x2 f xn n! h2 f hn n! f n a hn,1 hn n! f n a + h a ,:::, tn,1 n! B

Calculo Diferencial e Integral 2
El Teorema de Taylor, Mayo 1999.
Introduccion.
Sea f un polinomio de grado n expresado como:
f (x) = f (0) + x f 0(0) +
x2
f 00 (0) + : : : +
xn (n)
f (0)
n!
2!
Mas en general, escribiendo x = a + h donde a es un punto jo, se tiene para el
polinomio anterior:
f (a + h) = f (a) + h f 0 (a) +
h2
f 00 (a) + : : : +
hn (n)
f (a)
n!
(1)
2!
Si f (x) no es un polinomio sino una funcion la ecuacion anterior puede interpretarse como una aproximacion polinomial al valor de esa funcion en una vecindad
de radio h alrededor del punto a. A continuacion se presentan las condiciones
bajo las cuales (1) es una buena representacion. El teorema se conoce como el
teorema de Taylor (1685-1731) quien investigo la expansion de una funcion en
potencias de h .
Teorema 1. (Teorema de Taylor) Suponga que la funcion f y sus primeras n , 1
derivadas son continuas en a x a + h, y que f (n) existe en el abierto
a < x < a + h. Entonces
f (a + h)
n,1
n
= f (a) + h f 0(a) + : : : + (nh, 1)! f (n,1) (a) + hn! f (n) (a + h)
(2)
donde:
0<<1
Demostracion- Sea la funcion (t) con 0 t h denida como:
(t) = f (a + t)
n,1
n
, f (a) , tf 0(a) , : : : , (nt , 1)! f n, (a) , tn! B
(
donde B se escoge de manera de que (h) = 0.
De la denicion de (t) se tiene que:
(0) = 0 (0) = : : : = (n,1) (0) =
1
0
1)
(3)
Usando el T. de Rolle se tiene que existe un real h1 2 (0; h) tal que:
0 (h1)
=0
ya que (0) = (h) = 0 por hipotesis. Ahora, 0 (0) = 0 (h1 ) = 0 y la
funcion 0 (t) satisface las condiciones del T. de Rolle en (0; h1) por lo que existe
h2 2 (0; h1) tal que:
00 (h2) = 0
Repitiendo este argumento un numero suciente de veces (en total son n veces)
se tiene que como
(n,1) (0) = (n,1) (hn,1 ) = 0
existe hn tal que
(n) (hn ) = 0
donde
0 < hn < hn,1 < : : : < h
escogiendo hn como
hn = h con 0 < < 1
y falta determinar el valor de B . Ahora:
(n) (t) = f (n) (a + t)
,B
ya que (n) (hn ) = 0 se tiene que:
B
= f (n) (a + h)
Con este valor de B en (3) y dado que (h) = 0 se tiene nalmente:
n,1
n
0 = f (a + h) , f (a) , hf 0 (a) , : : : , (nh, 1)! f (n,1) (a) , hn! f (n) (a + h)
y teorema esta demostrado.
:::
2
La ecuacion (2) se puede escribir de la forma:
f (a + h) =
Pn, (h) + Rn, (h)
1
2
1
(4)
Donde Rn (h) es el residuo despues de los (n-1) terminos y es:
n
Rn, (h) = hn! f n (a + h)
1
( )
y se le conoce como la forma de Lagrange del residuo.
En el siguiente teorema se determina la forma de Cauchy del residuo, en este
caso por simplicidad se ha usado el valor de a = 0 el que corresponde a una serie
de Maclaurin.
Teorema de Taylor con la forma de Cauchy del residuo. Con las hipotesis del
teorema anterior y con a = 0
f (h)
donde:
n,1
= f (0) + hf 0 (0) + : : : + (nh, 1)! f (n,1) (0) + Rn,1
n,1
R n, = (1 , )(n ,f 1)!(h) h
(
(n)
n
1)
; (5)
2 (0; 1)
Demostracion.
Sea
(h , t)n,1 f (n,1) (t)
(t) = f (h) , f (t) , (h , t)f 0 (t) , : : : ,
(n , 1)!
Es facil comprobar que:
(h , t)n,1 f (n) (t)
0(t) = ,
(n , 1)!
todos los demas terminos se cancelan por parejas. Sea ahora:
h , t p
F (t) = (t) ,
(0)
h
donde p es cualquier entero tal que 1 p n. Entonces aplicando el T. de Rolle
ya que:
F (0) = F (h) = 0
se tiene que existe un valor h, con 2 (0; 1) tal que F 0 (h) = 0. Pero:
p(1 , )p,1
F 0 (h) = 0 (h) +
(0) = 0
h
de la que se deduce el valor del residuo Rn,1 .
:::
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