden ya que:
M = M ⋅ M = M ⋅ M = M 2 según la propiedad de los determinantes que dice que el
2
determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los
determinantes de dichas matrices
c)
⎛a b⎞
⎛1 0⎞
⎛ a +1 b ⎞
M=⎜
I=⎜
M+I =⎜
⎟
⎟
⎟
d + 1⎠
⎝c d⎠
⎝0 1⎠
⎝ c
det ( M + I ) = ( a + 1) ⋅ ( d + 1) − bc = ad + a + d + 1 − bc ⎪⎫
⎬ ⇒ ad + a + d + 1 − bc = ad − bc + 1 ⇒ a + d = 0 ⇒ d = −a
det ( M ) + det ( I ) = ad − bc + 1
⎪⎭
⎛a b ⎞
luego M tiene que ser de la forma: M = ⎜
⎟
⎝ c −a ⎠
10.
⎛0 α β ⎞
⎛1 k t ⎞
⎜
⎟
(S-07)Sean A = ⎜ 0 0 α ⎟ y B = ⎜⎜ 0 1 k ⎟⎟
⎜0 0 0⎟
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
a.
Estudiar para qué valores de α y β la matriz A tiene inversa.
[0,5 puntos]
b.
Calcular A5.
[1 punto]
c.
Hallar la matriz inversa de B.
[1 punto]
SOLUCIÓN.
a) Puesto que A = 0 ∀ α , β
por tener una columna nula
⇒
A no tiene inversa
para ningún valor de α y β
b)
2
⎛0 α β ⎞ ⎛0 α β ⎞ ⎛0 0 α ⎞
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
A2 = ⎜ 0 0 α ⎟ ⋅ ⎜ 0 0 α ⎟ = ⎜ 0 0 0 ⎟
⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 0 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
;
⎛ 0 0 α2 ⎞ ⎛ 0 α β ⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎟ ⎜
A3 = A 2 ⋅ A = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⋅ ⎜ 0 0 α ⎟ = ⎜ 0 0 0 ⎟
⎜0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0⎟
⎠
⎠ ⎝
⎝
⎠ ⎝
y, por lo tanto, A 5 es la matriz nula.
c)
1 k t
B = 0 1 k = 1 ⇒ ∃ B−1
0 0 1
0 0⎞
⎛ 1
⎜
⎟
Adj(B) = ⎜ −k
1 0⎟
⎜ k 2 − t −k 1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 −k k 2 − t
⎜
t
⎯⎯
→ Adj ( B ) = ⎜ 0 1
−k
⎜0 0
1
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
−1
⎯⎯
→ B =
Adj ( Bt )
B
⎛ 1 −k k 2 − t
⎜
=⎜ 0 1
−k
⎜0 0
1
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
11.
(S-08)a)(1 punto)
Probar que
1
a
a2
1
b
b2
1
c = (b − a ) (c − a ) (c − b)
c2
SOLUCIÓN.
a)
1
a
a2
(4)
=
1
b
b2
1
c
c2
(1)
=
( b − a ) (c − a )
1
a
a2
0
b−a
b2 − a 2
0
c−a
c2 − a 2
1
0
b+a c+ a −b− a
(2)
=
(5)
=
b−a
c−a
(b + a) (b − a) (c + a) (c − a)
(3)
=
( b − a ) (c − a )
(b − a ) (c − a ) (c − b)
Propiedades utilizadas:(1) C2 – C1 , C3 – C1
(2) Desarrollo por los adjuntos de la primera fila
(3) Sacar factor común en ambas columnas
(4) C2 – C1
(5) Desarrollo por los adjuntos de la primera fila
1
1
=
b+a c+a
12.
(J-09).b)(1 punto) Teniendo en cuenta que
0
del determinante a −1
a −2
0 1 1
1 0 1 = 2 , determina el valor
1 1 0
a a2
0 a
a −1 0
SOLUCIÓN.
0
b) a −1
a −2
a
0
a −1
0
a2
1
a = a⋅
a
0
1
a2
1
a
0
1
0 a = a2 ⋅
a
1
1
0
a
a2
1
1
0
1
0 1 =a ⋅ ⋅ 1
a
1
1
0
a
a
2
1 1
0 1 1
2 1 1
0 1 =a ⋅ ⋅ ⋅ 1 0 1 =2
a a
1
1 1 0
0
a
La propiedad utilizada ha sido la de sacar factor común en alguna de las líneas del
determinante.
13.
(S-09)b) [1 punto] Calcular, en función de los valores del parámetro k, el
⎛ 1 −2 1 ⎞
⎟
1 3⎟
⎜ 5 −1 k ⎟
⎝
⎠
rango de la matriz B = ⎜⎜ 1
SOLUCIÓN.
⎛ 1 −2 1 ⎞
b)Sea B = ⎜⎜ 1 1 3 ⎟⎟
⎜ 5 −1 k ⎟
⎝
⎠
1 −2
1
1
= 3 ≠ 0 ⇒ rg B ≥ 2
1 −2 1
1 1 3 = k − 1 − 30 − 5 + 3 + 2k = 3k − 33
5 −1 k
3k − 33 = 0 ⇒ k = 11
1)Si k = 11 ⇒ rg B = 2
2)Si k ≠ 11 ⇒ rg B = 3
14.
(S-09)a) [1,25 puntos] Resolver el siguiente determinante sin utilizar la regla
a
b
c
de Sarrus: −a + c −b − a −c + b
a+c
b−a
c+b
SOLUCIÓN.
a
b
−a + c − b − a
a+c
b−a
c
−c + b
c+b
a
=
F1 + F2 → F2
− F1 + F3 → F3
b
c −a
c −a
c
b = 0 porque tiene dos filas iguales
b
15.
(J-10) a)Estudiar para que valores de a el determinante de la matriz
0
2a ⎞
⎛ a
⎜
⎟
A = ⎜ 0 a − 1 0 ⎟ es no nulo.
⎜ −a
0
−a ⎟⎠
⎝
Para a = 3 , obtener el determinante de la matriz 2A . (1,5 puntos)
SOLUCIÓN.
a
0
2a
A = 0 a − 1 0 = −a 2 (a − 1) + 2a 2 (a − 1) = a 2 (a − 1)(−1 + 2) = a 2 (a − 1)
0
−a
−a
⎧a = 0
a 2 (a − 1) = 0 ⇒ ⎨
⎩a = 1
Luego el determinante es no nulo para a 0 y a 1
Para a=3
⎛3
⎜
A=⎜ 0
⎜ −3
⎝
2A = 8 A
6⎞
⎟
0⎟
0 −3 ⎟⎠
= 8·18 = 144
0
2
⎛x
16.
−2 ⎞
(J-10) a) Estudiar para qué valores de x, la matriz inversa de ⎜
⎟ coincide
⎝ 5 −x ⎠
con su opuesta. (1,5 puntos)
SOLUCIÓN.
⎛ x −2 ⎞
A=⎜
⎟
⎝ 5 −x ⎠
⎛ −x
Calculamos -A = ⎜
⎝ −5
−1
Calculamos A
2⎞
⎟
x⎠
A = − x 2 + 10
⎛ − x −5 ⎞
Adj(A) = ⎜
⎟
x⎠
⎝ 2
⎛ −x 2 ⎞
Adj(A) t = ⎜
⎟
⎝ −5 x ⎠
A −1 =
.
1
1
Adj(A) t =
A
10 − x 2
⎛ −x
⋅⎜
⎝ −5
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎛ −x
−1
⎬ ⇒ Si -A = A ⇒ ⎜
⎝ −5
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2⎞ ⎪
⎟ ⎪
x ⎠ ⎪⎭
2⎞
⎛ −x
1
⋅
⎟=
2 ⎜
x ⎠ 10 − x ⎝ −5
2⎞
2
⎟ ⇒ 10 − x = 1 ⇒ x = ±3
x⎠
⎛ cos α senα 0 ⎞
(S-10)Dada la matriz A= ⎜⎜ −senα cos α 0 ⎟⎟
⎜ 0
0
β ⎟⎠
⎝
17.
a) Estudiar si existen valores de α y β para los cuales la matriz A sea
simétrica. ¿Será la matriz B = A AT igual a la matriz identidad en algún
caso? (1 punto)
b) Razonar cuál es la relación entre el determinante de A y el de B. (0’75
puntos)
SOLUCIÓN.
a) Para que A sea simétrica los elementos simétricos respecto de la diagonal
principal deben ser iguales. En nuestro caso :
sen α=-senα 2senα=0
senα
sen0
⎧α = 0 + 2kπ
⎨
⎩α = π + 2kπ, k ∈ ]
α = kπ, k ∈ ] y ∀β ∈ \ la matriz A es simétrica.
⎛ cos α senα 0 ⎞ ⎛ cos α −senα 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
B = A·A = ⎜ −senα cos α 0 ⎟ ⎜ senα cos α 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⇒ β 2 = 1 ⇒ β = ±1
⎜ 0
0
β ⎟⎠ ⎜⎝ 0
0
β ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 β 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎝
t
b)
cos α senα 0
⎫
⎪
2
2
A = −senα cos α 0 = β cos α + β s en α = β ⎪
⎪⎪
0
0
β
2
⎬⇒ B = A
1 0 0
⎪
⎪
B = 0 1 0 = β2
⎪
2
0 0 β
⎪⎭
18.
(J-11)
a. (1,25 puntos)Estudia para qué valores de α el determinante de la matriz
1
2 ⎞
⎛ 0
⎜
⎟
A = ⎜ α + 1 −1 α − 2 ⎟ tiene rango máximo.
⎜ −1 α + 1
2 ⎟⎠
⎝
b. (1,25 puntos) Siendo A-1 la inversa de ma matriz A, calcular (A-1)2 para α
=-1
SOLUCIÓN.
a) Como A es una matriz cuadrada, r(A)=·3
0
1
A
0
2
A = α + 1 −1 α − 2 = 2(α + 1) 2 − (α − 2) − 2 − 2(α + 1) = 2α 2 + 4α + 2 − α + 2 − 2 − 2α − 2 = 2α 2 + α
2
−1 α + 1
⎧α = 0
⎪
2α 2 + α = 0 ⇒ α (2α + 1) = 0 ⇒ ⎨
1
⎪⎩α = − 2
1
2
Por tanto el rango de A máximo (r(A)=3) α 0 y α − b) Si α =-1
⎛0 1 2⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 −1 −3 ⎟
⎜ −1 0 2 ⎟
⎝
⎠
A = 3− 2 =1
⎛ −2
⎜
Adj(A) = ⎜ −2
⎜ −1
⎝
⎛ −2
⎜
Adj(A) t = ⎜ 3
⎜ −1
⎝
A −1
3 −1 ⎞
⎟
2 −1 ⎟
0 0 ⎟⎠
−2 −1 ⎞
⎟
2 0⎟
−1 0 ⎟⎠
⎛ − 2 − 2 −1 ⎞
Adj(A) t ⎜
⎟
2 0⎟
=
=⎜ 3
A
⎜ −1 −1 0 ⎟
⎝
⎠
Ahora calculamos (A-1)2
⎛ −2 −2 −1⎞ ⎛ −2 −2 −1⎞ ⎛ −1 1 2 ⎞
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
(A ) = ⎜ 3 2 0 ⎟ ⋅ ⎜ 3 2 0 ⎟ = ⎜ 0 −2 −3 ⎟
⎜ −1 −1 0 ⎟ ⎜ −1 −1 0 ⎟ ⎜ −1 0 1 ⎟
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
−1 2
19.
(J-11)
a. (1 punto) Sean las matrices
⎛ cos α 0 senα ⎞
⎛ cos α senα ⎞
⎜
⎟
A=⎜
y
B=
0 ⎟.
β
⎟
⎜ 0
sen
cos
−
α
α
⎝
⎠
⎜ −senα 0 cos α ⎟
⎝
⎠
Estudiar qué valores de α y β hacen que sea cierta la igualdad (det(A))22det(A)det(B)+1=0
b. (1,5 puntos)Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular
2
3
4
el valor de 2 a + 3 b + 4 con a, b, c,
2 c+3 d+4
SOLUCIÓN.
a) det(A)=1
det(B)=βcos2α+ βsen2α β (det(A))2-2det(A)det(B)+1=0 12-2·1·β+1=0 1-2 β+1=0 β=1
Luego la igualdad se cumple para α y para β=1
b)
2
3
4
1
3
4
1 3 4
a b
2 a +3 b+4 = 21 a +3 b+4 = 2 0 a b = 2
= 2(ad − cb)
c d
2 c+3 d+4
1 c+3 d+4
0 c d
20.
⎛α
⎝0
(S-11) Sea la matriz A = ⎜
1 ⎞
⎟
−α ⎠
a.
(0,75 puntos) Calcular el determinante de la matriz (AAT) con AT
la traspuesta de A
b.
(0.75 puntos) Estudiar para qué valores del parámetro α se
2
satisface la ecuación 4 A − 2 A T + 2α 2 = 0 con A = det(A)
c.
(1punto) Obtener la inversa de A cuando sea posible
SOLUCIÓN.
a)
A =
α
0
−1 −α
= −α 2 ⇒ A·A T = A ·A T = ( −α 2 )( −α 2 ) = α 4
He aplicado las siguientes propiedades:
•El determinante de un producto es el producto de los determinantes
•El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta
b) 4α4-2(-α2)+2 α2=0 4α4+2α2+2 α2=0 4α4+4α2=0 4α2(α2+1)=0
c)
∃A −1 ⇔ A ≠ 0 ⇒
Como A =
α
0
−1 −α
= −α 2 , existe matriz inversa ∀ α ≠ 0
En ese caso, calculamos
⎛ −α 0 ⎞
Adj(A) = ⎜
⎟
⎝ −1 α ⎠
⎛ −α −1⎞
Adj(A)T = ⎜
⎟
⎝ 0 α⎠
A −1 =
Adj(A)T
1 ⎛ −α
=
⎜
A
−α 2 ⎝ 0
⎛1
−1⎞ ⎜ α
⎟=⎜
α⎠ ⎜ 0
⎝
1
⎞
α2 ⎟
− 1 ⎟⎟
α⎠
α=0
21.
(S-11)(2,5 puntos) Utilizar las propiedades de los determinantes para obtener
de los valores de a y b que satisfacen simultáneamente las ecuaciones:
a+b
a−b
1 2
0 1 =0
a + 2b 3 2
y
a
a
a2
ba 2
=0
SOLUCIÓN.
a+b
a−b
1 2 a 1 2
b 1 2
1 1 2
1 1 2
0 1 = a 0 1 + − b 0 1 = a 1 0 1 + b −1 0 1 = 2a − 5b = 0
a + 2b 3 2 a 3 2 2b 3 2
1 3 2
2 3 2
a
a
2
a
ba
2
= a3
1 1
1 b
= a 3 (b − 1) = 0
⎧2a − 5b = 0
⎪
⎪
⎧a = 0 ⇒ b = 0 (sustituyendo en la 1ª ecuación)
Re solvemos el sistema : ⎨ 3
⎪
⎪a (b − 1) = 0 ⇒ ⎨b = 1 ⇒ a = 5 (sustituyendo en la 1ª ecuación)
⎪⎩
⎪⎩
2
22.
a.
(S-12)
(0,5 pts)El determinante de la matriz A que aparece
a continuación es 2
⎛ 1 0 1⎞
⎟
⎜
A = ⎜ 1 2 1⎟ . Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuánto vale el determinante
⎜ 0 −1 1 ⎟
⎝
⎠
⎛1 0 2⎞
de la matriz B siguiente (enuncie las propiedades que utilice): B = ⎜⎜ 1 2 4 ⎟⎟
⎜ 0 −1 0 ⎟
⎝
⎠
⎛ sen x − cos x 0 ⎞
b.
(2 puntos) Sea C la siguiente matriz: C = ⎜⎜ cos x sen x 0 ⎟⎟
⎜ 1
sen x x ⎟⎠
⎝
Determine los valores de x para los que la matriz C tiene inversa y calcularla cuando
sea posible.
SOLUCIÓN.
a.
1
0
1
1
0
1+ 0 +1
1
0
2
A =1 2 1
=
1 2 1+ 2 +1 = 1 2 4 = B = 2
C1 + C2 + C3 → C3
0 −1 1
0 −1 0 + −1 + 1 0 −1 0
A la 3ª columna del determinante de la matriz A se sumo la 1ª y 2ª columna me
queda otro determinante; B; del mismo valor.
b.
sen x
C = cos x
1
− cos x
sen x
sen x
0
0 = xsen 2 x + x cos 2 x = x(sen 2 x + cos 2 x) = x ⇒ ∃ C −1 ∀ x ≠ 0
x
Calculamos C-1
sen x
C = cos x
1
− cos x
sen x
sen x
0
0 = xsen 2 x + x cos 2 x = x(sen 2 x + cos 2 x) = x ⇒ ∃ C −1 ∀ x ≠ 0
x
− x cos x senx(cos x − 1) ⎞
⎟
xsenx −sen 2 x − cos x ⎟
⎟
0
1
⎠
xsenx
x cos x
⎛
t
⎜
xsenx
( Adj(C) ) = ⎜ − x cos x
⎜ senx(cos x − 1) −sen 2 x − cos x
⎝
⎛ xsenx
⎜
Adj(C) = ⎜ x cos x
⎜ 0
⎝
C −1 =
( Adj(C) )
C
t
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
⎛
xsenx
x cos x
0⎞ ⎜
senx
⎛
1⎜
⎟ ⎜
xsenx
0⎟ = ⎜
= ⎜ − x cos x
− cos x
x⎜
2
⎟ ⎜
⎝ senx(cos x − 1) −sen x − cos x 1 ⎠ ⎜ senx(cos x − 1)
⎜
⎝
x
cos x
senx
−sen 2 x − cos x
x
⎞
0⎟
⎟
0⎟
⎟
1⎟
⎟
x⎠
23.
(S-12)b) (1 punto) Se sabe que una matriz simétrica B de dimensión 3x3 tiene
como determinante -3. Determine el determinante de la matriz B+Bt donde Bt denota
la traspuesta de B
SOLUCIÓN.
t
Si la matriz B es simétrica, entonces B=Bt B + B = B + B = 2B = 8 B = 8·( −3) = 24 Puesto que la matriz B es 3x3 y sacamos un 2 factor común de cada fila.
24.
(J-13)
a) (1punto) Determine el rango de la matriz A, que aparece a continuación, según
los diferentes valores de a:
−a
6 ⎞
⎛ a
⎜
⎟
A=⎜ 2
−2 4 ⎟
⎜ a + 2 −5 −10 ⎟
⎝
⎠
b) (1,5 puntos)
SOLUCIÓN.
a
A =
−a
−2
6
4 = 20a − 60 − 4a(a + 2) + 12(a + 2) + 20a − 20a = 20a − 60 − 4a 2 − 8a + 12a + 24 =
a + 2 −5 −10
2
= −4a 2 + 24a − 36 = −4(a 2 − 6a + 9) = −4(a − 3) 2
−4(a − 3) 2 = 0 ⇒ a = 3
• Si a ≠ 3 ⇒ r(A)=3
• Si a=3
⎛ 3 −3 6 ⎞
⎜
⎟
A= ⎜ 2 −2 4 ⎟
⎜ 5 −5 −10 ⎟
⎝
⎠
−2 4
=20+20=40 ≠ 0 ⇒ r(A)=2 (puesto que A = 0)
−5 −10
25.
(S-13)a)(1 punto) Sean A y B las dos matrices siguientes:
⎛a 1 0⎞
A=⎜
⎟,
⎝0 1 1 ⎠
⎛ -2 1 ⎞
⎜
⎟
B= ⎜ 0 -1⎟
⎜3 a ⎟
⎝
⎠
¿Para qué valores de a existe la inversa de AB?¿Y la de BA?
SOLUCIÓN.
⎛ -2 1 ⎞
⎜
⎟
B= ⎜ 0 -1⎟
⎜3 a ⎟
⎝
⎠
⎛ -2 1 ⎞
⎛a 1 0⎞ ⎜
⎟ ⎛ −2a a − 1 ⎞
A⋅B = ⎜
⎟ ⋅ ⎜ 0 -1⎟ = ⎜
⎟
⎝0 1 1 ⎠ ⎜
⎝ 3 a − 1⎠
⎟
⎝3 a ⎠
Veamos para que valores de a existe la inversa de A·B :
⎛a 1 0⎞
A=⎜
⎟,
⎝0 1 1 ⎠
⎧a = 1
a −1
⎪
= −2a(a − 1) − 3(a − 1) = (a − 1)( −2a − 3) = 0 ⇒ ⎨
3
a −1
⎪⎩a = − 2
3
si A ⋅ B ≠ 0, es decir, si a ≠ 1 y a ≠ 2
−2a
A⋅B =
3
∃ ( A ⋅ B)
−1
1⎞
⎛ -2 1 ⎞
⎛ −2a −1
⎜
⎟ ⎛a 1 0⎞ ⎜
⎟
B·A = ⎜ 0 -1 ⎟·⎜
−1 −1 ⎟
⎟=⎜ 0
0
1
1
⎠ ⎜
⎜3 a ⎟ ⎝
⎟
⎝
⎠
⎝ 3a a + 3 a ⎠
Veamos para que valores de a existe la inversa de B·A :
−2a
B·A = 0
3a
−1
−1
a +3
1
−1 = 2a 2 + 3a + 3a − 2a(a + 3) = 2a 2 + 3a + 3a − 2a 2 − 6a = 0 ∀a ⇒
a
No existe la matriz inversa de B·A para ningún valor de a