Adrien-Marie Legendre nació en París, el 18 de septiembre de 1752

Adrien-Marie Legendre nació en París, el 18 de septiembre de 1752 y murió
en Auteuil, Francia, el 10 de enero de 1833). Hizo importantes contribuciones a
la estadística, la teoría de números, el álgebra abstracta y el análisis
matemático.
Varios de sus trabajos e investigaciones en matemáticas fueron
complementados o sirvieron de base para otros tales como: los trabajos en
raíces de polinomios que inspiró la teoría de Galois; los trabajos de Abel en
las funciones elípticas se construyeron sobre los de Legendre; parte de la obra
de Gauss sobre estadística y teoría de números complementaba la de
Legendre; conjeturó la ley de reciprocidad cuadrática, probada posteriormente
por Gauss. También realizó trabajos pioneros en la distribución de los números
primos y en la aplicación del análisis a la teoría de números. Su conjetura,
en 1796, del teorema de los números primos fue probada cierta por
Hadamard y de la Vallée-Poussin en 1898. En 1830 demostró el caso especial
de
n=5
del último
teorema
de
Fermat,
casi
simultáneamente
con Dirichlet en 18281. Realizó una investigación importante en el estudio de
las funciones elípticas, incluyendo la clasificación de las integrales elípticas,
siendo culminadas por Abel al estudiar las inversas de las funciones de Jacobi.
Es el padre de la transformada de Legendre, que se utiliza para pasar de la
formulación lagrangiana a la hamiltoniana de la mecánica clásica, utilizada
también
en termodinámica para
obtener
la entalpía de
libres de Helmholtz y Gibbs partiendo de la energía interna2.
las energías
La conjetura de Legendre, enunciada por Adrien-Marie Legendre, afirma que
siempre existe un número primo entre
y
para n
. Esta conjetura
forma parte de los problemas de Landau3.
Expresada en forma matemática sería:
(n) 1 entre
y
donde
(n) es la cantidad de números primos
contenidos entre los dos cuadrados, es decir:
(n)
1
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PrintHT/Fermat's_last_theorem.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre
3
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Legendre
2
(1)
Donde p(
contenidos en
y p
y
representan la cantidad de números primos
respectivamente.
Prueba:
El teorema de los números primos establece que la cantidad de números
primos menores a x para x muy grandes es:
p(x)
(2)
Por lo tanto:
p(
)
y p(
)
(n) p(
(n)
que puede ser reducida a:
(n)
Aplicando límites a ambas funciones podemos determinar lo siguiente:
(
(
Como:
)
)
(
(
)
nos quedaría:
)
(n) también una función creciente, continua y divergente al no tener
Siendo
límites.
Por lo anterior podemos hacer:
(n)
(3)
Quedando demostrada la conjetura de Legendre.
La siguiente tabla nos muestra una verificación de esta función con relación a
los cálculos reales hechos de la cantidad de primos entre
y
)
(n)real
(n)calculada
1
1
4
0
2
2
2
3
4
4
9
16
9
16
25
2
4
6
4
6
9
2
2
3
2
2
3
3
n
p(
)
p(
5
6
7
8
9
10
15
20
25
30
40
50
60
70
90
99
25
36
49
64
81
100
225
400
625
900
1600
2500
3600
4900
8100
9801
36
49
64
81
100
121
256
441
676
961
1681
2601
3721
5041
8281
10000
9
11
15
18
22
25
48
78
114
154
251
367
503
654
1018
1208
Tabla No. 1 Verificación de la función
11
15
18
22
25
30
54
85
122
162
263
378
519
668
1038
1229
2
4
3
4
3
5
6
7
8
8
12
11
16
14
20
21
3
3
4
4
4
4
6
7
8
9
11
13
15
17
20
22
(n) de la ecuación 3 Vs.
(n)real.
El siguiente cuadro nos muestra el comportamiento de los valores reales de
(n) con relación a la función (n) de la ecuación 3.
Gráfico No. 1 Curvas comparativas de
(n) real Vs.
(n) ecuación 3.
Teniendo en cuenta que en 1852 Schebychef4 publicó en su obra “Mémoire sur
les nombres premiers” la demostración que p(x)/(x/ln x) para x grande estaba
en:
4
José Manuel Sánchez Muñoz “Historia de Matemáticas Riemann y los números primos” Revista de
investigación pensamiento matemático. 1 de octubre de 2011 p 15-16
0,92129
(4)
Y en 1892 Sylvester5 mejoró la demostración anterior demostrando que el
límite establecido por Schebychef para p(x)/(x/ln x) estaba en:
0,956
(5)
Cuando aplicamos la ecuación 2 es necesario tener en cuenta estos límites por
lo tanto:
0,956
(6)
Si invertimos la anterior desigualdad nos quedaría:
1,046025
para x grande
(7)
El siguiente gráfico nos muestra la ecuación 7 con relación a la ecuación 3.
Gráfico No. 2 Comparación ecuaciones 3 y 7
De esta forma terminamos la prueba, quedando demostrada la conjetura de
Legendre al ser
(n)
.
Existe una razón matemática para que
(n) tenga más primos con el
crecimiento de n tal como se demostró cuando se solucionó la conjetura de
Goldbach6 y es que si bien los números primos son aleatorios dentro de n, el
incremento de separación promedio de los números primos con relación al
incremento de n es menor, por lo tanto tendríamos más primos en (n).
5
J.J. Sylvester, On Tchebycheff ’s theorem of the totality of prime numbers comprised within given
limits, Amer. J. Math. 4 (1881), 230–247.
6
José William Porras Ferreira. http://www.portalplanetasedna.com.ar/goldbach.htm
José William Porras Ferreira
Email: [email protected]
BIBLIOGRAFĺA
1. José Manuel Sánchez Muñoz “Historia de Matemáticas Riemann y los números
primos” Revista de investigación pensamiento matemático. 1 de octubre de 2011.
2.
José William Porras Ferreira. http://www.portalplanetasedna.com.ar/goldbach.htm
3.
J.J. Sylvester, On Tchebycheff ’s theorem of the totality of prime numbers comprised
within given limits, Amer. J. Math. 4 (1881), 230–247.
4. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PrintHT/Fermat's_last_theorem.html
5. http://es.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre
6. http://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Legendre