Integrales y primitivas - Eva

Centro de Matemática
Universidad de la República
Matemática I
Primer Semestre 2016
Práctico 7: Integrales y primitivas
Ejercicio 1 Calcular primitivas de las siguientes funciones:
1
1
1
c) + 2 + e2x ,
a) 3x2 − 6x + 8,
b) √ ,
x x
x
d) ex+2 − 1,
e) 2x2 − e−3x ,
f ) 2sen(3x).
Ejercicio 2 Hallar una función f tal que:
1. sea primitiva de la función g(x) = 6x2 + x y se anule en x = 2.
2. f 00 (x) = 3x2 − ex − 2 y f 0 (0) = f (0) = 1.
Ejercicio 3 Calcular:
R2
1. −1 6x2 dx
R4
2. 5 2x5 dx
Rπ
3. 0 12sen(x) dx
R1
4. −1 3et dt
R −1
5. −2 (2t2 + 4t − 1) dt
Rπ
6. −π (5sen(t) + cos(t)) dt
Ejercicio
Z 2 4 Calcular
(2x2 − ex )dx,
a)
b)
−1
Z
d)
1
2
4
Z
1
1
1
+ 2 dx,
x x
Z
e)
0
√
1/ 2
π
Z
1
√ dx,
x
sen (2x)dx,
c)
0
1
dx,
1 + x2
Z
f)
1
2
1
1
−
dx.
e2x x
Ejercicio 5 Hallar el área comprendida entre el gráfico de f y el eje Ox en el intervalo
indicado:
a f (x) = x3 + 1 en [−2, 1],
b f (x) = cos(x) en [0, π/2],
c f (x) = ex + 2 en [0, 1].
Ejercicio 6 Calcular el área de las siguientes regiones:
1. La región limitada entre las gráficas de f y g sobre el intervalo [0, 2] siendo f (x) =
x(x − 2) y g(x) = x2 .
2. La región acotada que se encuentra encerrada entre los gráficos de ex , e−x y las rectas
y = 0, x = −1 y x = 2.
1
Ejercicio 7 Tengo que embaldosar parte de un patio de 20m de largo por 10m de ancho.
El dueño quiere que el piso sea la superficie bajo el gráfico de la parábola
x2
+ 20
5
en el primer cuadrante, tomando una esquina del jardı́n como el origen, el ancho como el eje
horizontal y el largo como el vertical. El resto del espacio será reservado a césped y canteros
para plantas.
Pedı́ dos presupuestos. Alberto Álvarez contestó que la obra costará $88000. Mientras
que en Baldosas Baez me dicen que tienen un costo fijo de transporte de $6000 y luego $600
por metro cuadrado.
¿Cuál de las dos opciones es la más barata?
y=−
Ejercicio 8
1. Hallar la derivada de x cos(x).
2. Hallar una primitiva de x sen(x).
Rπ
3. Calcular −π x sen(x) dx.
Ejercicio 9 Se sabe que
Z
2
f (x)dx = 5.
1
Marque la opción correcta:
R2
1. 1 f (x + 7)dx = 5;
R9
2. 8 f (x + 7)dx = 5;
R −5
3. −6 f (x + 7)dx = 5;
R −5
4. −6 f (x + 7)dx = −5;
Ejercicio 10 Decimos que una función f es par si para todo x ∈ R se satisface f (x) =
f (−x).
1. Encontrar un ejemplo de una función par y graficarla.
R2
R2
2. Para el ejemplo hallado en la parte anterior observar que −2 f (x)dx = 2 0 f (x)dx.
Hacerlo de dos formas: geométricamente e integrando por sustitución (próximo método
de integración).
Ejercicio 11 Usar el método de integración por partes para calcular primitivas de
a) x cos(x) ,
b) x2 sen(x),
c) xex ,
d) xe−x ,
e) x2 log(x) ,
f ) sen(x) cos(x) .
Ejercicio 12 Usar el método de sustitución para calcular primitivas de
3
a) 3x2 ex ,
b) sen2 (x) cos(x),
√
d) 4x2 x3 + 10,
e)
√
sen( x+1)
√
,
x+1
g)
1
ex +1
(sustituir x = L(t)).
2
c)
x
,
(x2 +1)
f)
cos(x)
,
1+sen2 (x)
Ejercicio 13 Calcular
Z 2
a)
xe2x dx,
b)
−1
Z
2
Z
log(x) dx,
π/2
sen (x) dx,
Z0 π/2
g)
cos2 (x) sen(x) dx,
2 −x
e)
xe
Z0 2
h)
1
0
√
j)
(2x − 5) sen(x) dx,
−π
1
Z
2
5
√
4x x2 + 4 dx,
Z
k)
0
0
π
c)
1
d)
Z
Z
1
Z
dx,
log(x)
dx,
x
e4x + 3
dx,
e3x
π
ex cos(x) dx.
f)
Z 01
i)
0
Z
x2
dx,
(2 − x3 )3
π/4
tan(x) dx.
l)
0
Ejercicio 14 Se hace girar el gr´afico de la función y = f (x) alrededor del eje Ox en el
intervalo indicado. Calcular el volumen del s´olido as´? obtenido en los siguientes casos:
√
1. f (x) = x en [0, 1],
2. f (x) = x2 en [?1, 2].
Ejercicio 15 Calcular el volumen de un cono de altura h y cuya base tiene radio r.
Ejercicio 16 Calcular las longitudes de las curvas definidas por los gr´aficos de las funciones
siguientes en los intervalos dados:
1. f (x) = L(cosx) en [0, π/4],
3
2. f (x) = 13 (x2 + 2) 2 en [0, 3].
3