PROBLEMAS DE ÁLGEBRA – NIVEL INTERMEDIO

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA – NIVEL INTERMEDIO
Problema 6, fase local 1999
Se sabe que el polinomio p(x)=x3−x+k tiene tres raíces que son números enteros.
Determínese el número k.
Problema 1, fase nacional 2000
Sean los polinomios
P(x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + 1;
Q( x ) = x 4 + cx 3 + bx 2 + ax + 1.
Halla las condiciones que deben cumplir los parámetros reales a, b y c (a distinto de c)
para que P(x) y Q(x) tengan dos raíces comunes, y resuelve en ese caso las ecuaciones
P(x)=0 y Q(x)=0.
Problema 1, fase nacional 2001
Probar que la gráfica del polinomio P(x) es simétrica respecto del punto A de
coordenadas (a,b) si y sólo si existe un polinomio Q(x) tal que
(
)
P(x ) = b + (x − a )Q ( x − a ) .
2
Problema 1, fase local 2002
Si p es un número real y las raíces de x3+2px2−px+10=0 están en progresión aritmética,
halla dichas raíces.
Problema 1, fase nacional 2002
Hallar todos los polinomios P(t) de una variable, que cumplen
(
)
P x 2 − y 2 = P( x + y )P( x − y )
para todos los números reales x e y.
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Problema 3, fase local 2005 (viernes)
Sean x, y, z números reales positivos.
1) Si x + y + z ≥ 3 , ¿se verifica necesariamente que
1 1 1
+ + ≤ 3?
x y z
2) Si x + y + z ≤ 3 , ¿se verifica necesariamente que
1 1 1
+ + ≥ 3?
x y z
Problema 6, fase local 2007 (viernes)
Hallar todas las soluciones reales de la ecuación
3x
2
− x− y
+ 3y
2
− y− z
+ 3z
2
−z−x
= 1.
Problema 5, fase nacional 2007
Sea a≠1 un número real positivo y n un entero mayor que 1. Demostrar que
a n + a −n − 2
n <
.
a + a −1 − 2
2
Problema 4, fase local 2008 (grupo 2º)
¿Qué número es mayor: 999! o 500999? Justifica tu respuesta.
Problema 6, fase local 2008 (grupo 3º)
Halla todas las ternas (x,y,z) de números reales que son solución de la ecuación
(
)
(
)
(
)
(
)
3x 5 y + 7 z + 5 y 7 z + 3x + 7 z 3x + 5 y = 2 3x + 5 y + 7 z .
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