Matemáticas Universitarias

Matemáticas Universitarias
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Sesión No. 7
Nombre: Operaciones básicas con matrices, producto e inversa.
Objetivo de la asignatura: En esta sesión el estudiante aplicará las
operaciones básicas de suma, resta, multiplicación e inversa de una matriz para
la solución sistemas de ecuaciones lineales en problemas prácticos.
Contextualización
En esta sesión se introducirá el concepto de matriz y se considerará los tipos
especiales de matrices. A través de esta operación matricial el alumno
aprenderá que una de las principales aplicaciones de las matrices es resolver
sistemas de ecuaciones de 3 variables o incógnitas.
Realizarás operaciones tales como suma, resta, producto de matrices y
calcularás la matriz inversa.
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Introducción al Tema
Buscando formas para describir situaciones en matemáticas y economía,
llegamos al estudio de arreglos rectangulares de números. Por ejemplo,
considera el sistema de ecuaciones lineales.
3𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 0
� 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
9𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 0
Lo que caracteriza a este sistema son los coeficientes numéricos en las
ecuaciones, junto con sus posiciones relativas. Por esta razón, el sistema puede
ser descrito por el arreglo rectangular
3
�2
9
4
1
6
3
− 1�
2
Que es llamado matriz. Consideraremos a tales arreglos rectangulares como
objetos por sí mismos y, se acostumbra encerrarlos entre corchetes.
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Explicación
Un arreglo rectangular de números que consiste en m renglones y n columnas.
𝑎11
⎡ 𝑎21
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣𝑎𝑚1
𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎22 … 𝑎2𝑛 ⎤
⎥
……
⎥
……
⎥
……
⎥
𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 ⎦
Es llamado matriz de m x n o matriz de orden m x n. para la entrada 𝑎𝑖𝑗 ,
llamamos a i el subíndice del renglón y a j el subíndice de la columna.
Suma de matrices
Si A y B son matrices de m x n, entonces la suma de A + B es la matriz m x n
obtenida sumando las correspondientes entradas de a Y b; esto es,
𝐴 + 𝐵 = �𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 �
Por ejemplo, sean
3
2
𝐴=�
0 −2
�
−1 4
y
5
1
𝐵=�
−3 6
� ; sumar
2 −5
Como A y B son del mismo tamaño (2X3), su suma está definida:
𝐴+𝐵 =�
3 + 5 0 + (−3) − 2 + 6
8
�=�
2 + 1 − 1 + 2 4 + (−5)
3
−3 4
�
1 −1
Nota: Las matrices a sumar deben de tener el mismo orden.
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http://4.bp.blogspot.com/pgCz5ANqcDo/UKrIzv8gECI/AAAAAAAAALA/j6vzzzAt9zY/s1600/PROPIEDADES.png
Ejemplos de suma y resta de matrices:
Vitutor. (s.f). Suma de matrices. Recuperado de:
http://www.vitutor.com/algebra/matrices/operaciones.html
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Multiplicación de matrices.
Además de las operaciones de suma de matrices y multiplicación por un escalar,
bajo ciertas circunstancias puede definirse el producto AB de las matrices A y B
esta circunstancia es que el número de columnas de A sea igual al número de
renglones de B.
Tres puntos clave de la definición son:
1. Sea A de orden m x n y B sea de n x p, es equivalente a decir que el
número de columnas de A debe de ser igual al número de renglones de B.
2. El producto será una matriz de orden m x p, tendrá tantos renglones como
A y tantas columnas como B.
3. La definición se refiere al producto de AB en ese orden; A es el factor
izquierdo y B el factor derecho. Para AB decimos que B esta pre
multiplicado por A, o bien, que A esta pos multiplicado por B.
Ejemplo:
La matriz izquierda tiene tamaño de 2 x 3 y la derecha de 3 x 2, por lo tanto la
matriz resultante tendrá un tamaño de 2 x 2.
http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/SfCd1LiXtfI/AAAAAAA
AFpo/_8e76CfDYKw/s400/multiplicacion_de_matrices.png
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Inversa de una matriz
Cálculo de la matriz inversa por determinantes
Ditutor. (s.f.). Matriz inversa. Recuperado de: http://www.ditutor.com/matrices/matriz_inversa.html
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Conclusión
Recordemos que una matriz es un arreglo rectangular de números encerrado
entre corchetes. Además de la operación básica de multiplicación por un escalar,
están definidas las operaciones básicas de suma y resta que se aplican a
matrices del mismo orden.
En la siguiente sesión aprenderemos el concepto de función, función lineal y su
gráfica.
http://www.colegioglenndoman.edu.co/aula%20virtual/lineale
s%208.gif
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Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
•
Matrices invertibles y elementos de álgebra matricial. (2011). En
Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM. Consultado el 25 de abril
de 2013: http://brd.unid.edu.mx/matrices-invertibles-y-elementos-dealgebramatricial/
•
Multiplicación de matrices. (s/f). Consultado el 25 de abril de 2013:
http://brd.unid.edu.mx/multiplicacion-de-matrices/
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
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Actividad de Aprendizaje
Con lo aprendido en esta sesión acerca de las operaciones básicas con matrices,
aplicarás dichos conceptos en la solución de los siguientes problemas.
I.- En los siguientes problemas, calcula las matrices requeridas si:
2
3
𝐴=�
−1
�
−3
a) A + B
−6 − 5
�
2 −3
𝐵=�
b) 2(A-2B)
c) –(A – B)
II.- En los siguientes problemas, calcula las matrices requeridas si:
1 −2
�
0
3
𝐴=�
a) AB
−2 3 0
�
1 −4 1
𝐵=�
b) AC
Sube tu trabajo a la plataforma.
−1 0 2
𝐶=�
�
1 3 4
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Bibliografía
Haussler, E. (1997). Matemáticas para administración, economía, ciencias
sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.
Cibergrafía
Ditutor. (s.f.). Matriz inversa. Consultado el 25 de abril de
2013: http://www.ditutor.com/matrices/matriz_inversa.html
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