Matemáticas II Pruebas de Acceso a la Universidad 1 ÁLGEBRA

Matemáticas II
Pruebas de Acceso a la Universidad
ÁLGEBRA
3 1
Junio 94. Comprueba que el determinante
1 1
1 3 1
1 1 3
1 1
1
1
es nulo sin desarrollarlo. Explica el proceso que sigues.
1 3
[1,5 puntos]
Junio 94.
 2 1
 . Probar que las matrices de la forma B = k A + r I, donde k y r son números reales
1. Considerar la matriz A  
 1 1
e I es la matriz unidad 2 2, conmutan con la A, es decir A B = B A
[1,5 puntos]
 x  y  0

 x  y  2
 2 x  z  0

2. Discutir y resolver el siguiente sistema dependiente del parámetro
[2,5 puntos]
1

1

Septiembre 94. Dada la matriz 
n  . Calcular:
0 1


a) La potencia enésima An.
[1 punto]
b) La inversa A 1.
[0,5 puntos]
Septiembre 94.
1. Sea A una matriz cuadrada. Demuestra que las matrices A At y At A son simétricas, donde At denota la matriz
traspuesta de A. ¿Son iguales?. Pon un ejemplo.
[1,5 puntos]
2. Hallar el valor de m para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones y calcularlas
 2x  my  4z  0

 x  y  7z  0
 x  y  12z  0

[2,5 puntos]
Junio 95.
1. Sea U una matriz cuadrada n n con todos sus elementos iguales a 1, sea In la matriz unidad n n, y sea
real. Escribir la matriz U I, y calcular su determinante. [2 puntos]
un número
2. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro , y resolver cuando sea posible
 x  y  z  1

 x  y  z  

2
 x  y  2z  
[2,5 puntos]
 0 1 2
 1 2
 A  
 .
Junio 95. Encontrar todas las matrices A tal que 
1
0
0


 1 0
[1,5 puntos]
1
Septiembre 95.
1. Se dice que una matriz n n cuadrada A es ortogonal si A At = I, donde At es la matriz traspuesta de A e I es la matriz
unidad n n. Se pide:
a) Estudiar si la matriz traspuesta y la matriz inversa de una matriz ortogonal son matrices ortogonales. [1 punto]
b) Si A es ortogonal, hallar A .
[1 punto]
2. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro , y resolver cuando sea posible.
x  y  z 1

 4 x  y  5
 3x  y  z  5

Septiembre 95. Calcular, sin desarrollar, el
determinantes utilizadas:
5
5
5
5
5
[2,5 puntos]
valor del siguiente determinante, enumerando las propiedades de los
1
1
1
1
2
1
1
1
1
3
1
1
1
1
4
1
1
1
1
5
[2 puntos]
1 a b  c 


Junio 96. Sin desarrollarlo, calcular razonadamente el valor del determinante de la matriz A   1 b c  a 
1 c b  a


puntos]. Deducir de ahí los posibles valores del rango de A [1 punto].
[1,5
3
1 
1


2
Junio 96. Hallar el rango de la matriz A   1 a  a  1 a  según sea el valor del parámetro a [2 puntos].


1
a  4 a  2


Indicar cuándo existe la inversa de A [0,5 puntos].
 1 1
 1 1
 , B  
 y O la matriz nula 2 2. Se pide:
Septiembre 96. Sean A  
  1 0
  1  1
a) Encontrar todas las matrices X tales que A X = B [1,5 puntos]
b) Encontrar todas las matrices Y tales que Y B = O [1 punto]
Septiembre 96.
Hallar el valor o valores de a para que el sistema
x  y 1


 x  2 y  (a  1)z  1 sea compatible e
  x  y  (a  1)z  a

indeterminado [1,5 puntos]. Resolverlo en esos casos [1 punto].
 ax  y  z  0

Discutir el sistema  x  y  az  3 según los valores del parámetro a
 x  y  1

casos en que admita infinitas soluciones [1 punto].
Junio 97.
2
[1,5 puntos]. Resolverlo en los
Matemáticas II
Pruebas de Acceso a la Universidad
 0 0 0


Dada la matriz A   1 0 0  , encontrar todas las matrices B tales que A B = B A
0 1 0


Calcular An con n entero positivo [1 punto].
Junio 97.
Septiembre 97.
[1,5 puntos];
1 0 0 
 0 0 1




Dadas las matrices A   0 2 1  y B   0 1 0  , hallar la matriz X dada por A X A
0 5 3
 1 0 0




1
=B
[2,5 puntos].
Septiembre 97.
1 a

Hallar el rango de la matriz B   0 1
1 1

1
1 

a  1 0  según sea el valor del parámetro a
a
 1 
[2,5
puntos]
 x  (a 2  1) y  az  1

Junio 98. Discutir el sistema  (a 2  1) y  (a  1)z  0 según sea el valor del parámetro a [1,5 puntos]. Hallar, si

2
 x  a z  0
existe, la solución del mismo cuando a = 0 [1 punto]
1
0
0 


1
1 

t
Junio 98. Determinar a, b y c para que la matriz A   0
 verifique que su traspuesta A coincide con
2
2


a
b
c 

su inversa A-1 [1,5 puntos]. Calcular en todos esos casos la matriz A4 [1 punto].
x  z  0

Septiembre 98. Hallar los valores del parámetro a para que el sistema de ecuaciones  ax  y  z  0
admita
 x  (a  1) y  az  0

infinitas soluciones [1,5 puntos]. Resolverlo en cada uno de esos casos [1 punto].
 2  2
 0 1
 y B  
 , encontrar todas las matrices 2 2 X tales que X A
Septiembre 98. Dadas las matrices A  
 2  3
 1 0
= X [1 punto] y todas las matrices Y tales que Y A = B [1,5 puntos].

 2  3

 2X  Y  

1  5 
Junio 99. Las matrices X e Y son las soluciones del sistema de ecuaciones matriciales 
. Se pide
 X  2Y   1  4 
3 0 




hallar X e Y [1 punto] y calcular si tiene sentido X 1 e Y 1 (razonar la posible respuesta negativa) [1,5 puntos].
 ax  7 y  20z  1

Junio 99. Discutir según el valor del parámetro a el sistema lineal  ax  8y  23z  1 [1,5 puntos] y resolverlo en
 x  az  1

los casos en que tenga infinitas soluciones [1 punto].
3
1 0 1 


Septiembre 99. Hallar en función de a el rango de la matriz A   0 a  3  [1,5 puntos] y calcular cuando exista
4 1 a 


la matriz inversa A 1 en los casos a = 1 y a = 1 [1 punto].
Septiembre 99. Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote
contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero
contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar a partir de estos lingotes uno nuevo que contenga 15 g de
A, 35 g de B y 50 g de C. ¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes? [2,5 puntos].
Junio 00. Hallar, si existe, una matriz cuadrada 2 2 A que cumpla las siguientes condiciones:
1) Coincide con su traspuesta.
1 1
 1  1  3  3 
 A 
  

2) Verifica la ecuación matricial 
 1  1
0 1   3 3 
3) Su determinante vale 9.
x  z 1

Junio 00. Discutir el sistema de ecuaciones  y  (a  1)z  0
 x  (a  1) y  az  a

Resolverlo en todos los casos de compatibilidad [1,5 puntos].
[2,5 puntos]
según los valores del parámetro a [1 punto].
 0 0 1 


Septiembre 00. Dada la matriz A   0 a 0  , se pide:
 1 0  2 


i) Hallar el valor o valores de a para que se cumpla la igualdad A2 + 2 A + I = O, siendo I la matriz identidad de orden
3 y O la matriz nula de orden 3 [1,5 puntos].
ii) Calcular en esos casos la matriz inversa de A [1 punto].
Septiembre 00. Sea A una matriz 4 4 cuyas filas, de arriba a abajo son F1, F2, F3 y F4 y cuyo determinante vale 2. Sea
 0 0 1 0


 0 0 0 1
. Calcular razonadamente:
B
0 1 0 0


 1 0 0 0


1) El determinante de la matriz A B [1 punto]
2) El determinante de la matriz 3 A [0,5 puntos]
3) El determinante de la matriz cuyas filas son (de arriba a abajo): 2F1 + F2 , F2 , 3F4 y F3+F1 [1 punto]
 0 a 0
 1 0 0




Junio 01. Dadas las matrices A   0 0 a  e I3   0 1 0  , se pide:
 0 0 0
 0 0 1




a) Hallar An para todo entero positivo n [1 punto]
b) Calcular, si existe, la inversa de la matriz A y la de la matriz I3 + A [1,5 puntos]
Junio 01. Tenemos una matriz 3 3 cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C1 , C2 , C3 y su determinante vale
2.
a) Se considera la matriz A cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C2 , C3+C2 , 3C1 , calcular razonadamente el
determinante de la matriz A 1 caso de que esta matriz inversa exista [1,5 puntos].
b) Sea ahora la matriz cuyas columnas son: C 1+C2 , C2+C3 , C3 C1. Razonar la existencia o no existencia de la matriz
inversa de la misma [1 punto]
4
Matemáticas II
Pruebas de Acceso a la Universidad
 x  2y  z  a

Septiembre 01. Dado el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro a:  x  y  az  a , se pide:
 2 x  3y  z  a

1) Discusión del mismo en función del parámetro a. [1 punto]
2) Resolución en los casos de compatibilidad. [1,5 puntos]
 2 0 0
 1 0 0




Septiembre 01. Dadas las matrices: A   1 2 1  e I3   0 1 0  , se pide:
 0 0 2
 0 0 1




2
a) Calcular A – 4A + 4I3 [1 punto]
b) Calcular, si existe, la inversa de la matriz A [1,5 puntos]
 (a 2  1) x  (a  1) y  0

Junio 02. a) Discute el sistema  a 2 y  z  0
según el valor del parámetro a. [1,3 puntos]
 2
 (a  1) x  ay  z  1
b) Halla, si existe, la solución cuando a = 4. [1,2 puntos]


  a b

 ; a, b    ..
Junio 02. Sea M   
b
a





a) Prueba que si A, B M también A+B y AB están en M. [1 punto]
b) Determina las matrices C
M que verifican que C2 = 2C. [1,5 puntos]
1 0 1
0 1 1




Septiembre 02. Sean A y B las matrices siguientes: A   0 2 0  B   1 1 0 
1 1 0 
 0 0 2




Es fácil comprobar que ambas tiene el máximo rango, que es 3. Pero ¿qué ocurre si las combinamos linealmente? En
concreto, estudia el rango de la matriz A + B según los valores del parámetro . [2,5 puntos]
 2x  y  z  0

Septiembre 02. a) Discute el sistema de ecuaciones  ax  y  z  a  1 según el valor del parámetro a. [1,5 puntos]
 3x  2az  a  1

b) Halla, si existe, la solución cuando a = 0. [1 punto]
Junio 03. Luis, Juan y Óscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: Si yo te doy la tercera parte del dinero que tengo, los
tres tendremos la misma cantidad. Calcular lo que tiene cada uno de ellos sabiendo que entre los tres reunen 60 euros.
[2,5 puntos]
Junio 03. Buscar una matriz cuadrada X (pueden existir varias) cuyo primer elemento valga 2 y tal que la siguiente
suma
 2  2
  1  1

 X  X 

6 0 
 11  1
sea la matriz nula [2,5 puntos]
Nota: El primer elemento de una matriz es que el está en la primera fila y en la primera columna.
5
 ax  y  z  1

Septiembre 03. Discutir el sistema de ecuaciones  x  2 y  az  2
según los valores del parámetro a [1,5
 x  y  z  a  1

puntos]. Entre los valores de a que hacen el sistema compatible elegir uno en particular y resolver el sistema que resulte
al reemplazar a por el valor elegido [1 punto].
 1  1
1 0 
 ; B  
 . Vemos que ambas tienen rango máximo, o sea 2.
Sean las matrices A  
4
2


 4  1
Determinar los valores de c tales que la matriz A + cB ya no tenga rango 2 [1,5 puntos]. ¿Cuál es el rango que tienen
las respectivas matrices suma? [1 punto]
Septiembre 03.
Junio 04. Cuando el año 1800 Beethoven escribe su primera Sinfonía, su edad es diez veces mayor que la del
jovencito Franz Schubert. Pasa el tiempo y es Schubert quien compone su célebre Sinfonía Incompleta. Entonces la
suma de las edades de ambos músicos es igual a 77 años. Cinco años después muere Beethoven y en ese momento
Schubert tiene los mismos años que tenía Beethoven cuando compuso su primera Sinfonía.
Determinar el año de nacimiento de cada uno de estos dos compositores. [2,5 puntos]
Nota: Solamente se calificarán los resultados obtenidos matemáticamente, no los derivados de los conocimientos
histórico-musicales del examinando.
 x  3y  z  5

Junio 04. Sea el sistema  ax  2 z  0 .
 ay  z  a

Se pide clasificarlo según los valores del parámetro a [1,5 puntos] y resolverlo si en algún caso es compatible indeterminado [1 punto]
 x  y  2z  0

Septiembre 04. Sea el sistema homogéneo de ecuaciones  ax  y  z  0
 x  2ay  z  0

a) Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula [1,5 puntos]
b) Resolver el sistema para el valor o valores de a hallados en el apartado anterior [1 punto]
 2  2
1 0 
 siendo A  

AX  XA  
3 3 
1 1 
puntos]. Luego analizar si la matriz X es inversible, y en el caso de serlo calcular su matriz inversa [0,5 puntos]
Septiembre 04.
Determinar una matriz cuadrada X que verifique
[2
Junio 05. Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer el Quijote este verano. Cada una
por separado y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar
la obra. Eva leerá diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminará la obra
dos semanas antes que Marta y ésta 30 días antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la
versión de la inmortal obra cervantina que leen estas amigas. [2,5 puntos]
Junio 05.
 x  2 y  az  0

La terna (0 , 0 , 0) es siempre solución del sistema  ax  y  z  0 independientemente del valor del
 2ax  y  z  0

parámetro a.
a) Indicar para qué valores del parámetro la citada terna es la única solución del sistema.
[1,5 puntos]
b) Indicar algún valor del parámetro, si existe, para el cual el sistema tenga algunas soluciones distintas de la nula y
mostrar estas soluciones. (Nota: si se encuentran varios valores del parámetro cumpliendo la condición pedida, para
responder a esta cuestión basta tomar uno solo de ellos).
[1 punto]
6
Matemáticas II
Pruebas de Acceso a la Universidad
Septiembre 05. A, B y C son tres ciudades que forman un triángulo de manera que entre cada dos de ellas hay una
carretera recta que las une. Se sabe que si se va de A a B dando la vuelta por C se hace un recorrido tres veces mayor
que si se va directamente de A a B. Asimismo si para ir de A a C se da la vuelta por B el recorrido es el doble que si se
va directamente de A a C.
Calcular las distancias entre las tres ciudades sabiendo que la suma de las tres distancias es igual a 120 kilómetros. [2,5
puntos]
 x  y  z  1

Septiembre 05. Estudiar según el valor del parámetro  , el sistema de ecuaciones  x  y  z  

2
x y  z 
en algún caso es compatible indeterminado. [2,5 puntos]
1

1 2  
 y B   
Junio 06. Se consideran las matrices A  
1  1  1
0

a) Encontrar los valores de  para los que la matriz AB tiene inversa.
y resolverlo si
3

0  donde  es un número real.
2 
[1,5 puntos]
x
  a 
b) Dados a y b números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema A  y     compatible determinado con A la
 z  b
 
matriz del enunciado?.
[1 punto]
 a 2 ab ab 


Junio 06. Sea la matriz A   ab a 2 b 2 


ab b 2 a 2 


a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz.
b) Estudiar el rango de A en el caso en que b  a .
[1 punto]
[1,5 puntos]
Septiembre 06. La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año, los partidos ganados
valían 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo
70 puntos. Hasta el año pasado los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo, el actual
campeón hubiera obtenido 50 puntos. ¿Cuántos partidos ganó, empató y perdió el equipo campeón?
[2,5 puntos]
Septiembre 06. Teniendo en cuenta que
3a
3b
3c
ap
bq
cr
xa yb zc
a b c
p q r  7 , calcular el valor del siguiente determinante sin desarrollarlo
x y z
[2,5 puntos]
 x  3y  z  5

Junio 07. Considerar el sistema lineal de ecuaciones en x, y y z:
 mx  2z  0
 my  z  m

a) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene solución única. Calcular dicha solución para
m  1.
[1 punto]
b) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcular dichas soluciones.
[1 punto]
c) Estudiar si existe algún valor de m para el cual el sistema no tiene solución.
[0,5 puntos]
7
Junio 07. Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros y un total almacenado de 2000 euros. Si el
número total de billetes de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20, averiguar cuántos billetes de cada tipo
hay.
[2,5 puntos]
3 1
1 0
Septiembre 07. Dadas las matrices A  
 , I

 8 3 
0 1
a) Comprobar que det  A2    det  A  
2
[0,5 puntos]
2
a b
2
b) Estudiar si para cualquier matriz M  
 de orden 2 se cumple que det  M    det  M  
c d
c) Encontrar la relación entre los elementos de las matrices M cuadradas de orden 2 que satisfacen:
[1 punto]
det  M  I   det  M   det  I 
[1 punto]
0   
1 k t 




Septiembre 07. Sean A   0 0   y B   0 1 k 
0 0 0
0 0 1 




a) Estudiar para qué valores de  y  la matriz A tiene inversa.
b) Calcular A5.
[1 punto]
c) Hallar la matriz inversa de B.
[1 punto]
[0,5 puntos]
Junio 08.
Opción A.
0 1 1
 6 3 4 
1 0 0






Sean A, B, I las matrices: A   1 1 0  , B   3 2 1  , I   0 1 0  .
1 0 0
 4 1 5 
0 0 1






a) (1,5 puntos)
Estudiar si existe algún valor de  
para el cual se satisfaga  A  I   B .
2
x y z
x 1/ 4 4
b) (1 punto) Teniendo en cuenta que 1 0 2  1 , determinar el valor de y 0
4
1 1 3
z 1/ 2 12
Opción B.
(2,5 puntos)
 x  3y  az  4
 ax  y  az  0

Dado el sistema 
. Discutirlo según los valores de a, y resolverlo
  x  2ay  a  2
 2x  y  2z  0
cuando sea compatible.
Septiembre 08.
Opción A.
(2,5 puntos)
a b
 3 1
1
Hallar una matriz X  
 de orden 2 tal que A X A  B siendo A  

c d
 2 1
 1 1
y B

2 1 
Opción B.
a) (1 punto)
Probar que
1
a
a2
1
b
b2
1
c  b  a  c  a  c  b
c2
 x  2y  3z  0
Hallar la solución del sistema de ecuaciones 
que además satisface que la suma de
 x  4y  9z  2
los valores correspondientes a cada una de las incógnitas es 4.
b) (1,5 puntos)
8
Matemáticas II
Pruebas de Acceso a la Universidad
Junio 09.
Opción A.
a) [1,5 puntos] Discutir y resolver en función de los valores del parámetro m el sistema lineal
x  y z 1


2
2
 mx  m y  m z  1
 mx  my  m 2 z  1

0 1 1
0
b) [1 punto] Teniendo en cuenta que 1 0 1  2 , determinar el valor del determinante a 1
1 1 0
a 2
a
0
a 1
a2
a .
0
1 0 0


Opción B. a) [1,25 puntos] Dada la matriz A   1 1 0  , calcular la inversa de la matriz A n .
0 0 1


b) [1,25 puntos] Estudiar para qué valores del parámetro   , existe un único polinomio P (x)  a  bx  cx 2 que
satisface P (0)   , P (1)  0 , P (1)  0 .
Septiembre 09.
2 a
1 0
[1,5 puntos] Sean las matrices A  
, I
 de orden 2. Hallar la
b c
0 1
parámetros a, b y c para que se verifique que A1  2I  A .
 1 2

b) [1 punto] Calcular, en función de los valores del parámetro k, el rango de la matriz B   1 1
 5 1

Opción B. a) [1,25 puntos] Resolver el siguiente determinante sin utilizar la regla de Sarrus:
a
b
c
 a  c  b  a c  b .
Opción A.
a)
ac
b) [1,25 puntos]
ba
relación entre los
1
3
k


.


cb
 1 2 3 4 
n
Para M  
 , calcular M con n 
1 2
 1
.
Junio 10.
0
2a 
 a


a) Estudiar para qué valores de a el determinante de la matriz A   0 a  1 0  es no nulo. Para a  3 ,
 a
0
a 

el determinante de la matriz 2A .
(1,5 puntos)
 1 1
 1 2 1 
T


b) Sean las matrices A   2 0  y B  
 . Calcular el rango de  AB  .
0
3

1


0 3 


obtener
(1 punto)
Junio 10.
 x 2 
a) Estudiar para qué valores de x, la matriz inversa de 
(1,5 puntos)
 coincide con su opuesta.
 5 x 
b) Dos hermanos de tercero y cuarto de primaria iban camino del colegio con sus mochilas cargadas de libros todos del
mismo peso. Uno de ellos se lamentaba del peso que transportaba y el otro le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te
cogiera un libro, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio si te diera un libro, tu carga igualaría a la mía”
¿Cuántos libros llevaba cada hermano?
(1 punto)
9
Septiembre 10.
a) Discutir y resolver cuando sea posible el siguiente sistema lineal:
 ax  y  0

 2x  y  az  1

y  az  1

(1,75 puntos)
1
b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el vector  2  sea solución del sistema anterior? (0,75 puntos)
0
 
Septiembre 10.
 cos α senα 0 


Dada la matriz A   senα cos α 0 
 0
0
β 

a) Estudiar si existen valores de α y β para los cuales la matriz A sea simétrica. ¿Será la matriz B  A AT igual a
la matriz identidad en algún caso?
(1 punto)
b) Razonar cuál es la relación entre el determinante de A y el de B.
(0,75 puntos)
 x   1
   
c) Discutir y resolver cuando sea posible el sistema B  y   1 .
(0,75 puntos)
 z   1
   
Junio 11.
1
2 
 0


a) (1,25 puntos) Estudiar para qué valores de  el determinante de la matriz A   α  1 1 α  2  tiene rango
 1 α  1
2 

máximo.
b) (1,25 puntos) Siendo A1 la inversa de la matriz A , calcular  A 1  para   1 .
2
Junio 11.
a) (1 punto)
 cos  0 sen  
 cos  sen  


Sean las matrices A  

0  . Estudiar qué valores de  y 
 y B 0

sen

cos



  sen  0 cos  


hacen que sea cierta la igualdad:
b) (1,5 puntos)
 det  A
2
 2 det  A det  B   1  0
Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el valor de
2
3
4
2 a3 b4
2 c3 d 4
con a, b, c, d 
Septiembre 11.
 1 
Sea la matriz A  
.
 0  
a) (0,75 puntos) Calcular el determinante de la matriz  A AT  con A T la traspuesta de A.
b) (0,75 puntos) Estudiar para qué valores del parámetro  se satisface la ecuación
4 A  2 AT  22  0 con A  det  A 
2
c) (1 punto) Obtener la inversa de A cuando sea posible.
Septiembre 11.
(2,5 puntos) Utilizar las propiedades de los determinantes para obtener los valores de a y b que satisfacen
simultáneamente las ecuaciones
10
Matemáticas II
Pruebas de Acceso a la Universidad
ab 1 2
ab 0 1  0 y
a  2b 3 2
a
a
2
a
ba 2
0
Junio 12.
 ax  y  z  1

Sean a un número real y el sistema lineal  x  ay  z  a
 x  y  az  a 2

a) (1,5 puntos) Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes y determine para qué valores de a el
sistema anterior es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado.
b) (1 punto) Resuelva el sistema anterior en el caso a  0
Junio 12.
 1 0 1


a) (1,5 puntos) Comprueba que la matriz M es inversible y calcule su inversa, donde M   2 1 1 
 1 2 2 


b) (1 punto) Encuentre las matrices A y B que cumplen las siguientes ecuaciones
 3 2 0
 1 4 0 




8A  5B   2 1 3  , 2A  B   2 1 3 
 0 3 3 
 0 1 1




Septiembre 12.
1 0

A  1 2
 0 1

Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuánto vale el determinante de la matriz B
propiedades que utilice):
1 0 2


B  1 2 4
 0 1 0 


a) (0,5 puntos) El determinante de la matriz A que aparece a continuación es 2
1

1
1
siguiente (enuncie las
 sen x  cos x 0 


b) (2 puntos) Sea C la siguiente matriz:
C   cos x sen x 0 
 1
sen x x 

Determine los valores de x para los que la matriz C tiene inversa y calcularla cuando sea posible.
Septiembre 12.
a) (1,5 puntos) Determine para qué valores de m el siguiente sistema de ecuaciones:
mx  2y  6z  0
2x  my  4z  2
2x  my  6z  m  1
es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
b) (1 punto) Se sabe que una matriz simétrica B de dimensión 3  3 tiene como determinante 3 . Determine el
determinante de la matriz B  Bt donde Bt denota la traspuesta de B.
11
SOLUCIONES
Junio 94.
Se basa en la propiedad: “si a una línea le sumamos una
combinación lineal de las demás paralelas, el determinante no varía”. Suma a la primera columna (por
ejemplo) las paralelas a ella y todos sus elementos son
iguales a cero, con lo que el determinante será cero.
Junio 94.
1. Construye la matriz B y comprueba que A B = B A
2. Si
1, 1, 0: el sistema es compatible determina2
2
4
do. Soluciones: x 
, y
, z
2
2
1 
1 
1  2
Si = 1, 1: el sistema es incompatible
Si = 0: el sistema es compatible indeterminado.
Soluciones: x  0 , y  2 , z = k
Septiembre 94.
1

1  
b) A 1  
n
0 1 


1 1

a) A n  
 0 1
Septiembre 94.
 
A  A  A
t
1. A  A t  (A t ) t  A t  A  A t  A  A t es simétrica
t
 (A t ) t  A t  A  A t  A es simétrica
No tienen por qué ser iguales: A At At A. Puede
1 1 

comprobarse con la matriz A  
 0 0
19k
2k
2. m = 6. Soluciones: x  
, y  k, z 
5
5
unio 95.
 0  ...  


  0 ...  
1. U  I  
................. 


   ... 0 


U  I  (n  1)  () n 1
t
2.
Si
0, 3: sistema compatible determinado.
 5
5
Soluciones: x 
, y
,
 (3   )
3
z
Si
=0ó
 5
 (3   )
= 3: sistema incompatible.
Septiembre 95.
120
Junio 96.
A  0 . Si a = b = c: rg (A) = 1 ; en cualquier otro
caso: rg (A) = 2.
Junio 96.
Si a
1, 1: rg (A) = 3
Si a = 1: rg (A) = 2
Si a = 1: rg (A) = 1
Septiembre 96.
1 1

a) X  
 0 0
A
1
a a

b) Y  
 b b
t
0, 1: sistema compatible determinado.
1  2
 2  2  1
Soluciones: x 
, y
,
2
2
Septiembre 96.
Si a = 1: el sistema es compatible indeterminado.
Soluciones: x = 1, y = 0 , z = k
Junio 97.
Si a
1, 2: sistema compatible determinado
Si a = 1: sistema incompatible
Si a = 2: sistema compatible indeterminado
Soluciones: x = 1 k , y = 2 k , z = k.
Junio 97.
a 0 0


B   b a 0
 c b a


 0 0 0


A   0 0 0
 0 0 0


n
Si
(  1) (  1) 2
2
Si = 0: sistema incompatible.
Si = 1: sistema compatible indeterminado.
Soluciones: x = k , y = 1 k , z = 0
z
Junio 95.
0
 1



A  1  x 2  2 y 
 x
y 

Septiembre 95.
1. a) Sí, son ortogonales.
12
2.
Septiembre 97.
0 5 3 


X   1 6 3 
 2  10  5 


Septiembre 97.
Si a 0 , 1: rg B = 3
Si a = 0 ó a = 1 rg B = 2
Junio 98.
Si a
1 , 1: sistema compatible determinado
Si a = 1: sistema incompatible
Si a = 1: sistema incompatible.
Para a = 0 el sistema es compatible determinado y sus
soluciones son: x = 0 , y = 1 , z = 1.
b)
A  1
Matemáticas II
Pruebas de Acceso a la Universidad
Junio 98.
a=0, b= 
Septiembre 00.
1
, c= 
1
(b y c distinto signo)
2
A14  I3 ; A 2 4
2
1 0 0 


  0  1 0
 0 0  1


  2 0  1


ii) A 1   0  1 0 
1 0 0 


i) a = 1
Septiembre 00.
1) A  B  A  B  2  (1)  2
Septiembre 98.
Tiene infinitas soluciones cuando a = 0 y cuando a = 1.
Para a = 0: x = k , y = k , z = k
Para a = 1: x = k , y = 0 , z = k
2) 3A  162
3) 12
Junio 01.
 0 a 0


a) Para n = 1: A   0 0 a 
 0 0 0


 0 0 a2 


para n = 2: A n   0 0 0 


0 0 0 


 0 0 0


n
para n 3: A   0 0 0 
 0 0 0


n
Septiembre 98.
 2a a 

X  
 2b b 
1  1 


Y 3

 1

2

Junio 99.
1  2

X  
1  2
 0  1

Y  
1 1 
X 1 pues X = 0. Y 1 pues Y
 1 1

0: Y 1  
  1 0
Junio 99.
Si a
1 , 1: sistema compatible determinado
Si a = 1: sistema incompatible
Si a = 1: sistema compatible indeterminado.
Soluciones: x = 1 + k , y = 3k , z = k
Septiembre 99.
Si a
1 , 3: rg A = 3
Si a = 1 ó a = 3: rg A = 2
1
 1


8
 2

3
5
Para a = 1: A 1   
 2 8
 1
1


8
 2
b)
A
1
1  a a2 


pues A = 0. (I3 + A) 1 =  0 1  a 


0 0 1 


Junio 01.
a)
A = 6 ;
b) En este caso:
1

8
3

8
1

8
Septiembre 99.
25 grs del A, 50 grs del B y 25 grs del C.
Junio 00.
 2  1 

A  
 1  5 
Junio 00.
Si a 1 , 2: sistema compatible determinado.
a 1
a 1
1
Soluciones: x  
, y
, z
a2
a2
a2
Si a = 1: sistema compatible indeterminado.
Soluciones: x = 1 k , y = 0 , z = k
Si a = 2: sistema incompatible.
A
A
1
1
1
6
pues A = 0
=
Septiembre 01.
a) Si a 0: sistema compatible determinado.
Si a = 0: sistema compatible indeterminado.
b) Para a  0 : x = a 1 , y = a+1 , z = 1
Para a  0 : x   , y   , z  
Septiembre 01.
a) El resultado es la matriz nula 3 3
 1

0 0 

 2

 1 1
1
1
b) A   
 
4
 4 2
1 

 0 0

2 

Junio 02.
a) Si a
1 , 1: sistema compatible determinado
Si a = 1 , 1: sistema incompatible
1
16
1
b) x 
, y
, z
15
15
75
Junio 02.
a) Comprueba que al sumar y multiplicar dos matrices
de M sus resultados también pertenecen a M.
13
 1 1

b) C  
 1 1
 1  1

C  
1 1 
Septiembre 02.
Si
1 , 1: rg (A+ b) = 3
Si = 1 ó = 1: rg (A+ B) = 2
Septiembre 02.
a) Si a
3 , 1: sistema compatible determinado
Si a = 3: sistema incompatible
Si a = 1: sistema compatible indeterminado.
1
1
5
b) x   , y  , z 
3
6
6
Junio 03.
Luis: 30 € , Juan: 10 € , Óscar: 20 €
Para a = 2: x  0 , y   , z  
Septiembre 05.
d  A , B  30 kms ; d  A , C   40 kms ;
d B , C   50 kms.
Septiembre 05.
Si   1 : el sistema es compatible determinado
Si   1 : el sistema es compatible indeterminado. Las
soluciones son: x  1     , y   , z   .
Junio 06.
1
, 2
2
b) No, A tiene un rango máximo 2 y el nº de incógnitas
es tres.
a) AB tiene inversa  
Junio 03.
2
2  2 


X  
 
12  11
Junio 06.
a) A  a 2  a  b2  a  b2
Septiembre 03.
Si a  1 , 2: sistema compatible determinado
Si a = 1: sistema incompatible
Si a = 2: sistema compatible indeterminado
Por ejemplo, para a = 0: x = 2 , y = 0 , z = 1
Septiembre 06.
20 partidos ganados, 10 empatados y 10 perdidos
Septiembre 03.
c = 1 , c = 6.
El rango es 1.
Junio 04.
Beethoven nació en 1770 y Schubert en 1797.
Junio 04.
Si a 0 y 5: sistema compatible determinado.
Si a = 0: sistema compatible indeterminado.
Soluciones: x = 5 – 3 , y = , z = 0
Si a = 5: sistema incompatible.
Septiembre 04.
1
4
b) Para a  0 : x  y  z  
a) a  0 ; a  
1
4
2
Para a   : x 
, y
, z
4
3
3
Septiembre 04.
 3

 1

.
X  2
 1 2 


 4

8 4


X es inversible: X 1   11 11 
1 6


 11 11 
Junio 05.
1400 páginas.
Junio 05.
a) Para a  0 y a  2
b) Para a = 0 y para a = 2.
Para a = 0: x  2 , y   , z  
14
b) rg A  1
Septiembre 06.
21
Junio 07.
a) m  0 y m  1. Si m 1: x  2 , y 2 , z 1
b) m  0. x   , y 
c) m  1
5
, z0
3
Junio 07.
50 billetes de 10 €, 25 de 20 € y 20 de 50 €
Septiembre 07.
a) Calcular y comprobar
b) Sí se cumple (demostrar)
a b 
c) M  

 c a 
Septiembre 07.
a) A no tiene inversa en ningún caso.
b) A5 es la matriz nula.
 1 k k 2  t 


1
c) B   0 1
k 
0 0
1 

Junio 08.
Opción A. a)   2
b) 1
Opción B. Para a  2 y a  3 : sistema incompatible
Para a  2 : sistema compatible indeterminado
4  8
8  2
, y
, z
Soluciones: x 
7
7
Para a  3 : sistema compatible determinado
Soluciones: x  1 , y  0 , z  1
Septiembre 08.
 9 11 
Opción A. X  

 6 7 
Matemáticas II
Pruebas de Acceso a la Universidad
Opción B.
a) Aplicar propiedades de los determinantes
b) x  13 , y  14 , z  5
Junio 09.
Opción A.
a) Para m  0 y m  1: compatible determinado
m 1
1
; y0 ; z
m
m
Para m  0 : incompatible
Para m  1: compatible indeterminado
Soluciones: x  1     ; y   ; z  
Soluciones: x 
Junio 11.
a)  ;   1
b) 2  ad  bc 
Septiembre 11.
a)  4
b)   0
1  1  2 
c) A 1  
 para   0
 0 1  
Septiembre 11.
a 0,b0 ; a 
b) 2
 1 0 0
a)  n 1 0 
 0 0 1


Opción B.
b)   0
Septiembre 09.
Opción A. a) ab  1 , c  0
b) Si k  11: rg B  3 . Si k  11: rg B  2
Opción B. a) 0
 I si n es par
b) M n  
 M si n es impar
Junio 10.
a) Para a  0 y a  1
b) rg  AB   2
T
Junio 10.
a) x  3
b) 7 y 5 libros.
Septiembre 10.
a) - Si a  0 : Sistema compatible determinado.
1
Soluciones: x  0 ; y  0 ; z 
a
- Si a  0 : Sistema incompatible
b) No.
Junio 12.
a) A  a 3  3a  2
 Para a  1 y a  2 : compatible determinado
 Para a  1: compatible indeterminado
 Para a  2 : incompatible
1
1
1
b) x   , y  , z 
2
2
2
Junio 12.
a) M es inversible porque M  0
25
0

M 1   1 3 5
 1 2 5

 1 11 0 


b) A   6 3 6 
 0 1 1


B  A
1 5 

15 
1 5 
 1  18 0 


, B   10  5 9 
0
1  1

Septiembre 12.
a) B  2
b)  C1 x  0


sen x

1
C 
 cos x

 sen x  cos x  1


x
Septiembre 10.
a) α  kπ , β . Cuando β  1
b)
5
, b 1
2
cos x
sen x
sen 2 x  cos x
x

0 

sen x 

1 

x 
2
c) - Si β  0 : Sistema compatible determinado.
Soluciones: x  1 ; y  1 ; z 
- Si β  0 : Sistema incompatible
1
β2
Septiembre 12.
a)  Para m   2 : compatible determinado
 Para m  2 : incompatible
 Para m  2 : incompatible
b)
B  Bt  24
Junio 11.
1
a)    , 0
2
b)
A 
1
2
 1 1 2 


  0 2 3 
 1 0 1 


15
16