El Teorema de Lüroth - Universidad Autónoma de Yucatán

Abstraction & Application 11 (2014) 52 − 56
UADY
El teorema de Lüroth
Antonio González Fernández, Rodrigo Jiménez Correa, Jesús Efrén Pérez Terrazas∗
Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de Yucatán, México
∗
[email protected]
Abstract
We recall a proof of Lüroth’s theorem and provide enough arguments.
Resumen
Recordamos una prueba del Teorema de Lüroth y proporcionamos suficientes argumentos.
Keywords and phrases : Algebraico, campo de funciones, Teorema de Lüroth, trascendente.
2010 M athematics Subject Classif ication : 12E05
1.
Introducción
La conducta que exhibe un anillo de polinomios en una variable es bastante diferente de la que tiene un
anillo de polinomios en varias variables, lo que en la disciplina conocida como Teorı́a de Representaciones
de Álgebras de Dimensión Finita se expresa en los tipos de representación manso y salvaje.
En este escrito queremos recordar algunas de las propiedades de un campo de funciones en una variable;
en particular lo que está contenido en la sección 4 del capı́tulo 4 de [1], en donde se presenta una prueba del
Teorema de Lüroth, y consideramos que aquı́ el lector encontrará argumentos con suficientes detalles, es por
eso que está clasificado como un artı́culo de revisión.
Nuestro propósito es iniciar una serie de artı́culos que estudiarán a los objetos algebraicos conocidos
como módulos genéricos algebraicamente acotados a través de sus anillos de endomorfismos. Los mencionados
objetos algebraicos fueron introducidos en [3] con la intención de coadyuvar a extender el Teorema MansoSalvaje hasta el caso de campo base perfecto.
Si bien en general el teorema de mayor interés es el que se acredita a Lüroth, el teorema 3.1 será útil
para la serie de escritos mencionada.
52
A. González, R. Jiménez, E. Pérez
2.
53
Notación y resultados básicos
Por K denotaremos a un campo arbitrario, por K [x] al anillo de polinomios en una variable sobre K y
por K (x) al campo de fracciones asociado.
Similarmente K [x1 , . . . , xn ] denota al anillo de polinomios en n variables sobre K y K (x1 , . . . , xn ) al
campo de fracciones asociado.
Definición 2.1 Un dominio entero es un anillo conmutativo con unitario R tal que si x, y ∈ R−{0} entonces
xy 6= 0.
Definición 2.2 Un dominio de ideales principales (DIP) es un dominio entero R tal que si I es un ideal de
R entonces es un ideal principal, es decir que existe r ∈ R tal que I = Rr.
Definición 2.3 Sea R un dominio entero. Un elemento p ∈ R − {0} es un elemento primo de R si p no es
unidad y si p | r1 r2 , con r1 , r2 ∈ R, implica que p | r1 o que p | r2 .
Definición 2.4 Un dominio de factorización única (DFU) es un dominio entero R tal que si a ∈ R − {0}
no es unidad entonces:
1. Existe alguna factorización a = p1 p2 . . . ps , donde pi es un elemento primo de R para cada i.
2. Si existe otra factorización a = q1 q2 . . . qt , donde cada qj es un elemento primo de R, entonces s = t y
existen una biyección σ : {1, . . . , s} → {1, . . . , s} y unidades u1 , u2 , . . . , us de R, tales que pi = ui qσ(i) .
Los siguientes resultados son conocidos y pueden ser encontrados en varios libros, por ejemplo en [2].
Teorema 2.5 K [x] es un DIP.
Teorema 2.6 Si R es un DIP entonces R es un DFU.
Definición 2.7 Sea R un dominio entero. Un elemento p ∈ R − {0} es un elemento irreducible de R si p no
es unidad y si la identidad p = r1 r2 , con r1 , r2 ∈ R, implica que r1 ó r2 es unidad.
Proposición 2.8 Sea R un DFU. El elemento p ∈ R es irreducible si y solo si es primo.
En un DFU existen los conceptos de máximo común divisor y mı́nimo común múltiplo, y podemos aplicar
ideas útiles de Teorı́a de Números básica.
Definición 2.9 Sea R un DFU. El polinomio rn xn + . . . + r1 x + r0 ∈ R [x] − {0} es primitivo si el máximo
común divisor de los elementos r0 , r1 , r2 , . . . , rn es una unidad de R.
Lema 2.10 (Lema de Gauss) Sean R un DFU y f, g ∈ R [x] − {0} polinomios primitivos. Entonces el
polinomio producto f g es primitivo.
Teorema 2.11 Sea R un DFU, entonces R [x] es un DFU. Más aún, si K es el campo de fracciones de R,
entonces f ∈ R [x] es un elemento primo si y solo si f es primitivo y es un elemento primo de K [x] .
Luego se tiene el Teorema Fundamental de la Artimética en un contexto más general:
Corolario 2.12 K [x1 , . . . , xn ] es un DFU.
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El teorema de Lüroth
El siguiente resultado nos recuerda una diferencia fundamental:
Teorema 2.13 K [x1 , . . . , xn ] no es un DIP cuando n > 1.
3.
Teorema de Lüroth
Aunque queremos estudiar a K (x) , para ello vamos a requerir usar propiedades de K [x1 , x2 ] .
Invitamos al amable lector a que verifique las identidades (K [x1 ]) [x2 ] = K [x1 , x2 ] = (K [x2 ]) [x1 ] ;
la primera indica que un polinomio f ∈ K [x1 , x2 ] se puede expresar como f = f0 (x1 ) + f1 (x1 ) x2 + . . . +
fn (x1 ) xn2 , con fi (x1 ) ∈ K [x1 ] para cada i, mientras que la segunda identidad indica que f se puede expresar
como f = h0 (x2 ) + h1 (x2 ) x1 + . . . + hm (x2 ) xm
1 , con hj (x2 ) ∈ K [x2 ] para cada j.
Teorema 3.1 Sean K un campo y α trascendente sobre K. Si β ∈ K (α) − K, entonces α es algebraico sobre
(α)
con f (x) y g(x) primos relativos en K[x], entonces
K (β) . Más aún, si β se expresa como β = fg(α)
[K (α) : K (β)] = max{deg (f ) , deg (g)}
y el polinomio f (x) − βg(x) es irreducible en K (β) [x].
Demostración Sea n = max{deg (f ) , deg (g)}, es decir que podemos escribir
f (α) = an αn + . . . + a1 α + a0 ,
g (α) = bn αn + . . . + b1 α + b0 ,
donde an 6= 0 o bn 6= 0.
Como β =
f (α)
g(α) ,
tenemos que
(an − βbn ) αn + . . . + (a1 − βb1 ) α + (a0 − βb0 ) = f (α) − βg (α) = 0,
de modo que α es raı́z del polinomio f (x)−βg(x) ∈ K [β, x] = (K [β]) [x] . Además, notemos que an −βbn 6= 0
ya que an 6= 0 o bn 6= 0 y β ∈
/ K.
El polinomio f (x) − βg(x) es irreducible en K [β, x] = (K [x]) [β] , pues si se tiene que f (x) − βg(x) =
h (β, x) w (β, x) , puesto que es de grado uno sobre β, entonces alguno de los factores es en realidad un
polinomio en la variable x, y sin pérdida de generalidad elegimos h (β, x) = h (x) , ası́ que w (β, x) =
w1 (x) + βw2 (x) , luego h (x) divide a cada uno de los polinomios f (x) y g(x) y, como son primos relativos, se
sigue que h (x) es una unidad, es decir, un elemento de K − {0}. Se sigue del teorema 2.11 que f (x) − βg(x)
es irreducible en K (β) [x] .
Hemos mostrado que α es un elemento algebraico de grado n sobre K (β) .
Teorema 3.2 (Lüroth) Sean K un campo y α un elemento trascendente sobre K. Todo subcampo K (
L ⊂ K (α) es una extensión trascendente simple de K.
Demostración: Sea β ∈ L−K. Del teorema 3.1 sabemos que α es algebraico sobre K (β) , luego también
es algebraico en L, ya que K (β) ⊆ L.
Expresemos al polinomio mı́nimo (y mónico) de α sobre L como
mα,L (x) = xn + ln−1 xn−1 + . . . + l1 x + l0 ,
A. González, R. Jiménez, E. Pérez
donde li =
fi (α)
gi (α)
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con fi (x) = 0 ó fi (x) y gi (x) primos relativos en K[x].
Sea G(x) = mcm{gi (x) : fi (x) 6= 0}.
Si p(x) ∈ K [x] es un polinomio irreducible tal que p(x)|G(x) y n es el máximo entero tal que p(x)n |G(x)
(es decir que p(x)n+1 - G(x)), entonces p(x)n |gi0 (x) para alguna i0 tal que fi0 (x) 6= 0. Como fi0 (x) y gi0 (x)
= G (α) li0 .
son primos relativos, entonces p(x) - fi0 (x). Luego, p (α) |G (α) pero p (α) - fi0 (α) gG(α)
i (α)
0
Se sigue que el polinomio
M (α, x) = G (α) mα,L (x)
es primitivo sobre x en (K [α]) [x] = K [α, x] (observe que el coeficiente lı́der es G (α)).
Como α es trascendente sobre K, algún li no pertenece a K; de modo que
m = maxi∈{0,...,n−1} {deg (fi ) , deg (gi )} > 0.
Aplicando nuevamente el teorema 3.1 obtenemos que [K (α) : K (li1 )] = m y que el polinomio fi1 (x)−li1 gi1 (x)
es irreducible en K (li1 ) [x], para algún i1 ∈ {0, . . . , n − 1} .
Como α es raı́z del polinomio fi1 (x) − li1 gi1 (x) y sus coeficientes pertenecen a L, tenemos que mα,L (x)
divide a fi1 (x) − li1 gi1 (x) en L[x], es decir, existe q(x) ∈ L[x] − {0} tal que
fi1 (x) − li1 gi1 (x) = mα,L (x)q(x).
Sea G0 (α) ∈ K [α] el mı́nimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes de q(x), luego
Q (α, x) = G0 (α) q(x) ∈ K [α, x] .
Tenemos entonces la identidad
G (α) 0
G (α) [fi1 (x)gi1 (α) − fi1 (α) gi1 (x)] = M (α, x) Q (α, x) .
gi1 (α)
Como M (α, x) es primitivo sobre x en (K [α]) [x] se tiene que F (α) =
Q (α, x) , luego
fi1 (x)gi1 (α) − fi1 (α) gi1 (x) = M (α, x) Q0 (α, x) ,
donde Q0 (α, x) =
Q(α,x)
F (α)
G(α)
0
gi1 (α) G
(α) es un factor de
(3.1)
∈ K [α, x] .
Ahora, el grado sobre α del lado izquierdo de la ecuación previa es a lo más m. Debido a que los polinomios
son coeficientes de M (α, x) , visto como polinomio sobre la variable x, su grado sobre
G (α) y fi1 (α) gG(α)
i1 (α)
α es al menos m. De modo que ambos lados de la ecuación 3.1 son de grado m sobre α y por consiguiente
Q0 (α, x) = Q0 (x) ∈ K[x].
Recordemos que M (α, x) es un polinomio primitivo sobre x en (K [α]) [x], y notemos que Q0 (x), al
considerarlo como polinomio en (K [α]) [x], también es primitivo, ası́ que el lado derecho de la ecuación 3.1
es primitivo sobre (K [α]) [x] por el lema 2.10, luego el lado izquierdo también lo es.
Debido a que el lado izquierdo de 3.1 es simétrico en las variables x y α, entonces también es primitivo
con respecto a (K [x]) [α] , de modo que el lado derecho de 3.1 es primitivo en (K [x]) [α] , lo que implica
que Q0 (x) es un polinomio de grado cero, es decir, un elemento de K distinto de cero. Además el grado de
M (α, x) sobre x es el mismo grado que tiene sobre α. Luego
[K (α) : L]
=
degx (mα,L (x)) = n = degx (M (α, x))
=
degx (fi1 (x)gi1 (α) − fi1 (α) gi1 (x)) = m = [K (α) : K (li1 )] ,
y como K (li1 ) ⊂ L, se sigue que K (li1 ) = L.
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El teorema de Lüroth
Referencias
[1] N. Jacobson. Lectures in Abstract Algebra, III. Theory of Fields and Galois Theory. Springer-Verlag,
1964.
[2] E. Guerrero, E. Pérez. Álgebra Abstracta, de grupos a preliminares de la Teorı́a de Galois, Ediciones
de la Universidad Autónoma de Yucatán, 2010.
[3] E. Pérez. On semigeneric tameness and base field extension. Aceptado en Glasgow Mathematical Journal.