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XUÑO 2012
OPCIÓN A
m m m2
1 m2 m2
1. Dada a matriz A
1
1
1
a) Estuda, segundo o valos de m, o rango da matriz A.
b) Resolve, se é posible, o sistema A
x
1
y
1
z
1
para m 1
Solución
a) |A|
mm
1
2
1 0
m 0
m
m 0
0
1 1
1
Rg A
2
1 1 1
m 1
m 1
1 1 1
Rg A
1
1 1 1
1 1
m –1
1
Para m
b)
1em
m –1
0
1
0
Rg A
1 1 1
x
1
1 1 1
y
1
1 1 1
z
1
Rg A
2
3
x
x
y
z
1
x
1
y
z
z
1
t
y
t
s, t, s
s
R
OPCIÓN B
1. Dado o sistema
x
2y
3z
5
x
3y
2z
4
a) Calcula o valor de a para que ao angadir a ecuación ax y z 9, resulte un
sistema compatible indeterminado. Resoólveo, se é posible, para a 0.
b) ¿Existe algún valor de a para o cal o sistema con estas 3 ecuacións non ten
solución?
1
Solución
a) Para que o sistema sexa compatible indeterminado
1
2 3
1
3 2
a
1
0
a
0
1
Rg AM
2
1
2
5
1
5
3
5
2 3
1
3
4
1
4 12
4
3 2
0
1
9
0
9
9
1
S.C.I.
Para a 0, resolvemos o sistema:
Rg A
a
1
0
1
0
x
2y
3z
5
x
3y
2z
4
SETEMBRO 2012
OPCIÓN A
a
1. a) Calcula, segundo os valores de a o rango de A
a
1
0
0
a
a
0
a
1 a
1
Para a 1, calcula o determinante da matriz 2At A 1 .
1/2
b) Sexa B
x
y
0
1/2 0
0
0
1
|A|
0
. Calcula x e y para que se cumpra B
1
Bt
Solución
a) |A|
a2 a
1
a
0, a
1
a 0
0 0 0
A
a 0
1 0 0
rg A
2
0 1 1
a –1
A
a 0ea
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
rg A
a –1
rg A
1
3
2
1 0 0
Para a 1
A
2 1 0
|A|
2
1
0
0
2
1
0
2
1 1/2
0 2 2
1 2 0
A
t
A
0 1 2
1
0 0 2
Polo tanto:
2A
t
A
1
2
1/2
b) B
B
B
1/2
y
0
x
0
0
0 1 2
2
1
0
0 0 2
2
1 1/2
0
1
B B
1
B Bt
0
1/2
2
2
4
0
3/2
1
1 1
1
1/2 1/2
2 1
2
1
0
1/2
0
0
1
2
x
x
I
1 x2 x y
4
2
x y
y2 1
2
4
0
0
0
1/2 0
0
0
yx
B Bt
y
x
1
1 x2
4
x y
2
OPCIÓN B
1
4
|B|
1/2 0
0
2
3
0
1/2 0
0
t
1
x
y
1
1 2 0
1
x
0
1 0 0
0
0 1 0
1
0 0 1
1
2
y
y
1. a) Discute, segundo os valores de m, o sistema:
x y m
x my
13
3x 5y 16
b) Resólveo, se é posible, para m 2
Solución
a) Estudamos o rango da matriz (A/AM)
1
1
m
1
m
13
3
5
16
3
1 1
0
Rg A
2
m 2 ou m 5/3
rg AM
2
rg A
m 2em
rg AM
3
Rg A
3 5
5/3
|AM|
m
2 3m
5
nº de incógnitas
Polo tanto:
S. C. D
S. I.
b) Resolvemos o sistema para m 2 que polo apartado a) é compatible e determinado.
1 1
2
3 5 16
2
2
Resolvemos o sistema pola regra de Cramer:
1
16 5
x
|A|
2
1
6
2
2
3 16
3
y
2
5
4