∑ ∑ ∑ ∑

Segunda Prueba Parcial
766 –1/2
Lapso 2015-2
Universidad Nacional Abierta
Análisis II (Cód. 766)
Vicerrectorado Académico
Código Carrera: 126-508
Área de Matemática
Fecha: 20-02-2016
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos del 5 al 7
OBJ 5 PTA 1
El teorema fundamental del álgebra establece que cualquier polinomio P(z) que no sea constante y con
coeficientes complejos debe tener al menos una raíz compleja. Demuestre esta afirmación.
Solución:
Usaremos el método de demostración por reducción al absurdo. Suponemos que existe un polinomio
P(z) que tiene coeficientes complejos y no es constante que no tiene una raíz ni real ni compleja.
Observe que si yo tomo un polinomio constante, que no es el polinomio nulo, entonces no tiene raíz
alguna. Al no ser constante el polinomio debe tener grado mayor o igual a 1, luego se escribe como
1
el estudiante
P( z )  a0  a1 z    an z n con n mayor o igual que 1. Tomemos la función G ( z ) 
P( z )
UNA debe observar que esta función es entera, indique el porqué. Pero como el grado del polinomio es
1
mayor que 1 se tiene también que lim z 
 0 . El estudiante UNA debe suplir los detalles de este
P( z )
paso. Si una función se va a cero en el infinito, entonces por definición de límite se debe tener que
1
1
dado 1 existe un R>0 tal que si z  R 
continua, entonces en el disco
 1 . Al ser G ( z ) 
P( z )
P( z )
1
 M . El estudiante UNA explicará y completará cualquier detalle que requiera
P( z )
1
este argumento. Luego, G ( z ) 
es acotada y entera , luego es una constante k por el teorema de
P( z )
Liouville, y por ser no nulo el numerador la constante k es distinta de 0. Pero
1
1
G( z ) 
 k  P( z )  lo que es absurdo ya P era un polinomio no constante.
P( z )
k
OBJ 6 PTA 2
Calcule, demostrando primero la convergencia de la serie, el valor de la suma
compacto z  R,
∞
∑(−1)𝑛
𝑛=1
1
.
2𝑛 𝑛!
Solución:

Aplique el criterio del cociente por ejemplo a la serie

n 1

luego por convergencia absoluta
 (1)
n
indicado. Observamos que e
1
lo es. El estudiante UNA debe hacer el cálculo
2 n!
n
n 1
1
2
1
para deducir que esta es convergente y
2 n!
n
1


1
1
 1   (1) n   (1) n n  e 2  1.
2 n! n1
2 n!
n 1
n
Especialista: José Gascón
Evaluadora: Florymar Robles
Área de Matemática
Segunda Prueba Parcial
766 –2/2
Lapso 2015-2
OBJ 7 PTA 3
Halle, usando el teorema de los residuos, el valor de
∞
∫
0
1
𝑑𝑥.
1 + 𝑥4
Solución:
El estudiante UNA debe determinar los polos de esta función y calcular cuales están en el semiplano
superior. Luego aplicará el teorema de los residuos para obtener

2 2
.
FIN DEL MODELO.
Especialista: José Gascón
Evaluadora: Florymar Robles
Área de Matemática