Dada una razón trigonométrica, calcula las demás.

Departamento de Matemáticas
En todos los cálculos se trabajará con GRADOS SEXAGESIMALES y he redondeado a la 2ª
cifra decimal. Para hacerlo en radianes bastaría seleccionar el MODE RAD de la calculadora.
DADA UNA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA CALCULA TODAS LAS DEMAS.
Este problema puede resolverse de dos modos:
CON calculadora: la obtención del ángulo proporciona las otras dos razones
trigonométricas.
SIN calculadora: empleando las relaciones que existen entre ellas.
•
De la relación fundamental de la trigonometría sen 2α + cos 2 α = 1
se siguen otras dos:
sen 2 α + cos 2 α
1
=
si α ≠ kπ, k ∈ Ζ
2
sen α
sen 2 α
sen 2 α cos 2 α
1
1
⇔
+
=
⇔ 1 + cot g 2α =
2
2
2
sen α sen α sen α
sen 2α
sen 2 α + cos 2 α = 1 ⇔
π
cos 2 α + sen 2 α
1
=
cos α + sen α = 1 ⇔
si α ≠ k , k ∈ Ζ
2
2
2
cos α
cos α
2
2
cos α sen α
1
1
+
=
⇔ 1 + tg 2α =
2
2
2
cos α cos α cos α
cos 2 α
2
2
La calculadora sólo da un valor del arcsenα , arccos α
se cumplen las identidades:
senα = sen (180º −α )
•
y arctgα , pero tú sabes que
cos α = cos ( 360º −α ) = cos ( −α )
tgα = tg (180º +α )
Para la resolución del problema no hacen falta, si bien pueden resultar cómodas.
También te puede resultar cómoda la tabla de los signos de las razones trigonométricas según
los cuadrantes
senα
cos α
tgα
I : 0º < α < 90º
+
+
+
II : 90º < α < 180º
+
−
−
III : 180º < α < 270º
−
−
+
1
IV : 270º < α < 360º
−
+
−
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2
Problema 1: senα = , 0º < α < 90º
3
Con calculadora:
⎧cos 41,81º ≈ 0, 75
2
α = arcsen ≈ 41,81º ⇒ ⎨
3
⎩ tg41,81º ≈ 0,89
Sin calculadora:
2
2
4 5
⎛2⎞
⎛2⎞
sen α + cos α = 1 ⇒ ⎜ ⎟ + cos 2 α = 1 ⇔ cos 2 α = 1 − ⎜ ⎟ = 1 − =
9 9
⎝3⎠
⎝3⎠
2
2
5 (*)
5
+
≈ 0, 75
=
9
3
2
senα
2
2 5
⇒ tgα =
= 3 =
=
≈ 0,89
cos α
5
5
5
3
(*) Se ha tomado la RAÍZ POSITIVA en el coseno porque α pertenece al primer cuadrante.
⇒ cos α = ±
1
Problema 2: senα = , 90º < α < 180º
4
Con calculadora:
⎧cos165,52º ≈ −0,97
1
arcsen ≈ 14, 48º ⇒ α = 180º −14, 48º = 165,52º ⇒ ⎨
4
⎩ tg165,52º ≈ −0, 26
Sin calculadora:
2
2
1 15
⎛1⎞
⎛1⎞
sen 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ ⎜ ⎟ + cos 2 α = 1 ⇔ cos 2 α = 1 − ⎜ ⎟ = 1 − =
16 16
⎝4⎠
⎝4⎠
15 (*)
15
−
≈ −0,97
=
16
4
1
senα
1
15
⇒ tgα =
= 4 =−
=−
≈ −0, 26
cos α
15
15
15
−
4
(*) Se ha tomado la RAÍZ NEGATIVA en el coseno porque α pertenece al segundo
cuadrante.
⇒ cos α = ±
2
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4
Problema 3: senα = − , 180º < α < 270º
5
Con calculadora:
⎧cos 233,13º ≈ −0, 60
−4
arcsen
≈ ⇒ α = 180º − ( −53,13º ) = 233,13º ⇒ ⎨
5
⎩ tg233,13º ≈ 1,33
Sin calculadora:
2
2
16 9
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
=
sen 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ ⎜ − ⎟ + cos 2 α = 1 ⇔ cos 2 α = 1 − ⎜ − ⎟ = 1 −
25 25
⎝ 5⎠
⎝ 5⎠
9 (*) 3
− = −0, 60
25 = 5
4
−
senα
4
⇒ tgα =
= 5 = ≈ 1,33
cos α − 3 3
5
(*) Se ha tomado la RAÍZ NEGATIVA en el coseno porque α pertenece al tercer cuadrante.
⇒ cos α = ±
2
Problema 4: senα = − , 270º < α < 360º
5
Con calculadora:
⎧cos 336, 42º ≈ 0,92
−2
arcsen
≈ −23,58º = −23,58º +360º = 336, 42º ⇒ ⎨
5
⎩ tg336, 42º ≈ −0, 44
Sin calculadora:
2
2
4 21
⎛ 2⎞
⎛ 2⎞
=
sen 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ ⎜ − ⎟ + cos 2 α = 1 ⇔ cos 2 α = 1 − ⎜ − ⎟ = 1 −
25 25
⎝ 5⎠
⎝ 5⎠
21
21
=
≈ 0,92
25
5
2
− (*)
senα
2
2 21
tgα =
= 5 =−
=−
≈ −0, 44
cos α
21
21
21
5
(*) Se ha tomado la RAÍZ NEGATIVA en el coseno porque α pertenece al tercer cuadrante.
⇒ cos α = ±
3
Departamento de Matemáticas
3
Problema 5: cos α = , 0º < α < 90º
7
Con calculadora:
⎧sen64, 62º ≈ 0,90
3
α = arccos ≈ 64, 62º ⇒ ⎨
7
⎩ tg64, 62º ≈ 2,11
Sin calculadora:
2
2
9 40
⎛3⎞
⎛3⎞
cos 2 α + sen 2α = 1 ⇒ ⎜ ⎟ + sen 2α = 1 ⇔ sen 2 α = 1 − ⎜ ⎟ = 1 −
=
49 49
⎝7⎠
⎝7⎠
40 (*)
40
+
≈ 0,90
=
49
7
⇒ senα = ±
40
senα
40
⇒ tgα =
= 7 =
≈ 2,11
3
cos α
3
7
(*) Se ha tomado la RAÍZ POSITIVA en el seno porque α pertenece al primer cuadrante.
2
Problema 6: cos α = − , 90º < α < 180º
5
Con calculadora:
⎧sen113,58º ≈ 0,92
2
α = arccos − ≈ 113,58º ⇒ ⎨
5
⎩ tg113,58º ≈ −2, 29
Sin calculadora:
2
2
4 21
⎛ 2⎞
⎛ 2⎞
cos α + sen α = 1 ⇒ ⎜ − ⎟ + sen 2α = 1 ⇔ sen 2α = 1 − ⎜ − ⎟ = 1 −
=
25 25
⎝ 5⎠
⎝ 5⎠
2
⇒ senα = ±
2
21 (*)
21
+
≈ 0,92
=
25
5
21
senα
21
⇒ tgα =
= 5 =−
≈ −2, 29
2
cos α −
2
5
(*) Se ha tomado la RAÍZ POSITIVA en el seno porque α pertenece al segundo cuadrante.
4
Departamento de Matemáticas
1
Problema 7: cos α = − , 180º < α < 270º
3
Con calculadora:
⎧sen250,53º ≈ −0,94
⎛ 1⎞
arccos ⎜ − ⎟ ≈ 109, 47º ⇒ α = 360 − 109, 47º = 250,53º ⎨
⎝ 3⎠
⎩ tg250,53º ≈ 2,83
Sin calculadora:
2
2
1 8
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
cos 2 α + sen 2 α = 1 ⇒ ⎜ − ⎟ + sen 2 α = 1 ⇔ sen 2α = 1 − ⎜ − ⎟ = 1 − =
9 9
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
8 (*)
8
−
≈ −0,94
=
9
3
⇒ senα = ±
8
senα
⇒ tgα =
= 3 = 8 ≈ 2,83
1
cos α
−
3
(*) Se ha tomado la RAÍZ NEGATIVA en el seno porque α pertenece al tercer cuadrante.
−
4
Problema 8: cos α = , 270º < α < 360º
5
Con calculadora:
⎧sen323,13º ≈ −0, 60
4
arccos ≈ 36,87º ⇒ α = 360 − 36,87º = 323,13º ⎨
5
⎩ tg323,13º ≈ −0, 75
Sin calculadora:
2
2
16 9
⎛4⎞
⎛4⎞
=
cos α + sen α = 1 ⇒ ⎜ ⎟ + sen 2α = 1 ⇔ sen 2α = 1 − ⎜ ⎟ = 1 −
25 25
⎝5⎠
⎝5⎠
2
2
2
9 (*) 3
− = −0, 60
25 = 5
3
−
senα
3
⇒ tgα =
= 5 = − = −0, 75
4
cos α
4
5
(*) Se ha tomado la RAÍZ NEGATIVA en el seno porque α pertenece al cuarto cuadrante.
⇒ senα = ±
5
Departamento de Matemáticas
Problema 9: tgα = 2, 0º < α < 90º
Con calculadora:
⎧sen63, 43º ≈ 0,89
α = arc tg2 ≈ 63, 43º ⇒ ⎨
⎩cos 63, 43º ≈ 0, 45
Sin calculadora:
cos α + sen 2 α = 1⎫
⎪ cos 2 α + sen 2α = 1⎫⎪
2
2
2
⎬⇔
⎬ ⇒ cos α + ( 2 ⋅ cos α ) = 1 ⇒ 5 ⋅ cos α = 1
senα
=2
⎪ senα = 2 ⋅ cos α ⎪⎭
cos α
⎭
2
⇒ cos 2 α =
1
1 (*) 1
5
⇒ cos α = ± = +
=
≈ 0.45
5
5
5
5
5 2 5
=
≈ 0,89
5
5
(*) Se ha tomado la RAÍZ POSITIVA en el coseno porque α pertenece al primer cuadrante.
⇒ senα = 2 ⋅
Problema 10: tgα = −3, 90º < α < 180º
Con calculadora:
⎧sen108, 43º ≈ 0,95
arc tg ( −3) ≈ −71,57º ⇒ α = 180º + ( −71,57º ) = 108, 43º ⇒ ⎨
⎩cos108, 43º ≈ −0,32
Sin calculadora:
cos 2 α + sen 2 α = 1⎫
⎪ cos 2 α + sen 2α = 1⎫⎪
2
2
2
⎬⇔
⎬ ⇒ cos α + ( −3 ⋅ cos α ) = 1 ⇒ 10 ⋅ cos α = 1
senα
= −3
⎪ senα = −3 ⋅ cos α ⎪⎭
cos α
⎭
⇒ cos 2 α =
1
1 (*)
1
10
⇒ cos α = ±
−
=−
≈ −0,32
=
10
10
10
10
− 10 3 10
=
≈ 0,95
10
10
(*) Se ha tomado la RAÍZ NEGATIVA en el coseno porque α pertenece al segundo
cuadrante.
⇒ senα = −3 ⋅
6
Departamento de Matemáticas
1
Problema 11: tgα = , 180º < α < 270º
2
Con calculadora:
⎧sen206,57º ≈ −0, 45
1
arc tg ≈ 26,57º ⇒ α = 180º +26,57º = 206,57º ⇒ ⎨
2
⎩cos 206,57º ≈ −0,89
Sin calculadora:
cos α + sen 2α = 1⎫ cos 2 α + sen 2α = 1⎫
2
5
⎪
⎪
⎛1
⎞
2
2
⎬⇔
⎬ ⇒ cos α + ⎜ ⋅ cos α ⎟ = 1 ⇒ ⋅ cos α = 1
senα 1
1
2
4
⎝
⎠
=
⎪ senα = ⋅ cos α ⎪
cos α 2
⎭
2
⎭
2
⇒ cos 2 α =
4
4 (*) 2
2 5
⇒ cos α = ± = −
=−
≈ −0,89
5
5
5
5
1 −2 5 − 5
⇒ senα = ⋅
=
≈ −0, 45
2
5
5
(*) Se ha tomado la RAÍZ NEGATIVA en el coseno porque α pertenece al tercer cuadrante.
5
Problema 12: tgα = − , 270º < α < 360º
3
Con calculadora:
⎧sen300,96º ≈ −0,86
⎛ −5 ⎞
arc tg ⎜ ⎟ ≈ −59, 04º ⇒ α = 360 + ( −59, 04º ) = 300,96º ⇒ ⎨
⎝ 3 ⎠
⎩cos 300,96º ≈ 0,51
Sin calculadora:
cos α + sen 2α = 1⎫ cos 2 α + sen 2 α = 1⎫
2
34
⎪
⎪
⎛ −5
⎞
2
2
⎬⇔
⎬ ⇒ cos α + ⎜ ⋅ cos α ⎟ = 1 ⇒ ⋅ cos α = 1
−5
senα −5
3
9
⎝
⎠
=
⋅ cos α ⎪
⎪ senα =
cos α 3
3
⎭
⎭
2
⇒ cos 2 α =
9
9 (*) 3
3 34
⇒ cos α = ±
=
≈ 0,51
=
34
34
34
34
−5 3 34 −5 34
⋅
=
≈ −0,86
3 34
34
(*) Se ha tomado la RAÍZ POSITIVA en el coseno porque α pertenece al cuarto cuadrante.
⇒ senα =
7