ALGEBRA SUPERIOR

ALGEBRA SUPERIOR
CAPÍTULO 1
D i
Desigualdades
ld d
M.I. ISIDRO I. LÁZARO
CASTILLO
Aplicación

Un estudiante debe mantener un promedio
fi l en cinco
final
i
exámenes
á
entre
t 80 y 90% para
tener una nota final de B y mantener una
beca universitaria
universitaria. Si en los primeros cuatro
exámenes obtuvo 96, 70, 81 y 95 ¿Qué
calificación deberá obtener en el éxamen
final para obtener una nota de B?
Para que sirven ?

Una de las principales utilidades de las
d i
desigualdades
ld d
es
su
aplicación
li
ió
a
los problemas de decisión: se trata
de programar una situación con el objetivo
dedecidirse por una alternativa que
sea óptima.
p
En g
general,, el p
proceso
de
optimizar
consiste
en
lograr
un resultado máximo o mínimo según
convenga al problema planteado.
Introducción a la teoría de
Conjuntos


La primera formulación de la teoría de conjuntos
aparece con los trabajos de George Cantor
Cantor.
La teoría de conjuntos trajo claridad y precisión en la
exposición
p
de muchas teorías y áreas de la
matemática, como la teoría de las probabilidades, la
topología, etc.
Conjuntos


1.
2.
Es una colección bien definida de objetos de
un mismo
i
ti
tipo. A llos conjuntos
j t se lles d
denota
t
con letras mayúsculas A, B, …
E i t 2 fformas para escribir
Existen
ibi llos conjuntos:
j t
Forma tabular
F
t b l od
de extensión.
t
ió
Constructiva o por compresión

Para escribir un conjunto usando la forma
t b l se lilistan
tabular,
t ttodos
d sus elementos
l
t
separados por comas y encerrados entre
llaves {{….}.
}
Forma Tabular

Se escribe el conjunto listado todos sus
elementos.
l
t
Ejemplo.- El conjunto de los primeros cinco
números
ú
naturales
t l se puede
d escribir
ibi como:
A={1,2,3,4,5}
Forma constructiva

Para escribir un conjunto por compresión o
método
ét d constructivo
t ti se elige
li un elemento
l
t
arbitrario x y se señala que cumple la
propiedad P,
P de la forma siguiente
siguiente.
A   x p

Esto se lee.lee “A
A es el conjunto de todos los
elementos x tales que cumplen la propiedad
P.
P”
Ejemplos
Ejemplo.- El conjunto de los primeros cinco números
enteros se puede escribir como
como.A={ es uno de los primeros cinco enteros positivos}={x  N x  6 }
Ejemplo - Escribir el siguiente conjunto en su forma de
Ejemplo.
compresión o abstracción.
A={ -2,2 }
Solución.- Obsérvese que se puede asociar esto a una raíz
cuadrada.
A={ x x  4 }
2
Cardinalidad
Hay conjuntos que tienen un número finito de
elementos; estos se llaman conjuntos finitos en caso
contrario se le llama conjunto infinito.
El número de elementos de un conjunto finita es lo que
se llama la cardinalidad de dicho conjunto. La
cardinalidad de un conjunto finito A se denota por
Card(A).
Otros conjuntos
Conjunto vacío.- El conjunto vacío es aquel que
carece de elementos y se denota por { }}.
Conjunto unitario.
unitario - Un conjunto A es un conjunto
unitario si tiene solo un elemento.
Conjunto universal.- En cualquier aplicación de la
teoría de conjuntos, los elementos de todos los
conjuntos pertenecen usualmente a un gran
conjunto fijo llamado conjunto universal y se denota
por U.
Subconjuntos


Subconjuntos.- Si cada elemento A es también
elemento de un conjunto B,
B entonces se dice que A
es un subconjunto de B. Se dice también que A está
contenido en B o que B contiene a A. La relación de
subconjunto viene dado por.-
AB ó B

A
Ejemplo.- Sean los conjuntos y establecer algunas
relaciones de subconjuntos entre ellos
ellos.
A={1,2,3}
B={2
B
{2,3,1}
3 1}
C={1,2,3,4,5,6}
D={ es entero positivo}
Solución.- Escribiendo D en forma tabular
D={1,2,3,4,…}
Así A=B A  B A  C B  C C D
Números naturales,
naturales enteros
enteros,
racionales, irracionales y reales

-
El conjunto de los números reales esta formado por
varios conjuntos de números
números, en particular
particular, los
números reales se representan por símbolos como.2,0,-5,
, , , , , 0.125,, , , , 0.6666….
Un número racional es aquel que se puede expresar
como la razón de dos enteros de la forma a/b, donde
a y b son enteros y b 0
0.
1 4 0 3
, , ,
2 2 1 5
- Un número irracional es aquel que no se puede
expresar como la razón de dos enteros.
Diagramas de Venn

Una representación gráfica de los conjuntos
y de
d llas relaciones
l i
entre
t ellos
ll viene
i
d
dada
d por
los llamados diagramas de Venn.
Intersección de Conjuntos

La intersección de dos conjuntos A y B es el
conjunto
j t fformado
d por todos
t d los
l elementos
l
t
comunes a los dos conjuntos. La
intersección de A y B se denota por A  B,
B y
en notación de conjuntos se escribe como
A  B  {x x  A  x  B}
Unión de Conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B consta de
t d los
todos
l elementos
l
t que pertenecen
t
aAoa
B, esta se denota como A B .
A  B   x x  A  x  B
Donde.D
d  significa
i ifi o
La recta numérica orden en los
reales
La recta de los números reales los divide en tres
clases:
Reales negativos
negativos.- Situados a la izquierda del origen
origen.
Cero.- situado en el origen
Reales positivos.- situados a la derecha del origen.
Orden en los reales



Sean a y b dos números reales. Si la diferencia a-b
es positiva,
positiva entonces decimos que a > b (a mayor de
b).
De manera similar si a-b es p
positivo,, también
podemos decir que b es menor que a y lo
denotamos como b < a.
Por lo tanto a > b y b < a son proporciones
equivalentes.

Sobre la recta de los números reales, si a > b, el
punto
t con coordenada
d
d a está
tá a lla d
derecha
h d
dell
punto con coordenada b.

Si la diferencia de dos números reales es
positiva
iti o cero, es d
decir,
i sii a > b ó a = b
b,
entonces decimos que a es mayor que o
igual a b y escribimos a  b . De manera similar
similar,
ab
si
, también
podemos decir que b  a .
Definición de Desigualdad



Una desigualdad es una proposición de
acuerdo
d con lla cuall una cantidad
tid d reall es
mayor o menor que otra.
P
Proposiciones
i i
d
de lla fforma a < b o b > a son
denominadas desigualdades estrictas.
Proposiciones de la forma ab o bb a son
desigualdades no estrictas.
Clasificación de desigualdades


Desigualdad absoluta o incondicional: Esta es
verdadera para todo número real
real.
Y Desigualdades condicionales ó de inecuación:
Está es verdadera sólo p
para los números de un
subconjunto propio del conjunto de reemplazo.
x  2  x 1
x2  0
Desigualdades absolutas
3x  7
x7  5
D i
Desigualdades
ld d condicionales
di i
l
Propiedades de las desigualdades
1.- Axioma de tricotomía.- si a y b R entonces una y
sólo una de las siguientes relaciones es válida [3]
[3].
2.- Axioma de transitividad.- Si a, b y c R tal que a >
b y b < c,, entonces a > c.
3.- Axioma de adición.- Si a, b y c R tales que a > b,
entonces:
4.- Axioma de multiplicación.- Si a, b y c R tales que
a > b, entonces:
i) si c > 0 entonces ac > bc
ii) si c < 0 entonces ac < bc
Solución de desigualdades

El procedimiento para resolver desigualdades
consiste en transformar la desigualdad un paso a la
vez hasta que el conjunto solución sea obvio.
1.- Se puede sumar el mismo número a ambos miembros de una
desigualdad.
2.- Se pueden multiplicar ambos miembros de una desigualdad
por un número positivo sin alterar la desigualdad, pero si se
multiplica por un negativo entonces se debe de cambiar el
sentido de la desigualdad, tal y como se mencionó en el
axioma 3 inciso ii).
Representación de la solución
Desigualdades Lineales

Ejemplo.- Encontrar y dibujar la grafica del conjunto
solución de la siguiente desigualdad.
desigualdad
3x  8  7
S
Sumando
d 8 a ambos
b miembros
i b
d
de lla d
desigualdad
i
ld d
3x  8  8  7  8
3x  15
Multiplicando por
1
3
3 x 15

3
3
x5
Representando la solución en notación de
conjuntos.j
 x  R x  5
En forma gráfica

Ejemplo.- Resolver la siguiente desigualdad
d bl
doble.5  2 x  6  4
Sumando -6 a cada miembro de la misma
5  6  2 x  6  6  4  6
11  2 x  2
Multiplicando por 12

11
 x  1
2
Desigualdades que incluyen la
variable en el denominador

Ejemplo.- Encuentre el conjunto solución de
l d
la
desigualdad.
i
ld d
5
2
x
En este caso debemos multiplicar ambos miembros de la
desigualdad por x, para ello debemos considerar dos casos, ya
que el sentido de la desigualdad dependerá de que x sea
positiva o negativa, por lo que al ser la incógnita deberá
resolverse primero pensando en que x sea positiva y
posteriormente en otro caso, obtener la solución cuando x es
negativa

Caso 1.- Si x es positiva, es decir,
5
2
x
Multiplicando por x
5  2x
Multiplicando por 12
5
x
2
o
x
5
2
x 0.



De esta forma una posible solución a esta
desigualdad se encuentre realizando la intersección
siguiente:
Solución del Caso 1 = {{Condición del caso 1}}
{Solución parcial del caso 1}
Aplicando esto en notación de conjuntos.
 x  0   x 

5 
  0  x 
2 
5

2

Caso 2.- Si x es negativa, es decir, x  0 .
Multiplicando a ambos miembros de la desigualdad por
x e invirtiendo el sentido de la misma.
5
2
x
5  2x
Multiplicando por
1
2
5
x
2
o
x
5
2

El conjunto solución de la desigualdad para el caso
2 es
es. x  0   x 


5
  
2
El conjunto solución de la desigualdad dada es la
unión de los conjuntos solución de los casos 1 y 2,
el cual es:
5
5


0  x      x 0  x  
2
2


Valor absoluto

El valor absoluto de un número x se define
como
 x
x 
 x
Propiedades
i)  x  x  x
ii)  x  x x  y  y  x
iii) x  y  x   y
x
x
x

y

x

y

y0
i )
iv)
y
y
v) x  y  x  y desigualdad del
si
x es
si
x es negativo
g
triangulo
positivo
Desigualdades que involucran
valor absoluto

Las desigualdades que incluyen la notación
d valor
de
l absoluto
b l t ttambién
bié pueden
d escribirse
ibi
en forma equivalente sin utilizar tal notación.
Desigualades del tipo 1.1 A partir de la definición de
valor absoluto.
ax  b  c
si c  0
Tiene el mismo conjunto de solución que
  ax  b   c
para ax  b  0
ó
 ax  b   c
para ax  b  0
Desigualdades del tipo 1 se convierte en dos
desigualdades separadas
separadas, por lo que el conjunto
solución de la desigualdad original es.{Solución de la desigualdad original}={Sol. de la
primera}  {Solución de la segunda}

Desigualdad del tipo 2.- A partir de la
d fi i ió d
definición
de valor
l absoluto
b l t
ax  b  c
(c  0)
Es equivalente
 ax  b   c donde ax  b  0
Y
ax  b  c
donde ax  b  0
Si se multiplica la ec.
ec (1) por -1,
1 tenemos:
 ax  b   c
Es equivalente a
c  ax  b  c
para (c  0)
(1)
(2)


Desigualdades del tipo 2 se convierte en una
d bl P
doble.
Para obtener
bt
lla solución
l ió ttotal
t ld
debe
b
recordarse que la solución debe satisfacer
ambas desigualdades (originalmente era una
desigualdad doble), por lo que la solución
será:
{Sol. de la desigualdad doble}={Sol. de la
primera}}  {{Sol. de la segunda}
p
g
}

Ejemplo.- Encuentre el conjunto solución de
l d
la
desigualdad.
i
ld d
2x  7  9
Obsérvese que corresponde a la desigualdad de tipo 2.
La desigualdad dada es equivalente a.9  2 x  7  9
9  7  2 x  9  7
2  2 x  16
1  x  8

Ejemplo.- Encuentre el conjunto solución de la
d i
desigualdad.
ld d
3x  4  2
obsérvese que corresponde a una desigualdad del tipo 1.
De la primera
De la segunda
3x  2  4
3x  6
x
6
3
x2
3x  2  4
3x  2
2
x
3

Por lo que el conjunto solución es

x x 

2
2

   x x  2   x x 
3
3

o

x x  2

Desigualdades polinomiales

Desigualdades cuadráticas

Una desigualdad equivalente a una de la
forma, ax bx c  0 , ax  bx  c  0, ax  bx  c  0 ó ax  bx  c  0 se
llaman desigualdades cuadráticas.
2
2
2
2

Ejemplo.- Encontrar la solución de la
siguiente
i i t d
desigualdad.
i
ld d
x 2  2 x  15
El primer paso consiste en agrupar todos los
términos de la desigualdad en un solo miembro de la
misma,, ya
y sea pasar
p
todos los términos en el lado
izquierdo o en el derecho, de tal manera que la
expresión algebraica se compara con cero.
x 2  2 x  15  0

A continuación se procede a factorizar la
expresión
 x  3 x  5  0
Puede observarse que la desigualdad se satisface si
el producto de ambos factores es mayor de cero, es
decir si es positivo. Para que esto ocurra pueden
darse dos combinaciones diferentes:
Caso 1.Si x-3 > 0 y x +5 > 0
Caso 2.Si x-3 < 0 y x +5 < 0
x > 3 y x > -5
 x x  3   x x  5   x x  3
x < 3 y x < -5
 x x  3   x x  5   x x  5
Finalmente el conjunto solución de la desigualdad
original es la unión de las soluciones obtenidas en
cada caso
caso.
 x x  5   x x  3   x x  3
o
x  5
Método alternativo para
desigualdades polinomiales

Ejemplo.- Considere la siguiente
d i
desigualdad.
ld d
x2  2x  8  0
Esto se puede factorizar como
 x  2  x  4   0
Esta desigualdad se verá satisfecha si los
factores  x  2 y  x  4 son ambos positivos o
ambos
b negativos.
ti

Primero se localizan los factores de cada factor.-

Posteriormente llenamos la tabla,

Por lo tanto la solución es
 , 2    4,  
 x x  2   x x  4   x x  2
o
x  4
Desigualdad de orden superior

Ejemplo.- Resolver la siguiente desigualdad.
 x  2   x 2  3x  4   0
Solución.- Factorizando el factor cuadrático
 x  2  x  1 x  4   0

Eligiendo valores de prueba y probando cada
intervalo.
intervalo
Por lo tanto la solución es.-
 x x  4   x 1  x  2   x x  4
o 1  x  2
Solución al problema inicial

Un estudiante debe mantener un promedio
fi l en cinco
final
i
exámenes
á
entre
t 80 y 90% para
tener una nota final de B y mantener una
beca universitaria
universitaria. Si en los primeros cuatro
exámenes obtuvo 96, 70, 81 y 95 ¿Qué
calificación deberá obtener en el éxamen
final para obtener una nota de B?

Sacando el promedio de calificaciones
96  70  81  95  x
5

Aplicando las condiciones del problema
80 
96  70  81  95  x
 90
5

Resolviendo la desigualdad doble
400  342  x  450
400  342  x  450  342
58  x  108
Por lo tanto el estudiante debe sacar al menos
58 para mantener la beca
ALGEBRA SUPERIOR
CAPÍTULO 2
Nú
Números
C
Complejos
l j
M.I. ISIDRO I. LÁZARO
CASTILLO
Porque estudiar Ingeniería?
http://solutionists.ieee.org/
http://www.metacafe.com/watch/6397638/ieee_solutionists_drive_innovation/
Aplicaciones de los números
complejos

Que es un número complejo
x2 1  0
x2  1
i2  1
Diagrama de Árbol
Formas de representación

Forma Rectangular
Z
a
parte real

bi
b

parte imaginaria

Forma Polar

Forma de Euler
Z  a  bi  r cos   irsen
Z  re
j
e j  Cos  iSen
Aplicaciones
A
li
i
en los
l Sistemas
Si t
Eléctricos de Potencia
Modelo de una línea de
transmisión
Z L  R  iX L
ZL  X L
X L  L
Generadores Eléctricos
http://www.edumediasciences com/es/a576-onda-sinusoidalsciences.com/es/a576
onda sinusoidal
fasor
Modelo de generadores
V  r  cos   isen 
V r
V  Vp 
Fasor: animación
http://www edumedia sciences com/es/a576 onda sinusoidal fasor
http://www.edumedia-sciences.com/es/a576-onda-sinusoidal-fasor
Ingeniería en Computación:
Diseño de Software para análisis redes
Aplicaciones
p
en Electrónica de
potencia

Control de motores
Aplicaciones en Ingeniería
Electrónica: Diseño de Filtros
El diagrama de Bode usa una representación en polar del
voltaje de salida (módulo y ángulo)
Actividad # 1

1.
2.
3.

Responder las siguientes preguntas:
Porque quiero estudiar Ingeniería (Eléctrica,
Electrónica o en Computación)..?
Que entiendo por un número complejo?
Que relación tienen los números complejos
con la
l IIngeniería
i í ……..?
?
Realizar en una cuartilla (Entrega 27 de
septiembre de 2011)
Definición de Números Complejos

Un número de la forma a+bi, con a y b como
constantes
t t reales
l e i  1 , es llamado
ll
d número
ú
complejo
Z

a
parte real
bi

parte imaginaria
Si a es cero el número se reduce a un
número imaginario puro
puro.
Z  bi
Si b=0
b 0 se reduce
d
a un número
ú
reall
Z  a
Igualdad de dos números
complejos

Se dice que dos números complejos a+bi y
c+di
di son iguales
i
l síí y sólo
ól si.i
a=c y b=d
Operaciones entre números
complejos
Suma.- Si
Entonces
Z1  a  bi
y
Z 2  c  di
Z1  Z 2   a  bi    c  di    a  c   i  b  d 
Resta.-Para restar dos números complejos, seguimos
la regla
Z1  Z 2   a  bi    c  di    a  c   i  b  d 

Ejemplos.- Efectuar las siguientes
operaciones
i
entre
t números
ú
complejos.
l j
a)  3  5i    2  3i 
b)  6  4i   3  6i 
Solución.a) 3  5i    2  3i   3  2  i 5  3  1  8i
b)  6  4i   3  6i    6  3  i  4  6  3  2i

Multiplicación.-Para efectuar el producto de
d números
dos
ú
complejos
l j podemos
d
seguir
i llas
reglas de la multiplicación de dos binomios.
Z1  Z 2   a  bi  c  di   ac  adi  bci  bdi 2
como
i 2  1
Z1  Z 2   ac  bd   i  ad  bc 
Complejo Conjugado

Si Z  a  bi es un número complejo, entonces
su conjugado,
j
d d
denotado
t d por Z  a bi  a  bi ,
*
Z
también se utiliza el símbolo .
__
Por ejemplo.ejemplo Sea
Z  2 , 3encontrar
i
_________
Z*
Z *   2  3i   2  3i
Multiplicación de un número complejo por su
conjugado
Si Z  a  bi , entonces Z  Z   a bi a bi  a abi  abi b i
*
Z  Z *  a2  b2
2
2 2

División de números complejos.-
Si Z  a  bi y Z  c  di
Entonces ZZ  ac  dibi
2
1
1
2
multiplicando y dividiendo por el complejo conjugado de
Z1 a  bi c  di ac  adi  bci  bdi 2  ac  bd   i  bc  ad 




2
2
Z 2 c  di c  di
c d
c2  d 2
Propiedad periódica de i

Ejemplos.Realizar
las
siguientes
operaciones
i
entre
t
números
ú
complejos
l j
y
exprese el resultado en la forma a+bi.
1)
(3  7i )  (5  3i )  ( 2  9i )
2)
(5  2i ) 2
3)
(2  3i )  3  2i 
4  3i

Solución
1.- (3  7i )  (5  3i )  (2  9i )  (3  5  2)  i (7  3  9)  10  i
2 (5  2i ) 2  (25  (2)(5)(2i )  4i 2  25  20i  4  21  20i
2. 2  3i  3  2i   6  4i  9i  6i 2

6  6  13i
13i

4  3i
4  3i
3.3
4  3i
4  3i
multiplicando y dividiendo por el complejo conjugado
de 4  3i .
2
 13i  4  3i   52i  39i  39  52i 39 52i




 2 2 




4
3
i
4
3
i
4
3
16
9
25
25


 

Representación Gráfica de los
Números Complejos

Los números complejos se representan
gráficamente
áfi
t como puntos
t en ell plano
l
d un
de
sistema rectangular de coordenadas.
Forma trigonométrica de un
número complejo
r  a 2  b2
b
 
  tan 1  
a
En donde:
- La distancia r se le llama valor absoluto o módulo de
a+bi
- El ángulo  se llama amplitud o argumento

Para pasar un número de su forma polar a
rectangular.
t
l
a  r cos 
b  rsen
por lo tanto
Z  a  bi  r cos   irsen
Z  r  cos   isen 
A esta expresión se le llama forma trigonométrica de
un número
ú
complejo
l j
Z  rcis
Z  r
Ejemplo.- Exprese cada número complejo en su forma
polar
a)
b)
c)

a)
2  2i 3
2i
8 3  8i
Solución.- Aplicando las fórmulas para
convertir un número de rectangular a polar.
2  2i 3
utilizando Z  rcis y
D d a 2 y b2
Donde
tenemos:

tan  
3
r 2  2 3
2
b
a

2
 4  12  4
 2 3 
1

  tan 
  tan  3  60
 2 
1


El ángulo también se puede escribir como positivo si
se suman 360 , esto es

  60  360  300

b)
2i
Obsérvese que este caso la conversión es muy
simple puesto que se trata de un número puramente
imaginario, por lo que su módulo es directamente el
valor de b y su ángulo es si b es positivo y en caso
que b sea negativo.
r  02  22  2
2
 
  tan 1    90
0
Z  2 c is 9 0 
c)
8 3  8i
r

8 3

2
 8 
2
8
2

3
 8 




30

180

210

 8 3 
  tan 1 

2

1 
8
2
4  16

Ejemplo.- Convertir el siguiente número
complejo
l j d
de su fforma polar
l a rectangular.
t
l
Z  5  cos150  isen150 
Solución.


150
r

5
En este caso
y
Como se requiere convertir el número en su forma
z=a+bi, entonces aplicamos la fórmula:
a  r cos 
b  rsen
así tenemos:
a  5 cos150
b  5sen150
por lo que
Z  4.33  2.5i
Multiplicación y División de números
Complejos en forma Polar


Teorema.- El valor absoluto del producto de
d números
dos
ú
complejos
l j es iiguall all producto
d t
de sus valores absolutos. La amplitud del
producto de dos números complejos es igual
a la suma de sus amplitudes.
Es decir,
decir el producto de n números
complejos está dado por.Z1  Z 2    Z n  r1  r2    rn Cos 1   2     n   iSen 1   2     n  


Teorema.El valor absoluto del cociente de dos
números complejos es el cociente de sus
valores
l
absolutos.
b l t
L
La amplitud
lit d d
dell cociente
i t
es la amplitud del dividendo menos la
amplitud del divisor
divisor.
Z1 r1
 Cos 1   2   iSen 1   2  
Z 2 r1
Ejemplos.- Realice las siguientes operaciones.
a)
b)
4  Cos 225  iSen225 
35  iSen135
35  
 2 Cos90  iSen90    3 Cos135

4i  5  5i 

21 C os 33  iSen
iS 33 


Solución.a)
4Cis 225
4Cis 225
4Cis 225 2


 Cis 0





3
 2Cis90  3Cis135  2  3Cis  90  135  6Cis 225
expresando el resultado en forma rectangular
2
2
Cis 0 
3
3
b)
4i  5  5i  20i  20i 2 20  20i


21Cis33
21Cis33
21Cis33
para efectuar la división realizamos una
conversión del numerador a su forma polar
usando las relaciones
r
 20    20 
2
2
 28.284
 20 

  135
 20 
  tan 1 

aplicando estos resultados
28.284Cis135

1.346
102

Cis
21Cis33
o bien en forma rectangular
 0.279
0 279  1.316i
1 316i
Forma de Euler o Exponencial de
un Número Complejo
Sea
Z  re j
conocida como forma de Euler o Exponencial de un
número complejo
complejo, donde:
r es el módulo
 es la amplitud
e   Cos  iSen es la identidad de Euler
j
Interrelación entre las tres representaciones
de un Número Complejo
Producto y Cociente en notación
de Euler
Consideremos ahora dos números complejos
representados en la forma de Euler y veamos la
forma en que pueden multiplicarse y dividirse.
Sea Z1  r1e j y Z 2  r2e j
Realizando el producto
1
2
j1
j2
j (12 )
Z1 Z2  re
r
e

rr
e
1
2
12
Esto significa
g
q
que p
para multiplicar
p
dos números complejos
p j en
forma exponencial es igual que en polar, es decir, hay que
multiplicar los módulos y sumar los ángulos.
Consideremos ahora la división de
Z1 r1e j1 r1 j 1 2 

 e
j 2
Z 2 r2 e
r2
Z1
Z2
Por lo que concluimos que para dividir dos
números complejos representados en forma
d Euler
de
E l basta
b t di
dividir
idi módulos
ód l y restar
t
ángulos (igual que en polar).
Potencia de un número Complejo
en Forma de Euler

Consideremos ahora el caso de elevar un
número
ú
complejo
l j a una potencia
t
i n, para ello
ll
consideremos el número complejo z.
Z  re j
calculemos Zn
Z  r e
n
n
j

n
 r n e jn
Potencia de Números Complejos
en forma Polar

Si
Teorema de Moivre
Z  r  Cos  iSen 
Entonces
Z n  r n  Cos(n )  iSen(n )   r n n

Ejemplo.- Encuentre las potencias indicadas
en ell siguiente
i i t problema.
bl
E
Exprese cada
d
resultado en forma rectangular.
 2  Cos35  iSen35  


8
 Cos10  iSen10 
3
Aplicando
A
li
d ell tteorema d
de Moivre
M i
t t all numerador
tanto
d
como al denominador
 2  Cos35  iSen35  

  2  Cos  3  35   iSen  3  35    8Cis105
1  Cos  8  10   iSen  8  10   1Cis80
 Cos10  iSen10 



 8
3
3


8





efectuando la división
 8Cis 105  80   8Cis 25
realizando la conversión a rectangular
 7.25  i3.38
Raíz de un Número Complejo
Teorema
Un número complejo no nulo tiene n n-ésimas
raíces dadas por la fórmula:
n

  k  360
  k  360 
 iSen
Z  r  Cos

n
n


n
donde k= 0, 1 , 3, .., n-1
Ejemplo.- Encontrar las 5 raíces del siguiente número
Complejo.
Complejo
5
16  16i 3
Solución.- Expresando el número en forma polar,
tenemos:
r

 16   16 3
2

2
 32
 16 3 



  60  180  120
 16 
  tan 1 
Las 5 raíces de
5
Z  16  16i 3
son:

120  k 360
120  k 360 
 iSen
Z  32  Cos

5
5


5
Donde k = 0, 1,2 ,3 4 por ser 5 raíces, cuando
se asigne una valor de k se obtendrá una de
l 5 raíces.
las
í
Para k = 0
Para k = 0

120
120 


Z 0  2  Cos
 iSen
  2  Cos 24  iSen24   1.82  0.813i
5
5 

Para k=1

120  360
120  360 


 iSen
Z1  2  Cos
  2  Cos96  iSen96   0.219  i1.989
5
5


Para k=2

120  2  360
120  2  360 


Z 2  2  Cos
 iSen
  2  Cos168  iSen168   1.956  0.415i
5
5


Para k=3

120  3  360
120  3  360 


 iSen
Z 3  2  Cos
  2  Cos 240  iSen240   1  732i
5
5


Para k=4

120  4  360
120  4  360 


Z 4  2  Cos
 iSen
  2  Cos312  iSen312   1.338  1.486i
5
5


Representación gráfica de las
raíces
360

n
REFERENCIAS
[1] Algebra Elemental
Gordon Fuller
Ed. CECSA
[2] Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica
Walter Fleming
Prentice Hall
1991
[3] Precálculo
Michael Sullivan
Cuarta edición
1997
[4] Algebra
Max A. Sobel
Segunda Edición
Prentice Hall
ALGEBRA SUPERIOR
CAPÍTULO 3
P li
Polinomios
i
M.I. ISIDRO IGNACIO LÁZARO
CASTILLO
Para que sirven ?

En la Física...
Sabemos que al suspender un peso de un resorte, este
se alarga, ¿podríamos determinar la ley que rige este
alargamiento, al menos para un determinado intervalo?
Sería como tratar de expresar el alargamiento del resorte
en función del tiempo.

En la Química...
En el laboratorio de Química, ¿podemos estudiar la
temperatura de una masa de agua con respecto al
tiempo en que es sometida al calor? Se trata de
relacionar la temperatura en función del tiempo.

En la Economía...
Un investigador suele expresar: el consumo en
función del ingreso, también la oferta en función
del precio, o el costo total de una empresa en
función de los cambios de producción, entre otros
muchos ejemplos
donde se analiza cómo se
comporta una variable en respuesta a los cambios
que se producen en otras variables.
Aplicaciones en Ingeniería

Las funciones polinomiales se pueden usar
para describir
d
ibi lla ttrayectoria
t i d
de objetos
bj t ttales
l
como de una montaña rusa o un cohete.
Definición

Un polinomio tiene la forma.f ( x )  an x n  an 1 x n 1    a1 x  a0
Donde los coeficientes a0, a1, …, an son números o
constantes (estos números pueden ser reales,
imaginarios
g
o nulos)) y los exponentes
p
de las
variables como n, n-1, n-2, etc. Son enteros no
negativos.
Raíces

Un valor de x que satisface a la ecuación es
ll
llamado
d una raíz
í o solución
l ió d
dell polinomio.
li
i El
valor de n especifica el grado del polinomio.
Teorema del residuo

Si un número r se sustituye por x en el
polinomio
li
i y  f ( x); ell valor
l asíí obtenido
bt id f(r)
f( ) es
igual al valor del residuo al calcular el
cociente
f ( x) f ( x)

d ( x) x  r

Ejemplo.- Determinar el residuo que se
obtiene
bti
all dividir
di idi ell polinomio
li
i f ( x)  x  3x  5
entre x  2 .
3
2
podemos utilizar la división tradicional de polinomios
para calcular el residuo.
x  5 x  10
2
x  2 x3  3x 2  5
 x3  2 x 2
5x2
5 x 2  10 x
10 x  5
10 x  20
15
Re siduo

Utilizando el teorema del residuo, el valor del
residuo
id es ell valor
l obtenido
bt id all evaluar
l
lla
función en f(r).
xr  x2
r  2
f (2)  2  3  2   5  8  12  5  15
3
2
Teorema del Factor
a)
b)
Si f(x) es un polinomio; r un número, y
f( ) 0 entonces
f(r)=0,
t
( ) es un factor
(x-r)
f t de
d f(x).
f( )
Si (x-r) es un factor del polinomio f(x),
entonces
t
f( ) 0
f(r)=0.

Ejemplo.- Determinar si (x+2) es un factor de
f ( x)  x  4 x  3x  2 .
3
2
Utilizando el teorema del factor, evaluamos el
polinomio
li
i en x=-2.
2
f (2)  (2)3  4(2) 2  3(2)  2
 8  16  6  2  0
Como el residuo es 0,, x+2 es un factor de f(x).
( )
División Sintética
Es una operación ampliamente usada en la
determinación de las raíces de un polinomio,
polinomio es
dividir un polinomio f(x) por una expresión lineal de
la forma x-r.
Ejemplo .- Determinar si (x-2)es un factor de f ( x)  x  3x  6 x  8
Utilizando el teorema del factor.

3
2 1 3 6 8
Por división sintética
El cociente es con R=0
2 10 8
1 5 4 0  Re
R siduo
id
2

Ejemplo .- Demostrar que 2-3i es una raíz de
x 4  10 x 3  50 x 2  130 x  169  0
Solución.- En este caso r=2-3i.
2  3i
1 10
50
130
169
2  3i 25  18i 104  39i 169
1 8  3i 25  18i 26  39i 0

Como R=0 entonces 2-3i es una raíz del polinomio,
el estudiante puede comprobar que 2+3i (complejo
conjugado de 2-3i) también es raíz del polinomio.
Teoremas concernientes a raíces

Teorema 1.- Cada polinomio f(x) de grado
puede
d ser expresado
d como ell producto
d t d
de n
factores lineales
n 1
Es decir si f ( x )  a x  a x    a x  a con . a
Entonces f(x) lo podemos expresar como:
n
n
n 1
1
0
0
0
f ( x)  a0  x  r1  ( x  r2 )  ( x  rn )
Los números r1, r2,... ,rn (raíces del polinomio) pueden ser
distintos ó incluso imaginarios. Además ciertos factores puede
repetirse.


Teorema 2.- Toda Ecuación polinomial
f( ) 0 de
f(x)=0
d grado
d n tiene
ti
exactamente
t
t n
raíces.
T
Teorema
3 Si f(x)
3.f( ) es un polinomio
li
i con
coeficientes reales y a+bi (a,b números
reales) es un cero (raíz) de f(x),
f(x) entonces abi es también un cero de f(x).



Teorema 4.Si un polinomio es de grado non (impar),
debe tener al menos una raíz real.
Si un polinomio es de grado par puede no
tener raíces reales.

Ejemplo.- Resolver la ecuación f ( x)  x
sii -4
4 y 1 son raíces
í
d
dell polinomio.
li
i
4
 2 x3  9 x 2  2 x  8
Solución.- Usando el teorema del factor, si r = 1 es
una raíz de f(x),
f(x) entonces (x-1)
(x 1) es un factor de f(x).
f(x)
Aplicando división sintética.
1 1 2 9 2 8
1 3 6 8
1 3 6 8 0
Donde q( x)  x  3x  6 x  8 (cociente), así f(x)
puede
d expresarse como.3
2
f ( x )  ( x  1)  x 3  3 x 2  6 x  8 
La otra raíz dada es -4; se deduce que (x+4)
es un factor de f(x). Dado que f ( x)  ( x 1)  x  3x  6 x  8  0 ,
(x  4)
será
á ffactor
t del
d l polinomio
li
i q( x)  x  3x  6 x  8 .
3
3
2
2

Aplicando la división sintética a la ecuación
reducida.
d id
 4 1 3 6 8
4 4 8
1  1 2 0
Así
q2 ( x )  x 2  x  2
Escribiendo f(x) en forma factorizada.f ( x)  ( x  1)( x  4)( x 2  x  2)

Los otros 2 factores pueden obtenerse aplicando
factorización a la ecuación cuadrática
cuadrática.
x 2  x  2  ( x  2)( x  1)
Finalmente:
f ( x )  ( x  1)( x  4)( x  2)( x  1)
Por lo que las raíces del polinomio son:
x = 1, x = -4, x = 2, x = -1
Métodos para determinar las
raíces de un polinomio

Teorema de la raíz racional
f (x) anxn an1xn1 ax
1 a0
a0( 0
Sea
) un polinomio de nésimo grado con coeficientes enteros. Si es una
raíz racional de , donde
está en la mínima
expresión; entonces p es un factor de a0 y q es un
factor de an .

Ejemplo.- Encontrar las raíces racionales de:
f ( x)  4 x 3  16 x 2  11x  10  0
Factores de p 1, 2, 5, 10
Factores de q 1, 2, 4
Por lo que las posibles raíces racionales son
p 
1
 1,
1 2,
2 5,
5 10,
10 
q 
2

5
2

1
4

5
4
Ordenando las posibles raíces racionales
p  1
1
5
5
   ,  , 1,  , 2,  , 5, 10
q  4
2
4
2

Iniciando la búsqueda del lado negativo

1
4
4 16 11 10
17
61

6
16
61 99
4 17
4 16
1

1
2
4 16 11 10
2 9 10
4 18 20 0

Como se ha determinado una raíz en x   12 , se
puede
d usar ell polinomio
li
i reducido
d id para
determinar las otras dos raíces.
q ( x)  4 x 2  18 x  20
De aquí tenemos:
1
f ( x)  ( x  )(4 x 2  18 x  20)
2
1

f ( x)   x    2 x  4  2 x  5 
2


Raíces
1

x


 1
2

 x2  2

5
 x3 
2

Regla de Descartes

1.
1.
Teorema.- Regla de los signos de
D
Descartes.
t
El número de raíces de una ecuación polinomial
f ( x )  0 es igual al número de variaciones de signo
en f ( x) o es menor de ese número y difiere de él por
un entero par positivo.
El número de raíces negativas de f ( x) = 0 es
igual al número de variaciones de signo en f(-x) o
es menor que este número y difiere de él en un
entero par positivo.

Ejemplo.- Determinar el número de posibles
raíces
í
positivas
iti
y negativas
ti
d
dell siguiente
i i t
polinomio f ( x)  x  3x  2 x  1 .
3
2
Solución.Solución
Para determinar el número de posibles raíces
positivas contamos el número de variaciones de
p
signo en f(x).
f ( x)  x 3  3
x 2  2x  1
1
2
Por lo tanto al existir dos variaciones de
signo
i
concluimos
l i
que:
 2
Núm. de raíces positivas posibles ninguna

Para determinar el número de posibles raíces
racionales negativas evaluamos el polinomio en –x,
esto es f(-x),
( ), lo cual p
produce:
f ( x)  ( x)3  3( x) 2  2( x)  1
f ( x)   x3  3 x 2  2 x  1

Contabilizando el número de posibles raíces
negativas:
ti
f ( x)  
x3  3x 2  2 x  1

1
Por lo tanto:
Núm. de raíces negativas
 1

ninguna
Cotas superior e inferior de un
polinomio



Teorema.- Sea f(x) un polinomio con coeficientes reales.
Regla a.a Dividir f(x) entre (x-r),
(x r) donde r > 0 para obtener
f ( x )  ( x  r ) q ( x )  R . Si los coeficientes de los términos de q(x) y el
residuo R son todos positivos, entonces no existe raíz de f(x)
mayor que r; es decir,
decir r es una cota superior de las raíces de f(x).
f(x)
Regla b.- Dividir f(x) entre (x-r), donde r < 0 para obtener
f ( x )  ( x  r ) q ( x )  R . Si los coeficientes de los términos de q(x) y el
residuo
id R alternan
lt
en signo,
i
entonces
t
no existe
i t raíz
í de
d f(x)
f( ) menor
que r; es decir, r es una cota inferior de las raíces de f(x).
Método de Newton-Raphson


Sea p(x)=0 una ecuación polinomial con coeficientes
reales Supóngase que por método gráfico se
reales.
descubre que tiene una solución real r que se
supone esta cerca de x1.
Entonces como se muestra en la figura, una mejor
aproximación a r es x2, el punto en el que la recta
tangente a la curva en x1 cruza con el eje x.
x
xk 1  xk 
p ( xk )
p '(( xk )
Donde
xk es el valor inicial
p(xk) es el polinomio evaluado en xk
p’(x
’( k) es la
l derivada
d i d d
dell polinomio
li
i evaluado
l d en xk

Ejemplo.- Considérese la ecuación
polinomial.
li
i l
p ( x)  x3  3 x  5  0
Para encontrar
P
t una de
d llas raíces,
í
conviene
i
primero
i
d
determinar
t
i
el valor inicial, para ello podemos basarnos en encontrar un
intervalo en donde la función cambia de signo, por ejemplo
consideremos la evolución de p(x) en x=0 y en x=3.
x=3


Por lo que existe una raíz entre 0 y 3, tomando
como valor inicial x0=3 y aplicando el algoritmo
newton-Raphson, para resolver el problema usamos
4 cifras significativas y un error de para considerar
que un valor es raíz.
La derivada de p(x) es.-
p '( x)  3 x 2  3

Así tomando el valor inicial, encontramos
una mejor
j aproximación
i
ió a lla raíz.
í
x1  x0 
x2  x1 
p ( x0 )
13
 3
 2.458
p´( x0 )
24
p ( x1 )
p (2.458)
2.476
 2.458 
 2.458 
 2.294
p´(( x1 )
p´(2
(2.458)
458)
15
15.125
125
x3  x2 
p ( x2 )
p (2.294)
0.190
 2.294 
 2.294 
 2.292
p´(( x2 )
p´(2
(2.294)
294)
12
12.787
787
x4  x3 
x5  x4 

p ( x3 )
p (2.292)
0.164
 2.292 
 2.292 
 2.279
p´(( x3 )
p´(2.292)
(
)
12.759
p ( x4 )
p (2.279)
0.00023
 2.279 
 2.279 
 2.27901
p´( x4 )
p´(2.279)
12.581
Una vez que se ha determinado una raíz dado que
el polinomio es de orden 3 podemos aplicar el
teorema del residuo con este valor y usar el
polinomio reducido para determinar las otras dos
raíces
2.279
1 0 3 5
2.279 5.193 4.999
1 2.279 2.193 0.001
Así el polinomio reducido es.q( x)  x 2  2.279 x  2.913   x  (1.1395  0.945i )  x  (1.1395  0.945i ) 
Finalmente las raíces del polinomio son.x1  2.279
x2  1.139  0.945i
x3  1.139  0.945i
REFERENCIAS
[1] Algebra Superior
L i Leithold
Louis
L ith ld
Ed. Noriega
[2] Algebra Elemental
Gordon Fuller
Ed. CECSA
[3] Algebra con Aplicaciones Técnicas
C. E. Goodson
S. L. Miertschin
Ed. Limusa
[4] Precálculo
R. Larson
R. Hostetler
Ed Reverté
Ed.
R
té
[5] Álgebra
J Kaufmann
J.
K. Schwitters
Ed. CENAGE LEARNING
ALGEBRA SUPERIOR
CAPÍTULO 4
F
Fracciones
i
Parciales
P i l
Para que sirven?

Las fracciones parciales son útiles para
analizar
li
ell comportamiento
t i t de
d una función
f
ió
racional. Por ejemplo, se pueden analizar las
temperaturas de gases de emisión de un
motor diesel empleando fracciones parciales.

Termodinámica.- La magnitud del rango, R,
d
de
l
las
t
temperaturas
t
d
de
l
los
gases de
d
combustión (en grados Fahrenheit) en un
motor diesel experimental se aproxima
mediante el modelo.
R
2000  4  33xx 
, 0  x 1
11  7 x  7  4 x 
Donde x es la carga
g relativa en lb-ft.
Funciones Racionales
Racionales, Definición
y Clasificación

Una función racional se define como aquella
que se puede
d expresar como lla razón
ó d
de d
dos
polinomios de la forma P(x)/Q(x), donde P(x)
es un polinomio de grado m y Q(x) de grado
n.

Si el grado del polinomio del numerador es
menor all grado
d
d l polinomio
del
li
i
d l
del
denominador, la fracción es llamada fracción
propia De otra manera,
propia.
manera la fracción es
llamada fracción impropia.
Es decir.
P( x) a m x m  a m1 x n 1 a1 x  a 0

Q( x) bn x n  bn 1 x n 1 b1 x  b0
Es fracción impropia si m n, y es propia si ocurre que
m<n.

Ejemplo.fraccion
_ propia

3
2
2 x  5x  3x  10
13x  14

2
x

1

x2  2x  4
x2  2x  4

Siempre que se tenga una fracción propia
deberá realizarse la división de polinomios y
t b j con lla ffracción
trabajar
ió propia
i resultante
lt t
para proponer su expansión en fracciones
parciales.
parciales
Teorema sobre la descomposición de una
función racional en fracciones simples
Teorema de expansión en fracciones
parciales
i l
I.- Por cada factor lineal ax  b del denominador
h b á una ffracción
habrá
ió parcial.
i l

A
ax  b
donde .- A es una constante
(ax  b) k
II.- Por cada factor lineal repetido
del
d
denominador
i d h
habrá
b á k fracciones
f
i
parciales.
i l
A1
A2
Ak




ax  b (ax  b) 2
(ax  b) k
donde: A1, A2, ....,Ak son constantes.
III.- Si a x  b x  c es un factor del denominador,
que no es producto
d t de
d dos
d factores
f t
li
lineales,
l
entonces correspondiendo a este factor
cuadrático habrá una fracción parcial.
parcial
Ax  B
ax 2  bx  c
2
Donde : A y B son constantes.
IV.- Si a x  b x  c es un factor del denominador, que
no es producto de dos factores lineales,
lineales entonces
correspondiendo al factor repetido del factor del
denominador habrá K fracciones parciales.
2
A1 x  B1
A2 x  B2
AK x  B k


2
2
2
(ax 2  bx  c) k
ax  bx  c (ax  bx  c)
Donde: A1,B1, A2,B2,...,Ak,Bk. son constantes no nulas
con Ak y Bk no simultáneamente nulos.
Métodos para calcular las
constantes
Para calcular las constantes existen varios
métodos
ét d entre
t ellos
ll podemos
d
citar:
it
* Sustitución
* Igualación de Coeficientes
Método de sustitución

Caso I: Factores Lineales no repetidos
Para ejemplificar este caso tomemos las siguiente
fracción propia
x 2  23 x  18
x 2  23 x  18
P( x)

 2
Q( x) ( x  1)( x  2)(2 x  1) ( x  x  2)(2 x  1)
De acuerdo con el apartado
p
I del Teorema.
P( x)
x 2  23 x  18
A
B
C
 2



Q( x)
x  x  2 2 x  1 x  1 x  2 2 x  1



Multiplicando por Q(x) a ambos miembros de
la ec.
x 2  23x  18  A( x  2)(2 x  1)  B( x  1)(2 x  1)  C ( x  1)( x  2)
Para resolver el cálculo de las constantes,
emplearemos el método de sustitución, el cual
consiste en sustituir en la ec. los valores de x que
q
permitan calcular una constante a la vez.

Evaluando en x=1 para calcular A.
(1) 2  23(1)  18  A(1  2)(2(1)  1)  B(1  1)(2(1)  1)  C (1  1)(1  2)
1  23  18  A(3)(1)  3 A
6
A 2
3

Evaluando para B en x=-2.
( 1) 2  23( 2)  18  A( 2  2)( 2( 2)  1)  B ( 2  1)( 2( 2)  1)  C ( 2  1)( 2  2)
4  46  18  B ( 3)( 5)
60
B
 4
15

Para calcular C evaluamos en x=
2
 1
 1
   23   18 
 2
 2
1 23
C5
  18  
4 2
2 2
1  46  72
5C

4
4
C
C 5
25
5
1
2
 1  1 
 1    1 
 1    1 
A  2  2   1  B  1  2   1  C  1   2
 2  2
2
  2 
 2   2 


Por lo tanto
x 2  23x  18
2
4
5



 x  1 x  2 2 x  1 x  1 x  2 2 x  1
Solución por igualación de
coeficientes.
Podemos calcular las constantes A,B y C en la Ec.
usando el hecho de que los coeficientes de
potencias iguales de x en los dos miembros de la
ecuación son iguales.
x 2  23x  18  A( x  2)( 2 x  1)  B ( x  1)( 2 x  1)  C ( x  1)( x  2)
 A( 2 x 2  x  4 x  2)  B (2 x 2  x  2 x  1)  C ( x 2  2 x  x  2)
 x 2 ( 2 A  2 B  C )  x ( 3 A  3 B  C )  ( 2 A  B  C )
por igualación de coeficientes, obtenemos:
1  2 A  2B  C
23  3 A  3B  C
18  2 A  B  2C

Resolviendo este sistema de ecuaciones
C5
B  4
A2
Caso II Factores Lineales
Repetidos

4 x 2  13x
( x  3)( x  2) 2
Ejercicio.- Resolver
en fracciones
parciales.
i l
proponiendo la expansión en fracciones
parciales.
i l
4 x 2  13x
A
B
C



( x  3)( x  2) 2 x  3 x  2  x  2 2
Eliminado el denominador, tenemos:
4 x 2  13x  A( x  2) 2  B( x  3)( x  2)  C ( x  3)
Encontramos primeramente A y C evaluando en x=-3 y
x=2
Para A evaluamos en x=-3
4( 3) 2  13( 3)  A( 3  2) 2  B ( 0)  C ( 0)
36  39  25 A
A
75
3
25
mientras que para C usamos x=2, así
4 2  13(2)  A(0)  B (0)  C (2  3
2
16  26  5C
10
C
 2
5


Para calcular B se formar una ecuación
asignado
i
d a x cualquier
l i valor
l arbitrario
bit i que no
sea raíz de Q(x).
El valor
l más
á sencillo
ill de
d asignar
i
es x=0.
0
4(0) 2  13(0)  A( 2) 2  B(3)( 2)  C (3)
0  4 A  6 B  3C

sustituyendo el valor de A y C.
6 B  4(3)  3( 2)
6 B  12  6
B
6
1
6
Por lo tanto
4 x 2  13x
3
1
2



2
( x  3)( x  2)
x  3 x  2 ( x  2) 2
Caso III: Factores Cuadráticos
Distintos

Ejemplo.- Resolver la fracción
P( x )
x 3  25x 2  21x  45

Q( x ) ( x  3)( x  2)(2 x 2  x  3)
Lo primero que podemos verificar es que el
factor cuadrático que aparece en Q(x) tiene
raíces imaginarias, pues el radical b  4ac  0 .
2
P( x )
x 3  25x 2  21x  45
A
B
Cx  D




Q( x ) ( x  3)( x  2)(2 x 2  x  3) x  3 x  2 2 x 2  x  3
x 3  25x 2  21x  45  A( x  2)(2 x 2  x  3)  B( x  3)(2 x 2  x  3)  ( Cx  D)( x  3)( x  2)
Para determinar A, B, C y D vamos a combinar
el método de sustitución con el método de
igualación de coeficientes.
Para encontrar A y B evaluamos en x=3 y x=-2.
Para x=3
(3) 3  25(3) 2  21(3)  45  A(3  2)(2(3) 2  3  3)  B (0)  C (0)
27  225  63  45  5 A(18)
180  90 A
180
A
 2
90

Para x=-2
 2   25(2)2  21(2)  45  A(0)  B(2  3)(2(2)2  2(2)  3)  C (0)
3
8  100  42  45  5 B (8  2  3)
 195  65 B
195
B
3
65

Para obtener D evaluamos en x=0
45  A(0  2)(2(0) 3  0  3)  B(0  3)(2(0) 2  0  3)
45  6 A  9 B  6 D

Como A=-2 y B=3
45  6( 2)  9(3)  6 D
6 D  12  27  45
39  45 6
 1
D
6
6

Por igualación de coeficientes obtenemos el
valor de C.
x 3  25x 2  21x  45  A(2x 3  x 2  3x  4x 2  2x  6)  B(2x 3  x 2  3x  6x 2  3x  9)
 (Cx2  3cx  Dx  3D)(x  2)
 A(2x 3  3x 2  x  6)  B(2x 3  7 x 2  6x  9)  Cx3  3Cx2  Dx2  3Dx  2Cx2  6Cx  2Dx  6D
 x 3 (2 A  2B  C)  x 2 (3A  7B  C  D)  x( A  6B  3D  6C  2D)  6D  6 A  9B

igualando los coeficientes de x3
1  2 A  2B  C
C  1 2 A  2B
C  1  2( 2)  2(3)
C  1  4  6  1

Por lo tanto
2
x 3  25x 2  21x  45
3
1 x



( x  3)( x  2)(2 x 2  2  3) x  3 x  2 2 x 2  x  3
Caso IV: Factores Cuadráticos
Repetidos.
Ejemplo.- Considere la siguiente fracción
propia.
i
x3  4 x 2  5 x  3
( x  1)( x 2  x  1) 2
Expresando en fracciones parciales más
simples
x 3  4 x 2  5x  3
A
Bx  C
Dx  E



( x  1)( x 2  x  1) 2 x  1 ( x 2  x  1)  x 2  x  1 2
de aquí tenemos
x 3  4 x 2  5x  3  A( x 2  x  1) 2  ( Bx  C )( x  1)( x 2  x  1)  ( Dx  E )( x  1)


En este caso, es posible calcular el valor de A por la
presencia del factor lineal distinto,
distinto para ello
empleamos el método de sustitución.
Valuando en x=-1
( 1) 3  4( 1)  5( 1)  3  A(( 1) 2  ( 1)  1) 2  0  0
1  4  5  3  A
A((1  1  1) 2
A1

Por igualación de coeficientes obtenemos los
valores
l
d
de B
B, C
C, D y E
E.
x 3  4x 2  5x  3  A( x 4  2x 3  3x 3  2x  1)  (Bx2  Bx  Cx  C)(x 2  x  1)  (Dx2  Dx  Ex  E)
x 3  4x 2  5x  3  A( x 4  2x 3  3x 2  2x  1)  Bx
B 4  Bx
B 3  Bx
B 2  Bx
B 3  Bx
B 2  Bx
B
 Cx3  Cx2  Cx  C  Dx2  Dx  Ex  E
 x 4 ( A  B)  x 3 (2 A  B  B  C)  x 2 (3A  B  B  C  C  D)  x(2 A  B  C  C  D  E)  ( A  C  E)

Igualando coeficientes
A B  0
2 A  2B  C  1
3 A  2 B  2C  D  4
AC E  3
2 A  B  2C  D  E  5
Como A=1
D lla primera
De
i
ecuación
ió ttenemos:
B=-A=1
de la segunda
C=1-2A-2B
C 1 2(1) 2( 1)
C=1-2(1)-2(-1)
C=1
de la cuarta
E=3-A-C
E=3-1-1
E 1
E=1
de la tercera
 D=4
D=4-3A-2B-2C
3A 2B 2C
 D=4-3(1)-2(-1)-2(1)
 D=4-3+2-2
 D=1
La última ecuación nos sirve para verificar resultados.
2A+B+2C+D+E=5
2(1) 1+2(1)+1+1=5
2(1)-1+2(1)+1+1=5
5=5
Por lo tanto
x 3  4 x 2  5x  3
1
x 1
x 1

 2
 2
2
2
( x  1)( x  x  1)
x  1 x  x  1 ( x  x  1) 2
REFERENCIAS
[1] Algebra Elemental
Gordon Fuller
Ed. CECSA
[2] Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica
Walter Fleming
Prentice Hall
1991
[3] Precálculo
Michael Sullivan
Cuarta edición
1997
[4] Algebra
Max A. Sobel
Segunda Edición
Prentice Hall
[5] Señales y sistemas
Alan V. Oppenheim
pp
Alan S. Willsky
Ed. Prentice Hall 1983
[6] Precálculo
R. Larson
R. Hostetler
Ed. Reverté
[7] Álgebra
J. Kaufmann
K. Schwitters
Ed. CENAGE LEARNING
ALGEBRA SUPERIOR
CAPÍTULO 5
Sistemas de
Ecuaciones Lineales,
Matrices y
Determinantes
M.I.
M
I ISIDRO IGNACIO
LÁZARO CASTILLO
Para que sirven ?

Los sistemas de ecuaciones se pueden emplear
para modelar y resolver problemas de la vida real.
real

Los sistemas de ecuaciones se pueden emplear
para determinar las combinaciones de jugadas
para distintos deportes como el fútbol americano.
Aplicación en Deportes

En el super tazón I, disputado el 15 de Enero de
1967 los empacadores de green bay derrotaron a
1967,
los jefes de Kansas City por un marcador de 35 a
10. El total de puntos anotados fueron producto de
13 jugadas de puntuaciones distintas, una
combinación de anotaciones, puntos extra y goles
de campo. Se consiguieron el mismo número de
anotaciones y puntos extra. Hubo seis veces más
anotaciones que goles de campo. Cuantos puntos
de cada forma se anotaron en el juego?
Aplicaciones en Física

Un sistema de poleas esta cargado con pesas de
128 kg y 32kg.
32kg Las tensiones t1 y t2 en la soga y la
aceleración a del peso de 32kg se determinan por
medio del sistema e ecuaciones:
t1  2t2  0
t1  2a  128
t2  a  32
En la Ingeniería

Ejemplo.- La ley de Kirchhoff establece que
en cualquier
l i
red
d de
d un circuito,
i it la
l suma
algebraica de las elevaciones y caídas de
voltaje debe ser igual a cero.
cero
1.05I
1
05I1 + 0.25I
0 25I2 = 4.5
45
0.25I1+0.7I2 = 5.2
(1)
(2)
Definición de una Ecuación Lineal

Una ecuación lineal es una igualdad entre dos
expresiones; Esas expresiones se llaman
miembros de la ecuación, si el grado o
exponente de la variable es uno se llama
ecuación lineal.
x3 4
Ecuación
x2  2x  1  0
lineal
Ecuación
no
lineal
Donde x es la variable independiente o incógnita de la ecuación
Una ecuación con n variables es lineal si es
equivalente a una de la forma:
a1 x1  a2 x2    an xn  b
donde.donde
a1,a2, ...,an son constantes
x1,x2,....,xn son variables
b término independiente
Los números que al sustituir a las variables hacen iguales a los dos miembros
de la ecuación se dice que satisfacen o son solución de la ecuación.
Definición de Sistemas de
Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones es una colección
d d
de
dos o más
á ecuaciones
i
lilineales,
l
cada
d una
de las cuales contiene una o más variables.


Una solución de un sistema de ecuaciones
consta de valores para las variables
variables, para los
cuales cada ecuación del sistema se
satisface.
satisface
Interpretación Gráfica para
Sistemas de dos Variables
Ejemplo 1.- Caso 1: Las rectas se cortan o
i t
intersectan
t en un solo
l punto.
t
1)x-y = 1
2)2x-y = 4

Ejemplo.- Caso 2 Las rectas no se cortan,
rectas
t paralelas.
l l
Consideremos una modificación al sistema de
ecs. Anterior.
A t i
x-y = 1
x-y = 3
(1)
(2)
Ejemplo.- Caso 3 las rectas son idénticas.
Consideremos ahora el siguiente sistema de
ecuaciones.
ecuaciones
x-y = 1
2x-2y = 2

(1)
(2)
Note que se trata de rectas son idénticas
porque m1= m2 y además b1=b2.
Clasificación de la Solución.
Solución
S
l ió de
d Sistemas
Si t
de
d Ecuaciones
E
i
por Métodos Algebraicos
-Eliminación por Sumas y restas.- En este método se
elige la variable más fácil de eliminar y mediante una
suma o resta de amabas ecuaciones, se resuelve
para la incógnita que queda..
-Eliminación por sustitución.- En este se despeja una
variable de una ecuación y se sustituye en la otra
otra,
finalmente se resuelve está última.

Ejemplo.- La ley de Kirchhoff establece que en
cualquier red de un circuito,
circuito la suma algebraica de
las elevaciones y caídas de voltaje debe ser igual a
cero.
El siguiente sistema de ecuaciones resulta de la aplicación de
dicha ley al circuito eléctrico de la figura.
1.05I1 + 0.25I2 = 4.5 (1)
0.25I1+0.7I2 = 5.2
(2)
Resolviendo por sumas y restas, multiplicamos
l ecuación
la
ió (1) por 0
0.25
25 y lla (2) por 1
1.05,
05 así:
í
-
0.2625I1+0.0625I2 = 1.125
0.2625I1+0.735I2 = 5.46
- 6725I2 = -4.335
I2 
4.335
4
335
 6.44
0.6725
Amp
(1)’
(2)’
Para eliminar I2 multiplicamos la ec. (1) por 0.7 y la (2)
por 0.25,
0 25 así tenemos:
-
0.735I
0
735I1+0
0.175I
175I2 = 3.15
3 15
0.0625I1+0175I2 = 1.3
0.6725I1
= 1.85
por lo tanto
I1 
1.85
 2.75
0.6725
Amp
(1)’
(1)
(2)’
Al resolver un sistema de ecuaciones por métodos
algebraicos podemos tener los siguientes casos:
1.- Una solución única
1
única.
2.- Ninguna solución.- Ocurre cuando obtenemos una
proposición falsa, tal y como: 0 =7, 0= a donde a 0.
3.- Soluciones infinitas: Ocurre cuando llegamos a una
proposición verdadera sin incógnitas, 0 = 0.
Definición de una Matriz.

Una matriz A es un arreglo o disposición
rectangular
t
l d
de números.
ú
 a11 a12  a1 j  a1m   renglones
a

a
a
a


21
22
2
j
2
m


 
     
A

a
a

a

a
i2
ij
im 
 i1
 


   


a
a

a

a
 n1
n2
nj
nm  n  m


colmunas
Definiciones y Tipos de Matrices.


Una matriz se denomina cuadrada si su número de
renglones es igual a su número de columnas
columnas, es
decir si m=n. Se dice que una matriz es de orden n.
En una matriz cuadrada se dice q
que las
componentes a11,a22,...,ann están en la diagonal
principal de A.
 a11 a12
a
a22
A   21
 


an1 an 2
 a1n 
 a2 n 
  

 ann  n n

Una matriz a menudo se llama vector venglón mdimensional (o simplemente vector renglón o matriz
renglón).
C  7 1071 2


D  2  2i

3 4 13
Una matriz se llama vector columna m-dimensional
(o simplemente vector columna o matriz columna).
0 
X  
0 21
7 
Y  5
0 31

La matriz denotada como , cuyos componentes son
todos cero,
cero se llama matriz nula o matriz cero.
cero
0 0 
B

0
0

 2 2
0 0 0 
C

0 0 0  2  3
Representación Matricial de los
Sistemas de Ecuaciones

Como se mostró anteriormente los procedimientos
algebraicos pueden ser tediosos y complicados,
complicados en
especial cuando se aplican a sistemas lineales más
grandes. A continuación se muestra otro método
más eficientes, que fácilmente se aplica a sistemas
mayores.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones
lineales.
lineales
x  4 y  14
3x  2 y  0

si optamos por no escribir los símbolos utilizados
para las variables.
renglón
renglón

y
 x 
1 1 4

2

3  2




 
14 



0 
cons tan tes
Los corchetes se utilizan para denotar una matriz.
U matriz
Una
t i es un arreglo
l rectangular
t
l d
de números,
ú
cuya
estructura general es.renglón 1 columna

 a11
renglón 2 
 a21

 
renglón i  a
 i1
 


renglón n  a
 n1
1

a1m
a2 m
aim
columna m
a12  a1 j 
a22  a2 j 
   
aij



aim
i

an 2  anj

anm
ai 2












 n m
Cada número aij de la matriz tiene dos índices: índices de
renglón i e índice de columna j. La matriz tiene n renglones y m
columnas.
Ejemplo.- Escribir la matriz aumentada de cada
sistema de ecuaciones
ecuaciones.
3 x  4 y  6

 2 x  3 y  5
2 x  y  z  0

 x  z 1
 x  2y  8

a)
b)
escribiendo la matriz aumentada.
3  4  6
a) 2  3  5 


b)
2  1 1 0 


1
0
0
1


1 2 0 8
Operaciones Elementales
Las operaciones elementales realizadas en la matriz
aumentada son operaciones elementales por
renglón. De estas existen tres básicas.
1.- Intercambio de dos renglones cualesquiera.
2.- Reemplazo de un renglón por un múltiplo distinto de
ese renglón.
3.- Reemplazo de un renglón por la suma de ese
renglón y un múltiplo constante de algún otro
renglón.
Ejemplo.- Resolver el sistema de ecuaciones.
4 x  3 y  11
x  3 y  1
escribiendo el sistema utilizando notación matricial
4 311 


1

3

1


intercambiando renglones
 4 1  3  1


4 311 

Realizando operaciones
 4 12 4   1

 4
R1  R 2  4 311
~
1  3  1
1
 4 311 
15
~
~
1 3 1
1 

  4 3 11 
15
1  3  1


0
1
1


así
(1)
( 2)
x  3 y  1
y 1
sustituyendo (2) en (1)
x  3(1)  1
x  1  3
x2
Eliminación Gaussina

Este método se utiliza para resolver sistemas
d ecuaciones
de
i
d
de orden
d superior
i mediante
di t
una transformación algebraica del sistema
de la forma:
a11 x  b12 y  c13 z  d1
a21 x  b22 y  c23 z  d 2
a31 x  b32 y  c33 z  d 3
x1  k1 y  k2 z  p1

y  k 3 z  p2
z  p3
Ejemplo.- Resolver el sistema de ecuaciones siguiente.
x y z 8
2 x  3 y  z  2
3x  2 y  9 z  9
Paso 1.- La matriz aumentada es.1  1 1  8 
 2 3  1   2


3  2  9  9 
Paso 2.- En este caso el elemento (1,1) ya es uno.
P
Paso
3 Hacemos
3.H
cero llos elementos
l
t (2
(2,1)
1) y (3
(3,1),
1)
utilizando el primer renglón mediante las
operaciones:
p
R2=-2r1+r2 y R3=-3r1+r3
  2 1 1 1  8 
 2 3 1  2  R1  R 2 


 3 2 9  9 

1
2  2 2 2  16 
 0 5 3  18


 3 2 9  9 
1
  3 1 1 1  8  3 1 1 1  8 
0 5 3  18
0 5 3  18








R1  R3  3 2 9  9 
0 1 12  15

Paso 4.- Hacemos 1 el elemento (2,2)
1  1 1  8 
0 5  3   18


3  2  9  9 
realizamos un intercambio del renglón 2 por 3.
1  1 1  8 
0 1  12   15


0 5  3   18

Ahora hacemos cero los elementos situados debajo
del elemento (2
(2,2),
2) es decir
decir, el (2
(2,3)
3) usando para ello
el renglón 2 mediante la operación R3=-5r2+r3
1 1 1  8  1 1 1  8 
0 1 12  15  0 1 12  15

 

0 5 3  18 0 0 57  57 
Paso 5.- Hacer igual a 1 el elemento (3,3),
multiplicando por el tercer renglón
renglón.
1 1 1  8  1 1 1  8 
0 1 12  15   0 1 12  15

 

1 0 0 57  57   0 0
1  1 
 
57
Por último el sistema de ecs. que representa la matriz
escalonada es
es.x y z 8
(a)
y  12 z  15
z 1
de donde
(b)
(c )
z 1
y  15  12 z  15  12  3
de (b)
x  8  y  z  8  31 4
de (a)
así, el conjunto solución es.- x  4
y  3
z 1
Método de Gauss-Jordan

Es posible extender el método de eliminación de
modo que las ecuaciones reduzcan a una forma en
que la matriz del coeficientes del sistema sea
diagonal y ya no se requiera la sustitución regresiva.
Los pivotes se eligen como en el método de
eliminación gaussiana; pero a diferencia de este, en
la eliminación gauss-jordan
gauss jordan deben eliminarse los
elementos arriba y abajo del pivote.
Ejemplo.- Resolver el siguiente sistema utilizando el
método de Gauss
Gauss-Jordan.
Jordan
2 x1  4 x2  6 x3  18
4 x1  5 x2  6 x3  24
3 x1  x2  2 x3  4
formando la matriz aumentada
2 4 5  18 
4 5 6  24


3 1  2  4 
(1)
(2)
(3)
Paso 1.- hacer uno el elemento pivote (1,1).

1
2  2 4 6  18  1 2 3  9 
 4 5 6  24    4 5 6  24 

 

 3 1 2  4   3 1 2  4 

paso 2.- Hacer cero todos los que están
d b j d
debajo
dell elemento
l
t pivote.
i t
paso 3.- Hacer uno el elemento (2,2) y posteriormente
usando este elemento pivote cero los que están
arriba y debajo de este.
3  9 
3  9 
1 2
1 2
1
 0 3 6  12   5 0 1
2  4 
3
0 5 11  23
0 5 11  23
3  9 
1 2
1 2 3  9 
0 5 10  20   1  2 0 1 2  4 

 5


0 0 1  3
R 2  R3 0 5 11  23

así la solución es.-
x1  4
x2  2
x3  3
Operaciones entre Matrices
Igualdad entre Matrices.
S dice
Se
di que d
dos matrices
ti
y son iiguales
l sii son d
dell
mismo tamaño (esto es mismo orden) y sus
componentes
p
correspondientes
p
son iguales.
g
Suma
Sean A y B dos matrices del mismo orden, la suma de
las dos matrices es la matriz .
A  B  ( aijj )  (bijj )  ( aijj  bijj )
 a11  b11 a12  b12
a  b
a22  b22
A  B   21 21
 


an1  bm1 an 2  bn 2
a1n  b1n 
 a2 n  b2 n 




 anm  bnm 

Teorema.- Sean A, B, y C matrices del mismo orden.
Sea O la matriz nula , entonces.a) A+0=A (Identidad aditiva)
b) A+B
A+B=B+A
B+A (Conmutatividad de la adición)
c) A+(B+C)=(A+B)+C (Asociatividad de la adición)
Resta
La resta entre matrices se puede definir usando la
negativa de una matriz,
matriz esta se define como una
matriz de la orden A  aij  , representada por medio de
–A, que se define de la forma:
 A    aij 
En otras palabras, la negativa de una matriz se forma
reemplazando cada elemento de A por su inverso
aditivo. Por eso, como:
aij  (  aij )  0
Multiplicación de una Matriz por
un escalar
El producto de una matriz por un escalar, e una
matriz en la que cada elemento está multiplicado por
el escalar, es decir, para una matriz A y un escalar
K, tenemos
 ka11 ka12
ka
ka22
21

kA 
 


kan1 kan 2
 ka1m 
 ka2 m 

 

 kanm  n m
Multiplicación de Matrices

Si A es una matriz de orden y B es una matriz de
orden . Entonces el producto de A por B,
B denotado
como , (que se lee “A posmultiplicada por B” o “B
premultiplicada por A”), es la matriz para la cual el
elemento del renglón i y la columna j es la suma de
los productos formados al multiplicar a cada
elemento del renglón i de A por el correspondiente
elemento de la columna j de B.

Para
ejemplificar
este
procedimiento
consideremos
id
l matrices
las
ti
A y B,
B calculando
l l d
el producto A*B.
b11 b12 b13 
 a11b11  a12b21 a11b12  a12b22
 a11 a12 
  a b  a b
a
  b b
b
a21b12  a22b22
a
22 21
 21 22  2 2  21 22 23  23  21 11
a11b13  a12b23 
a21b13  a22b23 
Ejemplo.- Sean las siguientes matrices
2  3
y B   3 0  4


A  4  1
1 5 
 2 2

 1 
Encontrar A  B
2  3
2(3)  (3)(2) 2(0)  (3)(2) 2(4)  (3)(1) 
 3 0  4 


A  B  4  1 
  4(3)  (1)(2) 4(0)  (1)(2) (4)(4)  (1)(1)

 2 2  1
1 5  
1(0)  (5)(2)
(1)(4)  (5)(1) 
 1(3)  (5)(2)
 6  6  6  8  3   12  6  5 
A  B  12  2  2  16  1   14  2  15
3  10 10  4  5   7 10  9 
Matrices Especiales.

Matriz diagonal
a11 0
0 a
22
A



0
0

0
  
  

 ann 

Matriz Identidad
1 0  0
0 1  0 

I 
   


0 0  1 
Transpuesta de una Matriz

Si se intercambian los renglones y columnas
d una matriz
de
t i A de
d orden
d
, la
l matriz
ti
resultante es denominada transpuesta de la
matriz A y se denota como At.
 a11 a12
a
a22
A   21
 


an1 an 2
 a1m 
 a2 m 
  

 anm  n m
 a11
a
t
A   12
 

a1m
a21
a22

a2 m
 an1 
 an 2 
  

 anm  m n
Representación Matricial de un Sistema de
Ecuaciones en la forma Ax  B

Un sistema de ecuaciones lineales de la forma :
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2

an1 x1  an 2 x2    a1n xn  bn

puede escribirse usando un producto matricial como:
 a11 a12
a
 21 a22
 


an1 an 2
 a1n   x1 
 b1 
b 
 a2 n   x2 
  2

   
  
 
 ann  n n  xn  n1 bn  n1
En forma compacta
Ax  B
donde
~
~
A – Es la matriz de coeficientes de orden
x - Matriz columna de incógnitas de orden
~
M t i columna
l
de
d términos
té i
iindependientes
d
di t d
de
B - Matriz
~
orden
En forma compacta
Matriz Inversa

Sea A una matriz cuadrada de orden n e I la
matriz
t i identidad
id tid d correspondiente.
di t Si existe
i t
una matriz cuadrada A-1, también de orden n,
tal que A  A  I y A A  I , entonces A-11 se
llama la inversa multiplicativa de A o inversa
de A.
1
1

Entonces para resolver un sistema de ecuaciones
escrito de la forma
 a11 a12
a
 21 a22
 


an1 an 2

 a1n   x1 
 b1 
b 
 a2 n   x2 
  2

   
  
 
 ann  n n  xn  n1 bn  n1
En forma compacta A x  B
~
~
A1 A x  A1 B
~
~
I x  A1 B
~
~
x  A1 B
~
~
Obtención de la matriz inversa por
operaciones elementales

Para encontrar la inversa de la matriz se
agrega una matriz
t i id
identidad
tid d d
de di
dimensión
ió
adecuada al lado de la matriz original.
 a11 a12
a
a22
( A I   21
 


an1 an 2
 a1n  1 0  0
 a2 n  0 1  0
      

 ann  0 0  1

Apliquemos este procedimiento a la
siguiente
i i t matriz
ti
5 2 
A

3
1



Para calcular A-1 tenemos:
1
 3 5 2 1 0
   15  6  3 0



3 
 5 3  1 0 1 R1  R 2  15  5 0 5
0
5 2 1 0 R 2  R1 5 2 1
 6 10 


 2

 0  11  3 5
0  2 11 11 
11
1 
5 0
 5 
1 0  2


2 


5 10  
1
11 11   1 0 11
 6 10  0 1 3
 
11
11 11  
por lo tanto
1

A1  11
3

11
2 
11 
 5

11 
2 
11 
 5

11 
Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales por
medio de la Matriz inversa

Ejemplo.- Resolver el siguiente sistema de
ecuaciones.
i
x  4 y  5 z  4
x  3y  z  6
2 x  3 y  2 z  6

representando el sistema en forma matricial.
1  4 5   x    4 
1 3 1   y    6 

   
2  3 2  z   6 

calculando A-1


1  4 5 1 0 0 
0
 1 4 5 1 0


 0  7 4 1 1 0 
A1  R1  R 2 1 3 1 0 1 0 

1 
 1
3

2
3
2

0
0
1
1
3
R
R




1
0
0
1



2 
2
2




1  4
1  4 51 0
0


1 

0  7 41 1 0  
0 1
7 
5
 1

0
4
1
0
2 
 R 2  R3 
 
2
2
0 1

5
5
4
7
8
5
1
1
7
2
5
0
1
7
0

0

0  7

 1
5 

1  4 5 1
  9 0 7  4  1

36 9
 35 0 0
35 36

0
1
1
7

0
 7 1  4
5 1 0 0


0   R3  R 2 0 63  36  9 9 0 
 1
0 0
36 9 5  7 

5
7  28 35 7 0
0  R 2  R1 7  28 35 7

4

0 0 14  7 
0 0
 0 63
0 28
9
0
0
0
36 9 5  7
0
36 9


7
 9 7 0 35

0 1 0 0

 35 0 0 36 9

56
9
2
9
5
28 
9   4 63 0 315 63 56  28 

1 
2
1 

0 1
0 0


9 
9
9
 0 0 1260 315 175  245
7 




0
56
9
5
0 
28  1
 
9  28
7 
252 224 112 

R3  R1  252 0 1260

2
1
 0

1
0
0
 
9
9 

0 1260
 0
315 175 245

1

63 49 133 252


252
0
0

2
1  22
 0

1
0 0

9
9  28

1
0
0 1260
315 175 245
 
1260
 63
49

1 0 0 252 252

56
0 1 0 0
252

0
0
1
315
175


1260 1260
 63
133 



252
1 0 0 252

 28 

 0 1 0 0
252  1 
 245 
0 0 1 63
5
1260   1 
252
5
49
252
56
252
35
252
133 
252 
 28 

252 
 49 
252 

Así

entonces la solución del sistema dada por
 63 49 133 
 9 7 19 
1 
  1  0 8  4
A1 

0
56
28
 36 

252 
 63 35  49
 9 5  7
 x
 9 7 19   4
 y   1  0 8  4  6 
  36 
 
 z 
 9 5  7  6 
 x
 36  42  114 
 36  1
 y   1  48  24   1  72    2 
  36 
 36 
  
 z 
 36  30  42
 36   1 
Determinantes y Regla de Cramer


La regla de Cramer es un método algebraico que
permite la solución de sistemas de ecuaciones
lineales de dos o tres incógnitas es por medio de
determinantes.
Defiendo la siguiente ordenación de cuatro números
como un determinante de segundo orden.
a b
 ad  bc  
c d


determinante de los coeficientes
De manera similar los términos restantes los podemos
obtener de:
Por lo tanto para obtener la solución del sistema de
ecuaciones hacemos:
ax  byy  m
cx  dy  n
m b
n d x
x

a b

c d
a m
c n y
y

a b

c d

De manera similar podemos demostrar que para un
sistema de 3 ecuaciones de la forma:
a1 x  b1 y  c1 z  d1
a2 x  b2 y  c2 z  d 2
a3 x  b3 y  c3 z  d 3
Cuya solución esta dada por.x
Nx

y
Ny

z
Nz

Donde:
Nx - determinar del numerador para el valor de x
Ny - determinar del numerador para el valor de y
Nz - determinante del numerador para el valor de z
- determinar de los coeficientes


x
a1
y
b1
z
c1
  a2
b2
c2
a3
b3
c3
Para encontrar los determinantes Nx, Ny y Nz , se
sustituye la columna de los coeficientes de la
incógnita (x,y
(x y ó z) por la columna de los términos
constantes.
d1
b1
c1
a1
d1
c1
N x  d2
b2
c2
N y  a2
d2
d3
b3
c3
a3
d3
c2
a1
N z  a2
b1
b2
d1
d2
c3
a3
b3
d3
Cálculo de determinantes de
orden superior

Para encontrar el valor del determinante, se
d b repetir
deben
ti llas d
dos primeras
i
columnas.
l

otro método para evaluar un determinante de
t
tercer
orden
d es ell siguiente
i i t

Desarrollo por renglón o columna para
d t
determinar
i
un d
determinante
t
i
t d
de orden
d n.
Este método es general pues permite evaluar un
determinante de orden n,
n el método consiste en
reducir el determinante a uno de orden (n-1), y el
lugar de calcular un determinante de orden n se
calculan
l l
n determinantes
d t
i
t
d orden
de
d
( 1) Esto
(n-1).
E t es
para un determinante de orden 3 se requieren
calcular 3 determinantes de orden 2. Este desarrollo
puede ser por renglón o por columna.

Para ejemplificar el método de desarrollo por
columnas
l
consideremos
id
un d
determinante
t
i
t d
de
orden 3.
a1
  a2
a3

b1
b2
b3
T bl d
Tabla
de signos
i
  
  
  
c1
c2
c3
i)
Tachar la primera columna y el primer
renglón
ló
i)
ii) Tachar la segunda columna y el primer
renglón
ló
iii) Continuar con este procedimiento hasta
ll
llegara
a lla últi
última columna.
l



a1
b1
c1
  a2
a3
b2
b3
b
c2  a1 2
b3
c3
c2
c3
 b1
a2
c2
a3
c3
 c1
a2
b2
a3
b3
es decir
  a1
b2
b3
c2
a
 b1 2
c3
a3
c2
a
 c1 2
c3
a3
b2
b3
Método de Cofactores

Teorema.- Suponga que A es la Matriz
C d d d
Cuadrada
de orden
d n.
 a11 a12
a
a22
21

A
 


an1 an 2

 a1n 
 a2 n 
  

 ann 
y que Aij es el cofactor del elemento aij el
cual se calcula como:
Aij   1 M ij
i j
donde:
Mij es ell menor ((ell cuall es un d
determinante
t
i
t d
de orden
d n-1
1
obtenido al tachar el renglón i y la columna j).
Entonces si el Determinante A  0 , la inversa de A se puede
calcular como:
 A11
A
1
1
 12
A 
det
A 

 An1
A12  A1n 
A22  A2 n 
   

An 2  Ann 
t
Para el caso de una matriz
cuadrada de orden 2
 a11 a12 
A

a
a
21
22



Si

Entonces
A1 
1  a22  a12 
det A a 21 a11 
 a22  a12 
1
A 
a11a22  a12 a21  a21 a11 
1

Ejemplo.- Calcular el determinante de la
siguiente
i i t matriz
t i compleja.
l j
1  i i 
A

2
2i
i
5



usando cofactores para calculara la inversa
d A,
de
A tenemos.t
i 
1  5
A 
d A  2i 1  i 
det
1

donde:
d t A  5(1  i )  ( i )( 2i )
det
det A  5  5i  2i 2  5  2  5i  7  5i

Así
i 
1  5
A 
7  5i  2i 1  i 
1
REFERENCIAS
[1] Algebra Elemental
Gordon Fuller
Ed. CECSA
[2] Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica
Walter Fleming
Prentice Hall
1991
[3] Precálculo
Michael Sullivan
Cuarta edición
1997
[4] Algebra
Max A. Sobel
Segunda Edición
Prentice Hall
[5] Señales y sistemas
Alan V. Oppenheim
pp
Alan S. Willsky
Ed. Prentice Hall 1983
[6] Precálculo
R. Larson
R. Hostetler
Ed. Reverté
[7] Álgebra
J. Kaufmann
K. Schwitters
Ed. CENAGE LEARNING