GLOBAL ÁLGEBRA Febrero 2010

MATEMÁTICAS II
GLOBAL ÁLGEBRA
Febrero 2010
1. Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican AXB=C
a. Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el
determinante de A es 3, el de B es –1 y el C es 6, calcula el determinante
de las matrices X y 2X.
(1 punto)
⎛1 1 ⎞
⎛1 − 2 ⎞
⎛0 3⎞
⎟⎟ , B = ⎜⎜
⎟⎟ y C = ⎜⎜
⎟⎟ calcula la matriz X.
b. Si A = ⎜⎜
(1,5 p)
⎝ 0 − 2⎠
⎝2 − 3⎠
⎝ 4 2⎠
⎛1 1 0 ⎞
⎜
⎟
2. a. Calcula la matriz inversa de A = ⎜ 0 1 1 ⎟ (1 punto)
⎜1 0 1 ⎟
⎝
⎠
b. Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la
matriz A−1 hallada en el apartado anterior
x+y =1 ⎫
⎪
y + z = −2⎬ (1,5 puntos)
x + z = 3 ⎪⎭
3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y + z = a − 1⎫
⎪
2x + y + az = a ⎬
x + ay + z = 1 ⎪⎭
a. Discútelo según los valores del parámetro a. (1,5 puntos)
b. Resuélvelo en el caso a = 2. (1 punto)
4. Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores de a:
x+ y+z = 0
⎫
⎪
(2,5 puntos)
(a + 1) y + 2z = y
⎬
x − 2y + (2 − a)z = 2z ⎪⎭
MATEMÁTICAS II
SOLUCIÓN
1. Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican AXB=C
a. Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el
determinante de A es 3, el de B es –1 y el C es 6, calcula el
determinante de las matrices X y 2X.
1
1
AXB = C ⇒ X = A−1 ⋅ C ⋅ B−1 ⇒ X = A−1 ⋅ C ⋅ B−1 = ⋅ 6 ⋅
= −2
3
−1
2X = 23 ⋅ X = −16
⎛1 1 ⎞
⎛1 − 2 ⎞
⎛0 3⎞
⎟⎟ , B = ⎜⎜
⎟⎟ y C = ⎜⎜
⎟⎟ calcula la matriz X.
b. Si A = ⎜⎜
⎝ 0 − 2⎠
⎝2 − 3⎠
⎝ 4 2⎠
AXB = C ⇒ X = A−1 ⋅ C ⋅ B−1 ; A = −2; B = −3 + 4 = 1
1⎞
⎛
1
⎜
⎟
−
2
1
−3 2
⎞ ⎜
1 ⎛
2
−1
⎟ ; B −1 = 1 ⎛⎜
⎜
⎟
=
A =
1⎟
− 2 ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜
1 ⎜⎝ − 2 1
⎜0 − ⎟
2⎠
⎝
1⎞
⎛
⎜1
⎟ ⎛ 0 3 ⎞⎛ − 3
2
−1
−1
⎜
⎟⎜
⎟⎜
AXB = C ⇒ X = A ⋅ C ⋅ B =
⎜
1 ⎟ ⎜⎝ 4 2 ⎟⎠⎜⎝ − 2
⎜0 − ⎟
2⎠
⎝
⎛ 2 4 ⎞⎛ − 3 2 ⎞ ⎛ − 14 8 ⎞
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟ = ⎜⎜
= ⎜⎜
2
1
−
−
2
−
1
8
5
−
⎠ ⎝
⎝
⎠⎝
⎠
⎞ ⎛− 3
⎟⎟ = ⎜⎜
⎠ ⎝− 2
2 ⎞
⎟
1 ⎟⎠
2⎞
⎟=
1 ⎟⎠
⎛1 1 0 ⎞
⎜
⎟
2. a. Calcula la matriz inversa de A = ⎜ 0 1 1 ⎟ → A = 1 + 1 = 2
⎜1 0 1 ⎟
⎝
⎠
1 1
0 1
0 1
= 1; A12 = −
= 1; A13 =
= −1;
A11 =
0 1
1 1
1 0
1 0
1 0
1 1
= −1; A22 =
= 1; A23 = −
= 1;
0 1
1 1
1 0
1 0
1 0
1 1
= 1; A32 = −
= −1; A33 =
= 1;
A31 =
1 1
0 1
0 1
A21 = −
A−1
1 1 ⎞
⎛ 1
−
⎜
⎟
⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎜ 2 2 2 ⎟
⎟ ⎜ 1 1
1⎜
1⎟
− ⎟
= ⎜ 1 1 − 1⎟ = ⎜
2⎜
2⎟
⎟ ⎜ 2 2
⎝−1 1 1 ⎠ ⎜ 1 1 1 ⎟
⎜−
⎟
⎝ 2 2 2 ⎠
MATEMÁTICAS II
b. Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la
matriz A−1 hallada en el apartado anterior
x+y =1 ⎫
⎪
y + z = −2⎬
x + z = 3 ⎪⎭
1
⎛ 1
−
⎜
⎛x⎞ ⎜ 2 2
⎜ ⎟ ⎜ 1 1
⎜y⎟ = ⎜
⎜z ⎟ ⎜ 2 2
⎝ ⎠ ⎜ 1 1
⎜−
⎝ 2 2
−1
⎛ 1 1 0 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 1 1 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎜ 0 1 1 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ − 2 ⎟ → ⎜ y ⎟ = ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ − 2 ⎟
⎜ 1 0 1 ⎟⎜ z ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝
1 ⎞
⎛1 2 3 ⎞
⎟
⎜ + +
⎟
2 ⎟⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 2 2 ⎟ ⎛ 3 ⎞
⎧x = 3
1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ 1 2 3 ⎟ ⎜ ⎟
⎪
= ⎜ − 2 ⎟ → ⎨y = −2
− ⎟⎜ − 2 ⎟ = ⎜ − −
⎟
2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ 2 2 2 ⎟ ⎜ ⎟
⎪z = 0
0
3
⎩
1 ⎟⎝ ⎠ ⎜ 1 2 3 ⎟ ⎝ ⎠
⎜− − + ⎟
⎟
2 ⎠
⎝ 2 2 2⎠
3. a. Discútelo según los valores del parámetro a
x + y + z = a − 1⎫
⎛1 1 1 a − 1 ⎞
⎛1 1 1 ⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎪
2x + y + az = a ⎬ → A = ⎜ 2 1 a ⎟; A* = ⎜ 2 1 a a ⎟
⎜1 a 1 1 ⎟
⎜1 a 1 ⎟
x + ay + z = 1 ⎪⎭
⎠
⎝
⎠
⎝
1 1 1
1 1
1
≠ 0 ⇒ r(A) ≥ 2 ; 2 1 a = − a2 + 3a − 2 → − a2 + 3a − 2 = 0 → a =
2 1
2
1 a 1
1 1 0
⎛1 1 1 0 ⎞
⎟
⎜
Para a = 1, r(A) = 2, A* = ⎜ 2 1 1 1 ⎟ → 2 1 1 = −1 ≠ 0 ; r(A*) = 3
⎜1 1 1 1 ⎟
1 1 1
⎠
⎝
El sistema es INCOMPATIBLE
1 1 1
⎛1 1 1 1 ⎞
⎟
⎜
Para a = 2, r(A) = 2, A* = ⎜ 2 1 2 2 ⎟ → 2 1 2 = 0 , r(A*) = 2
⎜1 2 1 1 ⎟
1 1 1
⎠
⎝
El sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO
Para a ≠ 1 y a ≠ 2 , r(A) = 3, r(A*) = 3 sistema COMP. DETERMINADO
b. Resuélvelo en el caso a = 2 (COMPATIBLE INDETERMINADO)
1 1
≠ 0 , por lo que nos quedamos con las
Para a = 2, r(A) = 2, r(A*) = 2 con
2 1
dos primeras ecuaciones, es decir:
⎧x = 1 − λ
⎫x + y = 1 − z ⎫
⎪
⎬
⎬ → x = 1 − z; 1 − z + y = 1 − z → SOL ⎨y = 0
2x + y + 2z = 2⎭2x + y = 2 − 2z ⎭
⎪z = λ
⎩
x+ y +z =1
MATEMÁTICAS II
4. Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores de a:
x+ y+z = 0
⎫ x+ y+z = 0 ⎫
⎛1 1 1 ⎞
⎜
⎟
⎪
⎪
(a + 1) y + 2z = y
⎬ ay + 2z = 0
⎬ → A = ⎜0 a 2 ⎟
⎜1 − 2 − a ⎟
x − 2y + (2 − a)z = 2z ⎪⎭ x − 2y − az = 0 ⎪⎭
⎝
⎠
Sistema homogéneo, luego r(A) = r(A*) siempre, estudiemos el rango de la
matriz de los coeficientes:
1 1 1
1 1
2
≠ 0 → r(A) ≥ 2 ; A = 0 a 2 = − a2 − a + 6 = 0 → a =
0 2
−3
1 −2 − a
Para a = 2 → r(A) = 2 SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
Lo resolvemos:
⎧x = 0
⎪
⎨y = λ
⎪z = −λ
⎩
Para a = −3 → r(A) = 2 SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
x + y + z = 0 ⎫x + z = − y ⎫
⎬
⎬ → z = − y; x = 0 → Solución:
2y + 2z = 0 ⎭2z = −2y ⎭
Lo resolvemos:
5
⎧
⎪x = − 2 λ
x + y + z = 0 ⎫x + z = − y ⎫
⎪
3
3
5
⎬
⎬ → z = − y; x = − y − y = − y → Solución: ⎨y = λ
− 3y + 2z = 0 ⎭2z = −3y ⎭
2
2
2
⎪
3
⎪z = − λ
2
⎩
Para a ≠ 2 y a ≠ −3 → r(A) = 3 , sistema Compatible determinado, sólo tiene
la solución trivial (0,0,0)