Guıa de Derivadas. Derivar las siguientes funciones: 1. y = x 5

Wilson Herrera 1
Guı́a de Derivadas.
Derivar las siguientes funciones:
1. y = x5 − 4x3 + 2x − 3
2. y =
1 1
− x + x2 − 0, 5x4
4 3
3. y = ax2 + bx + c
4. y = −
5x
a
√
1+ x
√
14. y =
1− x
15. y = 5 sin x + 3 cos x
16. y = tan x − cot x
3
17. y =
5. y = atm + btm+n
sin x + cos x
sin x − cos x
18. y = arctan x + arccotx
6
ax + b
6. y = √
a2 + b 2
π
7. y = + ln 2
x
2
19. y = x arcsin x
20. y =
(1 + x2 ) arctan x − x
2
5
8. y = 3x 3 − 2x 2 − x−3
√
3
9. y = x2 x2
a
b
10. y = √
− √
3
x2 x 3 x
21. y = x7 ex
22. y = (x − 1)ex
23. y =
ex
x2
x5
ex
11. y =
a + bx
c + dx
24. y =
12. y =
2x + 3
x2 − 5x + 5
25. y = ex cos x
13. y =
2
1
−
2x − 1 x
26. y = (x2 − 2x + 2)ex
Wilson Herrera 2
27. y = ex arcsin x
28. y =
x2
ln x
48. y = −
29. y = x3 ln x −
30. y =
x3
3
1
ln x
+ 2 ln x −
x
x
31. y = ln x lg x − ln a loga x
32. y = x sinh x
x2
33. y =
cosh x
34. y = tanh x − x
35. y =
47. x = csc2 t + sec2 t
3 coth x
ln x
1
1
−
3 cos3 x cos x
r
3 sin x − 2 cos x
50. y =
5
p
1
3
51. y = sin2 x +
cos3 x
√
52. y = 1 + arcsin x
49. y =
53. y =
37. y =
ax + b 3
c
38. y = (2a + 3bx)2
√
arctan x − (arcsin x)3
1
arctan x
√
55. y = xex + x
54. y =
56. y =
36. y = arctan x − tanh x
1
6(1 − 3 cos x)2
√
3
2ex − 2x + 1 + ln5 x
√
x
+ tan x
5
a
58. y = sin (x2 − 5x + 1) + tan
x
57. y = sin 3x + cos
59. y = cos (αx + β)
39. y = (3 + 2x2 )4
60. f (t) = sin t sin (t + ϕ)
40. y =
41. y =
√
1 − x2
√
3
a + bx3
42. y = (a3/2 − x2/3 )3/2
43. y = (3 − 2 sin x)5
1
1
tan3 x + tan5 x
3
5
√
√
45. y = cot x − cot α
1 + cos 2x
1 − cos 2x
x
62. f (x) = a cot
a
1
1
63. y = − cos (5x2 ) − cos x2
20
4
61. y =
64. y = arcsin 2x
1
x2
√
66. y = arc cos x
44. y = tan x −
65. y = arcsin
46. y = 2x + 5 cos3 x
67. y = arctan
1
x
Wilson Herrera 3
68. y = arccot
69. y = 5e−x
1+x
1−x
x3
87. y = p
3 (1 + x2 )3
2
1p
1p
3
(1 + x3 )8 − 3 (1 + x3 )5
8
5
r
4 4 x−1
89. y =
3 x+2
88. y =
70. y =
1
5x2
71. y = x2 102x
90. y = x4 (a − 2x3 )2
t
72. f (t) = t sin 2
91. y =
a + bxn m
a − bxn
√
92. y = (a + x) a − x
73. y = arc cos ex
74. y = ln (2x + 7)
93. y =
75. y = lg sin x
p
(x + a)(x + b)(x + c)
76. y = ln (1 − x2 )
q
√
94. z = 3 y + y
77. y = ln2 x − ln (ln x)
√
95. f (t) = (2t + 1)(3t + 2) 3 3t + 2
78. y = ln (ex + 5 sin x − 4 arcsin x)
79. y = arctan (ln x) + ln (arctan x)
80. y =
√
√
ln x + 1 + ln ( x + 1)
98. y =
1
cos3 x(3 cos2 x − 5)
15
x
3
99. y =
(tan2 x − 1)(tan4 x + 10 tan2 x + 1)
3 tan3 x
81. y = sin3 5x cos2
82. y = −
83. y
=
11
4
−
2
2(x − 2)
x−2
−
1
2(x − 3)2
100. y = tan2 5x
15
10
1
−
−
2
4
2(x − 3)
3(x − 3)3 101. y = 2 sin (x )
x8
8(1 − x2 )4
√
2x2 − 2x + 1
85. y =
x
x
86. y = √
a2 a+ x2
84. y =
1
96. x = p
2ay − y 2
√
√
97. y = ln ( 1 + ex − 1)−ln ( 1 + ex + 1)
102. y = sin2 x3
103. y = 3 sin x cos2 x + sin3 x
104. y =
1
tan3 x − tan x + x
3
105. y = −
cos x
4
+ cot x
3
3 sin x 3
Wilson Herrera 4
q
106. y = α sin2 x + β cos2 x
125. y =
(α sin βx − β cos βx)eαx
α2 + β 2
107. y = arcsin x2 + arc cos x2
126. y =
1 −x
e (3 sin 3x − cos 3x)
10
1
108. y = (arcsin x)2 arc cos x
2
127. y = 3 cos βx +
x2 − 1
x2
x
110. y = arcsin √
1 + x2
109. y = arcsin
arc cos x
111. y = √
1 − x2
112. y
113. y
114. y
115. y
sin αx
128. y = xn a−x
129. y =
√
√
cos xa cos x
1
131. y = ln (ax2 + bx + c)
132. y = ln (x +
134. y = ln (a + x +
116. y = ln (arcsin 5x)
117. y = arcsin ln x
x
2
5 tan + 4
2
arctan
3
3
√
tan x
120. y = − 2 arctan √ − x
2
√
121. y = eax
122. y = esin
2
x
√
2ax + x2 )
1
ln2 x
136. y = ln cos
x sin α
1 − x cos α
√
a2 + x 2 )
√
√
133. y = x − 2 x + 2 ln (1 + x)
135. y =
119. y =
2
130. y = 3cot x
rb
1
= √ arcsin x
a
b
√
x
= a2 − x2 + a arcsin
a
√
x
= x a2 − x2 + a2 arcsin
a
√
= arcsin (1 − x) + 2x − x2
118. y = arctan
1 sin3 αx
3 cos3 βx
x−1
x
137. y = ln
(x − 2)5
(x + 1)3
138. y = ln
(x − 1)3 (x − 2)
x−3
1
+ ln tan x
2 sin2 x
r
x
2
140. y = 3b arctan
b−x
139. y = −
141. y =
√
x√ 2
a2
x − a2 − ln (x + x2 − a2 )
2
2
123. f (x) = (2mamx + b)p
142. y = ln ln(3 − 2x2 )
124. f (t) = eαt cos βt
143. y = 5 ln3 (ax + b)
Wilson Herrera 5
√
x 2 + a2 + x
144. y = ln √
a+ x 2 − x
145.
146.
147.
148.
155.
156.
149. y =
m
n
x − a 150.
y=
ln (x2 − a2 ) +
ln
2
2a x + a
151.
π
y = x sin(ln x − )
4
152.
x 1 cos x
1
y = ln tan −
2
2 2 sin2 x
153.
√
√
x2 + 1
1
+
154.
y = x2 + 1 − ln
x
√
2
x
1 x−1
arctan √ + ln
y=
3
2 6 x+1
√
√
1 + sin x
√
y = ln
+ 2 arctan sin x
1 − sin x
1 x2 − 2x + 1
ln 2
3
x +x+1
y = 2arcsin 3x + (1 − arc cos 3x)2
√
tan x2 + 2 − 3
1
√
y = √ ln
3 tan x2 + 2 − 3
y = arctan ln x
y = ln arcsin x +
y = arctan ln
1 2
ln x + arcsin ln x
2
1
x
3 x2 + 1 1 x − 1 1
ln
+ ln
+ arctan x
4 x2 − 1 4 x + 1 2
3√
18 √
9 √
6 √
3
3
158. y =
x2 + x 6 x + x x2 + x2 6 x
2
7
5
13
157. y =
159. y =
3
2
1
9
−
+
−
5
4
3
5(x + 2)
(x + 2)
(x + 2)
2(x + 2)2
√
1
1√
160. y = (x − ) arcsin x +
x − x2
2
2
161. y =
3
1
1
−
−
7
6
56(2x − 1)
24(2x − 1 ) 40(2x − 1)5
Determinare: monotonı́a, puntos crı́ticos, concavidad, puntos de inflezión, extremos relativos, en las siguientes funciones:
1. f (x) = 1 − 4x − x2
5. f (x) =
x
x−2
2. f (x) = (x − 2)2
6. f (x) =
1
(x − 1)2
3. f (x) = (x + 4)3
7. f (x) =
4. f (x) = x2 (x − 3)
x
− 6x − 16
√
8. f (x) = (x − 3) x
x2
Wilson Herrera 6
9. f (x) =
x √
− 3x
3
18. f (x) = x − ln (1 + x)
x2 − 2x + 2
x−1
10. f (x) = x + sin x
19. f (x) =
11. f (x) = x ln x
20. f (x) = x ln x
12. f (x) = arcsin 1 + x
21. f (x) = x ln2 x
1
13. f (x) = 2 x−a
14. f (x) =
ex
x
15. f (x) = x2 (x − 12)2
16. f (x) =
p
3
(x2 − 2)2
17. f (x) =
x3
x2 + 3
22. f (x) = xex
23. f (x) = x2 e−x
24. f (x) = x arctan x
x
1 + x2
p
26. f (x) = x(10 − x)
25. f (x) =
1. Dividir un número positivo dado a en dos sumandos, de tal manera que su
producto sea el mayor posible.
2. Torcer un trozo de alambre de longitud dad l, de manera que forme un
rectángulo cuya área sea la mayor posible.
3. ¿Cuál de los triángulos rectángulos de perimetro dado, igual a 2p, tiene
mayor área?
4. Hay que hacer una superficie rectángular cercad por tres de sus lados con tela metálica y lindante por el cuarto por una larga pared de piedra. ¿Qué forma será más conveniente dar a la superficie (para que su área sea mayor),
si se dispone en total de l m lineales de tela metálica?
5. De una hoja de cartón cuadrada, de lado a, hay que hacer una caja rectángular abierta, que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello cuadrados en los ángulos de la hoja y doblando después las salientes de la figura
en forma de cruz ası́ obtenida.
Wilson Herrera 7
6. Un depósito abierto, de hoja de lata, con fondo cuadrado debe tener capacidad para v litros. ¿Qué dimensiones debe tener dicho depósito para en su
fabricación se necesite la menor cantidad de hoja de lata?
7. ¿Cuál de los cilindros de volumen dado tiene menor superficie total?
8. Inscribir en una esfera dada un cilindro de volumen máximo.
9. Inscribir en una esfera dad un cono de volumen máximo.
10. De un tronco redondo, de diametro d, hay que cortar una viga de sección
rectángular. ¿Qué anchura x y que altura y deberá tener esta sección para
que la viga tenga la resistencia máxima posible: a) a la compresión y b) a
la flexión?
Nota: La resistencia de la viga a la compresión es proporcional al área de su
sección transversal, mientras que a la flexión es al producto de la anchura
de esta sección por el cuadrado de su altura.
11. Determinar qué diametro y deberá tener la abertura circular de una presa,
para que el gasto de agua por segundo Q sea el mayor posible, si Q =
√
cy h − y, donde h es la profundidad del punto inferior de la abertura (tanto
h, como c, son constantes).
Regla de L’Hôpital-Bernoulli.
Hallar los lı́mites que se indican de las funciones siguientes:
x cos x − sin x
x→0
x3
5. lı́m
ex
x→+∞ x5
6. lı́m
3. lı́m
1−x
x→1 1 − sin π x
2
7. lı́m
ln x
4. lı́m √
x→∞ 3 x
8. lı́mπ
1. lı́m
2. lı́m
cosh x − 1
x→0 1 − cos x
x→0
π
x
cot π2 x
tan x − sin x
x→0
x − sin x
x→ 4
sec2 x − 2 tan x
1 + cos 4x
Wilson Herrera 8
ln sin mx
9. lı́m
x→0 ln sin x
10. lı́mπ
x→ 2
tan x
tan 5x
21. lı́mπ
x→ 2
x
π −
cot x 2 cos x
22. lı́m xx
x→0
3
11. lı́m (1 − cos x) cot x
23. lı́m x 4+ln x
π
12. lı́m (1 − x) tan x
x→1
2
a
13. lı́m xn sin , n > 0
x→∞
x
24. lı́m x x
x→0
x→0
1
x→+∞
1
25. lı́m x 1−x
x→1
14. lı́m arcsin x cot x
π tan π2 x
26. lı́m tan x
x→1
4
15. lı́m ln x ln (x − 1)
27. lı́m xsin x
x→0
x→1
x→0
16. lı́m xn e−x , n > 0
x→0
17.
18.
19.
20.
ln1x
28. lı́m cot x
x→0
a
lı́m x sin
x→∞
x
x
1 lı́m
−
x→1 x − 1
ln x
1
5
− 2
lı́m
x→3 x − 3
x −x−6
1
1
√ −
√
lı́m
x→1 2(1 −
x) 3(1 − 3 x)
π
29. lı́m (1 − x)cos 2 x
x→1
30. lı́m
x→0
1 tan x
x
1
31. lı́m (1 + x2 ) x
x→0
32. lı́m (cot x)sin x
x→0
Asintotas
Hallar las asintotas de las curvas:
1
1. y =
(x − 22 )
6. y =
√
x2 − 1
x
2. y = 2
x − 4x + 3
7. y =
sin x
x
x2
3. y = 2
x −4
8. y = √
3
4. y =
x
x2 + 9
5. y = e
1
x
x
+3
x2
x2 + 1
√
9. y =
x2 − 1
10. y = x − 2 + √
x2
x2 + 9
Wilson Herrera 9
2
11. y = e−x + 2
12. y =
1
1 − ex
13. y = ln (1 + x)
14. y = x + ln x