Problemas 6-8 - Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

Ejercicios: Electromagnetismo
(curso propedéutico para la admisión a la maestrı́a)
Olivier Sarbach
Instituto de Fı́sica y Matemáticas
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
4 de mayo de 2015
Problema 6 (coordenadas polares)
Sean (r, ϑ, ϕ) ∈ [0, ∞) × [0, π) × [0, 2π) las coordenadas polares definidas por
x = r(sen ϑ cos ϕ, sen ϑ sen ϕ, cos ϑ).
(a) Demuestre que el operador ∇ tiene la siguiente representación en coordenadas polares
∇ = er
∂
1 ∂
1 1 ∂
+ eϑ
+ eϕ
,
∂r
r ∂ϑ
r sen ϑ ∂ϕ
donde los vectores er , eϑ y eϕ son dados por
x
er =
= (sen ϑ cos ϕ, sen ϑ sen ϕ, cos ϑ),
|x|
∂
e = (cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sen ϕ, − sen ϑ),
eϑ =
∂ϑ r
1 ∂
e = (− sen ϕ, cos ϕ, 0).
eϕ =
sen ϑ ∂ϕ r
(b) Verifique que er , eϑ y eϕ forman una base ortonormal en cada punto x del
espacio R3 .
(c) Sea X un campo vectorial sobre R3 . Definimos sus componentes polares
a través de la expansión
X = Xr er + Xϑ eϑ + Xϕ eϕ ,
donde Xr = er · X, Xϑ = eϑ · X y Xϕ = eϕ · X.
Calcule ∇ · X y ∇ ∧ X en coordenadas polares.
(d) Usando los resultados anteriores, demuestre que el Laplaciano ∆ = ∇ · ∇
en coordenadas polares toma la siguiente forma
1 ∂2
1
1 ∂
∂
1
∂2
∆=
r
+
sen
ϑ
+
.
r ∂r2
r2 sen ϑ ∂ϑ
∂ϑ sen2 ϑ ∂ϕ2
1
Problema 7 (condensador esférico)
Considere dos superficies conductores esféricas concéntricas de radio R1 y
R2 , respectivamente, donde R2 > R1 > 0.
(a) Dos pilas eléctricas mantienen la diferencia de potencial V1 y V2 (con
respecto al infinito) sobre los dos conductores. Calcule el potencial eléctrico
Φ y el campo eléctrico E en las tres regiones R1 < r < R2 , 0 ≤ r < R1 y
r > R2 .
(b) Calcule la carga total inducida sobre cada uno de los dos conductores.
(c) Ahora desconectamos la primera pila y cargamos el primer conductor en
R1 con una carga q. Calcule otra vez el potencial Φ en las tres regiones y
la carga inducida sobre el conductor en R2 .
Problema 8 (esfera conductora en un campo eléctrico uniforme)
Introducimos una esfera conductora de radio R > 0 en un campo eléctrico
uniforme E = E0 (0, 0, 1).
(a) ¿Cómo se modifica el campo eléctrico cualitativamente?
(b) Calcule el potencial Φ y el campo eléctrico usando el ansatz
Φ(x) = −f (r)r cos ϑ,
donde (r, ϑ, ϕ) son las coordenadas polares del punto x y donde suponemos
que el centro de la esfera se encuentra en el origen.
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