Tema3 y complementos añadidos

Tema 3
Trigonometría elemental plana.
1. Introducción
La palabra Trigonometría deriva de las raíces griegas gonios (ángulo) y metron
(medida). El prefijo tri se refiere a que las figuras planas geométricas más simples, y
además las más utilizadas tanto en los desarrollos teóricos como en muchas
aplicaciones, sólo poseen tres ángulos: son los triángulos. En esta lección únicamente se
estudiarán triángulos trazados en el plano y con lados rectilíneos. Por tanto, estamos
hablando de Trigonometría plana.
Fue el matemático Leonhard Euler (1707-1783), quien consideró la Trigonometría plana
como una rama independiente de las Matemáticas, desligándola de la Astronomía de
posición, que utiliza la Trigonometría esférica para efectuar cálculos sobre las
posiciones de los astros en el firmamento. En estricta lógica histórica, la Trigonometría
esférica –las conocidas coordenadas geográficas latitud y longitud, que tan habituales
son hoy día en las localizaciones mediante GPS, en sus diversas variantes- es anterior a
la Trigonometría plana.
2. Ángulos planos y su medida
Para comenzar, daremos una definición de ángulo plano, y también indicaremos cómo
medirlo. Cuando una semirrecta, sin salir del plano en que está trazada, gira o pivota
alrededor de su origen, al que llamaremos vértice del ángulo, se dice que genera,
describe o barre un ángulo, cuya magnitud indica cuánto ha girado la semirrecta. La
dirección de la semirrecta antes de iniciar su giro define el lado inicial del ángulo, y la
que alcanza al terminarlo, su lado final. Si la semirrecta gira en sentido contrario al de
las agujas del reloj, el ángulo descrito se considera positivo y si gira en el sentido de las
agujas del reloj, negativo (ver la figura adjunta).
La definición anterior de ángulo es bastante clara para ángulos “pequeños” y positivos,
sin embargo no es operativa en lo relativo a la magnitud, pues no dice cómo hacer
corresponder al barrido geométrico un número, su medida. Por ejemplo, el movimiento
podría concluir con la posición final de la semirrecta igual a la inicial, con lo que se
tendría que una vuelta completa podría interpretarse como un ángulo con medida nula.
41
Como en el presente tema se trabajará con ángulos tanto positivos como negativos y de
magnitud arbitraria, se precisa afinar algo más en las definiciones.
Supongamos que el vértice de un ángulo ocupa el centro de una circunferencia, y
quedémonos sólo con los tramos o segmentos de semirrecta que representan radios de la
circunferencia. Podemos llamar ángulo central a esta construcción geométrica. Ahora
ya se puede asignar una medida al ángulo central: Es la longitud del arco que une los
extremos de los radios que lo definen. Hay dos cuestiones importantes planteadas por
esta definición:



En primer lugar, usando varias circunferencias concéntricas, la medida del
ángulo resultaría diferente al medirla sobre cada circunferencia. Sin embargo, la
longitud del arco es proporcional al radio, pues la longitud total de la
circunferencia es 2  r , así que tomaremos como medida del ángulo la razón o
cociente entre la longitud obtenida y el radio de la circunferencia sobre la que se
midió. Así, la medida del ángulo no dependerá del radio de la circunferencia
usada en su medición. Éste es un ejemplo de “cantidad adimensional”.
Segundo. Si el lado final del ángulo coincidiera con el lado inicial tras una
vuelta completa, ya podemos dar a la vuelta completa una medida distinta de
cero: Sería la longitud total de la circunferencia, y al dividirla por el radio,
2 r
 2 .
resultará igual a la cantidad adimensional
r
Los ángulos cuya medida, según el método anterior, está entre 0 y
ángulos agudos, y si entre

2

2

2
, se llaman
y  , ángulos obtusos. Los ángulos con medidas
y  , respectivamente, son los ángulos rectos y llanos.
La medición de cualquier magnitud necesita una unidad adecuada. Para medir
longitudes pueden emplearse metros, yardas, etc, y para medir ángulos se usan
habitualmente como unidades el grado y el radián.
42
2.1. Sistema sexagesimal
Este método consiste en suponer dividida la circunferencia en 360 partes iguales, los
grados, usados para medir ángulos centrales. El grado se subdivide, a su vez, en 60
minutos, y el minuto en 60 segundos. Es habitual encontrar estas medidas en la
coordenadas geográficas de los GPS, en expresiones tales como 28 06 '27 '' ( 28 grados,
6 minutos, 27 segundos)
2.2. Sistema circular
Este sistema –el más utilizado en las Matemáticas teóricas- toma como unidad el arco
cuya longitud sea igual al radio de la circunferencia a la que pertenece. Tal arco se
llama radián. Con estas unidades, el ángulo que abarca una circunferencia completa
mide 360 ó 2  radianes, como ya se indicó un poco más arriba, aunque sin usar la
palabra “radián”. Así pues, los ángulos agudos miden menos de

2
radianes, o bien,
menos de 900 , y así sucesivamente.
2.3. Cambios entre ambos sistemas y uso de los mismos
Aunque las calculadoras científicas ofrecen la posibilidad de trabajar con los dos
sistemas de medida, es conveniente explicitar el cambio de radianes a grados y
viceversa. Así, tendremos:
2 radianes  360o
   180 
1radián  360
2
o
360o  2 radianes
1o  2 radianes   radianes
360
180
o
Ejemplo: Operaciones con ángulos en el sistema sexagesimal. Sólo hay que tener en
cuenta que al operar con minutos o segundos, a veces será necesario tener en cuenta si
las cantidades son mayores que 60:
Dados los ángulos   53o 20 '31'' y   41o 35' 44'' , calcular:
a.   
53o
 41o
 94o
20' 31''
35' 44''
55' 75''  94o
53o
 41o
52o
20' 31'' es igual á
35' 44''restando ahora: 41o
queda
11o
56' 15''
b.   
c. 3    3  (53o 15'31'')  159o 45 ' 93 ''  159o 46 ' 33 ''
43
79' 91''
35' 44''
44' 47''
Ejemplo: Expresar en radianes los siguientes ángulos: 330º, 1º, 22º 30’
Grados:
330º

1º

22º 30'

Radianes: 330    5 76 1   8 73  103
180
180
225    0 3927
180
Ejemplo: Expresar en grados los siguientes ángulos:
Radianes:
7
6

20
9

4

1


180 7 180  7
180 20


 210o

 40o 22918o 18 24o
6
6
9


Ejemplo: Usar fracciones decimales de grados y pasarlas minutos y segundos.
Grados :
Se tiene que:
32,5o  32 grados y (0,5  60) minutos  32o 30 '
Y también que:
42,51o  42 grados y (0,51 60) minutos 
42 grados y 30, 6 minutos 
42 grados y 30 minutos y (0, 6  60) segundos 
42o 30 '36 ''
3. Dos propiedades fundamentales
La primera es que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo plano es 1800 .
La demostración se basa en las propiedades de los ángulos determinados por una recta
que corta a otras dos rectas paralelas, según se ve en la figura. No insistimos aquí en los
detalles, invitando al lector a observar detenidamente el dibujo.
La segunda se refiere a que en un triángulo rectángulo (esto es, uno de cuyos
44
ángulos mide 900 ó

radianes ), el cuadrado construido sobre la hipotenusa (el
2
mayor de los lados) tiene la misma área que la suma de los cuadrados construidos
sobre los otros dos lados (los catetos).
El resultado segundo se conoce como Teorema de Pitágoras. Una demostración
gráfica viene dada en la figura siguiente, donde h 2 , etc, son las representaciones
simbólicas de las áreas de los cuadrados. Esta demostración es de origen chino, y se
conocen más de trescientas demostraciones diferentes del Teorema
4. Razones trigonométricas y sus nombres
En la práctica basta con estudiar únicamente la medida de ángulos agudos, como se verá
más adelante en los ejercicios. Construyamos un ángulo central agudo y mediante un
sistema de rectas paralelas perpendiculares al lado inicial formemos varios triángulos
rectángulos semejantes, como se ve en la figura de la página siguiente (se llama
triángulos semejantes a los que tienen exactamente los mismos ángulos) que permiten
establecer las siguientes cadenas de igualdades, definidoras de las razones
trigonométricas cuyos nombres figuran entre paréntesis:
PM
OM

OP
OM

PM
OP

OP
PM

OM
OP

OM
PM

P M 
OM 
OP
OM 
P M 
OP
OP
P M 
OM 
OP
OM 
P M 
  
cateto opuesto
hipotenusa

sen (seno)
  
cateto adyacente
hipotenusa

cos  (coseno)
  
cateto opuesto
cateto adyacente

tg (tangente)
  
cateto adyacente
cateto opuesto

cot  (cotangente)
  
hipotenusa
cateto adyacente

sec  (secante)
  
hipotenusa
cateto opuesto
45
 cosec (cosecante)
M’’’
M’’
M’
M

O
P
P’
P’’
P’’’
Se verifica que: Las razones obtenidas dependen sólo del ángulo , y no del triángulo
rectángulo concreto usado para su cálculo. Los nombres de las razones son los
siguientes:
Seno de un ángulo agudo, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa
del triángulo rectángulo formado con dicho ángulo.
Coseno, la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Tangente, la razón entre los catetos opuesto y adyacente del triángulo rectángulo
definido por dicho ángulo.
Cotangente, el recíproco de la tangente. O sea,
1
.
tangente
Secante, el recíproco del coseno.
Cosecante, el recíproco del seno.
5. Fórmula fundamental de la Trigonometría plana
“La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un mismo ángulo es igual a la
unidad”.
c
b

a
En efecto, sea  un ángulo agudo cualquiera y formemos un triángulo rectángulo tal
como se ve en la figura anterior. Aplicando las definiciones de seno y coseno de un
46
ángulo, se tiene que:
sen  b
c
cos   a
c
Elevando al cuadrado ambas igualdades y sumando, quedará:
2
2
2
2
2
sen 2  cos 2   b2  a2  b 2 a  c 2  1
c
c
c
c
2
2
sen   cos   1
Puede verse que es un caso particular del teorema de Pitágoras.
6. Funciones trigonométricas
6.1. Definiciones
Como a cada valor  del ángulo le corresponde otro para cada una de las razones
indicadas, éstas resultan ser funciones del ángulo , conocidas como funciones
trigonométricas o goniométricas.
Según la definición de las razones trigonométricas como cocientes de longitudes, parece
que siempre deberían ser números positivos. Sin embargo, en la práctica es conveniente
que, para indicar las posiciones relativas de puntos y figuras planas, se utilicen también
valores negativos para las razones. Dibujando unos ejes de coordenadas y adjudicando
un signo a los segmentos trazados sobre ellos a partir del origen, queda dividido el
plano en cuatro cuadrantes, habitualmente llamados I, II, III, y IV:
II: sen +, cos +
seno
(vertical)
I: sen +, cos +
coseno
(horizontal)
III: sen -, cos -
IV: sen -, cos +
En la figura se han representado dos ángulos de diferentes cuadrantes con los signos de
sus senos y cosenos, de los que se deducen los de las demás razones trigonométricas.
También es conveniente saber reconocer el aspecto de las funciones trigonométricas,
esto es, cómo varían con el ángulo. Se obtienen las gráficas que se muestran.
47
6.2. Representación gráfica de las funciones trigonométricas
sen x , en grados (izq) y radianes (der)
-300
-200
1
1
0.5
0.5
0
-100
100
200
x
300
-6
-4
0
-2
-0.5
-0.5
-1
-1
2
x
4
6
cos x , representado en grados (izq) y radianes (der)
-300
-200
-100
1
1
0.5
0.5
0
100
200
x
-6
300
-4
-2
0
-0.5
-0.5
-1
-1
2
x
4
6
tg x  a veces, tan x  representada en grados (izq) y radianes (der)
-300
-200
-100
30
30
20
20
10
10
0
100
200
x
-6
300
-4
-2
0
-10
-10
-20
-20
-30
-30
48
2
x
4
6
4. Aplicaciones: resolver triángulos rectángulos
En general, resolver un triángulo es calcular los elementos del mismo (lados y ángulos)
cuando se tienen datos suficientes para ello. Notemos que son seis los elementos de un
triángulo, y que no es necesario darlos todos para determinar el triángulo. Los casos
extremos son: Dados los tres lados, los demás elementos quedan determinados1,
mientras que si se dan sólo los tres ángulos2, es imposible determinar los lados.
Un triángulo rectángulo queda por completo determinado por dos de sus elementos,
siempre que no sean dos ángulos, y para calcular los restantes elementos, será necesario
conocer las relaciones que ligan cada elemento desconocido con los datos disponibles.

a
b


c
En lo sucesivo representaremos por  ,  ,  las medidas de los ángulos de un triángulo, y
por a, b, c, las medidas de los lados respectivamente opuestos a los ángulos.
1. Por ser complementarios los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, tenemos la
siguiente relación entre los ángulos:
    90o
2. El teorema de Pitágoras nos dará b 2  c 2  a 2 .
3. Como consecuencia inmediata de las definiciones trigonométricas, tenemos:
Para el cateto b:
sen  b o bien b  a  sen
a
cos   b o bien b  a  cos 
a
Para el cateto c:
sen  c esto es c  a  sen
a
cos   c esto es c  a  cos 
a
1
Siempre que satisfagan la condición de que cualquier lado sea menor que la suma de los otros dos y
mayor que la diferencia.
2
Han de sumar 180 grados, claro está.
49
Operando un poco más, un cateto resulta ser igual al producto del otro cateto por la
tangente de ángulo opuesto al primero (o por la cotangente del ángulo adyacente).
Para el cateto b:
tan   b de donde b  c  tan 
c
cot   b de donde b  c  cot 
c
Para el cateto c:
tan   c luego c  b  tan 
b
cot   c luego c  b  cot 
b
Con las fórmulas halladas se puede resolver un triángulo rectángulo cualquiera, puesto
que cada fórmula relaciona a lo sumo tres elementos (dos datos y una incógnita).
Pueden presentarse cuatro casos posibles:
1.- Datos: la hipotenusa y un ángulo.
Ángulos
  90
 conocido
  90  
Lados
a conocido
b  a  sen
c  a  cos 
2.- Datos: un cateto y un ángulo que no sea el recto.
Angulos
Lados
a b

sen
 conocido b conocido
  90   c  a  cos 
Angulos
Lados
a c

sen
 conocido b  a  sen
  90   c conocido
3.- Datos: la hipotenusa y un cateto.
Angulos
Lados
a conocido

  90  
b  a  cos 
  sen  c , esto es,   arcsen c
a
a
4.- Datos: los dos catetos.
50
c conocido
Angulos
Lados

a  b2  c2
  tan   b    arctan b b conocido
c
c
  90  
c conocido
Ejemplos
1.- Resolver el triángulo rectángulo en el que un ángulo mide 60º y el cateto adyacente a
este ángulo mide 4.
60º
a
b=4
90º

c
Solución: Basta ver la figura para poder escribir lo que sigue.
cateto b
cos 60o 
hipotenusa a
4
0.5 
a
a 8
cateto c
sen 60o 
hipotenusa a
b
0.866 
8
b  6.928
y evidentemente, =30º
También se podría haber hecho uso del teorema de Pitágoras o bien de la relación,
cateto opuesto
, para obtener la misma solución.
tg 60o 
cateto adyacente
51
2.- Resolver el triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 9 y un cateto mide 4.

a=9
b=4
90º

c
92  4 2  c 2
Por el teorema de Pitágoras: c 2  81  16
c  65  8.062
Por otro lado
b
a
4
sen  
9
  arcsen 0.44  26.38º
  90    90  26.38  63.62º
sen  
52
Complementos al Tema 3
1. Ejercicios propuestos (el lector deberá redactar las soluciones)
1. Una escalera de bomberos mide 20 metros, y su base se coloca a 10 metros de la
pared ¿A qué altura quedará apoyada en la pared?
X 2  102  202
20
X 2  300
X  300  17.32m
10
2. Se quieren colocar dos postes verticales, uno de 3 metros, y otro de 5 metros, para
soportar una rampa con 30º de inclinación ¿A qué distancia x hay que colocar un poste
del otro?
30
x
30
sen 30º  0.5 
2
h
2
0.5
h4
h
cos 30º 
x
4
x
 x  3.464
4
O bien directamente con la tangente
2
tg 30º 
x
2
0.5773 
x
2
x
 3.464
0.5773
0.866 
53
2
3. Dos personas A y B están en el mismo lado de la calle, ésta tiene 12 metros de ancha,
y en la acera opuesta hay otra persona C. A ve a C bajo un ángulo de 30 grados, y B ve
a C bajo un ángulo de 40 grados. ¿A qué distancia están A y B?
C
1
4
3
A
0
0º
x
1
x
x
B
2
tg 30º 
cat op 12
12
12
  0.5773   x1 
 20.783
cat ady x1
0.5773
x1
tg 40º 
cat op 12
12
12
  0.839   x2 
 14.302
cat ady x2
0.839
x2
x  x1  x2  20.783  14.302  35.085 metros
4. Una rampa de 10 metros forma un ángulo de 6º con el suelo ¿A qué altura del suelo
está el otro extremo de la rampa?
10
6º
x
cateto opuesto
hipotenusa
x
0.1045 
10
x  10  0.1045  1.045
sen 6º 
4.- Desde lo alto de un faro de 15 metros de altura situado en una playa, se observa un
barco con un ángulo de 2º (es decir, hay que bajar la mirada 2º) ¿A que distancia de la
base del faro está el barco?
54
2º
15
2º
x
tg 2º 
x
cateto opuesto
15

 0.0349,
cateto adyacente x
15
 429.79 metros (algo menos de medio kilómetro)
0.0349
6. Un cable de 8 metros bien tenso sujeta al suelo un poste de 5 metros ¿Qué ángulo
forma el cable con el poste?
8
5
α
cateto opuesto 5
  0, 625
hipotenusa
8
  arc sen 0, 625  38, 68º
sen  
7. Una persona cuyos ojos se encuentran a 1,8 metros de altura, se coloca a 12 metros de
la base de un árbol, y ve un pájaro en todo lo alto de la copa del árbol con un ángulo de
40 grados, ¿Cuál es la altura del árbol?
tg 40º 
cateto opuesto
x
x

 0.839 
cateto adyacente 12
12
x
40º
x  10.068 metros
Altura árbol  1.8  10.068  11.868 metros
1.8
12
8. ¿Cuántos metros de valla se necesitan para vallar un terreno con forma de triángulo
rectángulo, cuya hipotenusa mide 50 metros, y además uno de los ángulos mide 5 veces
lo que el otro?
55
50
α
5·α
a
b
  5  6  90o dan   15º
a
a

 0.2588 dará a  12.
hipotenusa 50
b
b
cos 15o 

 0.9659, luego b  4
hipotenusa 50
Perímetro  50  12.94  48.29  111.23 metros
sen 15o 
9. Una duna tiene la forma representada en la figura ¿cuánto mide la base de la duna?
17,7m
25m
45º
x1
30º
x2
x
cateto adyacente
x
 1  0.7071
hipotenusa
17.7
x1  0.7071 17.7  12.51 metros
cos 45º 
x
cateto adyacente
 2  0.866
hipotenusa
17.7
x2  0.866  25  21.65 metros
cos 30º 
x  x1  x2  12.51  21.65  34.16 metros
10. Para subir a una colina hay que caminar 500 metros (recto hacia arriba). En la cima,
para mirar a la base hay que bajar la mirada 30 grados ¿Qué altura tiene la colina?
cateto opuesto
x

 0.5
hipotenusa
500
x  250 metros
30º
sen 30º 
500
x
30º
11. Un triángulo isósceles es aquél que tiene dos lados iguales.
a) Calcular la longitud de los lados iguales de un triángulo isósceles sabiendo que
el otro lado mide 24 cms y su ángulo opuesto mide 40º.
b) ¿Qué área tiene el triángulo del apartado anterior?
56
Nota: Area = (base · altura) / 2
a ) sen 20º 
40º
a
a
a  35.08 cm
20º
a
cateto opuesto 12

hipotenusa
a
b) cos 20º 
a
x
cateto adyacente
x

 0.9396
hipotenusa
35.08
x  32.96 cm
12. Se dispone de una plancha de 20 metros de larga
para construir
una rampa hasta una
base×altura
24  32.96
Área 

 395.52 cm 2
2
2
pared de 2 metros de alta ¿Cuántos grados de inclinación tendrá la rampa?
24
12
20
2
α
cateto opuesto 2

 0.1
hipotenusa
20
  arc sen 0.1  5.73º
sen  
2. Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
En las aplicaciones de las Matemáticas es muy corriente encontrarse con la necesidad de
calcular las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos. Las dos fórmulas
fundamentales, que aquí se presentan sin demostración, son las siguientes:
sen (   )  sen cos   cos  sen
cos (   )  cos cos   sen sen
Es muy común el caso en que    , lo que corresponde al cálculo de las razones del
ángulo doble de uno dado:
sen (   )  sen 2  sen cos   cos  sen  2sen cos 
cos (   )  cos 2  cos cos   sen sen  cos 2  sen 2
Combinando las fórmulas anteriores se pueden obtener expresiones muy interesantes.
Como ejemplo, presentaremos el cálculo para obtener la tangente del ángulo doble en
función de la tangente del ángulo original:
57
tan 2 
sen2
2sen cos 

cos 2 cos 2 sen 2
Observaremos ahora que 2sen cos  (cos sen ) 2 -1 y nos quedará:
(cos sen ) 2 -1
tan 2 
cos 2 sen 2
Dividamos numerador y denominador por cos 2 , para obtener:
2
1
 cos sen 

(cos sen ) 2 -1 
cos 
cos 2

tan 2 


2
2
2
2
cos  sen 
cos  sen 

cos 2 cos 2
Sustituyamos ahora el 1 que aparece en el numerador por sen 2  cos 2 :
sen 2  cos 2

1 tan  2
2
1 tan 2  (1 tan  ) 2
cos
tan 2 


2
2
1 tan 
1 tan 

2 tan 
2 tan 

1 tan 2 1-tan 2
De modo análogo se pueden calcular las otras razones y, como se ha visto en el proceso
recién terminado, es posible expresarlas usando sólo una de ellas. Como aplicación
curiosa, usando las fórmulas del ángulo doble se pueden hallar también las razones del
ángulo mitad. Bastará con escribir:
sen   2sen
cos   cos 2

2

cos

2
 sen 2

2
2
En realidad basta con usar sólo la segunda fórmula combinada con la fórmula
fundamental de la Trigonometría para obtener las razones del ángulo mitad:
58
cos   cos 2
1  cos 2


2
 sen 2
 sen 2


2
2
2
Sumando ambas expresiones se tiene:
1+ cos   2 cos 2
2
, de donde se despeja inmediatamente:
1  cos 
.
2
2
Análogamente, restando las expresiones originales:
cos


1  cos 
.
2
2
Como ejercicio, comprobar la validez de las expresiones obtenidas utilizando los
valores dados en las tablas del apéndice (p. ej. para ángulos de 30 y 60 grados, 90 y 45,
etc).
sen



3. Razones trigonométricas y ángulos complementarios
Dado un ángulo agudo cualquiera, su complementario es la diferencia entre él y un
ángulo recto. Es fácil ver, y se invita al lector a comprobarlo con el correspondiente
gráfico, que el seno del ángulo complementario es igual al coseno del ángulo original, y
también que su coseno es el seno del ángulo dado. Estas relaciones se utilizan con
mucha frecuencia en Física y en Análisis Matemático. En fórmulas, escritas en radianes:

sen (   )  cos 
2

cos (   )  sen
2
A veces, se utiliza también el ángulo suplementario que es la diferencia entre un ángulo
de 180 grados y el ángulo agudo dado. En este caso hay que considerar que las razones
trigonométricas cambian de signo según en qué cuadrante esté ubicado el ángulo de que
se trate. Para el caso de un ángulo agudo, su suplementario está en el cuadrante II, y las
razones básicas son ahora (de nuevo escritas en radianes):
sen (   )  sen
cos (   )   cos 
Como ejercicio, comprobar la validez de las expresiones obtenidas utilizando los
valores dados en las tablas del apéndice (p. ej. para ángulos de 30 y 60 grados, 45 y 135,
etc).
59
Apéndice: Razones trigonométricas de algunos ángulos comunes
sen(0º )  sen(0) 
0
0
2
cos(0º )  cos(0) 
4
1
2
sen(0) 0
 0
cos(0) 1
1
sen(30)
3
tan(30º ) 
 2 
cos(30)
3
3
2
sen(45)
tan(45º ) 
1
cos(45)
tan(0º ) 
1 1
 
sen(30º )  sen   

6 2 2
3
 
cos(30º )  cos   
6 2
2
 
sen(45º )  sen   
4
2
 
2
 
cos(45º )  cos   
4
2
 
3
 
sen(60º )  sen   
3
2
 
1 1
 
cos(60º )  cos   

3
2
2
 
tan(60º )  3
4
 
sen(90º )  sen   
1
2 2
0
 
cos(90º )  cos   
0
2 2
tan(90º )  Indefinida
 2
sen(120º )  
 3
 2
cos(120º )  cos 
 3
  1 1

tan(120º )   3

2
2

3


 2
 3
sen(135º )  sen 
 4
2


 2
 3
cos(135º )  cos 
 4
2


2

tan(135º )  1
 5
sen(150º )  sen 
 6
1 1

 5
cos(150º )  cos 


 2 2
 6
3


2

tan(150º )  
0
0
2
sen(180º )  sen( ) 
cos(180º )  cos( ) 
 4
 1
2
3
3
tan(180º )  0
Cuadrantes III y IV
 7   1 1
sen(210º )  sen 


2
2
 6 
3
 7 
cos(210º )  cos 

2
 6 
tan(210º ) 
 5
sen(225º )  sen 
 4
2


2

 5
cos(225º )  cos 
 4
2


2

tan(225º )  1
 4
sen(240º )  sen 
 3
3


2

 4
cos(240º )  cos 
 3
  1 1

tan(240º )  3

2
2

 3
sen(270º )  sen 
 2
  4
 1

2

 3
cos(270º )  cos 
 2
0

0

2

tan(270º )  Indefinida
 5
sen(300º )  sen 
 3
3


2

 5
cos(300º )  cos 
 3
1 1



 2 2
tan(300º )   3
2
 7 
sen(315º )  sen 

2
 4 
 11
sen(330º )  sen 
 6
2
 7 
cos(315º )  cos 

 4  2
  1 1
 11

cos(330º )  cos 

2
2

 6
sen(360º )  sen  2   
0
0
2
3


 2
cos(360º )  cos  2  
60
4
1
2
3
3
tan(315º )  1
tan(330º )  
tan(360º )  0
3
3