APENDICE. Al art. 28. La solución de la ecuación indeterminada ax

APENDICE.
Al art. 28. La solución de la ecuación indeterminada ax = by ± 1 no fue
encontrada primero por el ilustre Euler (como se consignó en esta Sección) sino por
un geómetra del siglo diecisiete, Bachet de Meziriac, el célebre editor y comentador
de Diofanto. Fue el ilustre Lagrange quien le restituyó este honor (Add. à l’Algèbre
d’Euler, p. 525, donde a la vez indica el fondo del método). Bachet publicó su
descubrimiento en la segunda edición del libro Problèmes plaisans et délectables qui
se font par les nombres, 1624. En la primera edición (Lyon, 1612), que fue la única
que vi, éste no fue incluido, aunque fue mencionado.
A los art. 151, 296, 297. El ilustre Legendre presentó su demostración
nuevamente en su excelente trabajo, Essai d’une théorie des nombres, p. 214 y
siguientes, pero no cambió nada esencial. Ası́, este método todavı́a está sujeto a
las objecciones contenidas en el artı́culo 297. Es cierto que el teorema (sobre el cual
se basa una suposición) que establece que cualquier progresión aritmética l, l + k,
l+2k, etc. contiene números primos si k y l no tienen un divisor común, se expone más
detalladamente en esta obra (p. 12 y siguientes), pero todavı́a no parece satisfacer el
rigor geométrico. Pero aún si este teorema fuera enteramente demostrado, la segunda
suposición permanece (que existen números primos de la forma 4n + 3 para los cuales
un número positivo primo dado de la forma 4n + 1 es un no residuo cuadrático) y yo
no sé si esto puede ser probado rigurosamente a menos que el teorema fundamental
sea asumido. Pero debe observarse que Legendre no asumió tácitamente esta última
suposición, ni intentó disimularla (p. 221).
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APENDICE.
A los art. 288—293. El mismo asunto presentado aquı́ como una aplicación de
la teorı́a de formas ternarias, y que parece ser tan categórico con respecto al rigor
y generalidad que nada más podrı́a desearse, es tratado mucho más completamente
por el ilustre Legendre en la tercera parte de su trabajo, pp. 321—400*). El usa
principios y métodos muy diferentes de los nuestros, pero de esta forma encuentra
muchas dificultades que le impiden proporcionar una demostración rigurosa a estos
notables teoremas. El indica francamente estas dificultades, pero, a menos que yo
esté equivocado, éstas pueden ser más fácilmente dispensadas con la suposición otra
vez aquı́ del teorema cabalmente mencionado en la nota al pie de p. 371 (aquél que
comienza “En cualquier progresión aritmética,” etc.).
Al art. 306 VIII. En el tercer millar de determinantes negativos existen 37 que
son irregulares; 18 de ellos tienen 2 como ı́ndice de irregularidad, los otros 19 ı́ndice 3.
Al art. 306 X. Recientemente hemos tenido éxito en resolver completamente
las cuestiones propuestas aquı́. Publicaremos muy pronto esta discusión en nuestra
continuación del presente trabajo. Ella ilustra brillantemente muchas partes de la
Aritmética y el Análisis superiores. La misma solución prueba que el coeficiente m
en el artı́culo 304 es = γπ = 2, 3458847616, donde γ es la misma cantidad que en
el artı́culo 302 y π es la longitud de la mitad de la circunferencia de un cı́rculo de
radio 1.
*) El lector necesita ser escasamente advertido de que nuestras formas ternarias no deben ser
confundidas con las que Lagrange llama forme trinaire d’un nombre. Por esta expresión él denota
la descomposición de un número en tres cuadrados.