3 3 FACTORIZACIÓN y ECUACIONES POLINÓMICAS Casos más

MATEMÁTICAS BÁSICAS
J
2
4(2 )
7{{3XS))
+ 2
+ 2
+ 2
2 {3XS) 2 (3XS) 2 {3XS) +
2
2(2 S)
16
60
+
lOS
60
=
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
191 60
'ectangular de 32Sm de largo por 180m de ancho,
ros para ponerle alambrado. ¿Cuántas estacas hay
48
24
12
6
go como a lo
2
2
2
2
3 3
1
3 2
Luego 72
=2
Luego 48
= 24 3
3
Así que el m.c.m. de 72 y 48 es 2 4 3 2 = 144 .
Como la rueda mayor tiene 72 dientes, para "recorrer" 144 dientes debe dar 144 = 2
72
•
vueltas (y la pequeña 144 = 3 vueltas) .
48
Como la rueda mayor da 10 vueltas por minuto, entonces para dar 1 vuelta gastará
. de ellos.
I
10
de
minuto, y para dar 2 vueltas empleará 2 minutos; esto es, 2 (60) = 12 segundos.
10
10
Por lo tanto, cada 12 segundos coinciden los dientes de las dos ruedas con la posición
original.
FACTORIZACIÓN y ECUACIONES POLINÓMICAS
Casos más comunes de factorización
1. ax + ay = a{x + y) -
2. X2 - / =(x -yXx+y) (Ver figura 1)
3.
4. x 2 - 2xy
X2 +2xy+/ ={X+y)2 S. x 2 +{a+b)x+ab={x+ ; (x+ )
7. x 3 +3x 2 y+ 3xy 2 +y3 ={x+y?
9. x 3 - y3 = (x - yXx 2 + xy + / )
y2 = {x
- y)2
(Ver figura 2)
6. acx 2 +(ad + bc) x + bd = (ax + bXcx + d)
8.
1
x3_ 3x 2y+3x/_y3 ={x-y?
2
10. x 3 +y3 =(x+yXx - xy+/)
27
MATEMÁTICAS BÁSICAS
p(x)
k
.... . , . .
............ . .. . . , , , , , ,
..........
".
••••
..
..
•'
I
......
l'
,
..
.. ....
l'
..
......
..
"
•• ••
..
"
..
"
..
"
..
,
..
..
..
l'
,
....
..
:;:::lCx-y)(x+y)I:;:. - ....................
:::~
,
.... .. " . ..................
....
. .. . . " ...... . .. .
xy
x
x
Como k = p( r), entonces si p( r) = O, se tendrá
.... . ..............
. .... . . ....
.......... ..........
... . ..............
. .... . -
...... .. .............. ........
-1
..
........
..
.. .... . . ......
. . . . . . .
........
.... ..................
........ ......
......
. . "
...... . ......
..........
2
Ejemplo: Comprobar que
polinomio p(x) en la fo
Y
x
x
FIGURA 1
Solución:
FIGURA 2 p(-2)=(-2)3
p(K) .
Por el teorema del
cual es el cociente de la
Polinomios y Teorema del factor
Sea
p( x) = a o + a ¡x + ... + a nX n
a o' a ¡ , ..., a n E R (a n
:;é
!
un
polinomio
de
grado
n con coeficientes
O).
Sea rER. Si p(r)=O, es decir, si a o +a¡r+ ... +anr n =0, r se dice una raíz real de
.
,
p(x) .
Es claro que si x - r es un factor de p(x), es decir, p(x) factoriza en la fonna
Luego q(x)=x2-x+1
p(x)=(x - r)q(x) para cierto polinomio q(x), entonces r es una raíz de p(x). El recíproco
de la anterior afinnación también es cierto:
Otra forma de obtener
Teorema del factor: Sea p(x) lm polinomio de grado n, n ~ 1 . Si r es una raíz de p(x),
entonces x - r es un factor de p(x), es decir, p(x) se puede factorizar en la fonna:
A continuación se mu
x - r:
Sea p( x) = ax 3 + bx 2 +
p(x)= (x - r )q(x)
p(x
siendo q(x) un polinomio de grado n-l.
En efecto or el algoritmo de la división existe un polinomio q(x), de grado n - 1 , Y una
constante k tales que
p(x) = (x - r)q(x) +~
Luego q(x) = ax 2 + (
donde q(x) es el cociente y k el residuo de la división de p(x) por x - r :
28
J
MATEMÁTICAS BÁSICAS p(x)
~
k
q(x)
xy
x
Como k=p(r), entonces si p(r) = O, se tendrá p(x)=(x-r)q(x) .
2
Ejemplo: Comprobar que r = -2 ' es raíz de p(x)=x 3 +x 2 -x+2
polinomio p(x) en la fonna p(x)= (x + 2)q(x).
Y
v
factorizar el
Solución: p(-2)=(-2)3 +(_2)2 - (- 2)+2=-8+4+2+2=0. Luego r=-2 es raíz de
p(K) .
Por el teorema del factor p(x) = (x - (- 2))q(x) para cierto polinomio q(x) de grado 2, el
cual es el cociente de la división de p(x) por x - (- 2) = x + 2 :
Ix+ 2
x 3 + x J -x+ 2
- x 3 _ 2x J
entes
xJ
2
- X
+1
-x -x+2
x:l + 2x
x+2
-x-2
O
roco
Otra fonna de obtener el cociente q(x) es empleando división sintética.
A continuación se muestra el método a seguir cuando p(x) es de grado tres y se divide por
(x),
x -r:
Sea p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d. Como p(x) = (x - r )q(x) + p(r), entonces
p(x)-p(r)=ax 3 +bx 2 + cx + d-(ar 3 + br 2 + cr + d)
=a(x 3 -r3}+b(x 2 -r 2}+ c(x-r)
= (x-r)[a(x 2 +xr + r 2}+ b(x + r) + c]
,"
a
=(x-r)[ax 2 + (ar + b)x + ar 2 + br + c]
Luego q(x) = ax 2 +"(ar + b)x + ar 2 + br + c, y esto se puede indicar como sigue:
v...
29
MATEMÁTICAS BÁSICAS
OEfTq:ECA "~F' GOM
BlDLlOI
e
2
ar + br
b
a
ar
ar 2+ br + e
ar+b
a
Coeficiente de x de q(x)
Coeficiente de x2 de q(x)
d
+ br 2 + cr
(x+a}+(-a)=
x+[a+(-a)] =
x+O=
~
x=
Como ya se dijo, el número b + (- a) se denc
ar 3+ br2+ cr + d
I
T
1
ar 3
-
T
Residuo
T énnino independiente de q(x)
(Lo que está suman
• Consideremos la ec
dada, se "despeja"
Para el ejemplo anterior:
-1 1(-2)
1+1(-2) =-1
Este esquema de división
2
1(-2)+ 1(_2)2
-1(-2)+1(-2) + 1(-2)
2
2
3
3
2-1(-2)+ 1(-2) + 1(-2) = O
-1+1(-2)+1(-2)= 1
sint~tica
lL
2
se puede,presentar en forma resumida como sigue:
-2
-1
2
-1
1
2
Así que
(Lo que está mu
-2
o
• Consideremos I
a :t:. O. Para "de
/'
En este esquema de división sintética, los coeficientes del polinomio cociente q(x) se leen
en la última fila y de izquierda a derecha (1 -1 1); O es el residuo de la división.
Ecuaciones polinómicas
• Consideremos la ecuación x + a = b con a, b E R. La incógnita x, en la écuación dada,
se "despeja" como sigue:
30
Se sigue que si b
~IOAO NACIONAL. DE COLOMBIA
m,
~
MATEMÁTICAS BÁSICAS
SEllE MEDELLIOI'I"r"'CAS
DE 81
;t~:ECA
..
r.
GOMEl.
(x +a)+(-a)= b+(-a)
x + [a + (- a)] = b + (- a)
e
2
ar + br
2
x+O=b+(-a)
d
x=b+(-a)
ar 3 + br2 + cr ar + br + e
q(')
¡
Como ya se dijo, el número b + (- a) se denota b - a , así que
x+a=b<::>x=b-á
énnino independiente de q(x)
(Lo que está sumando en un miembro de una ecuación, pasa al otro miembro a restar)
• Consideremos la ecuación ax = b con a, b
dada, se "despeja" como sigue:
.
E
R ya*- O" La incógnita x, en la ecuación
I
I
-(ax)= -b
a
a
b
Ix =­
a
b
x=­
a
Así que
b
ax = b <::> x =­
\
a
(Lo que está multiplicando en un miembro de una ecuación y es no nulo, pasa al otro
miembro a dividir)
• Consideremos la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = O donde a, b, c E R y
a *- O" Para "despejar" la incógnita x, en esta' ecuación, podemos proceder como sigue:
n
ax 2 + bx + c = O <::> x 2 + b x + c = O
a
a
2
<::>x + b x+ ( b)2 = (b)2
2a
2a
a
2
b)2 b -4ac
<::> ( x+
=
2a
4a 2
Se sigue que si b 2 - 4ac 2 O, entonces
31
c
a