Teorema fundamental del álgebra

Teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente:
Todo polinomio de
grado n,
con
coeficientes complejos,
tiene
exactamente n raíces, no forzosamente distintas, es decir contadas con su
orden de multiplicidad.
Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo):
x3 − 2x2 − 4x + 8 = (x − 2)2(x + 2)
tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres
raíces.
En otras palabras, todo polinomio:
se puede factorizar completamente, así:
,
con los zi complejos, y
.
Los números complejos fueron inventados justamente para encontrar
raíces de polinomios reales: i es por construcción una raíz de x2 + 1.
Lo extraordinario del teorema es que no hace falta inventar un número
para cada polinomio real que se quiera factorizar, porque con todas las
combinaciones lineales entre i y 1 (es decir con los a + bi) se puede
factorizar todos los polinomios reales, y también complejos. Esa propiedad
significa que el cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado: no se
puede salir de él buscando raíces de polinomios, que es la operación
algebraica por excelencia.
Se tardaron dos siglos para completar la prueba de este teorema, del
diecisiete al diecinueve. Figuras destacadas en esta labor fueron
d'Alembert y Gauss, este último encontró distintas pruebas. En algunos países
el teorema lleva el nombre de teorema de d'Alembert – Gauss (o en el orden
inverso, o con un solo apellido). Hoy en día la prueba más elegante está basada
en la inducción, y su primer paso es demostrar que un polinomio no constante
(es decir de grado superior o igual a uno) debe tener una raíz, gracias
al teorema de Liouville aplicado a la función inversa del polinomio, que es
una función holomórfica, es decir derivable en el sentido complejo. Luego se
factoriza la función P(x) por x − r, donde r es la raíz que acabamos de
encontrar, y se repite la operación con el cociente:
que es un polinomio de grado menor al de P(x). Existen pruebas
puramente algebraicas, que no emplean herramientas tan elaboradas (y
posteriores al teorema).
Autor: M.Romero Schmidtke