La Transformación de Legendre - Centro de Modelado Científico

La Transformación
de Legendre
2016
Actualización # 04 (02/05/16).
Desde el 2015
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS
(EN REDACCION Y REVISION)
Colección Soldovieri de textos de Ciencia
NUEVO
Una presentación didáctica de un
tema que, en general, es tratado
escuetamente en los textos de ciencias
en los que se aplica.
SOLDOVIERI
LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA
ADVERTENCIA
TEXTO EN
REDACCION Y
REVISION
ACTUALIZACIONES PERIODICAS EN
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SOLDOVIERI C., Terenzio
Por Terenzio Soldovieri C. fecha 14:18 , 02/05/2016
LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS
1era edición (preprint)
(EN REDACCION Y REVISION)
Comenzado en 11/2015 - Actualización # 04 (02/05/2016)
Escrito usando LATEX
Copyright c 2016 Terenzio Soldovieri C.
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Soldovieri C., Terenzio
Profesor Agregado
Departamento de Física
Centro de Modelado Científico (CMC)
Facultad Experimental de Ciencias (FEC)
La Universidad del Zulia (LUZ)
Maracaibo, Estado Zulia
República Bolivariana de Venezuela
[email protected] - [email protected]
PIN: 568EEB0F
www.cmc.org.ve/tsweb
+584124271575
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Colección Soldovieri de textos de Ciencia.
Copyright c 2016 Soldovieri C., Terenzio.
Todos los derechos reservados.
Editorial: (por establecer)
ISBN: (por establecer)
República Bolivariana de Venezuela.
Gráficos: Soldovieri C., Terenzio.
Portadas: Soldovieri C., Terenzio.
Escritura electrónica: Soldovieri C., Terenzio.
Procesador: este libro fue elaborado usando LATEX.
Web del autor: www.cmc.org.ve/tsweb
Colección Soldovieri de textos de
Ciencia
Física General - Una introducción a los Fluidos, Vibraciones y Termodinámica.
Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton.
Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton - Solucionario.
El Angulo Sólido y algunas de sus aplicaciones. (Coautor)
La Transformación de Legendre para Estudiantes de Ciencias.
Coordenadas Generalizadas para estudiantes de Física.
Cálculo Variacional con fronteras fijas.
? ? ? ? ? ? ??
ADRIEN-MARIE LEGENDRE 1752 - 1833
Adrien-Marie Legendre 1752 - 1833
Adrien-Marie Legendre (París, 18 de septiembre de 1752 - Francia, 10 de enero
de 1833). Matemático francés.
Primeros años
Nació el 18 de septiembre de 1752 en París, Francia. Aunque se tienen muy pocos
datos sobre su familia, las biografías existentes relatan que se trataba de una familia
acomodada que, desde el nacimiento de Adrien Marie, se planteó el darle una buena
educación.
Tras completar sus estudios en el Collège Mazarin (también llamado “Colegio de las
Cuatro-Naciones”), fue alumno del padre jesuita Pierre Varignon entonces titular de la
cátedra de Matemáticas que inmediatamente, al darse cuenta de los dotes del joven,
le impulsó a profundizar en sus estudios matemáticos.
i
A la edad de 18 años, el 25 de julio de 1770, Legendre defiende su tesis doctoral
en el colegio: “Theses mathematicae ex analysi, geometria et mecanica excerpta”,
trabajo de un alto nivel, tanto que su director, el padre Marie incluyó varios párrafos de
la misma en su “Tratado de mecánica” de 1774. El joven estudiante empezaba su vida
científica.
Desde 1775 hasta 1780 entró a trabajar en la Escuela Militar y enseñó con Laplace.
Al tener que dar clase a futuros militares, Legendre profundizó sus conocimientos en
balística. Por eso, cuando la Clase de Matemáticas de la Academia de Berlín propuso
como tema del premio del año 1782 “Determinar la curva descrita por los proyectiles
y las bombas, teniendo en cuenta la resistencia del aire”, Legendre se encontró perfectamente preparado para concurrir y el 6 de junio de 1782 su trabajo ganó el primer
premio sirviendo para que Lagrange, del que Legendre se consideraba ya un discípulo,
se interesase por él y preguntase a Laplace ¿quién era ese joven autor?.
Para un científico el reconocimiento social consiste en ser elegido miembro de la
Academia de Ciencias. Legendre, con treinta años, fue asignado a la misma el 2 de
abril de 1783 y permaneció allí hasta el término de 1793.
Trayectoria investigativa
A partir de 1795 enseñó matemáticas en la École Normale. En sus primeros trabajos,
centrados en la mecánica, introdujo conceptos como la función que lleva su nombre
o la primera demostración del método de los mínimos cuadrados.
Tras los pasos de Leonhard Euler y Lagrange, estudió las funciones elípticas y las
redujo a tres formas básicas. Fue el primero en dedicar una obra estrictamente a
la Teoría de Números, ámbito en el que obtuvo resultados fundamentales como la
demostración, en 1830, de la Ley de la Reciprocidad Cuadrática.
En 1794 publicó los Elementos de Geometría, una versión reordenada y simplificada
de la obra original de Euclides, que fue traducida a más de treinta idiomas.
En el año 1782 determinó la fuerza de atracción para ciertos sólidos de revolución
al introducir una serie infinita de “polinomios Pn ”, la cual es conocida ahora como Polinomios de Legendre.
Su mayor trabajo fue con las funciones elípticas en “Ejercicios de Cálculo Integral”
(1811, 1817, 1819) e Integrales Elípticas en “Tratados de Funciones Elípticas” (1825, 1826,
1830) en las que proveía herramientas analíticas básicas para la Física Matemática.
En su famoso libro “Elementos de Geometría” (1794) dio una prueba simple de que:
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
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“p es irracional, así como la primera prueba que p2 es irracional y conjeturó que p no es la raíz de alguna ecuación algebraica de grado finito con
coeficientes racionales, es decir p no es algebraico”.
Gran parte de su trabajo fue perfeccionado posteriormente por otros: sus trabajos
en las raíces de los polinomios inspiró la Teoría de Évariste Galois; los trabajos de Niels
Henrik Abel en las Funciones Elípticas se construyeron sobre los de Legendre; parte de
la obra de Carl Friedrich Gauss sobre Estadística y Teoría de Números complementaba
la de Legendre. En 1830 ofreció una demostración del último Teorema de Pierre de
Fermat para el exponente n = 5.
Abel escribió en Octubre de 1826:
“Legendre es en extremo un hombre amigable, pero desafortunadamente
viejo como las piedras”.
Muerte
En 1824 Legendre se rehusó a votar por el candidato a gobernante del Instituto
Nacional. A causa de esto su pensión fue suspendida y murió en la pobreza el 10 de
enero de 1833 en París, Francia.
Se lo conoce también por la Transformación de Legendre, utilizada para pasar de
la formulación Lagrangiana a la Hamiltoniana de la Mecánica Clásica. También se usa
en Termodinámica para obtener la Entalpía de las energías libres de Helmholtz y Gibbs
partiendo de la energía interna.
Biografía tomada de la web: EcuRed
http://www.ecured.cu/Legendre_Adrien_Marie
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: iii
DEDICATORIA
El presente texto que he logrado con gran esfuerzo, tenacidad y luchando contra
todas las adversidades que he tenido que enfrentar en mi vida académica y, especialmente, personal se lo dedico de todo corazón, al igual que todos mis otros textos:
A mi difunto padre Raffaele Soldovieri Mastursi y a mi madre Rita Elena
Carmona.
A a mis hijos Terenzio José Soldovieri Martínez y Marchello Soldovieri Carmona.
A mi compañera de vida Yeldri Yolaura Chourio Herrera. Mi hermosa,
tierna y muy tropical negra-novia. La persona que, con su amor y atención
desinteresada, ha hecho de mi una nueva persona.
Se lo dedico también a todos los que fueron mis estudiantes en la Licenciatura de
Física de nuestra muy ilustre Universidad del Zulia, nuestra indudable Alma Máter, a todos aquellos estudiantes que no lo fueron y aquellos de otras universidades de nuestro
país y del extranjero que estudian Física y carreras afines que, con esfuerzo y sacrificio,
liberan obtáculos tras obtáculos para conseguir sus sueños. A todos ellos, especialmente, me debo y son la razón de todo el presente esfuerzo académico.
iv
AGRADECIMIENTOS
A
quí van los agradecimientos.
v
INDICE GENERAL
PREFACIO
xi
1 LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Definición de la Transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . .
1.3 Funciones covexas y cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Propiedades de las funciones convexas y cóncavas . . . .
1.3.4 ¿Cómo determinar si una función es convexa o cóncava?
1.3.4.1 En caso de funciones de una variable . . . . . . . .
1.3.4.2 En caso de funciones de varias variables . . . . . .
1
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. 15
2 TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
22
2.1 Obtención mediante un enfoque geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Obtención mediante un enfoque diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de una variable 24
vi
INDICE GENERAL
3 TRANSFORMACION DE LEGENGRE PARA MAS DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
27
3.1 Obtención . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE CON UNA O MAS VARIABLES PASIVAS Y SU FORMA VECTORIAL
32
4.1 Tipos de variables en una Transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de varias variables con una o más variables pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 La Transformación de Legendre en forma vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 ALGUNAS PROPIEDADES MATEMATICAS DE LA TRANSFORMACION DE
LEGENDRE
5.0.1
5.0.2
5.0.3
5.0.4
La inversa de la Transformación de Legendre .
Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simetrías y relaciones entre derivadas . . . . .
Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 ALGUNAS APLICACIONES DE LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE
6.1 En la Mecánica Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 En la Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 El Potencial de Helmholtz o Energía Libre de Helmholtz
6.2.2 La Entalpía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 La Función de Gibbs o Energía Libre de Gibbs . . . . .
6.2.4 Potencial Gran Canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5 Otros Potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 EJERCITACION
53
A TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y DE CONTACTO
56
A.1 Transformaciones correlativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A.2 Transformaciones de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
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INDICE GENERAL
B CALCULOS REFERENTES A LA DEFINICION DE FUNCION CONVEXA
67
C TEOREMA DE EULER
70
D BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
71
D.1
D.2
D.3
D.4
D.5
D.6
D.7
D.8
D.9
JEAN-BAPTISTE JOSEPH FOURIER 1768 -1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PIERRE-SIMON LAPLACE 1749 - 1827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
JULIUS PLÜCKER 1801 - 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GIUSEPPE LODOVICO LAGRANGIA (JOSEPH LOUIS LAGRANGE) 1736 - 1813
SIR WILLIAM ROWAN HAMILTON 1805 - 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
FRANÇOIS JACQUES DOMINIQUE MASSIEU 1832 - 1896 . . . . . . . . . . . .
LEONHARD EULER 1707 - 1783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
HERMANN LUDWIG FERDINAND VON HELMHOLTZ 1821 - 1894 . . . . . . . .
JOSIAH WILLARD GIBBS 1839 - 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BIBLIOGRAFIA
INDICE ALFABETICO
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
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Pág.: viii
INDICE DE FIGURAS
1.1 (a) Representación de la relación fundamental F = F (u). (b) Representación de una familia de relaciones fundamentales F = F (v). . . . . . .
1.2 Una curva dada puede representarse igualmente bien como envolvente
de una familia de líneas tangentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 (a) Gráfica de una función convexa F = F (u). (b) Gráfica de su tangente
v = v (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 (a) Conjunto S convexo, (b) conjunto S no convexo. . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Función F (u) convexa en el intervalo [ua ; ub ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 El Epigrafo de una función de valor real es la zona "sobre" la curva. . . . . .
1.7 Función F (u) cóncava en el intervalo [ua ; ub ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Gráfica de la finción F (u) = Cos (u). En el dominio 2 ; 32 es una función estrictamente convexa y en el dominio 32 ; 52 es una función estrictamente
cóncava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Representación gráfica de la desigualdad (1.9) que expresa la condición
de convexidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Gráfica de la función F (u) = u1 para u > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Gráfica de la función F (u) = e u para 6 0 y u > 0. . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Gráfica de la función F (u) = au2 + bu + c con a < 0 y u variable real. . . . . .
1.13 Gráfica de la función F (u) = e u + u con > 0 y u variable real. . . . . . . .
1.14 Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u21 + u22 2u1 u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15 Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u41 + u22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.16 Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u41 + u22 4u1 u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.17 Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = ln u1 + ln u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
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19
20
INDICE DE FIGURAS
2.1 Obtención geométrica de la transformada de Legendre para una relación
fundamental de una variable F = F (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A.1 Recta polar del punto P 0 (x0 ; y 0 ) respecto de la circunferencia x2 + y 2 = 1,
con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 (a) Se fija P en el plano obteniéndose su curva asociada CP0 en el plano
0
. (b) Se fija P 0 en el plano 0 obteniéndose su curva asociada CP 0 en el
plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 (a) Movimiento de P en el plano y sus consecuencias en el plano 0 . (b)
Movimiento de P 0 en el plano 0 y sus consecuencias en el plano . . . . . .
A.4 (a) Si se tiene un punto Q0 que pertenece a la curva CP0 , entonces su curva
asociada CQ0 debe pasar por P. (b) Si se tiene un punto Q que pertenece
0
a la curva CP 0 , entonces su curva asociada CQ
debe pasar por P 0 . . . . . .
A.5 Dos curvas K y K1 que están en contacto en un punto P se transforman
en otras dos K0 y K10 que también se tocan pero ahora en un punto P 0 . . . .
57
62
63
64
66
B.1 Detalles referentes a la definición de Función Convexa. . . . . . . . . . . . . 67
D.1
D.2
D.3
D.4
D.5
D.6
D.7
Jean-Baptiste Joseph Fourier 1768 -1830 . . . . . . . . . . . . . . . .
Pierre-Simon Laplace 1749 - 1827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Giuseppe Lodovico Lagrangia (Joseph Louis Lagrange) 1736-1813
Sir William Rowan Hamilton 1805-1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leonhard Euler 1707 - 1783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz 1821-1894 . . . . . . . .
Josiah Willard Gibbs 1839-1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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PREFACIO
A
quí va el Prefacio.
Terenzio Soldovieri C.
xi
PREFACIO
Albert Einstein 1879 - 1955
“Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos
las mismas cosas”. “Lo más incomprensible del Universo, es que sea comprensible”. “Lo importante es no dejar de hacerse preguntas”. “Nunca consideres
el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar
en el bello y maravilloso mundo del saber”. “La alegría de ver y entender es
el más perfecto don de la naturaleza”.
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: xii
CAPITULO 1
LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y
DEFINICIONES BASICAS
Contenido
1.1
1.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
De…nición de la Transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Funciones covexas y cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.1
Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.2
Funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.3
Propiedades de las funciones convexas y cóncavas . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.4
¿Cómo determinar si una función es convexa o cóncava? . . . . . . . . . .
12
Introducción
La palabra Transformación se refiere a la acción o procedimiento mediante el cual
algo se modifica, altera o cambia de forma manteniendo su identidad. Bajo ciertas
circunstancias particulares, es útil almacenar la información contenida en una determinada función de una forma diferente. Dos ejemplos comunes son las Transformaciones
de Fourier [Ref. 1, 2, 3, 4] y de Laplacey [Ref. 5, 6, 7]. Estas expresan la función como la
suma de exponenciales (reales o complejas), mostrando la información contenida en la
y
Ver apéndice D.1 para una biografía resumida de Fourier.
Ver apéndice D.2 para una biografía resumida de Laplace.
1
CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
función original en términos de la suma de cada componente contenida en la misma,
más que en términos de su valor. En Mecánica Cuántica, una Transformación de Fourier
permite pasar de la representación de posición a la de momento y viceversa [Ref. 8,9].
En la Física, la Transformación de Legendre provee un cambio de variables que permite expresar ecuaciones de movimiento, u otras relaciones físicas, en términos de cantidades dinámicas más convenientes para un análisis teórico o experimental dado. Específicamente, es una herramienta matemática comúnmente utilizada en Mecánica
Estadística y Termodinámica [Ref. 10, 11, 12] donde permite escribir relaciones termodinámicas en términos de conjuntos alternativos de variables independientes para así
definir los Potenciales Termodinámicos estudiados en los cursos básicos de Termodinámica y también es utilizada en Mecánica Clásica [Ref. 13, 14, 15, 16, 17] y Teoría de
Campos [Ref. 18] para establecer la correspondencia entre los marcos Lagrangiano y
Hamiltoniano de los sistemas dinámicos. También es usada en otras áreas de la física
como, por ejemplo, en Materia Condensada [Ref. 19].
1.2
Definición de la Transformación de Legendre
A continuación se presentará el problema matemático que concluye en la necesidad de definir la Transformación de Legendre.
Supóngase que se tiene una relación matemática cualquiera representada por la
función F ,
F = F (u1 ; u2 ; :::; un ) = F (ui ) , con i = 1; 2; 3; : : : ; n
(1.1)
que será llamada Relación Fundamental para señalar que contiene toda la información necesaria para caracterizar la relación matemática dada. Ahora, supóngase que
se desea expresar F mediante una función G diferente,
G = G (v1 ; v2 ; :::; vn ) = G (vi ) , con i = 1; 2; 3; : : : ; n
(1.2)
en la que los argumentos vi sean precisamente las derivadas de la función F respecto
a las antiguas variables ui ,
@F (uj )
vi =
(1.3)
@ui
tomando estas nuevas variables como independientes sin perder nada de la información contenida en la relación fundamental.
La solución al anterior problema matemático no se logra por el simple artilugio de
escribir las ui en términos de las vi usando (1.3) y reemplazándolas en la relación fundamental (1.1).
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 2
CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
Figura 1.1: (a) Representación de la relación fundamental F = F (u). (b) Representación de una familia
de relaciones fundamentales F = F (v).
Para comprender mejor lo inadecuado de este procedimiento piénsese en el caso
más sencillo de una sola variable u. Si la relación fundamental F = F (u) está representada como se muestra en la figura 1.1a y se elimina u mediante la expresión para la
pendiente v,
dF (u)
v=
(1.4)
du
una breve reflexión indica que con tal procedimiento se perdería algo del contenido
matemático de la relación fundamental F = F (u) puesto que:
1. Desde el punto de vista geométrico es evidente que el conocimiento de F en función de la pendiente v no permitirá reconstruir la curva F = F (u). En efecto, cualquiera
de las curvas de la figura 1.1b satisface la relación F = F (v).
2. Desde el punto de vista analítico la relación F = F (v) es una ecuación diferencial
de primer orden y su integración da una F = F (u) en la que queda indeterminada
una constante de integración. Así pues, se ve que la aceptación de F = F (v) como
relación fundamental en lugar de F = F (u) implicaría la pérdida de parte de la información contenida originalmente en la relación fundamental. En efecto, supóngase
que se tiene una función F = F (u), así la derivada es la pendiente en cada punto
de la curva y viene dada por (1.4). Ahora, si se quiere obtener F como función de v
se puede pensar en integrar (1.4),
Z
F = vdu + C
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CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
donde C es una constante de integración. Entonces,
2
3
Z
1
dv
5 dv + C = F (v; C)
F = 4v
du
1
u=F
(v)
Resulta obvio que, aunque la función inversa F 1 estuviese bien definida, sólo con la
información de F (u) no es posible determinar unívocamente F pues hay una constante C indeterminada.
A pesar de la conveniencia de disponer de v como variable independiente, este
sacrificio del contenido informativo es completamente inaceptable. La solución aceptable al problema planteado [Ref. 10,11] es suministrada por la dualidad entre la geometría
convencional del punto y la Geometría de Plücker de las líneasz .
Figura 1.2: Una curva dada puede representarse igualmente bien como envolvente de una familia de
líneas tangentes.
El concepto esencial en la geometría de Plücker de las líneas es que una curva
dada puede representarse igualmente bien como envolvente de una familia de líneas
tangentes (ver figura 1.2) o como lugar geométrico de los puntos que satisfacen la
relación fundamental F = F (u). Por consiguiente, cualquier expresión que permita
construir la familia de líneas tangentes determina la curva tan satisfactoriamente como
la relación F = F (u).
z
La geometría de Plücker propone una relación funcional para las rectas a través de los pares ordenados
(v; G (v)) donde v es la pendiente y G (v) la ordenada al origen. Ver apéndice D.3 para una biografía
resumida de Plücker.
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CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
El procedimiento para encontrar G = G (v) lo proporciona la llamada Transformación
de Legendre,
Una Transformación de Legendre de una función de n variables independientes,
F = F (u1 ; u2 ; : : : ; un ) = F (ui ) , i = 1; 2; 3; : : : ; n
da como resultado una nueva función,
G = G (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) = G (vi ) , i = 1; 2; 3; : : : ; n
@F (u )
en la que se sustituye una o más de las variables ui de F por las derivadas vi = @uij
de la función F respecto a esas variables (variables conjugadas), de manera que no se
pierda nada de la información original contenida en F , es decir, F y G deben contener
indéntica información y las mismas unidades.
o, en otras palabras,
Una Transformación de Legendre es un procedimiento matemático
mediante el cual se reemplaza una función de varias variables con una
nueva función que depende de las derivadas parciales de la función
original con respecto algunas de las variables independientes originales.
Dada una función F (u), la Transformación de Legendre proporciona una forma más
conveniente de almacenar la información en la función cuando son satisfechas las
siguientes condiciones:
1. La función F (u) es suave, es decir, tiene “suficientes” derivadas continuas.
2. La función F (u) es estrictamente convexa en el intervalo considerado.
3. Es más fácil medir, controlar o pensar sobre la derivada de F con respecto a u que
hacerlo directamente respecto a u.
Debido a la condición 1, la derivada de F (u) con respecto a u puede servir como
un sustituto de u, es decir, hay un mapeo uno a uno entre u y dFdu(u) . La Transformación
de Legendre muestra cómo crear una función que contenga la misma información que
F (u) pero que, en vez de ser función de u, sea función de v (u) = dFdu(u) .
Una forma gráfica de constatar cómo el valor de la pendiente v puede sustituir el
valor de u en una función convexa (la convexidad de una función será abordada en la
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CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
Figura 1.3: (a) Gráfica de una función convexa F = F (u). (b) Gráfica de su tangente v = v (u).
siguiente sección) puede verse considerando el ejemplo mostrado en la figura 1.3a. En
dicha figura la curva dibujada representa una función F (u) convexa. Al moverse a lo
largo de la curva hacia la derecha (el sentido en que u se incrementa), la pendiente v
de la tangente a la curva se incrementa continuamente. En otras palabras, si se grafica
la pendiente v como una función de u, resultará una curva suavemente creciente,
como se muestra en la figura 1.3b. Si la segunda derivada de F (u) existe en cualquier
rango de u en la cual F (u) está definida (que es parte de la condición de que F (u)
sea suave), entonces existe un valor único de la pendiente v para cada valor de u y
viceversa. En lenguaje matemático apropiado, se dice que existe una relación 1 1
entre v y u.
Este tipo de transformación recibió la denominación antes indicada después de que
A. Legendre las investigó por primera vez en 1789. La Transformación de Legendre es
un ejemplo particular de las Transformaciones de Contactox [Ref. 20, 21], por esta razón
también es conocida como la Transformación de Contacto de Legendre.
1.3
Funciones covexas y cóncavas
En virtud de la condición 2, mecionada en la sección anterior, es pertinente a
este nivel hacer una pequeña revisión acerca de las funciones convexas y cóncavas
[Ref. 22, 23, 24], haciendo incapié en los aspectos de relevancia para el presente texto.
x
Véase el apéndice A.
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CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
1.3.1 Funciones convexas
Antes de definir lo que és una Función Convexa, es pertinente definir Conjunto Convexo.
Figura 1.4: (a) Conjunto S convexo, (b) conjunto S no convexo.
Un conjunto S es convexo si no existen puntos A y B en S tales que
en el segmento de recta entre A y B exista, al menos, un punto que no
pertenece a S (ver figura 1.4).
Es de hacer notar que se incluye el conjunto vacío dentro de la definición de conjunto convexo. La definición también incluye conjuntos unitarios donde A y B tienen
que ser el mismo punto y por lo tanto la línea entre A y B es el mismo punto.
Ahora bien,
Sea S
Rn un conjunto convexo no vacío y sea F : S ! R, se dice
que F es una Función Convexa en S si y sólo si,
F [ ua + (1
) ub ] 6 F (ua ) + (1
) F (ub )
(1.5)
8 2 [0; 1] ^ 8ua ; ub 2 S, como se muestra gráficamente en la figura 1.5.
Véase el apéndice B para una explicación de la figura 1.5. Geométricamente, F =
F (u) será convexa si el segmento que une dos puntos cualesquiera de la gráfica de
la función se sitúa siempre encima o a la altura de ésta, es decir, en su Epigrafo. EL
Epigrafo de una función es la zona "arriba" de la función, como se muestra en la figura
1.6. Análogamente, el conjunto de puntos en o por debajo de esta función es un
Hipografo.
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CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
Figura 1.5: Función F (u) convexa en el intervalo [ua ; ub ].
Una Función Estrictamente Convexa es aquella en que,
F [ ua + (1
) ub ] < F (ua ) + (1
) F (ub )
(1.6)
8 2 (0; 1) ^ 8ua ; ub 2 S con ua 6= ub .
1.3.2 Funciones cóncavas
Sea S
Rn un conjunto convexo no vacío y sea F : S ! R, se dice
que F es una Función Cóncava en S si y solo si F es convexa, es decir,
cuando se verifica que,
F [ ua + (1
) ub ] > F (ua ) + (1
) F (ub )
(1.7)
8 2 [0; 1] ^ 8ua ; ub 2 S, como se muestra gráficamente en la figura 1.7.
y además,
Una Función Estrictamente Cóncava es aquella en que,
F [ ua + (1
) ub ] > F (ua ) + (1
) F (ub )
(1.8)
8 2 (0; 1) ^ 8ua ; ub 2 S con ua 6= ub .
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CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
Figura 1.6: El Epigrafo de una función de valor real es la zona "sobre" la curva.
Geométricamente, F = F (u) será cóncava si el segmento que une dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función se sitúa siempre por debajo de ésta, es decir, en
su Hipografo.
Las funciones lineales son cóncavas y convexas a la vez, dado que cumplen la
definiciones (1.4) y (1.6) como una igualdad entre los dos miembros. Sin embargo, por
lo anterior, no son extrictamente convexas ni extrictamente cóncavas. Por el contrario,
la función coseno F (u) = Cos (u), mostrada en la figura 1.8, no es cóncava ni convexa
sobre todo su dominio R pero, sin embargo, sobre ciertos subdominios si tiene algunas
de estas propiedades. Así, en el dominio 2 ; 32 es una función convexa, mientras que
en el dominio 32 ; 52 es una función cóncava, siéndolo estrictamente en ambos casos.
Es de hacer notar que,
Las definiciones que se han presentado sobre funciones covexas y
cóncavas no exigen ni la continuidad ni la diferenciabilidad de la función.
1.3.3 Propiedades de las funciones convexas y cóncavas
Siguientemente se presentarán algunas propiedades, sin demostrarlas [Ref. 25, 26,
27], relacionadas con el carácter cóncavo o convexo de las funciones: sea S un conjunto convexo y no vacío,
1. Si la función F es cóncava en S, entonces
F es convexa en S.
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CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
Figura 1.7: Función F (u) cóncava en el intervalo [ua ; ub ].
2. Si la función F es convexa en S, entonces
F es cóncava en S.
3. Si la función F es estrictamente cóncava en S, entonces
vexa en S.
F es estrictamente con-
4. Si la función F es estrictamente convexa en S, entonces
cava en S.
F es estrictamente cón-
5. La suma de funciones convexas sigue siendo una función convexa.
6. La suma de funciones cóncavas sigue siendo una función cóncava.
7. Si las n funciones Fi , i = 1; 2; 3; : : : ; n son convexas en S, entonces su combinación
lineal,
n
X
i Fi , con i > 0 (escalares)
i=1
es convexa en S.
8. Si las n funciones Fi , i = 1; 2; 3; : : : ; n son cóncavas en S, entonces su combinación
lineal,
n
X
i Fi , con i > 0 (escalares)
i=1
es cóncava en S.
9. Las funciones lineales son a la vez cóncavas y convexas, pero no estrictamente.
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Figura 1.8: Gráfica de la finción F (u) = Cos (u). En el dominio 2 ; 32 es una función estrictamente convexa y en el dominio 32 ; 52 es una función estrictamente cóncava.
10. Si F y Q son funciones convexas y Q es creciente, entonces la función compuesta
F Q es convexa.
11. Si F es una función cóncava y Q es convexa y decreciente, entonces la función
compuesta F Q es convexa.
12. Si F y Q son funciones cóncavas y Q es creciente, entonces la función compuesta
F Q es cóncava.
13. Si F es una función convexa y Q es cóncava y decreciente, entonces la función
compuesta F Q es cóncava.
14. Si F es una función convexa y creciente, entonces F 1 es una función cóncava o,
equivalentemente, si F es una función cóncava y creciente, entonces F 1 es una
función convexa.
15. Si F es una función convexa y decreciente, entonces F 1 es una función convexa
o, equivalentemente, si F es una función cóncava y decreciente, entonces F 1 es
cóncava.
16. El producto de funciones cóncavas no ha de ser necesariamente una función cóncava.
17. El producto de funciones convexas no ha de ser necesariamente una función convexa.
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1.3.4 ¿Cómo determinar si una función es convexa o cóncava?
Obsérvese que no es fácil determinar si una función es convexa o cóncava por
definición. Por ello es conveniente disponer de unas condiciones necesarias y suficientes que permitan determinarlo, estudiando otros elementos más operativos.
Siempre que la función dada sea al menos dos veces derivable, se puede determinar su carácter convexo o cóncavo.
1.3.4.1
En caso de funciones de una variable
Figura 1.9: Representación gráfica de la desigualdad (1.9) que expresa la condición de convexidad.
Si la función F = F (u) es derivable entonces la convexidad equivale a la condición que expresa la desigualdad,
d
F (ub )
F (ua ) 6
dx
ub
F (ua )
d
6
F (ub )
ua
dx
(1.9)
como se muestra gráficamente en la figura 1.9. Esto significa que la pendiente de la
curva entre los puntos ua y ub está contenida entre los valores extremos de la derivada,
lo cual equivale a que la derivada sea creciente en todo el dominio de F . Si F es
dos veces derivable, el carácter creciente de la primera derivada implica que que la
segunda derivada sea positiva,
d2
F
du2
(u) > 0
(1.10)
Para una función
convexa
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y para una función estrictamente convexa,
d2
F
du2
(1.11)
(u) > 0
Para una función
estrictamente convexa
Mediante un razonamiento análogo al anterior se puede encontrar que para las
funciones cóncavas se debe cumplir que,
d2
F
du2
(u) 6 0
(1.12)
Para una función
cóncava
y,
d2
F
du2
(1.13)
(u) < 0
Para una función
estrictamente cóncava
para una función estrictamente cóncava.
...............................................................................................
EJEMPLO 1.1
Determinar si la función,
1
u
F (u) =
con u > 0, es cóncava o covexa. Ver figura 1.10.
SOLUCION: al hallar la segunda derivada de la función dada resulta,
2
d2
F (u) = 3 > 0
2
du
u
lo cual indica que es estrictamente convexa.
...............................................................................................
EJEMPLO 1.2
Determinar si la función,
F (u) = e
u
con 6 0 y u > 0 variable real, es cóncava o covexa. Ver figura 1.11.
SOLUCION: al hallar la segunda derivada de la función dada resulta,
d2
F (u) =
du2
3
e
u
60
lo cual indica que es cóncava.
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CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
Figura 1.10: Gráfica de la función F (u) =
1
u
para u > 0.
...............................................................................................
EJEMPLO 1.3
Determinar si la función,
F (u) = au2 + bu + c
con a < 0 y u variable real, es cóncava o covexa. Ver figura 1.12.
SOLUCION: al hallar la segunda derivada de la función dada resulta,
d2
F (u) = 2a < 0
du2
lo cual indica que es estrictamente cóncava.
...............................................................................................
EJEMPLO 1.4
Determinar si la función,
F (u) = e
con
u
+u
> 0 y u variable real, es cóncava o covexa. Ver figura 1.13.
SOLUCION: al hallar la segunda derivada de la función dada resulta,
d2
F (u) =
du2
2
e
u
>0
lo cual indica que es convexa.
...............................................................................................
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CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
Figura 1.11: Gráfica de la función F (u) = e
u
para
6 0 y u > 0.
Figura 1.12: Gráfica de la función F (u) = au2 + bu + c con a < 0 y u variable real.
1.3.4.2
En caso de funciones de varias variables
Antes de indicar cómo saber si una función de varias variables es convexa o cóncava se definirá la Matriz Hessiana H y sus menores principales.
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CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
Figura 1.13: Gráfica de la función F (u) = e
u
+ u con
> 0 y u variable real.
La matriz Hessiana H de una función de n variables F =
F (u1 ; u2 ; :::; un ) = F (ui ), con i = 1; 2; 3; : : : ; n, es la matriz cuadrada
simétrica n n formada por las segundas derivadas de F (ui ) y cuyos
elementos vienen dados por,
Hij =
@F (uk )
@ui @uj
(1.14)
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada cuya transpuesta es igual a ella misma.
Explícitamente la matriz Hessiana se escribe como,
1
0 @2F
@2F
@2F
@2F
B
B
B
B
H=B
B
B
@
@u21
@2F
@u2 @u1
@2F
@u3 @u1
@u1 @u2
@2F
@u22
@2F
@u3 @u2
@u1 @u3
@2F
@u2 @u3
@2F
@u23
@2F
@un @u1
@2F
@un @u2
@2F
@un @u3
..
.
..
.
..
.
...
@u1 @un
@2F
@u2 @un
@2F
@u3 @un
..
.
@2F
@u2n
C
C
C
C
C
C
C
A
(1.15)
Se llaman Menores Principales Dominantes Dk de la matriz Hessiana H a los n determinantes,
Dk =
@2F
@u21
@2F
@u2 @u1
@2F
@u3 @u1
@2F
@u1 @u2
@2F
@u22
@2F
@u3 @u2
@2F
@u1 @u3
@2F
@u2 @u3
@2F
@u23
@2F
@uk @u1
@2F
@uk @u2
@2F
@uk @ q 3
..
.
..
.
..
.
..
@2F
@u1 @uk
@2F
@u2 @uk
@2F
@u3 @uk
.
, con k = 1; 2; 3; : : : ; n
(1.16)
..
.
@2F
@u2k
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CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
o explícitamente,
D1 =
!
@2F
@u21
! D2 =
! Dn =
@2F
@u21
@2F
@u2 @u1
@2F
@u3 @u1
..
.
@2F
@un @u1
@2F
@u21
@2F
@u2 @u1
@2F
@u1 @u2
@2F
@u22
@2F
@u3 @u2
..
.
@2F
@un @u2
@2F
@u1 @u2
@2F
@u22
@2F
@u1 @u3
@2F
@u2 @u3
@2F
@u23
..
.
! D3 =
..
@2F
@u21
@2F
@u2 @u1
@2F
@u3 @u1
@2F
@u1 @u2
@2F
@u22
@2F
@u3 @u2
@2F
@u1 @u3
@2F
@u2 @u3
@2F
@u23
@2F
@u1 @un
@2F
@u2 @un
@2F
@u3 @un
.
@2F
@un @u3
..
.
@2F
@u2n
Ahora bien, es posible asociar el carácter de la función F = F (ui ) con el estado de
la matriz Hessiana H la cual es mostrada en la siguiente tabla:
Valores propios
de H
Dk
>0
Dk > 0, k = 1; 2; 3; : : : ; n
>0
Dk > 0, k = 1; 2; 3; : : : ; n
8
>
< Dk 6 0, k impar.
y
>
:
D > 0, k par.
8 k
> Dk < 0, k impar.
<
y
>
:
Dk > 0, k par.
F (ui )
H
1
Estrictamente
convexa
2
Convexa
Definida
positiva
Semidefinida
positiva
3
Cóncava
Semidefinida
negativa
60
4
Estrictamente
cóncava
Definida
negativa
<0
y si la función no es convexa ni cóncava, entonces se dice que es indefinida.
...............................................................................................
EJEMPLO 1.5
Determinar si la función F : R2 ! R,
F (u1 ; u2 ) = u21 + u22
2u1 u2
es cóncava o covexa. Ver figura 1.14.
SOLUCION: se halla la matriz Hessiana (1.15) a partir de la función dada,
!
!
@2F
@2F
2
2
@u1 @u2
@u21
H=
=
@2F
@2F
2 2
@u2 @u1
@u2
(1.17)
2
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CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
Figura 1.14: Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u21 + u22
2u1 u2 .
y a partir de aquí se hallan los menores principales dominantes (1.16),
2
D1 = 2 > 0
6
2
2
4
D2 =
=0
2 2
(1.18)
cumpliéndose el caso 2 de la tabla, indicando que la matriz Hessiana es semidefinida
positiva en todo R2 . Por lo tanto, F (u1 ; u2 ) es convexa en todo R2 .
...............................................................................................
EJEMPLO 1.6
Determinar si la función F : R2 ! R,
F (u1 ; u2 ) = u41 + u22
es cóncava o covexa. Ver figura 1.15.
SOLUCION: se halla la matriz Hessiana (1.15) a partir de la función dada,
!
!
@2F
@2F
2
2
12u
0
@u1 @u2
@u1
1
=
H=
@2F
@2F
0
2
@u2 @u1
@u2
(1.19)
2
y a partir de aquí se hallan los menores principales dominantes (1.16),
2
D1 = 12u21 > 0
6
12u21 0
4
D2 =
= 24u21 > 0
0
2
(1.20)
cumpliéndose el caso 2 de la tabla, indicando que la matriz Hessiana es semidefinida
positiva en todo R2 . Por lo tanto, F (u1 ; u2 ) es convexa en todo R2 .
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CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
Figura 1.15: Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u41 + u22 .
...............................................................................................
EJEMPLO 1.7
Determinar si la función F : R2 ! R,
F (u1 ; u2 ) = u41 + u22
4u1 u2
es cóncava o covexa. Ver figura 1.16.
Figura 1.16: Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u41 + u22
4u1 u2 .
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 19
CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
SOLUCION: se halla la matriz Hessiana (1.15) a partir de la función dada,
!
!
@2F
@2F
2
2
4
12u
@u1 @u2
@u1
1
H=
=
@2F
@2F
4
2
@u2 @u1
@u2
(1.21)
2
y a partir de aquí se hallan los menores principales dominantes (1.16),
2
D1 = 12u21 > 0
6
4
12u21
4
= 24u21 16 > 0
D2 =
4
2
(1.22)
El signo de D2 depende de u1 lo que indica que la matriz Hessiana no es semidefinida
positiva ni negativa en todo R2 . Por esta razón la función F (u1 ; u2 ) es indefinida en todo
R2 , pudiendo ser convexa o cóncava en algunos subconjuntos de R2 .
...............................................................................................
EJEMPLO 1.8
Determinar si la función F : (0; 1)
(0; 1) ! R,
F (u1 ; u2 ) = ln u1 + ln u2
es cóncava o covexa. Ver figura 1.17.
Figura 1.17: Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = ln u1 + ln u2 .
SOLUCION: se halla la matriz Hessiana (1.15) a partir de la función dada,
!
!
@2F
@2F
1
0
@u1 @u2
@u21
u21
H=
=
@2F
@2F
1
0
@u2 @u1
@u2
u2
2
(1.23)
2
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Pág.: 20
CAPITULO 1. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE Y DEFINICIONES BASICAS
y a partir de aquí se hallan los menores principales dominantes (1.16),
2
D1 = u12 < 0
1
6
1
6
0
u21
4 D =
= u21u2 > 0
2
1
1 2
0
u2
(1.24)
2
cumpliéndose el caso 4 de la tabla, indicando que la matriz Hessiana es definida negativa en todo (0; 1) (0; 1). Por lo tanto, F (u1 ; u2 ) es cóncava en todo (0; 1) (0; 1).
...............................................................................................
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 21
CAPITULO 2
TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA
UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Contenido
2.1
2.1
Obtención mediante un enfoque geométrico . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2
Obtención mediante un enfoque diferencial . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3
Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de una
variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Obtención mediante un enfoque geométrico
Para encontrar la forma de realizar esta transformación se tomará, por este momento, una ruta geométrica [Ref. 28, 29, 30, 31]. Considérese la gráfica de F (u) versus
u mostrada en la figura 2.1. Escójase ahora un valor de u que represente la abcisa del
punto donde la recta tangente toca a F (u), por lo tanto, F (u) será la ordenada de
dicho punto. La ordenada del punto de corte de la tangente a la curva con el eje
horizontal (“eje F ”) está representado por G. Es fácil entonces ver a partir del triángulo
ABC que,
F +G
dF (u)
=
=v
(2.1)
Tg =
u
du
22
CAPITULO 2. TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Figura 2.1: Obtención geométrica de la transformada de Legendre para una relación fundamental de
una variable F = F (u).
de aquí que,
G (v) = uv F (u)
Transformación de Legendre
para una variable independiente
(2.2)
donde la función G (v) se denomina Transformación de Legendre de F (u). A la variable
v se le da el nombre de Variable Conjugada de u.
Se tienen ahora dos posibles situaciones:
1. Se conoce la relación F (u) y se quiere hallar G (v): este es el caso que representa
la Transformación de Legendre (2.2). Si se conoce F (u) entonces se tiene también
v = dFdu(u) , de donde se puede despejar u como función de v y reemplazarla en (2.2).
De esta manera G queda como una función sólo de v, G = G (v).
2. Se conoce la relación G (v) y se quiere hallar F (u): al despejar F de (2.2) resulta,
F (u) = uv G (v)
Transformación de Legendre Inversa
para una variable independiente
donde ahora,
u=
dG (v)
dv
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
(2.3)
(2.4)
Pág.: 23
CAPITULO 2. TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Ahora, si se conoce G (v) entonces a partir de (2.4) se puede despejar v como función de u y reemplazarla en (2.3). De esta manera F queda como una función sólo
de u, F = F (u). Esta es la Transformación de Legendre Inversa de la función G (v).
2.2
Obtención mediante un enfoque diferencial
Se obtendrá ahora la Transformación de Legendre (2.2) mediante un enfoque diferencial [Ref. 30, 31]. Al diferenciar la función F = F (u) resulta,
dF =
si ahora se hace,
v=
dF
du
du
(2.5)
dF
du
(2.6)
entonces se puede escribir que,
dF = vdu
(2.7)
d (uv) = udv + vdu
(2.8)
Por otro lado,
de manera que, al restar (2.7) de (2.8) resulta,
d (uv)
dF = udv + vdu
d (uv
vdu
F ) = udv
dG = udv
donde se ha introducido la función,
G = uv
F
(2.9)
que es la Transformación de Legendre buscada. Puesto que se han tomado diferenciales de u y v, es posible tomar estas dos cantidades como variables independientes
de la nueva función G.
2.3
Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de una variable
...............................................................................................
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 24
CAPITULO 2. TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
EJEMPLO 2.1
Sea F (u) = u3 , encontrar su Transformación de Legendre.
SOLUCION: de (2.2),
u3
G (v) = uv
(2.10)
y de (2.1),
v
dF (u)
d
v=
=
u3 = 3u2 ) u (v) =
du
du
3
por lo tanto, al sustituir (2.11) en (2.10) resulta,
1
2
v
G (v) =
3
(2.11)
3
2
v
3
v
1
2
o,
G (v) = 2
v
3
3
2
(2.12)
que es la Transformación de Legendre pedida.
...............................................................................................
EJEMPLO 2.2
Sea F (u) = au2 + bu + c (a, b y c constantes), encontrar su Transforma-
ción de Legendre.
SOLUCION: de (2.2),
au2 + bu + c
G (v) = uv
(2.13)
y de (2.1),
d
dF (u)
1
=
(v b)
au2 + bu + c = 2au + b ) u (v) =
du
du
2a
por lo tanto, al sustituir (2.14) en (2.13) resulta,
(
)
2
1
1
1
G (v) =
(v b) v
a
(v b) + b
(v b) + c
2a
2a
2a
v=
(2.14)
o,
G (v) =
1
4a
b)2
(v
c
(2.15)
que es la Transformación de Legendre pedida.
...............................................................................................
EJEMPLO 2.3
Sea F (u) = eu + 1, encontrar su Transformación de Legendre.
SOLUCION: de (2.2),
G (v) = uv
(eu + 1)
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(2.16)
Pág.: 25
CAPITULO 2. TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
y de (2.1),
dF (u)
d u
=
(e + 1) = eu ) u (v) = ln v
du
du
por lo tanto, al sustituir (2.17) en (2.16) resulta,
(2.17)
v=
G (v) = v ln v
(v + 1)
o,
G (v) = v (ln v
1)
(2.18)
1
que es la Transformación de Legendre pedida.
...............................................................................................
EJEMPLO 2.4
Sea F (u) = u ln u, encontrar su Transformación de Legendre.
SOLUCION: de (2.2),
G (v) = uv
(2.19)
u ln u
y de (2.1),
d
dF (u)
=
(u ln u) = ln u + 1 ) u (v) = ev
du
du
por lo tanto, al sustituir (2.20) en (2.19) resulta,
v=
G (v) = ev 1 v
ev
1
G (v) = ev
1
ln ev
1
(2.20)
1
o,
(2.21)
que es la Transformación de Legendre pedida.
...............................................................................................
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 26
CAPITULO 3
TRANSFORMACION DE LEGENGRE PARA
MAS DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Contenido
3.1
3.1
Obtención . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2
Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de varias
variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Obtención
Ahora bien, todo el desarrollo anterior es válido para el caso de más de una variable independiente. Esto se puede mostrar a partir de un enfoque diferencial como el
de la sección 2.2. En efecto, dada una función de n variables independientes,
F = F (u1 ; u1 ; u3 ; : : : ; un ) = F (uj ) , con j = 1; 2; 3; : : : ; n
su diferencial total viene dado por,
X @F (uj )
@F
@F
@F
@F
du1 +
du2 +
du3 + : : : +
dun =
dui
dF (uj ) =
@u1
@u2
@u3
@un
@ui
i=1
n
y si se hace,
vi =
@F (uj )
@ui
27
(3.1)
CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE LEGENGRE PARA MAS DE UNA VARIABLE
INDEPENDIENTE
entonces,
dF (uj ) =
n
X
(3.2)
vi dui
i=1
Por otro lado es posible escribir que,
d (u1 v1 ) = u1 dv1 + v1 du1
d (u2 v2 ) = u2 dv2 + v2 du2
d (u3 v3 ) = u3 dv3 + v3 du3
..
.
(3.3)
d (un vn ) = un dvn + vn dun
que al ser sumadas miembro a miembro resulta en,
d (u1 v1 ) + d (u2 v2 ) + d (u3 v3 ) +
+ d (un vn ) = u1 dv1 + v1 du1 + u2 dv2 + v2 du2 + u3 dv3 + v3 du3
+
d (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 +
+ un dvn + vn dun
+ un vn ) = (u1 dv1 + u2 dv2 + u3 dv3 +
+v3 du3 +
o,
d
n
X
ui v i
i=1
!
=
n
X
+ un dvn ) + (v1 du1 + v2 du2
+ vn dun )
ui dvi +
i=1
n
X
(3.4)
vi dui
i=1
Ahora, al restar miembro a miembro (3.2) de (3.4) se obtiene,
!
n
n
n
n
X
X
X
X
d
ui vi
dF (uj ) =
ui dvi +
vi dui
vi dui
i=1
d
o,
"
n
X
i=1
ui v i
#
dF (uj )
i=1
=
n
X
ui dvi
|i=1
{z
=0
i=1
}
i=1
dG (vj ) =
n
X
ui dvi
(3.5)
i=1
donde,
G (vj ) =
n
X
ui v i
F (uj ) , j = 1; 2; 3; : : : ; n
(3.6)
i=1
Transformación de Legendre
para n variables independientes uj
con,
vi =
@F (uj )
@ui
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(3.7)
Pág.: 28
CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE LEGENGRE PARA MAS DE UNA VARIABLE
INDEPENDIENTE
3.2
Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de varias variables
...............................................................................................
EJEMPLO 3.1
Encuentre la Transformación de Legendre G (v1 ; v2 ) de la función,
F (u1 ; u2 ) = eu1 + u22
SOLUCION: este es un caso de n = 2 variables independientes, por lo tanto, de (3.6)
se puede escribir,
G (v1 ; v2 ) = u1 v1 + u2 v2
eu1 + u22
(3.8)
y de (3.7),
@F
@
=
eu1 + u22 = eu1 ) u1 = ln v1
@u1
@u1
@
@F
1
=
=
eu1 + u22 = 2u2 ) u2 = v2
@u2
@u2
2
v1 =
v2
por lo tanto, al sustituir (3.9) y (3.10) en (3.8) resulta,
"
1
v1 +
G (v1 ; v2 ) = v1 ln v1 + v2 v2
2
1
v2
2
2
#
(3.9)
(3.10)
(3.11)
o,
G (v1 ; v2 ) = v1 (ln v1
1) + 41 v22
(3.12)
que es la Transformación de Legendre pedida.
...............................................................................................
EJEMPLO 3.2
Encuentre la Transformación de Legendre G (v1 ; v2 ; v3 ) de la función,
F (u1 ; u2 ; u3 ) = u21 + cu3 Sen u2
donde c es una constante.
SOLUCION: este es un caso de n = 3 variables independientes, por lo tanto, de (3.6)
se puede escribir,
G (v1 ; v2 ; v3 ) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
u21 + cu3 Sen u2
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(3.13)
Pág.: 29
CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE LEGENGRE PARA MAS DE UNA VARIABLE
INDEPENDIENTE
y de (3.7),
1
@
@F
=
u21 + cu3 Sen u2 = 2u1 ) u1 = v1
@u1
@u1
2
1
@F
@
=
=
u21 + cu3 Sen u2 = cu3 Cos u2 ) u3 = v2 sec u2
@u2
@u2
c
1
@F
@
=
=
u21 + cu3 Sen u2 = c Sen u2 ) u2 = Sen 1
v3
@u3
@u3
c
v1 =
(3.14)
v2
(3.15)
v3
(3.16)
de las cuales,
u1 =
1
v1
2
u2 = Sen
u3 =
(3.17)
1
1
v3
c
1
v2 sec Sen
c
(3.18)
1
1
v3
c
=p
v2
c2
(3.19)
v32
por lo tanto, al sustituir (3.17) a (3.19) en (3.13) resulta,
G (v1 ; v2 ; v3 ) =
o,
1
1
v2
v1 v1 + v2 Sen 1
v3 + v3 p
2
c
c2 v32
(
2
1
v2
1
v1 + c p
Sen Sen 1
v3
2
2
2
c
c
v3
G (v1 ; v2 ; v3 ) = 14 v12 + v2 Sen
1
)
1
v
c 3
(3.20)
(3.21)
que es la Transformación de Legendre pedida.
...............................................................................................
EJEMPLO 3.3
Encuentre la Transformación de Legendre G (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ) de la fun-
ción,
F (u1 ; u2 ; u3 ; u4 ) = u2 ln u1
Cos u3 + u2 u4
donde c es una constante.
SOLUCION: este es un caso de n = 4 variables independientes, por lo tanto, de (3.6)
se puede escribir,
G (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 + u4 v4
(u2 ln u1
Cos u3 + u2 u4 )
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
(3.22)
Pág.: 30
CAPITULO 3. TRANSFORMACION DE LEGENGRE PARA MAS DE UNA VARIABLE
INDEPENDIENTE
y de (3.7),
@F
@u1
@F
=
@u2
@F
=
@u3
@F
=
@u4
v1 =
v2
v3
v4
@
@u1
@
=
@u2
@
=
@u3
@
=
@u4
=
u2
u1
(3.23)
(u2 ln u1
Cos u3 + u2 u4 ) =
(u2 ln u1
Cos u3 + u2 u4 ) = ln u1 + u4
(3.24)
(u2 ln u1
Cos u3 + u2 u4 ) = Sen u3
(3.25)
(u2 ln u1
Cos u3 + u2 u4 ) = u2
(3.26)
de las cuales,
v4
v1
= v4
u1 =
(3.27)
u2
(3.28)
u3 = Sen
u4 = v 2
1
(3.29)
(v3 )
v4
ln
v1
(3.30)
por lo tanto, al sustituir (3.27) a (3.30) en (3.22) resulta,
G (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ) =
o,
v4
v4
v1 + v4 v2 + v3 Sen 1 (v3 ) + v2 ln
v1
v1
v4
v4 ln
Cos Sen 1 (v3 ) + v4 v2
v1
h
G (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ) = v4 1 + v2
ln
v4
v1
que es la Transformación de Legendre pedida.
i
+
p
1
v32 + v3 Sen
v4
ln
1
v4
v1
(v3 )
(3.31)
(3.32)
...............................................................................................
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 31
CAPITULO 4
LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE
CON UNA O MAS VARIABLES PASIVAS Y
SU FORMA VECTORIAL
Contenido
4.1
Tipos de variables en una Transformación de Legendre
. . . . . . . .
32
4.2
Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de varias
variables con una o más variables pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
La Transformación de Legendre en forma vectorial . . . . . . . . . . .
39
4.3
4.1
Tipos de variables en una Transformación de Legendre
En una Transformación de Legendre podemos distinguir dos tipos de variables [Ref. 16]:
las Variables Activas y las Variables Pasivas.
A las variables que se incluyen en la sumatoria de (3.6), es decir, las
variables que se transforman se les denominan Variables Activas y las variables adicionales que no son parte de la transformación como tal, pero
tienen estatus de parámetros, se les denominan Variables Pasivas.
32
CAPITULO 4. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE CON UNA O MAS VARIABLES PASIVAS
Y SU FORMA VECTORIAL
La expresión general para la transformación de una función con n variables activas
ui y m variables pasivas wj queda ahora escrita como,
G (vj ; wk ) =
n
X
ui v i
F (uj ; wk ) , j = 1; 2; 3; : : : ; n y k = 1; 2; 3; : : : ; m
(4.1)
i=1
Transformación de Legendre para n variables activas uj
y m variables pasivas wk
con,
vi =
@F (uj ;wk )
@ui
(4.2)
Es posible encontrar cómo están relacionadas las derivadas parciales, con respecto
a las variables pasivas, de las funciones F y G. En efecto, supóngase que se tiene
F = F (u1 ; u2 ; w) y G = G (v1 ; v2 ; w), donde w es una variable pasiva, y que satisfacen las
expresiones,
@F
@F
v1 =
v2 =
@u
@u
(4.3)
| {z 1}
| {z 2}
v1 =v1 (u1 ;u2 ;w)
v2 =v2 (u1 ;u2 ;w)
@G
u1 =
@v
| {z 1}
@G
u2 =
@v
| {z 2}
u1 =u1 (v1 ;v2 ;w)
(4.4)
u2 =u2 (v1 ;v2 ;w)
donde (4.3) define v1 y v2 como funciones de u1 , u2 y w; y (4.4) define u1 y u2 como
funciones de v1 , v2 y w.
De (4.1) se tiene que,
(4.5)
F (u1 ; u2 ; w) + G (v1 ; v2 ; w) = u1 v1 + u2 v2
Al díferenciar esta expresión con respecto a w resulta (aplicando la regla de la cadena),
@F @u1
@F @u2 @F @w
@G @v1 @G @v2 @G @w
@u1
@v1 @u2
@v2
+
+
+
+
+
=
v1 + u1
+
v2 + u2
@u1 @w
@u2 @w
@w |{z}
@w
@v1 @w
@v2 @w
@w |{z}
@w
@w
@w
@w
@w
=1
=1
o,
@F
@G
+
=
@w @w
v1
|
de aquí que,
@F @u1
@F @u2
@G @v1
@G @v2
+ v2
+ u1
+ u2
= 0 (4.6)
@u1 @w
@u2 @w
@v1 @w
@v2 @w
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
=0 por (4.3)
=0 por (4.3)
@F
@w
+
@G
@w
=0
=0 por (4.4)
!
@F
@w
=
=0 por (4.4)
@G
@w
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
(4.7)
Pág.: 33
CAPITULO 4. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE CON UNA O MAS VARIABLES PASIVAS
Y SU FORMA VECTORIAL
que es la relación buscada y se mantiene para cada una de las variables pasivas, es
decir, habrá una relación de este tipo para cada una de las variables pasivas presentes.
En general,
@F (ui ;wi )
@wk
4.2
+
@G(vi ;wi )
@wk
=0
!
@F (ui ;wi )
@wk
@G(vi ;wi )
,
@wk
=
i = 1; 2; 3; : : : ; n y k = 1; 2; 3; : : : ; m
(4.8)
Ejemplos de Transformaciones de Legendre para funciones de varias variables con una o más variables pasivas
...............................................................................................
EJEMPLO 4.1
Encuentre la Transformación de Legendre G (v1 ; v2 ; w) de la función,
F (u1 ; u2 ; w) = 2u21
3u1 u2 + u22 + 3wu1
donde w es una variable pasiva. Verifique que,
@G
@F
+
=0
@w @w
SOLUCION: de (4.1),
2u21
G (v1 ; v2 ; w) = u1 v1 + u2 v2
3u1 u2 + u22 + 3wu1
(4.9)
y de (4.2),
@F
@
=
2u21
@u1
@u1
@F
@
=
=
2u21
@u2
@u2
v1 =
3u1 u2 + u22 + 3wu1 = 4u1
v2
3u1 u2 + u22 + 3wu1 =
3u2 + 3w
3u1 + 2u2
(4.10)
(4.11)
Al resolver el sistema formado por (4.10) y (4.11) para u1 y u2 resulta,
u1 =
2v1
3v2 + 6w
(4.12)
u2 =
3v1
4v2 + 9w
(4.13)
por lo tanto, al sustituir (4.12) y (4.13) en (4.9), y después de algunos cálculos algebraicos
elementales resulta,
G (v1 ; v2 ; w) =
(v1
3w)2 + v2 (9w
3v1
2v2 )
(4.14)
que es la Transformación de Legendre pedida.
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 34
CAPITULO 4. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE CON UNA O MAS VARIABLES PASIVAS
Y SU FORMA VECTORIAL
Por otro lado, deben cumplirse las identidades (4.8). En efecto,
@F
@G
@
+
=
2u21 3u1 u2 + u22 + 3wu1
@w @w
@w
@
+
(v1 3w)2 + v2 (9w 3v1
@w
= 3u1 + 6 (v1 3w) + 9v2
= 3 ( 2v1 3v2 + 6w) + 6 (v1
|
{z
}
2v2 )
3w) + 9v2 = 0
por (4.12)
verificándose así que
@F
@w
+
@G
@w
= 0.
...............................................................................................
EJEMPLO 4.2
Encuentre la Transformación de Legendre G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ) de la
función,
F (u1 ; u2 ; u3 ; w1 ; w2 ) = 7u1 u3 + 2u22
5w1 u3
w22
donde w1 y w2 son variables pasivas. Verifique además que,
@G
@F
@G
@F
+
=0 y
+
=0
@w1 @w1
@w2 @w2
SOLUCION: de (4.1),
G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
7u1 u3 + 2u22
5w1 u3
w22
(4.15)
y de (4.2),
@F
= 7u3
@u1
@F
=
= 4u2
@u2
@F
=
= 7u1
@u3
v1 =
(4.16)
v2
(4.17)
v3
5w1
(4.18)
de las cuales se obtiene,
1
(v3 + 5w1 )
7
1
=
v2
4
1
=
v1
7
u1 =
(4.19)
u2
(4.20)
u3
(4.21)
por lo tanto, al sustituir (4.19) a (4.21) en (4.15) resulta,
G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ) = 18 v22 + 17 v1 (v3 + 5w1 ) + w22
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
(4.22)
Pág.: 35
CAPITULO 4. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE CON UNA O MAS VARIABLES PASIVAS
Y SU FORMA VECTORIAL
que es la Transformación de Legendre pedida.
Por otro lado, deben cumplirse las identidades (4.8). En efecto,
@F
@G
@F
+
=
7u1 u3 + 2u22 5w1 u3 w22
@w1 @w1
@w1
@ 1 2 1
+
v + v1 (v3 + 5w1 ) + w22
@w1 8 2 7
5
=
5u3 + v1
7
1
5
=
5
v1 + v1 = 0
7
7
| {z }
por (4.21)
y,
@G
@
@F
+
=
7u1 u3 + 2u22 5w1 u3 w22
@w2 @w2
@w2
@ 1 2 1
v + v1 (v3 + 5w1 ) + w22
+
@w2 8 2 7
=
2w2 + 2w2 = 0
verificándose así que
@F
@w1
+
@G
@w1
=0y
@F
@w2
+
@G
@w2
= 0.
...............................................................................................
EJEMPLO 4.3
Encuentre la Transformación de Legendre G (v; w) de la función,
1
F (u; w) = mR2 u2
2
mgR Cos w
donde w es una variable pasiva, m y R son constantes. Verifique que,
@F
@G
+
=0
@w @w
SOLUCION: de (4.1),
G (v; w) = uv
1
mR2 u2
2
(4.23)
mgR Cos w
y de (4.2),
v=
@F
@
=
@u
@u
1
mR2 u2
2
mgR Cos w
= mR2 u ) u =
v
mR2
(4.24)
que al sustituir en (4.23) resulta,
G (v; w) =
v
v
mR2
1
v
mR2
2
mR2
2
mgR Cos w
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(4.25)
Pág.: 36
CAPITULO 4. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE CON UNA O MAS VARIABLES PASIVAS
Y SU FORMA VECTORIAL
o,
G (v; w) =
1 v2
2 mR2
(4.26)
+ mgR Cos w
que es la Transformación de Legendre pedida.
Por otro lado, deben cumplirse las identidades (4.8). En efecto,
@G
@
1
@F
+
=
mR2 u2 mgR Cos w
@w @w
@w 2
1 v2
@
+
+ mgR Cos w
@w 2 mR2
= 0
verificándose así que
@F
@w
+
@G
@w
= 0.
...............................................................................................
EJEMPLO 4.4
Encuentre la Transformación de Legendre G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ; w3 ) de la
función,
F (u1 ; u2 ; u3 ; w1 ; w2 ; w3 ) = w1 u2 ln u1
w3 Cos u3 + w2 u2
donde w1 , w2 y w3 son variables pasivas. Verifique que,
@G
@F
@G
@F
@G
@F
+
= 0,
+
=0 y
+
=0
@w1 @w1
@w2 @w2
@w3 @w3
SOLUCION: de (4.1),
G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ; w3 ) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
(w1 u2 ln u1
w3 Cos u3 + w2 u2 )
(4.27)
y de (4.2),
@F
@
=
(w1 u2 ln u1
@u1
@u1
@F
@
=
=
(w1 u2 ln u1
@u2
@u2
@F
@
=
=
(w1 u2 ln u1
@u3
@u3
w1 u2
u1
(4.28)
v1 =
w3 Cos u3 + w2 u2 ) =
v2
w3 Cos u3 + w2 u2 ) = w1 ln u1 + w2
(4.29)
w3 Cos u3 + w2 u2 ) = w3 Sen u3
(4.30)
v3
de las cuales resulta,
v2
w2
u 1 = e w1
v1 v2w w2
u2 =
e 1
w1
v3
u3 = Sen 1
w3
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(4.31)
(4.32)
(4.33)
Pág.: 37
CAPITULO 4. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE CON UNA O MAS VARIABLES PASIVAS
Y SU FORMA VECTORIAL
por lo tanto, al sustituir (4.31) a (4.33) en (4.27) resulta,
G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ; w3 ) = v1 e
v2 w2
w1
w1
+ v2
v1 v2w w2
e 1 + v3 Sen
w1
v2 w2
v1 v2w w2
e 1 ln e w1
w1
o,
G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ; w3 ) =
p
w32
v3
w3
1
w3 Cos Sen
v32 + v1 e
v2 w2
w1
v3
w3
1
+ v3 Sen
1
+ w2
v1 v2w w2
e 1(4.34)
w1
v3
w3
(4.35)
que es la Transformación de Legendre pedida.
Por otro lado, deben cumplirse las identidades (4.8). En efecto,
@F
@G
@
+
=
(w1 u2 ln u1 w3 Cos u3 + w2 u2 )
@w1 @w1
@w1
q
v2 w2
v3
@
+
w32 v32 + v1 e w1 + v3 Sen 1
@w1
w3
v2 w2
v1
= u2 ln u1
(v2 w2 ) e w1
w12
v2 w2
v2 w2
v1 v2w w2
v1
w1
e 1 ln e w1
(v
w
)
e
=
=0
2
2
w1
w12
@G
@
@F
+
=
(w1 u2 ln u1 w3 Cos u3 + w2 u2 )
@w2 @w2
@w2
q
v2 w2
@
+
w32 v32 + v1 e w1 + v3 Sen
@w2
v1 v2w w2
e 1
= u2
w1
v1 v2w w2
v1 v2w w2
e 1
e 1 =0
=
w1
w1
| {z }
1
v3
w3
por (4.32)
y,
@F
@G
@
+
=
(w1 u2 ln u1 w3 Cos u3 + w2 u2 )
@w3 @w3
@w3
q
v2 w2
@
v3
+
w32 v32 + v1 e w1 + v3 Sen 1
@w3
w3
2
w3
v
p 3
=
Cos u3 + p 2
w3 v32 w3 w32 v32
v3
w3
v2
p 3
=
Cos Sen 1
+p 2
w3
w3 v32 w3 w32
verificándose así que
@F
@w1
+
@G
@w1
= 0,
@F
@w2
+
@G
@w2
=0y
@F
@w3
+
@G
@w3
v32
=0
= 0.
...............................................................................................
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Pág.: 38
CAPITULO 4. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE CON UNA O MAS VARIABLES PASIVAS
Y SU FORMA VECTORIAL
4.3
La Transformación de Legendre en forma vectorial
Si las variables activas v1 ; v2 ; v3 ; : : : ; vn , u1 ; u2 ; u3 ; : : : ; un y las variables pasivas w1 ; w2 ; w3 ; : : : ; wm
son representadas mediante los vectores [Ref. 16],
)
!
v = (v1 ; v2 ; v3 ; : : : ; vn )
! variables activas
!
(4.36)
u = (u1 ; u2 ; u3 ; : : : ; un )
!
w = (w ; w ; w ; : : : ; w ) ! variables pasivas
1
entonces,
8
< !
v =
: !
u =
2
3
m
@F
@F @F @F
;
;
; : : : ; @u
@u1 @u2 @u3
n
@G @G @G
@G
; ; ; : : : ; @v
@v1 @v2 @v3
n
= gradu F (!
u ;!
w)
= grad G (!
v ;!
w)
(4.37)
v
de esta manera la expresión (4.1) puede ser reproducida mediante,
G (!
v ;!
w) = !
u !
v
F (!
u ;!
w)
(4.38)
Por último, en esta misma forma, las relaciones (4.8) entre las derivadas parciales con
respecto a las variables pasivas de las funciones F y G pueden ser escritas como,
@F @F @F
@F
;
;
;:::;
@w1 @w2 @w3
@wm
=
@G
;
@w1
@G
;
@w2
@G
;:::;
@w3
@G
@wm
o,
gradw F (!
u ;!
w) =
gradw G (!
v ;!
w)
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(4.39)
Pág.: 39
CAPITULO 5
ALGUNAS PROPIEDADES MATEMATICAS
DE LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE
Contenido
5.0.1
La inversa de la Transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.0.2
Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.0.3
Simetrías y relaciones entre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5.0.4
Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
La construcción geométrica y las relaciones resultantes permiten mostrar relaciones elegantes y útiles. En particular considérense las siguientes [Ref. 32, 30]:
5.0.1 La inversa de la Transformación de Legendre
Ordinariamente, la inversa de una transformación es distinta de la transformación
en sí como, por ejemplo, ocurre con la transformación inversa de la Transformación de
Laplace. La Transformación de Legendre se distingue entre ellas ya que ella misma es su
inversa. Si se lleva a cabo la Transformación de Legendre por segunda vez, se recobra
la función original.
Se demostrará esta propiedad, por simplicidad, para el caso de una variable independiente pero el resultado es válido para el caso de más de una variable independiente. Dada la función F = F (u), su Transformación de Legendre viene dada según
40
CAPITULO 5. ALGUNAS PROPIEDADES MATEMATICAS DE LA TRANSFORMACION DE
LEGENDRE
(2.2) por,
dF (u)
du
Ahora, supóngase que se quiere la Transformación de Legendre de G (v) que será denominada H (u ) para efectos de la presente demostración. Esta transformación, como
ya se sabe, se obtiene al usar (2.2) como sigue,
F (u) , con v =
G (v) = uv
G (v) , con u =
H (u ) = u v
dG (v)
dv
(5.1)
Según la propiedad de la inversa de la Transformación de Legendre, debe cumplirse
que H = F . En efecto, de (5.1),
H (u ) = u v
[uv F (u)] = (u
{z
}
|
(5.2)
u) v + F (u)
por (2.2)
pero,
u
=
d
dG (v)
du
= [uv F (u)] = u + v
|
{z
}
dv
dv
dv
dF (u) du
du dv
por (2.2)
= u+v
du
dv
du
v
=u
|{z}
dv
(5.3)
por (2.1)
por lo tanto, al sustituir el resultado (5.3) en (5.2), resulta,
(5.4)
H (u) = F (u)
de aquí que,
La Transformación de Legendre de una Transformación de Legendre
es la función original, es decir, ella misma es su inversa. En otras palabras,
[Ref. 33]
la Transformación de Legendre es Autodual o una Involución
.
En matemática, una involución, función involutiva o también autodual es una función matemática que es su propia inversa. La Transformación de Legendre inversa para
una función de n variables G (vj ) viene dada por,
F (uj ) =
n
X
ui v i
G (vj ), j = 1; 2; 3; : : : ; n
(5.5)
i=1
con,
ui =
@G(vj )
@vi
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(5.6)
Pág.: 41
CAPITULO 5. ALGUNAS PROPIEDADES MATEMATICAS DE LA TRANSFORMACION DE
LEGENDRE
o en forma más general al incluir m variables pasivas,
F (uj ; wk ) =
n
X
ui v i
G (vj ; wk ) , j = 1; 2; 3; : : : ; n y k = 1; 2; 3; : : : ; m
(5.7)
i=1
Transformación de Legendre Inversa
para n variables activas vj y m variables pasivas wk
con,
ui =
@G(vj ;wk )
@vi
(5.8)
cumpliendo cada variable pasiva con las condiciones (4.8).
...............................................................................................
EJEMPLO 5.1
Encuentre la Transformación de Legendre de la transformación encontrada en el ejemplo 2.1,
v 32
G (v) = 2
3
SOLUCION: de (5.2),
v 32
F (u) = uv 2
(5.9)
3
y de (5.3),
dG (v)
d
v 12
v 32
u=
=
=
) v = 3u2
(5.10)
2
dv
dv
3
3
por lo tanto, al sustituir (5.10) en (5.9) resulta,
2
F (u) = 3u u
2
1 2
3u
3
3
2
= u3
(5.11)
o,
F (u) = u3
(5.12)
que es, precisamente, la función cuya Transformación de Legendre es la G (v) dada en
el ejemplo 2.1.
...............................................................................................
EJEMPLO 5.2
Encuentre la Transformación de Legendre de la transformación encontrada en el ejemplo 3.1,
G (v1 ; v2 ) = v1 (ln v1
1
1) + v22
4
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Pág.: 42
CAPITULO 5. ALGUNAS PROPIEDADES MATEMATICAS DE LA TRANSFORMACION DE
LEGENDRE
SOLUCION: este es un caso de dos variables independientes, por lo tanto, de (5.2),
F (u1 ; u2 ) = u1 v1 + u2 v2
v1 (ln v1
1
1) + v22
4
(5.13)
y de (5.3),
@G
@
=
v1 (ln v1
@v1
@v1
@
@G
=
v1 (ln v1
=
@v2
@v2
u1 =
u2
1
1) + v22 = ln v1 ) v1 = eu1
4
1
1
1) + v22 = v2 ) v2 = 2u2
4
2
(5.14)
(5.15)
por lo tanto, al sustituir (5.14) y (5.15) en (5.13) resulta,
F (u1 ; u2 ) = u1 eu1 + 2u2 u2
eu1 (ln eu1
1) +
1
(2u2 )2
4
(5.16)
o,
F (u1 ; u2 ) = eu1 + u22
(5.17)
que es, precisamente, la función cuya Transformación de Legendre es la G (v1 ; v2 ) dada
en el ejemplo 3.1.
...............................................................................................
EJEMPLO 5.3
Encuentre la Transformación de Legendre de la transformación encontrada en el ejemplo 4.2,
1
1
G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ) = v22 + v1 (v3 + 5w1 ) + w22
8
7
SOLUCION: este es un caso de tres variables independientes, por lo tanto, de (5.2),
F (u1 ; u2 ; u3 ; w1 ; w2 ) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
1 2 1
v + v1 (v3 + 5w1 ) + w22
8 2 7
(5.18)
y de (5.3),
@G
@
=
@v1
@v1
@G
@
=
=
@v2
@v2
@G
@
=
=
@v3
@v3
u1 =
u2
u3
1 2
v +
8 2
1 2
v +
8 2
1 2
v +
8 2
1
1
v1 (v3 + 5w1 ) + w22 = (v3 + 5w1 ) ) v3 = 7u1
7
7
1
1
v1 (v3 + 5w1 ) + w22 = v2 ) v2 = 4u2
7
4
1
1
v1 (v3 + 5w1 ) + w22 = v1 ) v1 = 7u3
7
7
5w1 (5.19)
(5.20)
(5.21)
por lo tanto, al sustituir (5.19) a (5.21) en (5.18) resulta,
F (u1 ; u2 ; u3 ; w1 ; w2 ) = 7u3 u1 + 4u2 u2 + u3 (7u1
1
1
(4u2 )2 + 7u3 (7u1
8
7
5w1 )
5w1 + 5w1 ) + w22
SOLDOVIERI C., Terenzio. LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
(5.22)
Pág.: 43
CAPITULO 5. ALGUNAS PROPIEDADES MATEMATICAS DE LA TRANSFORMACION DE
LEGENDRE
o,
F (u1 ; u2 ; u3 ; w1 ; w2 ) = 7u1 u3 + 2u22
5w1 u3
w22
(5.23)
que es, precisamente, la función cuya Transformación de Legendre es la G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 )
dada en el ejemplo 4.2.
...............................................................................................
5.0.2 Valores extremos
Supóngase que la función F (u) es convexa (como en la figura 2.1), entonces debe
tener un mínimo. Suponiendo que esto ocurre, entonces el mínimo es único. Denótese
este punto por,
Fmín = F (umín )
(5.24)
Por supuesto, la pendiente se anula en este punto, es decir, v (umín ) = 0. Si se introduce este punto en la expresión (2.2), que define la Transformación de Legendre,
resulta que el valor mínimo de F es,
Fmín =
G (0)
(5.25)
De forma similar, a partir del hecho de que F es la Transformación de Legendre de G,
se puede concluir que el valor mínimo de G es,
Gmín =
F (0)
(5.26)
Ahora bien, se puede usar (2.2) escrita en la forma,
G (v) + F (u) = uv
(5.27)
(que muestra la simetría entre G (v) ; v y F (u) ; u explícitamente) para ver qué ocurre
para extremos generales. Supóngase que F (u) toma su valor extremo en uext , el cual
corresponde a una tangente horizontal, v = 0. De esta manera, a partir de (5.27),
G (0) + F (uext ) = 0
(5.28)
De forma similar, G (v) tendrá un valor extremo en vext , donde u (vext ) = 0 debido a (2.4),
de manera que,
G (vext ) + F (0) = 0
(5.29)
Para apreciar el significado geométrico de esta ecuación sólo se necesita examinar
la figura 2.1 y ver que la intersección de la tangente a la curva F (u) con el eje vertical
nunca alcanza más allá de F (0).
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Pág.: 44
CAPITULO 5. ALGUNAS PROPIEDADES MATEMATICAS DE LA TRANSFORMACION DE
LEGENDRE
5.0.3 Simetrías y relaciones entre derivadas
Puesto que F (u) y G (v) son transformaciones de Legendre la una de la otra, es
de esperarse que existan numerosas relaciones simétricas. Las primeras relaciones de
simetría las constituyen las mismas relaciones que proporcionan la Transformación de
Legendre (2.2) y las relaciones entre v (2.1) y u (2.4),
G (v) + F (u) = uv
v = dFdu(u) , u = dG(v)
dv
(5.30)
A partir de estas expresiones se puede obtener un conjunto de relaciones, entre F (u)
y G (v), que conducen a otras relaciones muy elegantes e interesantes entre derivadas
parciales [Ref. 30]. En efecto, al derivar (2.1) con respecto a u y (2.4) con respecto a v
resultan,
dv (u)
d2 F (u)
=
du
du2
2
d G (v)
du (v)
=
dv
dv 2
(5.31)
(5.32)
que al ser multiplicadas miembro a miembro dan como resultado,
d2 G (v) d2 F (u)
du dv
=
dv du
dv 2
du2
o,
d2 G(v) d2 F (u)
dv 2
du2
(5.33)
=1
que es una relación simétrica para la segunda derivada, ilustrando claramente la importancia de la covexidad estricta ya que ninguno de los dos factores pueden anularse.
Derivando (5.33) con respecto a u (igual resulta con respecto a v) se puede escribir
una relación simétrica para la tercera derivada,
d3 G
dv 3
3=2
d2 G
dv 2
+
d3 F
du3
3=2
d2 F
du2
=0
(5.34)
Es posible obtener un conjunto infinito de relaciones como (5.33) y (5.34) para derivadas
de orden superior, derivando una y otra vez. Tal ejercicio también muestra que si F es
suave, entonces G también lo es. Las relaciones para derivadas superiores son más y
más complejas.
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Pág.: 45
CAPITULO 5. ALGUNAS PROPIEDADES MATEMATICAS DE LA TRANSFORMACION DE
LEGENDRE
5.0.4 Otras propiedades
A continuación se presentarán, sin demostración, algunas propiedades adicionales de
la Transformación de Legendre donde, por razones de facilitar la notación, se usará el
asterisco para indicar la aplicación de la misma sobre una función dada:
1. Si F (u) = aQ (u) entonces,
F (v) = aQ
v
a
(5.35)
F (v) = Q
v
a
(5.36)
2. Si F (u) = Q (au) entonces,
3. Si F (u) = Q (u) + a entonces,
F (v) = Q (v) + a
(5.37)
F (v) = Q (v) + av
(5.38)
4. Si F (u) = Q (u + a) entonces,
5. Si F (u) = Q
1
(u) entonces,
F (v) =
vQ
1
v
(5.39)
6. Mapea funciones convexas a funciones convexas.
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Pág.: 46
CAPITULO 6
ALGUNAS APLICACIONES DE LA
TRANSFORMACION DE LEGENDRE
Contenido
6.1
En la Mecánica Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.2
En la Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.2.1
El Potencial de Helmholtz o Energía Libre de Helmholtz . . . . . . . . . .
51
6.2.2
La Entalpía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
6.2.3
La Función de Gibbs o Energía Libre de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . .
51
6.2.4
Potencial Gran Canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.2.5
Otros Potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
A continuación se presentarán, de una forma muy resumida, dos de las más importantes aplicaciones (entre muchas de ellas [Ref. 34, 35, 18, 36, 37, 19]) de la Transformación de Legendre en la Física: en la Mecánica Clásica y en la Termodinámica.
6.1
En la Mecánica Clásica
Como es estudiado en los cursos de Mecánica Clásica, ésta puede ser abordada
mediante tres tipos de formulaciones: la formulación Newtoniana, la formulación Lagrangiana y la formulación Hamiltonianay . La primera es vectorial y las dos restantes
y
Ver apéndice D.4 para una biografía resumida de Lagrange.
Ver apéndice D.5 para una biografía resumida de Hamilton.
47
CAPITULO 6. ALGUNAS APLICACIONES DE LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE
son energéticas [Ref. 13, 14, 15, 16, 17].
En el campo de la Mecánica Clásica, la Transformación de Legendre
es útil ya que permite construir la Mecánica Hamiltoniana a partir de la
Mecánica Lagrangiana y viceversa.
En la Mecánica Lagrangiana el comportamiento de un sistema mecánico dado
puede ser determinado a partir de su Lagrangiano L = L qi ; q i ; t , que es igual a la
diferencia entre su energía cinética total T y su energía potencial total U ,
L qi ; q i ; t = T
U
(6.1)
que es una función explícita de las coordenadas generalizadas qi , las velocidades generalizadas q i y el tiempo t. Por otro lado, en la Mecánica Hamiltoniana, el comportamiento del sistema mecánico viene dado a partir de su Hamiltoniano H = H (qi ; pi ; t),
que es una función explícita de las coordenadas generalizadas qi , los momentos generalizados (o momentos conjugados) pi y el tiempo t. En esta formulación los momentos
generalizados pueden ser obtenidos a partir de,
@L qj ;q j ;t
pi =
@ qi
(6.2)
que es el equivalente a las variables vi en (4.2). Con todo esto se está en condiciones
ahora para construir el Hamiltoniano a partir del Lagrangiano, siendo así el primero la
Transformación de Legendre del segundo,
P
H (qi ; pi ; t) = q j pj L qi ; q i ; t
(6.3)
j
donde el miembro derecho debe ser escrito de tal manera que sólo quede en función
de qi , pi y t, para lo cual se emplea (6.2) para encontrar las q i en función de los pi . Es fácil
notar aquí que las variables activas son las velocidades generalizadas ya que son ellas
las que se transforman en los momentos generalizados, mientras que las pasivas son las
velocidades generalizadas y el tiempo.
Ambas formulaciones energéticas de la Mecánica Clásica, antes mencionadas,
poseen su propio campo de aplicación en teoría y práctica, dependiendo de la sencillez de cómputo de una situación en particular. Las coordenadas no tienen necesariamente que ser rectilíneas o cartesianas, sino también ángulos, áreas, energías,
momentos, etc. Una escongencia óptima de estas últimas tomaría ventaja de las
simetrías físicas reales del sistema mecánico objeto de estudio. La formulación Hamiltoniana tiene amplia aplicación en la Mecánica Cuántica [Ref. 38] y en Teoría de Campos [Ref. 39, 40].
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Pág.: 48
CAPITULO 6. ALGUNAS APLICACIONES DE LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE
6.2
En la Termodinámica
F. Massieuz , en 1869, fue el primero que usó las Transformaciones de Legendre en la
Termodinámica [Ref. 21,32]. En esta área se hace uso de la Transformación de Legendre
Negativa, es decir, con un cambio de signo en su construcción [Ref. 32, 41]. Siguiendo
cálculos casi idénticosx a los realizados en la sección 3.1 puede escribirse que,
G (vj ; wk ) = F (uj ; wk )
n
X
ui vi , j = 1; 2; 3; : : : ; n y k = 1; 2; 3; : : : ; m
(6.4)
i=1
Transformación de Legendre Negativa para n variables activas uj
y m variables pasivas wk
con,
vi =
@F (uj ;wk )
@ui
(6.5)
la cual es completamente equivalente [Ref. 42] a (4.1). Nótese que el cambio de (6.4)
con respecto a (4.1) está en los signos de los términos del miembro derecho ya que
fueron intercambiados.
La ecuación fundamental de un sistema termodinámico puede escribirse tomando
como variable independiente tanto la entropía como la energía [Ref. 43, 11, 44, 12, 45,
41],
S = S (U; V; Ni ) ! representación entrópica
(6.6)
U = U (S; V; Ni ) ! representación energética
(6.7)
En estas dos representaciones los parámetros extensivos son las variables matemáticamente independientes, en tanto que los parámetros intensivos aparecen como conceptos derivados{ . Esta situación está en contraste directo con la situación práctica
dictada por la comodidad en el laboratorio. El experimentador encuentra frecuentemente que los parametros intensivos son los que se pueden medir y controlar más fácilmente y, por consiguiente, es verosímil pensar en los parámetros intensivos como
variables operativamente independientes y en los parámetros extensivos como magnitudes operativamente derivadas.
z
x
{
Ver apéndice D.6 para una biografía resumida.
Réstese (3.4) de (3.2).
Las variables intensivas son propiedades independientes de la cantidad o masa de materia. Las variables
extensivas dependen de la masa. Más aún, si el sistema termodinámico considerado está dividido en
varias partes. el valor total de la propiedad extensiva debe ser igual a la suma de los valores de las
partes.
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CAPITULO 6. ALGUNAS APLICACIONES DE LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE
En el campo de la Termodinámica, la Transformación de Legendre permite encontrar los denominados Potenciales Termodinámicos, los
cuales son relevantes bajo condiciones constantes de las nuevas variables independientes.
Un sistema simple se caracteriza por las dos variables de configuración asociadas a
su mera existencia. Un sistema, para existir, ha de tener masa y extensión. Escogiéndose
la representación energética, se tienen los siguientes principios básicos:
1. Existen estados de equilibrio caracterizados macroscópicamente por la entropía S,
el volumen V y el número de moles Ni de sus componentes químicos.
2. Existe una función U = U (S; V; Ni ), llamada Energía Interna, definida para los estados de equilibrio y con la propiedad de que su valor es mínimo compatible con las
ligaduras impuestas al sistema.
3. La Entropía S satisface algunas condiciones matemáticas: es continua, diferenciable
y es función homogénea de grado 1. Esto último se establece a partir del Teorema
de Euler k .
Al hallar la diferencial total de la función U = U (S; V; Ni ) resulta que,
dU =
@U
@S
@U
@V
dS +
V;Ni
dV +
S;Ni
r
X
i=1
@U
@Ni
dNi
(6.8)
S;V
donde derivadas parciales son reemplazadas mediante símbolos especiales que
reciben el nombre de parámetro intensivos y se acostumbra a usar la siguiente notación,
@U
T ! Temperatura
(6.9)
@S V;Ni
@U
@V
@U
@Ni
i
S;V
P
S;Ni
!
! Presión
Potenciales Electroquímicos
o Potenciales Químicos
(6.10)
(6.11)
de manera que (6.8) se puede escribir ahora como,
dU = T dS
P dV +
r
X
i dNi
(6.12)
i=1
k
Ver el apéndice D.7 para una biografía resumida de Euler y el apéndice C para el enunciado y
demostración del Teorema.
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CAPITULO 6. ALGUNAS APLICACIONES DE LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE
A las nuevas funciones obtenidas a partir de la energía interna U = U (S; V; Ni ) mediante transformaciones de Legendre se las llama Potenciales Termodiámicos. A las
funciones obtenidas de la misma forma pero a partir de la representación entrópica
S = S (U; V; Ni ) se las llama Funciones de Massieu. Es fácil notar que se pueden realizar seis posibles Transformaciones de Legendre, es decir, se pueden obtener seis Potenciales Termodinámicos distintos. De los seis, tres de ellos se usan de forma tan frecuente que reciben nombre propio. Son el Potencial de Helmholtz o Energía Libre de
Helmholtz F , la Entalpía H y la Función de Gibbsyy o Energía Libre de Gibbs G. Siguientemente se presentan estos seis potenciales,
6.2.1 El Potencial de Helmholtz o Energía Libre de Helmholtz
El Potencial Helmholtz F es la Transformación de Legendre parcial de U que reemplaza como variable independiente la Entropia S por la temperatura T , que son las
variables activas, y se toma como pasivas el resto de las variables,
F (T; V; Ni ) = U
TS
(6.13)
Aquí, S y T son las variables activas de la transformación.
6.2.2 La Entalpía
La Entalpía H es la Transformación de Legendre parcial de U que reemplaza como
variable independiente el volumen V por la presión P , que son las variables activas, y
se toma como pasivas el resto de las variables,
H (S; P; Ni ) = U + P V
(6.14)
Aquí, V y P son las variables activas de la transformación.
6.2.3 La Función de Gibbs o Energía Libre de Gibbs
La Energía Libre de Gibbs G es la Transformación de Legendre que reemplaza simultáneamente como variables independientes la Entropía S por la temperatura T y el
volumen V por la presión P , que son las variables activas, tomándose como pasivas el
resto de las variables,
G (T; P; Ni ) = U T S + P V
(6.15)
Aquí, S, T , V y P son las variables activas de la transformación.
yy
Ver apéndice D.8 para una biografía resumida.
Ver apéndice D.9 para una biografía resumida.
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CAPITULO 6. ALGUNAS APLICACIONES DE LA TRANSFORMACION DE LEGENDRE
6.2.4 Potencial Gran Canónico
El Potencial Gran Canónico es un Potencial Termodinámico que aparece, de forma
natural, en la teoría de la Mecánica Estadística de un sistema simple de un componente
y viene dado por la Transformación de Legendre,
U (T; V;
i) = U
r
P
TS
i Ni
(6.16)
i=1
6.2.5 Otros Potenciales
Otras transformaciones posibles de la energía U = U (S; V; Ni ) para un sistema simple, que se utilizan con escasa frecuencia y que por consiguiente no reciben denominación especifica, vienen dados por las siguientes expresiones,
U (S; V;
i) = U
r
X
(6.17)
i Ni
i=1
U (S; P;
i) = U + P V
r
X
i Ni
(6.18)
i=1
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Pág.: 52
CAPITULO 7
EJERCITACION
1. Sea F (u) = un , encontrar su transformada de Legendre. Resp.: G (v) = (n
2. Sea F (u) =
1 2
G (v) = 2k
v .
1
ku2
2
1)
v
n
n
n 1
.
(k constante), encontrar su transformada de Legendre. Resp.:
3. Sea F (u) = 1 u ( constante), encontrar su transformada de Legendre. Resp.: G (v) =
1 1 v 1.
4. Encuéntrese la transformada de Legendre,
G = G (v1 ; v2 )
de la función,
F (u1 ; u2 ) = 2u21 + 3u1 u2 + u22
Resp.: G (v1 ; v2 ) =
v12 + 3v1 v2
2v22 .
5. Encuéntrese la transformada de Legendre,
G = G (v1 ; v2 ; v3 )
de la función,
F (u1 ; u2 ; u3 ) = au21 + bu23 + u2 u1
donde a y b son constantes. Resp.: G (v1 ; v2 ; v3 ) = v1 v2 +
6. Encuéntrese la transformada de Legendre,
G = G (v; w)
53
1 2
v
4b 3
av22
CAPITULO 7. EJERCITACION
de la función,
F (u; w) = w u2 w
4
donde w es una variable pasiva. Verifique que,
@G
@F
+
=0
@w @w
Resp.: G (v; w) =
1
v2
4w2
+ 4w.
7. Encuéntrese la transformada de Legendre,
G = G (v1 ; v2 ; w1 ; w2 )
de la función,
F (u1 ; u2 ; w1 ; w2 ) = 2u21 w1 + 3u1 u2 w2 + u22
donde w1 y w2 son variables pasivas. Verifique que,
@F
@G
@F
@G
+
= 0,
+
=0
@w1 @w1
@w2 @w2
Resp.: G (v1 ; v2 ; w1 ; w2 ) =
2v22 w1 +v12 3v1 w2 v2
.
8w1 9w22
8. Encuentre la transformada de Legendre,
G = G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ; w3 )
de la función,
F (u1 ; u2 ; u3 ; w1 ; w2 ; w3 ) = u2 (w1 + w2 u1 ) + u3 (w2
w3 u3 )
donde w1 , w2 y w3 son variables pasivas. Verifique que,
@F
@G
@F
@G
+
= 0,
+
=0
@w1 @w1
@w2 @w2
@F
@G
y
+
= 0
@w3 @w3
Resp.: G (v1 ; v2 ; v3 ; w1 ; w2 ; w3 ) =
1
w2
(v2
w1 ) v1 +
1
4w3
(2w2
v3 ) v3
w22 .
9. Si G = G (v) es la transformada de Legendre de F = F (u), muestre la relación
simétrica de las transformaciones de Legendre para la tercera derivada,
d3 G
dv 3
d2 G 3=2
dv 2
+
d3 F
du3
d2 F 3=2
du2
=0
derivando la relación simétrica ya mostrada en el desarrollo del capítulo,
d2 G (v) d2 F (u)
=1
dv 2
du2
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CAPITULO 7. EJERCITACION
9.1. con respecto a u y
9.2. con respecto a v.
10. Muestre que si G = G (vi ) es la transformada de Legendre de F = F (ui ), entonces la
transformada de Legendre de G = G (vi ) es precisamente F = F (ui ).
11. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
1 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema.
12. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
2 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema.
13. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
3 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema.
14. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
4 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema.
15. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
5 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema.
16. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
6 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema.
17. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
7 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema.
18. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
8 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema.
19. Obtenga la Transformación de Legendre Negativa,
G (vj ) = F (uj )
n
X
i=1
ui vi , vi =
@F (uj )
, con j = 1; 2; 3; : : : ; n
@ui
mediante diferenciación de la función F = F (uj ).
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APENDICE A
TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y
DE CONTACTO
En el presente apéndice se tratará el tema referente a las Transformaciones Geométricas Correlativas y de Contacto, que se agrupan en las llamadas Transformaciones con
Cambio del Elemento de Espacio.
Ambas se pueden agrupar en transformaciones que hacen cambiar la naturaleza
de los elementos espaciales transformados. Aquí se considerará sólo el caso bidimensional de ambas en el que, fijando un sistema de ejes coordenados, un punto P se
transforma en otro distinto P 0 y sus respectivas coordenadas (x; y) y (x0 ; y 0 ) se relacionan mediante cierta expresión analítica, la cual define el tipo de transformación a ser
estudiada.
A.1
Transformaciones correlativas
En esta sección, como primera clase de estas correspondencias con cambio de naturaleza en los elementos homólogos , se considerarán las llamadas Transformaciones
[Ref. 20]
Correlativas.
Dos elementos, uno del conjunto origen y otro del conjunto imagen, se dice que son homólogos, si están
relacionados según una correspondencia f .
56
APENDICE A. TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y DE CONTACTO
Las Transformaciones Correlativas son aquellas que hacen corresponder
un punto a una recta en el caso bidimensional y un punto a un plano en el
caso tridimensional, o viceversa para ambos casos. Por esto último, algunas
veces, se les llama también Transformaciones Dualísticas.
Aquí serán consideradas aquellas que transforman un punto a una recta en el plano,
es decir, sólo el caso bidimensional. La idea a desarrollar consiste en usar las constantes
u y v de la ecuación,
ux + vy = 1
(A.1)
como coordenadas de la recta que ella representa, pudiéndose operar con estas coordenadas de la misma forma como se hace con las coordenadas de los puntos.
Figura A.1: Recta polar del punto P 0 (x0 ; y 0 ) respecto de la circunferencia x2 + y 2 = 1, con centro en el
origen
Para hacer el estudio de la transformación correlativa, considérense dos planos
y 0 . En el plano los puntos tienen coordenadas (x; y) y las rectas son ux + vy = 1,
mientras que en el plano 0 los puntos tienen coordenadas (x0 ; y 0 ). Si las coordenadas
x0 ; y 0 están ligadas a las u, v de las rectas del primer plano mediante,
(
u = (x0 ; y 0 )
(A.2)
v = (x0 ; y 0 )
entonces a cada punto (x0 ; y 0 ) del plano 0 le corresponde una recta en el plano ,
cuya ecuación resulta de sustituir (A.2) en (A.1). El caso más secillo se da cuando,
(
u = x0
(A.3)
v = y0
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Pág.: 57
APENDICE A. TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y DE CONTACTO
mediante las cuales cada punto (x0 ; y 0 ) del plano
0
se transforma en la recta,
x0 x + y 0 y = 1
(A.4)
en el plano . En esta expresión es evidente la simetría, pues no se altera al intercambiar
al mismo tiempo x por x0 y y por y 0 .
En (A.4) se puede observar lo siguiente:
0
1. Dualidad: si se suponen fijas las coordenadas primadas x0fija ; yfija
, es decir, se escoge
0
un punto concreto del plano resulta,
0
x0fija x + yfija
y=
0
x0fija x + yfija
y=1
| {z
}
| {z }
A
B
Ax + By = 1
que es la ecuación de una recta en el plano . Si por el contrario, se suponen fijas
las coordenadas no primadas (xfija ; yfija ), es decir, se escoge un punto concreto del
plano resulta,
xfija x0 + yfija y 0 = 1
(xfija )x0 + (yfija )y 0 = 1
| {z }
| {z }
e
A
e
B
e 0 + By
e 0=1
Ax
indicando ahora la ecuación de una recta en el plano
0
.
Por lo anterior, puede decirse tanto que (A.4) expresa la relación de un
punto del plano 0 a una línea del plano , como la relación de un punto
del plano a una línea del plano 0 . Los planos y 0 juegan un mismo papel en la relación “puntos de uno a líneas del otro”, es decir, hay Dualidad
Cruzada.
2. Reciprocidad: la expresión (A.4), en el caso de que los planos
de modo que coincidan sus ejes de coordenadas,
y
0
se superpongan
x0 = x
y0 = y
se convierte en polar del punto P 0 (x0 ; y 0 ) respecto de la circunferencia x2 + y 2 = 1,
con centro en el origen, como se muestra en la figura A.1.
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APENDICE A. TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y DE CONTACTO
En (A.4) hay Reciprocidad. Pueden superponerse los planos y 0 haciendo
que sea indiferente considerar que los puntos pertenecen a uno o al otro
plano ya que, puntos (x; y) y (x0 ; y 0 ) coincidentes se relacionan con líneas
coincidentes.
En cuanto a otras propiedades de esta transformación, limítese a observar que a
una curva del plano 0 , descrita por el punto (x0 ; y 0 ), corresponde la línea del plano ,
envuelta por las rectas (u; v).
Para entender la diferencia entre los conceptos, dualidad cruzada y reciprocidad,
puede considerarse la relación dualística más general entre puntos del plano 0 y líneas
del plano dada por,
(
0 +b y 0 +c
1
1
u = aa31 xx0 +b
0
3 y +c3
(A.5)
0
0
2 y +c2
v = aa23 xx0 +b
+b3 y 0 +c3
donde a1 ; a2 ; a3 ; b1 ; b2 ; b3 ; c1 ; c2 ; c3 son constantes. Nótese que (A.3) es un caso especial de
(A.5) cuando,
(
a1 = b 2 = 1
a2 = a3 = b 1 = b 3 = c 1 = c 2 = c 3 = 0
Al sustituir (A.5) en (A.1) se llega a la ecuación bilinealy más general,
a1 xx0 + b1 xy 0 + c1 x + a2 yx0 + b2 yy 0 + c2 y
a3 x 0
b3 y 0
(A.6)
c3 = 0
pudiéndose observar lo siguiente:
0
1. Dualidad: si se suponen fijas las coordenadas primadas x0fija ; yfija
, es decir, se escoge
0
un punto concreto del plano resulta,
0
0
0
a1 xx0fija + b1 xyfija
+ c1 x + a2 yyfija
+ b2 yyfija
+ c2 y
|
y
a3 x0fija
0
b3 yfija
0
0
0
0
a1 x0fija + b1 yfija
+ c1 x + a2 yfija
+ b2 yfija
+ c2 y + a3 x0fija b3 yfija
{z
}
|
{z
}
|
{z
A
Se dice que f (u; v) es bilineal
B
C
Ax + By + C = 0
[Ref. 46], [Ref. 47]
c3 = 0
c3 = 0
}
si es lineal en cada una de sus dos variables, es decir, si cumple:
f ( u1 + u2 ; v)
=
f (u1 ; v) + f (u2 ; v)
f (u; v1 + v2 )
=
f (u; v1 ) + f (u; v2 )
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Pág.: 59
APENDICE A. TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y DE CONTACTO
que es la ecuación de una recta en el plano . Si por el contrario, se suponen fijas
las coordenadas no primadas (xfija ; yfija ), es decir, se escoge un punto concreto del
plano resulta,
a1 xfija x0 + b1 xfija y 0 + c1 xfija + a2 yfija x0 + b2 yfija y 0 + c2 yfija
(a1 xfija + a2 yfija
|
{z
e
A
a3 )x0 + (b2 yfija + b1 xfija
}
|
{z
e
B
a3 x0
b3 y 0
b3 )y 0 + (c2 yfija + c1 xfija
}
|
{z
e
C
e 0 + By
e 0+C
e=0
Ax
indicando ahora la ecuación de una recta en el plano
0
c3 = 0
c3 ) = 0
}
.
Por lo anterior y al igual que ocurrió para (A.4), puede decirse tanto que
(A.6) expresa la relación de un punto del plano 0 a una línea del plano ,
como la relación de un punto del plano a una línea del plano 0 .
2. Reciprocidad condicionada: aunque hay una dualidad entre puntos y líneas en
(A.6), no necesariamente hay reciprocidad, es decir, que puntos de los planos
y 0 con iguales coordenadas se transformen en las mismas líneas de los planos 0 y
. La transformación (A.6) es recíproca bajo la condición de que b1 = a2 , c1 = a3 ,
c2 = b3 ,
a1 xx0 + a2 xy 0 a3 x + a2 yx0 + b2 yy 0 b3 y a3 x0 b3 y 0 c3 = 0
a1 xx0 + a2 (xy 0 + yx0 ) + b2 yy 0 + ( a3 ) (x + x0 ) + ( b3 ) (y + y 0 ) + c3 = 0
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
| {z }
| {z }
A
B
C
D
E
F
quedando como,
Axx0 + B(xy 0 + yx0 ) + Cyy 0 + D(x + x0 ) + E(y + y 0 ) + F = 0
(A.7)
evidenciándose así la simetría, pues no se altera al intercambiar al mismo tiempo x
por x0 y y por y 0 .
La expresión (A.7), en el caso de que los planos
coincidan sus ejes de coordenadas,
y
0
se superpongan de modo que
x0 = x
y0 = y
resulta en,
Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
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(A.8)
Pág.: 60
APENDICE A. TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y DE CONTACTO
que son cónicasz , expresando la correspondencia de polo y polar respecto de ellas. La circunferencia obtenida de (A.4), bajo las mismas condiciones, es un caso
especial de (A.8), es decir, es una de las posibles cónicas.
En (A.6) hay dualidad pero no reciprocidad. En (A.7) hay dualidad y reciprocidad. Al igual que ocurrió con (A.4), pueden superponerse los planos y 0
haciendo que sea indiferente considerar que los puntos pertenecen a uno
o al otro plano ya que, puntos (x; y) y (x0 ; y 0 ) coincidentes se relacionan con
líneas coincidentes.
De todo lo anterior es de resaltar que,
Toda polaridad respecto de una cónica, es una correspondencia correlativa y recíproca.
Al generalizar estas correspondencias, se llega a otras muy importantes: las Transformaciones de Contacto.
A.2
Transformaciones de contacto
[Ref. 20]
En esta sección se considerarán las llamadas Transformaciones de Contacto
. Las
Transformaciones de Legendre son un ejemplo de este tipo de transformaciones y, en
Mecánica Clásica y específicamente en Mecánica Hamiltoniana, reciben el nombre
de Transformaciones Canónicas.
Se pueden definir de la siguiente manera:
[Ref. 48], [Ref. 49]
Las Transformaciones de Contacto son aquellas que transforman curvas
en el plano, haciendo que las curvas tangentes sean transformadas en curvas tangentes. Estas transformaciones, algunas veces, son llamadas Transformaciones de Tangencia.
Una transformación de contacto de superficies en el espacio se define de forma
similar.
z
Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo
que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del
cono determina las distintas clases de cónicas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.
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Pág.: 61
APENDICE A. TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y DE CONTACTO
0
en el plano
Figura A.2: (a) Se fija P en el plano obteniéndose su curva asociada CP
0
el plano obteniéndose su curva asociada CP 0 en el plano .
0
. (b) Se fija P 0 en
Las transformaciones de contacto se asocian al matemático noruego Sophus Lie y
se obtienen utilizando, en vez de la ecuación bilineal (A.6), una arbitraria de grado
superior,
(x; y; x0 ; y 0 ) = 0
(A.9)
que es una función de las coordenadas de los planos y 0 , arbitraria salvo por cumplir
unas mínimas condiciones de continuidad. Esta es la llamada Ecuación Directriz, denominación debida a Plücker.
Ahora bien, con base en lo estudiado en la sección anterior:
1. Si se fija una x y una y (se toma un valor fijo para x y para y ) en el plano (véase
la figura A.2a) entonces se fija un punto P (xfija ; yfija ) en dicho plano, al cual se le
asociará a una curva CP0 en el plano 0 dada por (A.9),
(xfija ; yfija ; x0 ; y 0 ) = 0
que tiene como variables las x0 y y 0 .
2. Por el contrario, si se fija una x0 y una y 0 en el plano 0 (véase la figura A.2b) entonces
0
se fija un punto P 0 x0fija ; yfija
en dicho plano, de esta manera (A.9),
0
x; y; x0fija ; yfija
=0
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Pág.: 62
APENDICE A. TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y DE CONTACTO
Figura A.3: (a) Movimiento de P en el plano y sus consecuencias en el plano
en el plano 0 y sus consecuencias en el plano .
0
. (b) Movimiento de P 0
tiene por variables las x y y que representa una curva CP 0 asociada a P 0 en el plano
.
3. En base a lo dicho en 1 y 2, si ahora se tiene un punto Q0 que pertenece a la curva
CP0 , entonces su curva asociada CQ0 debe pasar por P, como se ilustra en la figura
A.4a.
4. Por el contrario, si se tiene un punto Q que pertenece a la curva CP 0 , entonces su
0
curva asociada CQ
debe pasar por P 0 , como se ilustra en la figura A.4b.
5. Si el punto P (x; y) se mueve sobre el plano
describiendo una curva K, véase
figura A.3a, a cada una de sus posiciones P1 ; P2 ; P3 : : : Pn le corresponde una curva
CP0 1 ; CP0 2 ; CP0 3 : : : CP0 n en el plano 0 y el conjunto de todas ellas envuelve una nueva
curva K0 (K0 es la envolvente de todas las C 0 ) en dicho plano, que puede considerarse como homóloga de la curva K.
6. Por el contrario, si el punto P 0 (x0 ; y 0 ) se mueve sobre el plano 0 describiendo una
curva K0 , véase figura A.3b, a cada una de sus posiciones P10 ; P20 ; P30 : : : Pn0 le corresponde una curva CP10 ; CP20 ; CP30 : : : CPn0 en el plano y el conjunto de todas ellas envuelve una nueva curva K (K es la envolvente de todas las C) en dicho plano, que
puede considerarse como homóloga de la curva K0 .
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Pág.: 63
APENDICE A. TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y DE CONTACTO
0
, entonces su curva asociada CQ0
Figura A.4: (a) Si se tiene un punto Q0 que pertenece a la curva CP
debe pasar por P. (b) Si se tiene un punto Q que pertenece a la curva CP 0 , entonces su curva
0
debe pasar por P 0 .
asociada CQ
En base a lo anteriormente descrito queda establecida una relación entre:
1. Los puntos P (x; y) del plano
2. Los puntos P 0 (x0 ; y 0 ) del plano
y las infinitas curvas CP0 del plano
0
0
.
y las infinitas curvas CP 0 del plano .
Analíticamente se puede ver de la siguiente forma:
Supóngase que la curva K descrita por P (x; y) en el plano son los lados de un
polígono rectilíneo muy pequeño y que se quiere determinar qué figura (curva K0 ) le
corresponde en el plano 0 a uno de tales polígonos.
Para lograrlo, véase figura A.2, supóngase ahora que K se describe al mover P (x; y)
hasta el punto muy cercano P1 (x + dx; y + dy), es decir, se ha desplazado una distancia
infinitesimal dx a lo largo de x y dy a lo largo de y, en una dirección PP 1 que es la de
dy
la tangente = dx
a la curva K en P (x; y) cuando P1 (x + dx; y + dy) se acerca a P (x; y)
sobre dicha curva (definición de derivada). Entonces, al punto P (x; y) le corresponde
en 0 la curva CP0 cuya ecuación viene dada por,
(x; y; x0 ; y 0 ) = 0
(A.10)
en la que x0 , y 0 son las coordenadas variables, mientras que al punto P1 (x + dx; y + dy)
le corresponde la curva CP0 1 cuya ecuación viene dada por,
(x + dx; y + dy; x0 ; y 0 ) = 0
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(A.11)
Pág.: 64
APENDICE A. TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y DE CONTACTO
que desarrollando en serie de Taylor respecto de dx y dy y considerando solamente los
términos lineales (de primer orden) resulta en,
(x; y; x0 ; y 0 ) +
@
@
dx +
dy = 0
@x
@y
(A.12)
dy
Haciendo el cambio = dx
, tangente del ángulo definido por PP 1 , la intersección de
ambas curvas (en el límite) da el punto P 0 (x0 ; y 0 ) de tangencia a K0 . Por tanto P 0 (x0 ; y 0 )
se obtiene de las dos expresiones,
(
(x; y; x0 ; y 0 ) = 0
@
+ @@y = 0
@x
(A.13)
La tangente a K0 en P 0 (x0 ; y 0 ) es la tangente a CP0 1 en ese mismo punto expresada
mediante,
@
@
0
dx
+
dy 0 = 0
(A.14)
@x0
@y 0
que al hacer
0
=
dy 0
dx0
se puede escribir como,
@
@x0
+
@
@y 0
0
=0
(A.15)
Así pues, dados en el plano un punto P (x; y) en la curva K y la dirección de la
tangente a esta curva en dicho punto, por medio de (A.13) y (A.15) se obtiene en el
plano 0 el punto homólogo P 0 (x0 ; y 0 ) en la curva K0 y la dirección 0 de la tangente a
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Pág.: 65
APENDICE A. TRANSFORMACIONES CORRELATIVAS Y DE CONTACTO
Figura A.5: Dos curvas K y K1 que están en contacto en un punto P se transforman en otras dos K0 y K10
que también se tocan pero ahora en un punto P 0 .
esta curva en dicho punto. Por consiguiente, la transformación hace corresponder a
todo (x; y; ) del plano , otro (x0 ; y 0 ; 0 ) en el plano 0 .
Al repetir todo lo descrito anteriormente para todos los lados del polígono que aproxima a la curva K y, por tanto, a los elementos de línea de ésta, se obtiene como homólogo en el punto P 0 otro polígono aproximado a la curva K0 y los elementos de línea
de ésta. De esta manera, cuando (x; y; ) toman los valores de las coordenadas y de
la dirección de la tangente en todos los puntos de K, las ecuaciones (A.13) en x0 y y 0
representan la curva K0 homóloga de la K.
Queda ahora claro el nombre dado por Lie de Transformaciones de
Contacto: dos curvas K y K1 que están en contacto en un punto P (son
tangentes una a la otra) se transforman en otras dos K0 y K10 que también
están en contacto pero ahora en el punto P 0 , como se muestra en la figura
A.5. El contacto (la tangencia) de dos curvas es una propiedad invariante
bajo una transformación de contacto.
Ejemplos de estas transformaciones pueden encontrarse en la página 150 de la referencia citada al comienzo de este apéndice.
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Pág.: 66
APENDICE B
CALCULOS REFERENTES A LA
DEFINICION DE FUNCION CONVEXA
El objetivo de este apéndice es detallar la figura 1.5, que lleva a la definición de Función
Convexa en la sección 1.3.1.
Figura B.1: Detalles referentes a la definición de Función Convexa.
Primeramente se verá cómo determinar un punto u cualquiera en el intervalo que
va desde ua hasta ub como se muestra en la figura B.1. Para lograrlo, se comenzará
por subdividir el intervalo para así poder barrerlo por completo mediante un paso tan
67
APENDICE B. CALCULOS REFERENTES A LA DEFINICION DE FUNCION CONVEXA
pequeño como se quiera. El paso p requerido es dado por,
p=
ub
ua
(B.1)
1
donde 1 es el número de espacios iguales en que será subdividido el intervalo, haciendo que el paso p sea mayor cuando 1 se hace pequeño o menor cuando 1 se
hace grande. De esta manera cualquier punto u en el intervalo considerado vendrá
dado por,
u = ub
(B.2)
2p
donde 2 es el número de pasos que deben quitarse a ub para obtener u. Ahora, al
sustituir (B.1) en (B.2) resulta,
2
(ub ua )
(B.3)
u = ub
1
de manera que,
(
u = ua si
u = ub si
2
2
= 1
=0
(B.4)
La expresión (B.3) puede ser reescrita como,
u = ub
(ub
(B.5)
ua )
con,
=
2
(B.6)
1
que debido a (B.4),
(B.7)
2 [0; 1]
Ahora se determinará, obsérvese figura B.1, el punto sobre el eje F (u) que corresponde al punto u proyectado sobre la recta L. De la figura es fácil notar que,
(B.8)
= F (ua ) + w
Por otro lado,
Tan
F (ub ) F (ua )
, pendiente de la recta L.
ub ua
w
=
, tangente del ángulo a partir del triángulo
u ua
(B.9)
=
ABC
(B.10)
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Pág.: 68
Tan
entonces al igualar (B.9) y (B.10) resulta,
F (ub )
ub
F (ua )
w
=
ua
u ua
APENDICE B. CALCULOS REFERENTES A LA DEFINICION DE FUNCION CONVEXA
o,
w = (1
) [F (ub )
F (ua )]
(B.11)
donde se ha sustituido (B.5).
Finalmente, al sustituir (B.11) en (B.8) se obtiene,
= F (ua ) + (1
) [F (ub )
F (ua )]
o,
= F (ua ) + (1
) F (ub )
(B.12)
Los resultados (B.5) y (B.12) completan los detalles encontrados en la figura 1.5.
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Pág.: 69
APENDICE C
TEOREMA DE EULER
Dada una función de n variables F = F (u1 ; u2 ; u3 ; :::; un ), se dice que es homogénea de
grado p si ocurre que,
F ( u1 ; u2 ; u3 ; : : : ; un ) =
p
F (u1 ; u2 ; u3 ; : : : ; un ) , con
6= 0
(C.1)
Teorema 1 (Teorema de Euler) Si F = F (u1 ; u2 ; u3 ; :::; un ) es una función homogénea de
grado p, entonces se cumple que,
n h
X
j=1
i
uj @F@u(uj i ) = pF (ui )
Demostración. Si se deriva (C.1) con respecto a ,
@F ( ui )
= p
@
n
X
@F ( ui ) @ uj
= p
@ uj
@
j=1
n
X
uj
j=1
ahora si
= 1 entonces,
n
X
j=1
como se quería demostrar.
@F ( ui )
@ uj
uj
= p
p 1
F (ui )
p 1
F (ui )
p 1
F (ui )
@F (ui )
= pF (ui )
@uj
70
(C.2)
APENDICE D
BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS
DESTACADOS EN EL PRESENTE TEXTO
D.1
JEAN-BAPTISTE JOSEPH FOURIER 1768 -1830
Figura D.1: Jean-Baptiste Joseph Fourier 1768 -1830
Matemático francés, que descubrió las series matemáticas y el teorema integral
que llevan su nombre, nacido el 21 de marzo de 1768 en Auxerre (Francia). Hijo de un
sastre, a los ocho años quedó huérfano. Ingresa en la Escuela Militar de su ciudad natal,
71
APENDICE D. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
pero al no ser de origen noble no puede llegar a artillero; posteriormente continúa su
formación en una abadía benedictina, pero la abandona antes de profesar como
religioso. Durante la Revolución francesa, logra escapar de la muerte, e ingresa en la
École Normale de París, en la que llegó a ser profesor de enseñanza superior.
En 1798 acompaña a Napoleón a Egipto, junto con otros 164 científicos, que iniciaron
estudios relativos a la geografía, arqueología, medicina, agricultura e historia natural.
Fourier fue nombrado secretario del Instituto de Egipto, un organismo científico, y desempeñó su actividad administrativa con tal diligencia que le fueron encomendadas
otras tareas diplomáticas. No obstante, su labor de investigación también fue importante tanto en antigüedades egipcias, como en matemáticas con su teoría sobre las
raíces de las ecuaciones algebraicas. En 1801, los franceses fueron arrojados de Egipto,
y a pesar de ser capturados por la flota británica, su almirante, haciendo gala del sentido del honor de la época, libera en Alejandría a todos los científicos. Fourier tuvo que
volver a su país natal, donde impartió docencia de Análisis en la École Polythechnique
de París. Un año después, volvió a entrar al servicio de Napoleón, quien lo nombró
prefecto del departamento de Isère, y durante el desempeño de su cargo a lo largo
de catorce años, construyó el tramo francés de la carretera hasta Turín, y desecó unos
80:000 km2 de ciénagas, que provocaban la malaria. También en esta fase de su vida
dedujo la ecuación que describía la conducción del calor a través de los cuerpos sólidos, afirmando que el flujo de calor puede obtenerse multiplicando la conductividad
térmica por el gradiente de temperatura. Esta ecuación hoy es conocida como la ley
de Fourier. Alrededor de 1807, encuentra el método para resolverla, y será llamada la
transformada de Fourier. Esta transformada es una función que describe la amplitud, y
la fase de cada sinusoide con una frecuencia específica, expresando la amplitud, la
altura de la sinusoide y la fase, el punto de arranque dentro del ciclo de la sinusoide.
Valiéndose de esta herramienta matemática, explicó numerosos ejemplos de la conducción del calor, como el flujo de calor en torno a un anillo de hierro que sujeta el ancla de un barco a su cadena; en él, al introducirlo a medias en un fuego, la distribución
de temperaturas alcanza una forma sinusoidal, igual a las funciones seno y coseno (hay
partes frías y partes calientes), y dicha sinusoide se va aplanando hasta que el anillo
alcanza una temperatura constante.
Fourier propuso descomponer la distribución irregular inicial en un conjunto de sinusoides simples, cada una de ellas con su temperatura máxima y su fase, y cada componente sinusoidal variaba un número entero de veces de un máximo a un mínimo o
viceversa, alrededor del anillo; a la variación con un solo ciclo la denominó armónico
fundamental y a las de más de un ciclo por giro, segundo armónico, tercer armónico,
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Pág.: 72
APENDICE D. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
etc. Con ello pretendía obtener unas series trigonométricas periódicas, que al sumarlas
proporcionaran la distribución original. Este análisis contradecía ciertas concepciones
matemáticas del siglo XIX, por lo que hombres como Lagrange, Laplace, Legendre,
Euler y Poisson no aceptaron la tesis de Fourier, hasta el punto en que el día que la
defendió en una sesión de la Academia, el mismo Lagrange puesto en pie sostuvo
que todo aquello no era posible. No obstante, la Academia reconoció la importancia
de los resultados de Fourier y le concedió un premio por su teoría matemática de las
leyes de propagación del calor y la coherencia entre ella y los resultados obtenidos en
los experimentos, aunque la Academia hace referencia a la difícil generalización del
método y a su falta de rigor. Debido a estas suspicacias, no publica este trabajo hasta
1815. En 1822, publica su libro Théorie analytique de la chaleur, en la que desarrolla su
trabajo anterior.
El rechazo hacia las teorías de Fourier se fundamentaban en su propuesta de que
una función aparentemente discontinua pudiera representarse mediante la suma de
funciones sinusoidales, todas ellas continuas; y de ser cierta la hipótesis de Fourier, la
suma de un número infinito de sinusoides podría ser convergente y representar con exactitud funciones, cuyos valores salten bruscamente. En el siglo XIX tal afirmación se
presentaba como absurda, pero actualmente es uno de los instrumentos matemáticos
más importantes de aplicación en numerosas ciencias, pues se emplea por ejemplo,
para resolver ecuaciones que describen respuestas dinámicas de los sistemas eléctricos, térmicos o lumínicos, y da sentido a ciertas observaciones en astronomía, medicina y química.
Miembro de la Academia de Ciencias de Francia desde 1816, también llevó a cabo
investigaciones sobre Meteorología. Murió el 16 de marzo de 1830 en París, a consecuencia de una enfermedad contraída durante su estancia en Egipto.
Tomado de la web: La Web de las Biografías
http://www.mcnbiografias.com/app-bio/do/show?key=fourier-jean-baptiste-joseph
D.2
PIERRE-SIMON LAPLACE 1749 - 1827
Nació el 28 de Marzo de 1749 en Beaumont-en-Auge, Francia y murió el 5 de Marzo de
1827 en París.
Su madre era descendiente de una familia de granjeros y su padre, un trabajador de
la industria de la sidra. Sólo un tío suyo había estudiado y fue profesor de matemáticas.
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Pág.: 73
APENDICE D. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
Figura D.2: Pierre-Simon Laplace 1749 - 1827
Estudió en una escuela de benedictinos en su ciudad natal de los 7 a los 16 años
porque su padre quería que fuera sacerdote. Así que empezó a estudiar teología,
pero descubrió que le gustaban las matemáticas y a los 19 años se marchó a París con
una carta de recomendación. Fue recibido y apoyado por D’Alembert que además le
buscó un trabajo como profesor de matemáticas en la Escuela Militar para que Laplace
pudiera mantenerse en París.
Ingresó en la Academia de las Ciencias de París en 1773 y años después dio clases
en el Cuerpo Real de Artillería.
Fue un hábil político ya que siempre adaptó sus ideas a la situación política del país,
lo que le proporcionó pocas amistades entre sus colegas.
En 1785 fue elegido miembro de la academia francesa de Ciencias, la cual presidió
varias veces.
Durante el Régimen del Terror, en 1793, abandonó París y participó en la elaboración
del nuevo calendario de la Revolución. Dos años más tarde dio clases en la Escuela
Normal y en la Escuela Politécnica y fue nombrado director del Instituto y del Observatorio de París.
Mientras tanto, seguía estudiando e investigando en probabilidad, mecánica celeste y física, principalmente.
Con Napoleón, Laplace llegó a ser Canciller del Senado y recibió la Legión de
Honor. Más tarde Napoleón le nombró Ministro del Interior 8cargo en el que duro poco
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Pág.: 74
APENDICE D. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
por lo mañ que lo hizo). Pero con la restauración de la monarquía Borbónica y fiel a sus
principios de seguir la política del momento, se opuso a Napoleón, siendo nombrado
Marqués en 1817.
En 1816 fue nombrado miembro de la Academia francesa de la Lengua.
En el terreno más personal, Laplace se casó con Marie-Charlotte de Courty de Romanges, que era 20 años más joven que él y tuvo dos hijos. Charles-Emile que fue militar
y Sophie-Suzanne que murió muy joven durante el parto de su hijo, único descendiente
de Laplace.
Trabajó incansablemente presentando nuevos trabajos hasta la edad de 70 años.
Murió a los 77.
Principales aportaciones:
Astronomía:
1. Demostró la estabilidad del sistema solar.
2. Describió el movimiento de los centros de gravedad de los cuerpos del sistema solar
mediante ecuaciones diferenciales y sus soluciones.
3. Aplicó la mecánica al estudio de los planetas.
4. Estudió la figura de la tierra a partir de los datos obtenidos en distintas observaciones
y utilizó la teoría de errores a los resultados que obtuvo.
5. Estudió cómo los planetas eran perturbados por sus satélites.
6. Descubrió la invariabilidad de los principales movimientos de los planetas.
7. Probó que las excentricidades y las inclinaciones de las órbitas planetarias permanecían
constantes y se autocorregían.
8. Presentó la teoría nebular (el sistema solar se formó como concentración de una
nube de gases) cuya base matemática es incorrecta, pero que se sigue admitiendo.
Probabilidad:
1. Dio una definición de probabilidad y la llamada posteriormente regla de Bayes.
2. Encontró métodos para calcular la probabilidad de sucesos compuestos conocidas
las probabilidades de sus componentes simples.
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Pág.: 75
APENDICE D. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
3. En una de sus publicaciones apareció la ley de Laplace y que asigna probabilidades
a sucesos equiprobables.
4. Aplicó la probabilidad a la mortalidad, la esperanza de vida, la duración de los matrimonios, a los sucesos legales, a los errores en las observaciones, la determinación
de las masas de Júpiter, Saturno y Urano, métodos de triangulación y problemas de
geodesia.
Matemáticas:
1. Ideó la que se conoce como "ecuación de Laplace" estudiando la atracción gravitatoria de un esferoide sobre un objeto externo.
2. En uno de sus libros introdujo la famosa "transformada de Laplace", muy útil en la
teoría de ecuaciones diferenciales.
3. Encontró métodos de resolución de ecuaciones, de desarrollo de determinantes y
de aproximación de integrales definidas.
4. Introduce el uso de la función potencial en análisis matemático, así como las funciones llamadas armónicos esféricos que ya habían sido estudiadas por Legendre.
Física:
1. Estudió la teoría de las mareas.
2. Participó como miembro del comité en la elaboración del Sistema Métrico Decimal.
3. Contribuyó al estudio de la mecánica, afirmando que la explicación de cualquier
fenómeno natural se basa en el estudio de las fuerzas que actúan localmente entre
las moléculas.
4. Estudió las condiciones de equilibrio de una masa fluida en rotación.
5. Estudió la presión y la densidad, la refracción astronómica, la presión barométrica y
la transmisión de gravedad.
6. Contribuyó al estudio de la electricidad, termología y magnetismo con técnicas
matemáticas.
Química:
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APENDICE D. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
1. Junto a Lavoisier estudió el calor específico y la combustión de distintas sustancias,
estableciendo los cimientos de la termodinámica y diseñando el calorímetro de
hielo.
2. Estableció la fórmula de las transformaciones adiabáticas de un gas.
Tomado de la web:
http://sauce.pntic.mec.es/rmarti9/laplace1.html
D.3
JULIUS PLÜCKER 1801 - 1868
Julius Plücker 1801-1868
Matemático y físico alemán, nacido en Elberfeld el 16 de julio de 1801 y fallecido
en Bonn el 22 de mayo de 1868, descubridor de los rayos catódicos.
En 1825 obtuvo el título de enseñante, y cuatro años más tarde fue nombrado profesor auxiliar de la Universidad de Bonn. En 1834 pasó a la Universidad de Halle como
profesor titular, puesto que desempeñó durante dos años, tras los cuales regresó, ya
como profesor titular, a Bonn, donde realizó la mayor parte de su actividad científica.
Entre sus investigaciones, las de mayor calado científico fueron las matemáticas,
en particular la geometría analítica. Especializado en la teoría de curvas algebraicas,
formuló un teorema concerniente a las curvas polares, definió un sistema de coordenadas, llamadas tangenciales, y ciertas relaciones que se establecen entre el orden, el
número de puntos de inflexión y de puntos singulares de las curvas algebraicas.
Sin embargo, su nombre ha trascendido por su detección de los rayos catódicos,
fenómeno físico del que no acertó a dar explicación. Al aparecer en 1854 los primeros
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APENDICE D. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
tubos de Geissler, en esencia tubos de vidrio en cuyo interior se encuentra un gas enrarecido y un par de electrodos, con los que se ponen de manifiesto fenómenos luminiscentes, fabricados por el soplador de vidrio H. Geissler, Plücker encargó a aquél varios
de ellos con el objeto de examinar con sus alumnos su funcionamiento. Observaron la
aparición de un resplandor de color verde en la pared del tubo opuesta al electrodo
negativo. Este fenómeno de fluorescencia fue finalmente explicado correctamente
por Eugen Goldstein en 1876.
Otras contribuciones de Plücker a la física de su tiempo fueron ciertas investigaciones
sobre las propiedades eléctricas de los gases, y las propiedades de las lámparas de
arco.
Fue autor de un gran número de memorias científicas, publicadas en las revistas
científicas de la época y finalmente reunidas en un volumen con el título Gessamelten
wissenschaftlichten Abhandlungen (1895-96).
Tomado de la web: La Web de las Biografías
http://www.mcnbiografias.com/app-bio/do/show?key=plucker-julius
D.4
GIUSEPPE LODOVICO LAGRANGIA (JOSEPH LOUIS LAGRANGE)
1736 - 1813
Joseph Louis Lagrange. Bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia. Matemático,
físico y astrónomo francés. Trabajó para Federico II el Grande de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Demostró el Teorema del valor medio, desarrolló la Mecánica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en Astronomía.
Primeros años
Nació el 25 de enero de 1736 en Turín, Italia. Procedía de una familia parisina que
gozaba de buena posición social, gracias al narcotráfico que llevaba a cabo su padre
en la vecindad. Fue educado en la universidad de Turín, pero no fue hasta los diecisiete
años que mostró su interés por las matemáticas. Su entusiasmo lo despertó la lectura
de una obra del astrónomo Edmund Halley. Tras un año de incesante trabajo, era ya un
matemático consumado.
Lagrange era de mediana altura, complexión débil, con ojos azul claro y un color de
piel pálida. Era de un carácter nervioso y tímido, detestó la controversia, y al evitarla
de buena gana permitió a otros tener crédito por cosas que él había hecho.
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APENDICE D. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
Figura D.3: Giuseppe Lodovico Lagrangia (Joseph Louis Lagrange) 1736-1813
Cuando tenía sólo diecinueve años, envió una carta a Leonhard Euler en que resolvió un problema que había sido un asunto de discusión durante más de medio siglo
mediante una nueva técnica: el cálculo de variaciones. Euler reconoció la generalidad del método, y su superioridad; y con una cortesía rara en él, retuvo un artículo que
él había escrito previamente para que el joven italiano tuviera tiempo para completar
su trabajo, como exige la invención de un nuevo método de cálculo. El nombre de
esta rama del análisis la sugirió el propio Euler. Este trabajo puso a Lagrange en primera
línea entre los matemáticos de su época.
En 1758, con la ayuda de sus alumnos, Lagrange publicó en la Academia de Turín
la mayoría de sus primeros escritos consistentes en los cinco volúmenes, normalmente
conocidos como Miscellanea Taurinensia.
En 1761 Lagrange no tenía rival en el campo de las matemáticas; pero su trabajo
incesante durante los últimos nueve años habían afectado seriamente su salud, y los
doctores se negaron a ser responsables de su vida a menos que él se lo tomara en serio. Aunque su salud fue temporalmente restablecida, su sistema nervioso nunca recuperó su tono, y de aquí en adelante padeció constantemente ataques de melancolía
severa.
En la corte real de Prusia
En 1766 Leonhard Euler abandonó Berlín, y Federico II el Grande escribió a Lagrange
para expresarle su deseo de que "el rey más grande de Europa" debería tener "el
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APENDICE D. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
matemático más grande de Europa" viviendo en su corte.
Lagrange aceptó la oferta y durante los próximos veinte años en Prusia, no sólo
produjo la serie más grande de documentos publicada en el Berlín sino que publicó su
trabajo monumental, la Mécanique analytique.
Su estancia en Berlín comenzó con un desafortunado error: estando la mayoría de
sus colegas casados, y aconsejado por sus esposas de que era la única manera de
estar contento, se casó; su esposa se murió pronto, pero la unión no fue feliz.
Lagrange era el favorito del rey y frecuentemente disertó sobre las ventajas de una
regularidad perfecta en la vida. La lección la aplicó a su vida, y Lagrange estudió su
mente y su cuerpo como si fueran máquinas, y encontró experimentando la cantidad
exacta de trabajo que podía hacer sin perder la salud. Todas las noches se ponía una
tarea definida para el próximo día, y al completar cualquier tema escribía un corto
análisis para ver qué puntos en las demostraciones eran susceptibles de mejora. Siempre pensó en sus artículos antes de componerlos, y normalmente los escribió con aseo
y sin una sola raspadura o corrección.
Ultima etapa en Francia
En 1786 Federico II murió, y Lagrange que se había adaptado al clima de Berlín
aceptó alegremente la oferta de Luis XVI para emigrar a París. Había recibido invitaciones similares de España y Nápoles. En Francia fue recibido con distinción, y se
prepararon apartamentos especiales en el Louvre para su recepción.
Al principio de su residencia tuvo un ataque de melancolía, y tuvo una copia impresa de su Mécanique, en la que había trabajado un cuarto de siglo, sin abrir en su
escritorio durante más de dos años. La curiosidad acerca de los resultados de la revolución francesa lo sacó de su letargo, una curiosidad que pronto se volvió en alarma
con el desarrolló de la revolución.
En 1792, la inexplicable tristeza de su vida y su timidez movió la compasión de una
joven muchacha que insistió en casarse siendo feliz con dicha unión. Aunque el decreto de octubre de 1793 que exigía que todos los extranjeros dejaran Francia no le fue
aplicado, deseaba marcharse cuando le ofrecieron la presidencia de la comisión para
la reforma de pesos y medidas. La opción de las unidades finalmente seleccionadas
era principalmente debida a él, y por su influencia se aceptó por la comisión la subdivisión decimal 1799.
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Aunque Lagrange había querido salir de Francia, nunca estuvo en peligro y los diferentes gobiernos revolucionarios (y más tarde, Napoleón) lo llenaron de honores y distinciones. En 1794 Lagrange fue nombrado profesor de École Polytechnique y las conferencias que dio allí a los matemáticos que tuvieron la buena suerte de poder asistir a
ellas, tenían su base en su Théorie des fonctions analytiques.
En 1795 ocupó una silla matemática honorífica en la École normale que disfrutó
sólo durante cuatro meses, ya que la école fue cerrada. Sus conferencias aquí eran
bastante elementales, y no contiene nada de importancia especial.
En 1810 comenzó una revisión completa de la Mécanique analytique, pero sólo
pudo completar unos dos tercios antes de su muerte que sucedió en 1813.
Muerte
Murió el 10 de abril de 1813, en París, Francia.
Su obra
Miscellanea Taurinensia
El primer volumen contiene un documento de la teoría de la propagación de sonido;
indica un error hecho por Newton, y obtiene la ecuación diferencial general para el
movimiento, y halla la solución para el movimiento en línea recta.
Este volumen también contiene la solución completa del problema de una cuerda
que vibra transversalmente; en este trabajo señala la falta de generalidad en las soluciones dadas previamente por Brook Taylor, D’Alembert y Leonhard Euler llegando a la
conclusión que la forma de la curva para un tiempo t cualquiera viene dada por la
ecuación.
El artículo concluye con una hábil discusión sobre ecos y sonidos compuestos. Otros
artículos en este volumen son serie recursivas, probabilidad y cálculo de variaciones.
El segundo volumen contiene un documento largo que incluye los resultados de
varios documentos del primer volumen y notas sobre el cálculo de variaciones; e ilustra
su uso deduciendo el principio de mínima acción, y las soluciones de varios problemas
de dinámica.
El tercer volumen incluye la solución de varios problemas de dinámica mediante
el cálculo de variaciones; algunos documentos de cálculo integral; una solución del
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problema de Fermat, encontrar un número x qué hará que (x 2 n + 1) sea un cuadrado
dónde n es un entero dado que no es un cuadrado; y las ecuaciones de diferencial
generales del problema del movimiento de n-cuerpos y su aplicación al Problema de
los tres cuerpos que se mueven bajo sus atracciones mutuas.
Los tratados
Su actividad mental durante estos veinte años en Prusia fue asombrosa, no sólo por
el hecho de producir su espléndida Mécanique analytique, sino por contribuir, con doscientos trabajos, a las Academias de Berlín, Turín, y París. Algunos de éstos realmente
son tratados, y todos, sin excepción, son de una extraordinaria calidad. Salvo un corto
tiempo cuando él estaba enfermo en que produjo aproximadamente un artículo por
término medio al mes. Los más importantes son:
1. Sus contribuciones a los volúmenes cuarto y quinto, 1766-1773, de la Miscellanea
Taurinensia; el más importante fue uno en 1771 en que discutió cómo numerosas
observaciones astronómicas deben combinarse para dar el resultado más probable.
2. Después, sus contribuciones a los primeros dos volúmenes, 1784-1785, de la Academia de Turín. Un artículo sobre la presión ejercida por los fluidos en movimiento, y
el segundo un artículo en la integración de una serie infinita, y el tipo de problemas
para que es conveniente.
La astronomía
El siguiente trabajo fue en 1764 sobre la libración de la Luna, y una explicación acerca de por qué siempre ofrece la misma cara a la Tierra, un problema que él trató con
la ayuda del trabajo virtual. Su solución es especialmente interesante por contener
el germen de la idea de ecuaciones generalizadas de movimiento, ecuaciones que
demostró formalmente en 1780.
La mayoría de los trabajos enviados a París versaba sobre preguntas astronómicas,
y entre estos papeles cabe mencionar el sistema joviano en 1766, su ensayo en el problema de los tres cuerpos en 1772, su trabajo sobre la ecuación secular de la Luna en
1773, y su tratado sobre las perturbaciones cometarias de 1778. Éstos eran todos asuntos propuestos por la Academia francesa, y en cada caso el premio se le otorgó a
él.
Existen numerosos artículos de astronomía. De estos los más importantes son:
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TEXTO
1. Intentando resolver el Problema de los tres cuerpos, descubrió los puntos de Lagrange en 1772 de interés porque en ellos se han encontrado los asteroides troyanos
y satélites troyanos de Saturno.
2. Gravitación de elipsoides, 1773: Punto de partida del trabajo de Maclaurin.
3. La ecuación secular de la Luna, 1773; también notable por la introducción de la
idea de potencial. El potencial de un cuerpo en un punto es la suma de la masa
de cada elemento del cuerpo dividido por su distancia del punto. Lagrange mostró
que si el potencial de un cuerpo a un punto externo fuera conocido, la atracción
en cualquier dirección podría encontrarse en seguida. La teoría del potencial se
elaboró en un artículo enviado a Berlín en 1777.
4. El movimiento de los nodos de la órbita de un planeta 1774.
5. La estabilidad de las órbitas planetarias, 1776.
6. Dos artículos sobre el método para determinar la órbita de un cometa con tres observaciones, en 1778 y 1783,: esto no se ha demostrado prácticamente disponible de
hecho, pero su sistema de calcular las perturbaciones por medio de las cuadraturas
mecánicas ha formado la base de la mayoría de las investigaciones subsecuentes
en el asunto.
7. Su determinación de las variaciones seculares y periódicas de los elementos orbitales
de los planetas, 1781-1784: los límites superiores asignados para que éstos están de
acuerdo con aquéllos obtenidos después por Le Verrier, y Lagrange procedió hasta
donde el conocimiento permitía entonces de las masas de los planetas.
8. A este tema volvió durante los últimos años de su vida cuando estaba ya en París.
La teoría del movimiento planetario había formado parte de algunos de los más notable papeles de Berlín de Lagrange. En 1806 el asunto se volvió a abrir por parte
de Poisson, quién, en un papel leído antes de la Academia francesa, mostró las
fórmulas de Lagrange llevadas a ciertos límites para la estabilidad de las órbitas. Lagrange que estaba presente discutió ahora de nuevo el asunto entero, y en una
carta comunicada a la Academia en 1808 explicó cómo, por la variación de constantes arbitrarias, las desigualdades periódicas y seculares de cualquier sistema de
cuerpos mutuamente unidos por la gravitación podrían ser determinadas.
El álgebra
El mayor número de sus artículos de álgebra los envió a la Academia de Berlín. Cabe
destacar:
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1. Su discusión de la solución enteras de las formas cuadráticas, 1769, y generalmente
de ecuaciones indeterminadas, 1770.
2. Su tratado de la teoría de eliminación de parámetros, 1770.
3. Sus papeles en el proceso general por resolver una ecuación algebraica de cualquier
grado, 1770 y 1771; este método falla para las ecuaciones de un orden superior al
cuarto, porque involucra la solución de una ecuación de orden superior, pero da
todas las soluciones de sus predecesores.
4. La solución completa de una ecuación binomial de cualquier grado, esta ocupa el
último lugar en los papeles mencionados.
5. Por último, en 1773, su tratamiento de determinantes de segundo y tercer orden, y
de sus invariantes.
La teoría de números
Algunos de sus artículos iniciales también tratan de preguntas conectadas con el
abandonado pero singularmente fascinante tema de la teoría de números. Entre éstos
es lo siguiente:
1. Su prueba del teorema que cada entero positivo que no es un cuadrado puede
expresarse como la suma de dos, tres o cuatro cuadrados de enteros, 1770.
2. Su prueba del teorema de Wilson que si n es un número primo, entonces ( n - 1)! + 1
siempre es un múltiplo de n , 1771.
3. Sus artículos de 1773, 1775, y 1777, qué da las demostraciones de varios resultados
enunciadas por Fermat, y no demostrado previamente.
4. Y, por último, su método para determinar los factores de números de la forma x2 +
ay2.
La matemática pura
Los intereses de Lagrange eran esencialmente aquéllos de un estudiante de matemática
pura: buscó y obtuvo resultados abstractos de largo alcance, y estaba satisfecho de
dejar las aplicaciones a otros. De hecho parte de los descubrimientos de su gran contemporáneo, Pierre-Simon Laplace, consiste en la aplicación de las fórmulas de Lagrange a los fenómenos de la naturaleza; por ejemplo, las conclusiones de Laplace
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de la velocidad del sonido y de la aceleración secular de la Luna están ya implícitamente en los resultados de Lagrange. La única dificultad para entender a Lagrange
es el asunto de interés y la generalidad extrema de sus procesos; pero su análisis es tan
lúcido y luminoso como es simétrico e ingenioso.
Un reciente escritor que habla de Lagrange dice el tomo un rol verdaderamente
prominente en el avance de casi todas las ramas de la matemática pura. Como Diofanto y Fermat, él poseyó un genio especial para la teoría de números, y en este asunto
dio soluciones de muchos de los problemas que se habían propuesto por Fermat, y
agregó algunos teoremas propios. Creó el cálculo de variaciones. La teoría de ecuaciones diferenciales está en deuda con él por convertirla en una ciencia en lugar de
una colección de ingeniosos artificios para la solución de problemas particulares.
Contribuyó al cálculo de diferencias finitas con la fórmula de interpolación que lleva
su nombre. Sus tres trabajos sobre el método de interpolación de 1783, 1792 y 1793,:
están ahora en la misma fase en que Lagrange los dejó.
Tomado de la web: EcuRed
http://www.ecured.cu/Joseph_Louis_Lagrange
D.5
SIR WILLIAM ROWAN HAMILTON 1805 - 1865
Figura D.4: Sir William Rowan Hamilton 1805-1865
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APENDICE D. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
Matemático, físico, astrónomo y filósofo irlandés. Se dice que Hamilton nació en la
medianoche del 03 de agosto (04 de Agosto) de 1805 en Dublín (hay cierta confusión
sobre su fecha de nacimiento).
William Rowan Hamilton fue el científico más grande de Irlanda. Fue un matemático,
físico y astrónomo e hizo importantes aportes en la óptica, la dinámica y el álgebra.
Nació en Dublín hijo de Archibald Hamilton, asistente legal, pero fue puesto en
adopción. Archibald Hamilton no tenía una educación universitaria y se cree que el
genio de Hamilton procedía de su madre, Sarah Hutton.
William Hamilton vivió con su tío, el reverendo James Hamilton lingüista y un sacerdote anglicano, con quien vivió desde antes de la edad de tres años hasta que entró
en la universidad. Desde niño mostro sus cualidades de genio, a la edad de cinco años
empezó a aprender latín y griego, a los siete años ya hablaba hebreo, A la edad de
diez leyó una copia latina de Euclides, su introducción en la geometría.
Sir-William-Rowan-Hamilton-1Además lenguas como el sánscrito, el malayo, el persa,
el árabe, el hindi, el persa y árabe para la relajación. Unos 15 idiomas para cuando
cumplió 13 años de edad. A esa misma edad aprendió francés y con el idioma comenzó
sus estudios con el álgebra de Clairaut.
En 1822 a la edad de 17 años, encontro un error en el Mechanique C’eleste de
Laplace. Esto llamó la atención del Dr. John Brinkley, astrónomo real de Irlanda y el
obispo de Cloyne, quien afirmo en 1.823 de Hamilton: “Este joven, no sé qué será, pero
sé que es el primer matemático de su edad.”
Hamilton ingresó en el Trinity College de Dublín, a la edad de 18 años. Acudió a
la escuela de matemáticos, estudio los clásicos de la ciencia. En 1827 fue nombrado
profesor de Astronomía.
Concibió el álgebra como una ciencia pura y orientó sus investigaciones hacia una
matematización sistemática del mundo de la física. Estructuró la teoría de números
complejos como pares de números reales, y definió una ley de composición conmutativa para estos.
Dos documentos principales de Hamilton, “sobre un método general en la dinámica”,
se publicaron en 1834 y 1835. En el segundo de ellos, las ecuaciones de movimiento
de un sistema dinámico se expresan en una forma muy elegante (las ecuaciones de
movimiento de Hamilton). El enfoque de Hamilton fue perfeccionado por el matemático
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APENDICE D. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
alemán Carl Jacobi , y se le dio importancia en el desarrollo de la mecánica celeste y
la mecánica cuántica.
En 1835, Hamilton fue nombrado caballero por el señor teniente de Irlanda, en el
transcurso de una reunión en Dublín de la Asociación Británica para el Avance de la
Ciencia. Hamilton se desempeñó como presidente de la Real Academia de Irlanda
desde 1837 hasta 1846.
Para sus últimos días Hamilton se convirtió en era un alcohólico. Aunque mantuvo
sus facultades intactas hasta su muerte.
Murió el 02 de septiembre 1865 de un ataque severo de gota, sólo poco después de
recibir la noticia de que había sido elegido el primer miembro extranjero de la Academia Nacional de Ciencias de los EE.UU.
Sus estudios dieron origen a los cálculos que se utilizan hoy día para dar realismo a las
imágenes creadas en computadora. Y cada día su trabajo es más y más reconocido.
Hamilton dedicó los últimos 22 años de su vida al desarrollo de la teoría de los cuaterniones y sistemas relacionados. Para él, los cuaterniones son una herramienta natural
para la investigación de los problemas de la geometría tridimensional. Muchos conceptos básicos y los resultados en el análisis vectorial tienen su origen en los papeles
de Hamilton en cuaterniones. Un libro importante, Conferencias sobre cuaterniones,
fue publicado en 1853, pero no logró una gran influencia entre los matemáticos y los
físicos. Un tratamiento más largo, Elementos de cuaterniones, quedó inacabada en el
momento de su muerte.
En 1856, Hamilton investigado caminos cerrados a lo largo de los bordes de un dodecaedro (uno de los sólidos platónicos ) que visita cada vértice exactamente una vez.
En la teoría de grafos tales caminos son conocidos hoy como los circuitos hamiltonianos.
Tomado de la web: Moonmentum
http://moonmentum.com/blog/archivo/multimedia/sir-william-rowan-hamilton-2/
D.6
FRANÇOIS JACQUES DOMINIQUE MASSIEU 1832 - 1896
Nació en Vatteville el 4 de agosto de 1832 y falleció en París el 5 de febrero de
1896. Fue un matemático, físico e ingeniero termodinámico francés. Estudiante Polytechnique en la Escuela de Minas de 08 1853 hasta marzo 1856. Titular en el Cuerpo
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APENDICE D. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
de minas 10/01/1857. Es notorio por sus dos funciones características, cada una de las
cuales son conocidas como Funciones de Massieu (la primera de las cuales es algunas
veces denominada Entropía Libre), como es citado por el ingeniero americano Willard
Gibbs en “On the Equilibrium of Heterogeneous Substances”, 1876.
Hizo dos tesis importantes:
Primera tesis
La primera de ellas es la notable tesis sobre integrales algebraicas que se encuentran
comúnmente en los problemas mecánicos en los cuales existe una función de fuerza. A
partir de un estudio ya realizado en 1857 por M. Bertrand, pero en el que este científico
se había limitado a considerar el movimiento de una partícula en un plano, Massieu
hizo un estudio del mismo pero desde una perspectiva más general. Primero dedica
esfuerzo en buscar las propiedades características de todas integrales con respecto a
las componentes de la velocidad y , a continuación, establece una serie de principios
por los cuales se simplifica en gran medida el examen de los casos individuales. Así
sucede sin muchos cálculos tediosos al encontrar las integrales de segundo orden permitidas en el problema del movimiento de una partícula en el espacio libre o restringida
a permanecer en una superficie determinada.
Entre los resultados de su estudio, hay dos que han ganado aceptación en la ciencia:
1. Para que exista una integral de primer orden en el movimiento de una partícula en
una superficie, es necesario y suficiente que ésta sea desarrollable en una superficie
de revolución.
2. Para que haya una integral de segundo orden en el movimiento de una puntícula sobre una superficie, es necesario y suficiente ésta tenga un elemento lineal reducible
a la forma de Liouville.
Estos dos teoremas son de suma importancia en la teoría de líneas geodésicas y
sirvieron como punto de partida para diversos trabajos.
Segunda tesis
En su segunda tesis Massieu ataca problema de la doble refracción. A pesar del
trabajo de Fresnel, Cauchy, Lamé, sólo se tenían teorías incompletas o imperfectas,
todo ello basado en una serie de supuestos. Massieu hace sólo una hipótesis: consiste
en ampliar para los medios birrefringentes lo ya demostrado experimentalmente para
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APENDICE D. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
los medios monorefringentes, referente a la no interferencia de los rayos polarizados en
ángulo recto.
Sobre la base de esta única hipótesis y utilizando el método de Mac Cullagh a la que
da grandes acontecimientos, el autor establece una forma muy elegante de la superficie de la onda primaria, es decir, la envolvente de todas las partes de una onda plana
en el mismo punto en todas las direcciones. Esta ecuación conduce a las propiedades
naturales de los ejes ópticos de refracción y ejes cónicos.
Sobre la base de este evento único y utilizando el método de MacCullagh, el Massieu
establece una manera muy elegante la superficie de la onda elemental, es decir, la
envolvente de todas las partes de una onda plana en el mismo punto en todas las direcciones. Esta ecuación llevó naturalmente a las propiedades de los ejes ópticos de
refracción y ejes cónicos.
Tomado de la web:
http://ayudamosconocer.com/significados/letra-f/francois-jacques-dominiquemassieu.php
D.7
LEONHARD EULER 1707 - 1783
Figura D.5: Leonhard Euler 1707 - 1783
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APENDICE D. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
(Basilea, Suiza, 1707 - San Petersburgo, 1783) Matemático suizo. Leonhard Euler fue
un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las
matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.
Euler nació en Basilea en 1707 y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático
suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de
San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en
1733.
En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766,
donde permaneció hasta su muerte.
Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y
por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento
analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría
analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la
que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente.
También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría
de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada.
Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la
astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e
Introducción al álgebra (1770).
Euler tenía una memoria prodigiosa; recordaba las potencias, hasta la sexta, de los
100 primeros números primos, y la Eneida entera. Realizaba cálculos mentalmente que
otros matemáticos realizaban con dificultad sobre el papel.
La productividad matemática de Euler fue extraordinaria. Nos encontramos su nombre en todas las ramas de las matemáticas: Hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler,
constantes de Euler, integrales eulerianas y líneas de Euler. A pesar de todo esto se casó
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y tuvo trece hijos, estando siempre atento al bienestar de familia; educó a sus hijos y
nietos.
Murió el 7 de septiembre de 1783.
Tomado de la web: AstroMía
http://www.astromia.com/biografias/euler.htm
D.8
HERMANN LUDWIG FERDINAND VON HELMHOLTZ 1821 1894
Figura D.6: Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz 1821-1894
Físico, fisiólogo y filólogo alemán, nacido en Potsdam (Prusia) el 31 de agosto de 1821
y muerto en Berlín el 8 de septiembre de 1894. Fue uno de los más grandes científicos
del siglo XIX y uno de los último enciclopedistas, experto en Fisiología y en casi todas
las ciencias, que combinó entre sí con gran habilidad. Sus aportaciones en el campo
de la Fisiología, la Óptica, la Acústica y la Electrodinámica impulsaron el pensamiento
científico del siglo XIX.
Helmholtz era el mayor de cuatro hermanos que, debido a su delicado estado de
salud, permaneció confinado en casa durante sus primeros siete años de vida. Su
padre era profesor de Filosofía en Potsdam Gymnasium, y su madre era descendiente
de William Penn, el fundador de Pensilvania. De su madre heredó la calma y la perseverancia que le acompañó durante toda su vida de científico, y de su padre una
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variada herencia intelectual, ya que le formó en lenguas clásicas así como en francés,
inglés e italiano, y le introdujo en la filosofía de Immanuel Kant y Johann Gottlieb Fichte.
Estudió en el Instituto Médico-Quirúrgico de Friedrich Wilhelm, de Berlín, donde se
doctoró en 1842. Trabajó en el hospital militar de Berlín y fue profesor de las Universidades de Königsberg (1849), Bonn (1855), Heidelberg (1858) y Berlín (1871). En 1882
se le concedió un título nobiliario y en 1888 fue nombrado director del Instituto FísicoTécnico de Berlín.
En Física se le conoce, sobre todo, por su formulación del principio de la conservación de la energía, que dejó recogido en su obra más importante: Sobre la conservación de la energía (1874), donde demostró que la energía consumida por un organismo vivo procede del calor generado por la reacciones químicas que tienen lugar
dentro del cuerpo. También investigó sobre mecánica de fluidos, electromagnetismo y
electroquímica, prediciendo la existencia del electrón.
En Fisiología construyó un miógrafo, que medía las contracciones de los músculos, así
como un aparato que le permitió medir la velocidad de los impulsos nerviosos. También
inventó el oftalmoscopio, para observar el interior del ojo vivo. Investigó la fisiología
de la visión, las ilusión ópticas, el enfoque del ojo, la percepción del tamaño y de la
profundidad (visión binocular) y la visión de los colores. También analizó el oído interno
y la percepción del tono y del timbre, ideando una teoría fisiológica de la música.
En matemáticas trabajó sobre geometría no euclídea y resolvió diversas ecuaciones
complejas.
Helmholtz se adhirió al empirismo y reaccionó contra el apriorismo kantiano del espacio y del tiempo, considerándolo como producto elaborado en relación con la conformación de los órganos de los sentidos.
Entre sus obras destacan: Sobre la conservación de la fuerza (1847), Sobre la sensación del tono como base fisiológica para la teoría de la música (1863), Manual de
óptica fisiológica (1867), Sobre el origen y significado de los axiomas geométricos (1870)
y Los hechos de la percepción (1878).
Tomado de la web: La Web de las Biografías
http://www.mcnbiografias.com/app-bio/do/show?key=helmholtz-hermann-ludwigferdinand-von
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Figura D.7: Josiah Willard Gibbs 1839-1903
D.9
JOSIAH WILLARD GIBBS 1839 - 1903
Físico y matemático norteamericano, nacido en Conneticut el 11 de febrero de 1839.
Estudió durante su juventud lenguas clásicas y matemáticas, aunque en 1863 se doctoró en Ingeniería por la Universidad de Yale, lo que constituyó el primer doctorado por
ingeniería en esa universidad y el segundo en los Estados Unidos. En 1871 fue nombrado
profesor de Física matemática de la misma, plaza que conservó hasta su muerte.
Después de doctorarse viajó por Europa durante dos años, en concreto por Francia
y Alemania en compañía de dos de sus hermanas, con las que convivió siempre, ya
que Gibbs nunca contrajo matrimonio. Cuando regresó en 1869 a New Haven, ocupó
su plaza de profesor sin remuneración económica durante los nueve primeros años.
Se puede considerar a Gibbs como el fundador de la termodinámica química. Fue
famoso su trabajo titulado On The equilibrium of heterogeneus substances, en el que
asentó sobre bases matemáticas y mediante la llamada regla de las fases, el estudio
del equilibrio de los sistemas heterogéneos y relacionó la química física con la termodinámica.
La regla de las fases fue formulada por Gibbs en 1877 y se basa en la siguiente condición termodinámica: "En un sistema formado por varios componentes "C", distribuidos
entre varias fases "F ", existe equilibrio cuando el potencial químico (entalpía libre por
mol) de cada componente es el mismo en todas las fases". Matemáticamente,
F +L=C +2
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donde L representa el número de grados de libertad que posee el sistema, entendiendo por tales las variables que pueden modificarse libremente sin que se produzca
variación de F ni de C. La aplicación de la regla de Gibbs es de especial interés en el
estudio de las aleaciones binarias.
Son también muy valiosas sus investigaciones sobre el análisis vectorial y sobre la
mecánica estadística. Esta ciencia permitía calcular la entropía de una sustancia en
base a los valores de ciertas propiedades mecánicas de sus moléculas.
A partir del concepto de entropía pudo definir una nueva función de estado conocida como la energía libre de Gibbs, G, cuya variación permitía predecir más fácilmente la reversibilidad o no de un proceso químico. Esta función quedaba definida
como:
G=H
TS
siendo H la entalpía del sistema, T la temperatura y S la entropía del sistema. Gibbs
demostró que sólo si la variación de la energía libre de una transformación química era
cero, se obtenía un proceso reversible. Por tanto, para juzgar si cierto cambio de estado
es reversible, sólo hay que evaluar el cambio de energía libre que le acompaña.
La mecánica estadística también le serviría para deducir a partir de ella las leyes de
la termodinámica.
Inventó la noción de potencial químico y realizó trabajos sobre este tema en la última etapa de su vida.
Aunque llevó a cabo algunos inventos prácticos, como un freno de ferrocarril patentado en 1866, resaltó sobre todo como científico teórico de gran imaginación. Sus trabajos redactados con un gran formalismo matemático se publicaron en revistas poco
conocidas y de ahí la pequeña difusión que tuvieron entre los científicos de su tiempo;
por ello, muchos científicos posteriores, como Planck o Einstein, sufrirían un gran desengaño al comprobar que algunos resultados que creían suyos ya habían sido descubiertos por Gibbs. No fue hasta 1890 cuando Gibbs pudo ver sus artículos traducidos a
otros idiomas y se le reconoció mundialmente el trabajo de casi toda su vida. Escribió
Estudios Termodinámicos.
Falleció en New Haven el 28 de abril 1903.
Tomado de la web: La Web de las Biografías
http://www.mcnbiografias.com/app-bio/do/show?key=gibbs-josiah-willard
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INDICE ALFABETICO
Transformaciones Correlativas, 56
100