Sesión 3. La Elipse Definición: Una elipse es el lugar geométrico de

Sesión 3. La Elipse
Definición: Una elipse es el lugar geométrico de los puntos en un mismo plano tales que la suma de
sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (llamada k).
Partes de una Elipse
(L2) Eje normal
A1
V1
LR
F1
Lado Recto
LR
F2
C
V2
(L1) Eje focal
A2
Partes de una elipse
C: Centro de la elipse
F1 y F2: Focos 1 y 2
V1 y V2: Vértice 1 y 2
L1: Eje focal
L2: Eje Normal
LR: Lado Recto
Longitudes de una Elipse
(L2) Eje normal
A1
LR
V1
LR
F2
C
F1
b
V2
(L1) Eje focal
b
A2
c
a
c
a
Para determinar la constante k mencionada en la definición nos basamos en la misma definición y
situamos un punto P sobre el vértice V y utilizando la suma de la distancia entre el vértice V y los
dos focos encontramos la contante k.
A1(0,b)
dpf´
V’(-a,0)
dpf
P(a,0)
F(c,0)
F’(-c,0)
A2(0,-b)
݀௣௙ + ݀௣௙´ = ݇
ඥሺܽ − ܿሻଶ + ሺ0 − 0ሻଶ + ඥሺܽ + ܿሻଶ + ሺ0 − 0ሻଶ = ݇
ඥሺܽ − ܿሻଶ + ඥሺܽ + ܿሻଶ = ݇
ሺܽ − ܿሻ + ሺܽ + ܿሻ = ݇
ܽ−ܿ+ܽ+ܿ =݇
2ܽ = ݇
݇ = 2ܽ
Por lo tanto en la definición de la elipse la constante k equivale a 2a que nos será útil para demostrar
la formula de la elipse con centro en el origen y cuyo eje focal se encuentra sobre el eje x.
A continuación veamos qué relación tiene las longitudes a, b y c en la elipse; para ello aplicamos la
definición de elipse situando ahora el punto P sobre el punto A1 y utilizando el valor de k=2a.
P(0,b)
dpf´
dpf
V’(-a,0)
V(a,0)
F(c,0)
F’(-c,0)
A2(0,-b)
݀௣௙´ + ݀௣௙ = 2ܽ
ඥሺ0 + ܿሻଶ + ሺܾ − 0ሻଶ + ඥሺ0 − ܿሻଶ + ሺܾ − 0ሻଶ = 2ܽ
ඥܿ ଶ + ܾ ଶ + ඥܿ ଶ + ܾ ଶ = 2ܽ
2ඥܿ ଶ + ܾ ଶ = 2ܽ
ඥܿ ଶ + ܾ ଶ = ܽ
ଶ
ቀඥܿ ଶ + ܾ ଶ ቁ = ܽଶ
ܿ ଶ + ܾ ଶ = ܽଶ
Esto nos indica que el cuadrado de la longitud del semieje mayor es igual al cuadrado de la
distancia del centro a uno de los focos más el cuadrado de la longitud del semieje menor.
Si despejamos b2 tenemos que,
ܾ ଶ = ܽଶ − ܿ ଶ
Ya que sabemos cuál es la relación entre los valores de a, b y c estamos listos para demostrar la
ecuación de la elipse con centro en el origen y cuyo eje focal se encuentra a lo largo del eje de las x.
‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ଶ
+ ଶ=1
ܽଶ
ܾ
Para demostrar la ecuación estándar de la elipse, ahora situaremos un punto P en cualquier parte a lo
largo de la elipse con coordenadas P(x,y) y utilizando la definición de la elipse se tiene que:
A1(0,b)
dpf´
P(x,y)
dpf
V’(-a,0)
V(a,0)
F(c,0)
F’(-c,0)
A2(0,-b)
݀௣௙´ + ݀௣௙ = 2ܽ
ඥሺ‫ ݔ‬+ ܿሻଶ + ሺ‫ ݕ‬− 0ሻଶ + ඥሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ሺ‫ ݕ‬− 0ሻଶ = 2ܽ
ඥሺ‫ ݔ‬+ ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ + ඥሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ = 2ܽ
Despejando la segunda raíz cuadrada al lado derecho de la ecuación se tiene que
ඥሺ‫ ݔ‬+ ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ = 2ܽ − ඥሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminar las raíces tenemos
ଶ
ቀඥሺ‫ ݔ‬+ ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ ቁ = ቀ2ܽ − ඥሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ ቁ
ଶ
Cancelando la raíz con el cuadrado del lado izquierdo y elevando el binomio al cuadrado del lado
derecho tenemos que
ሺ‫ ݔ‬+ ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ = 4ܽଶ − 2ሺ2ܽሻඥሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ + ቀඥሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ ቁ
ଶ
‫ ݔ‬ଶ + 2ܿ‫ ݔ‬+ ܿ ଶ + ‫ ݕ‬ଶ = 4ܽଶ − 4ܽඥሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ + ሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ
‫ ݔ‬ଶ + 2ܿ‫ ݔ‬+ ܿ ଶ + ‫ ݕ‬ଶ = 4ܽଶ − 4ܽඥሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ + ‫ ݔ‬ଶ − 2ܿ‫ ݔ‬+ ܿ ଶ + ‫ ݕ‬ଶ
Simplificando la ecuación anterior tenemos que
2ܿ‫ = ݔ‬4ܽଶ − 4ܽඥሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ − 2ܿ‫ݔ‬
0 = 4ܽଶ − 4ܽඥሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ − 4ܿ‫ݔ‬
Dividiendo toda la ecuación anterior entre 4 y despejando el término de la raíz tenemos que
ܽଶ − ܽඥሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ − ܿ‫ = ݔ‬0
ܽଶ − ܿ‫ܽ = ݔ‬ඥሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminar la raíz del lado derecho
tenemos
ሺܽଶ − ܿ‫ݔ‬ሻଶ = ቀܽඥሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ ቁ
ଶ
ܽସ − 2ܽଶ ܿ‫ ݔ‬+ ܿ ଶ ‫ ݔ‬ଶ = ܽଶ ሾሺ‫ ݔ‬− ܿሻଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሿ
Simplificando el lado derecho y eliminando términos semejantes del lado izquierdo tenemos
ܽସ − 2ܽଶ ܿ‫ ݔ‬+ ܿ ଶ ‫ ݔ‬ଶ = ܽଶ ሺ‫ ݔ‬ଶ − 2ܿ‫ ݔ‬+ ܿ ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ
ܽସ − 2ܽଶ ܿ‫ ݔ‬+ ܿ ଶ ‫ ݔ‬ଶ = ܽଶ ‫ ݔ‬ଶ − 2ܽଶ ܿ‫ ݔ‬+ ܽଶ ܿ ଶ + ܽଶ ‫ ݕ‬ଶ
Eliminando el término -2a2cx tenemos que
ܽସ + ܿ ଶ ‫ ݔ‬ଶ = ܽଶ ‫ ݔ‬ଶ + ܽଶ ܿ ଶ + ܽଶ ‫ ݕ‬ଶ
Despejar los términos que tengan x y y del lado derecho y los que no del lado izquierdo
ܽସ −ܽଶ ܿ ଶ = ܽଶ ‫ ݔ‬ଶ − ܿ ଶ ‫ ݔ‬ଶ + ܽଶ ‫ ݕ‬ଶ
Sacando factor común del lado derecho y del lado izquierdo tenemos que
ܽଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ = ‫ ݔ‬ଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ + ܽଶ ‫ ݕ‬ଶ
Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre a2(a2-c2)
ܽଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ ‫ ݔ‬ଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ
ܽଶ ‫ ݕ‬ଶ
=
+
ܽଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ ܽଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ ܽଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ
Simplificando tenemos que
1=
‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+
ܽଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ
De la relación entre a, b y c calculado anteriormente sustituir el valor de b2=a2-c2 para obtener
finamente la ecuación de la elipse en su forma estándar con eje focal a lo largo del eje x.
1=
‫ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ଶ
+
ܽଶ ܾ ଶ
‫ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ଶ
+
=1
ܽଶ ܾ ଶ