SolucionExamen

Mecanica
Analtica
FIM 8450
Primer Semestre 2009
Examen, Jueves 25 de Junio de 2009
Prof. J. Alfaro
Problema #1
( a) Encuentre la seccion
ecaz diferencial de scattering de partculas
por una esfera perfectamente rgida
de radio a . Esto es U = 0 ; r > a , U = 1 ; r < a .
Sol:
= a sen 0 ; + 2 0 = ; = a sen( 2 ? 2 ) = a cos( 2 )
d = j d a sen( ) cos( ) a = a 2
2
2 sen 4
d
sen d 2
( b) Encuentre la seccion
ecaz total , a partir de ( a) .
Sol:
= a 2
Problema #2
Las ecuaciones de transformacion
entre dos conjuntos de coordenadas son:
Q = ln( 1 + p q cos p)
P = 2( 1 + p q cos p) p q sen p
si q; p lo son.
( a) Muestre que Q ; P son variables canonicas
Sol:
?
p
q sen p
2
p
1 + q cos p
f Q ; P g = @Q @P ? @Q @P =
@p @q @q @p
p
1p sen p + sen p cos p ? p cospp
2
2
2 q
2 q ( 1 + q cos p) 2 q cos p ? qsen p + q cos p =
p
p
p
?1
2
2
2
3
2
( 1 + p q cos p) sen p + 2 q sen p cos p + cos p ? q sen p cos p + q cos p =
p
?1
(
1
+
q cos p) = ? 1
p
( 1 + q cos p)
!
?
?
( b) Encuentre la funcion
generatriz de la transformacion
canonica
( a) , F ( Q ; p) .
Sol:
pdq ? Hdt ? PdQ + H dt = dF + d( pq )
@F
q = ? @F
@p P = ? @Q
2
Q
Q
2
q = ecos?p1 = ? @F
@p ; F = ? ( e ? 1 ) tan( p) + G ( Q )
dG ? 2( e Q ? 1 ) tan( p) e Q = ? 2( e Q ? 1 ) tan( p) ? 2 tan( p) ( e Q ? 1 ) 2
dQ
dG = 0 ; G = 0
dQ
F = ? ( e Q ? 1 ) 2 tan( p)
0
1
Problema #3
( a) Utilice el metodo
de Hamilton-Jacobi para resolver el problema del movimiento de un
proyectil puntual de masa m en un plano vertical bajo la inuencia de la aceleracion
de gravedad
g , sin roce.
Sol:
H = 21m ( p2x + p2y ) + mgy
1 @S 2 @S 2
@S
2 m ( ( @x ) + ( @y ) ) + m gy = ? @t
S = S1 ( x ) + S2 ( y ) ? Et
1 ( dS1 ) 2 + 1 ( dS2 ) 2 + mgy = E
2 m dx
2 m dy
1 ( dS1 ) 2 = 2 ; S = x
2m 1
2 m dx
2
dS2 = 2 m ( E ? mgy ? ) ; S = dy 2 m ( E ? m gy ? 2 )
dy
2m 2
2m
r
Z
r
( b) Usando ( a) , encontrar la ecuacion
de la trayectoria y la dependencia temporal de las coordenadas, suponiendo que el proyectil se ha disparado desde el origen en t = 0, con una velocidad
v 0 que forma un angulo con la horizontal.
Sol:
@S = = x ?
@
Z
dy
2 m ( E ? mgy ?
q
r
)
m
2
=x?
2
2
2 m ( E ? mgy ? 2m ) ? m
2g
( x ? ) 2 ( m g ) 2 = 2 mE ? m 2 gy ? 2
2
2m
@S
@E = ? t 0 = ? t + dy 2 m ( E ? mgy ?
2
? t + 2 m ( E ? mgy ? ) 1
2 m ? mg
m 2 g2 ( t ? t 0 ) 2 = 2 m E ? 2 m 2 gy ? 2 ;
g 2 ( t 2 ? 2 tt 0 ) = ? 2 gy; y = ? 2g ( t 2 ? 2 tt 0 ) ;
gt 0 = v0 sen ; t 0 = v0 sen
g
2
gt
y = ? 2 + v0 sen t
Z
q
r
Tiempo: 3 horas
B uena Suerte! !
2
2 )
2m
=