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CALCULO
DE UNA VARIABLE. Grupo 03
PRIMER EXAMEN PARCIAL
Profesor: Hendel Yaker A.
21 de febrero de 2007
1. (20 puntos) En cada uno de los siguientes casos utilice la informacion que se suministra para calcular la
derivada que se pide:
i)
y
iii) f (x) = xjxj; >f 00 (0) =?
p
=x 1
2;
x
>
dy
dx
=?
ii) f (x) =
iv) (x + y )3 = x3 + y 3 ; >
dy
dx
p
jsen(
2)
x
sec2 (1
)j; >f 0 (x) =?
x
en (-1,1)=?
2. (12 puntos)
(a) Muestre que existen dos rectas que pasan por el punto (1; 3) y son tangentes a la curva
Escriba la ecuacion de una de ellas.
3
ax
si
(b) Encuentre los valores de las constantes a y b tales que la funcion h(x) =
2
x + b
si
sea derivable en todo su dominio.
y
x
= x2 .
2
x >
2
3. (12 puntos)
(a) Si la recta tangente a la graca de una funcion h(x) en el punto (2; 3) pasa por el punto
( 1; 6) determine, si es posible, los valores de h(2) y h0 (2) (si no es posible determinar estos
valores, explique las razones).
(b) Muestre que la derivada de una funcion par es una funcion impar
2
x sen(1=x)
si x 6= 0
(c) Muestre que la funcion f (x) =
es continua en x = 0. Determine si
0
si x = 0
f
es derivable en x = 0.
4. (16 puntos) Un hombre de 6 pies de altura camina a 5 pies por segundo alejandose de una luz que esta
a 18 pies de altura sobre el suelo. Cuando este hombre esta a 16 pies de la base de la luz, determine:
(a) El ritmo al que esta cambiando la distancia entre la luz y el extremo de su sombra.
(b) El ritmo al que esta cambiando el angulo agudo formado en el extremo de su sombra, entre el rayo
de luz y el suelo.
5. (10 puntos) Justique la validez de dos de las siguientes proposiciones:
(a) Si lim f (x) = L, con L > 0, entonces existe un intervalo abierto I que contiene a c, tal
x !c
que f (x) > 0 para todos los x 6= c en I .
(b) Si f es una funcion continua que carece de ceros en el intervalo [a; b], entonces f (x) > 0
para todo x en [a; b] o f (x) < 0 para todo x en [a; b]
(c) Sean f1 (x) y f2 (x) funciones continuas en el intervalo [a; b], tales que f1 (a) < f2 (a) y
f1 (b) > f2 (b);
entonces existe un c 2 (a; b) tal que f1 (c) = f2 (c).