LA FISICA DE LA ASTROFISICA II. Din amica Gal actica

LA FISICA DE LA ASTROFISICA
Notas de Luis A. Aguilar
II. Dinamica Galactica
II.1 La Rotacion Diferencial de la Galaxia y las Constantes de Oort
El sol se mueve en una orbita aproximadamente circular en el plano de nuestra Galaxia.
El movimiento de la gran mayora de estrellas connadas a este plano es muy cercano
al de orbitas circulares. Como la frecuencia angular de la orbita circular vara con el
radio de la misma, esto da lugar a un movimiento de rotacion diferencial dentro del disco
galactico. En 1927 el astronomo holandes Jan Oort derivo unas formulas que describen
el comportamiento de las velocidades radial y tangencial, de estrellas en la vecindad solar
vistas desde el Sol. En su honor estas formulas y dos constantes que aparecen llevan su
nombre. A continuacion resumimos brevemente la derivacion tradicional de estas formulas
despues obtenemos estas formulas pero usando una descripcion en terminos de un uido
que es sometido a movimientos de rotacion diferencial. El segundo enfoque nos permite
ver que el formalismo de Oort corresponde a una descripcion hidrodinamica y nos permite
darle una interpretacion fsica a las constantes de Oort en terminos de la vorticidad y el
esfuerzo cortante en el uido estelar local.
II.1.a Metodo tradicional
Sea una estrella que gira en el plano de la Galaxia con velocidad tangencial v , con
respecto a un marco de referencia inercial, a una distancia R del centro galactico, cuya
longitud galactica (i.e. el angulo que hace con respecto a la lnea que une al Sol con el
centro galactico, visto desde el Sol) es l y a una distancia d del Sol. Suponemos que el Sol
esta a una distancia galactocentrica igual a R y se mueve con una velocidad tangencial
v (ver gura 1).
Si o y son las velocidades angulares del sol y la estrella, respectivamente, podemos
escribir las velocidades tangenciales como:
v( ) = R v = R
(II:1)
y la velocidad radial de la estrella con respecto al sol sera
vr = v cos() ; v( )sen(l):
(II:2)
L. Aguilar
II.2
vφ(o)
Sol
l
Estrella
R
)
s(l
vφ
co
π/2 + α
d
R
Ro
l
d
α
(α )
n
se
R
R
R
π/2 − α
Centro galactico
Figura 1.
Figura 2.
Para eliminar el angulo podemos usar la ley de senos:
sen(l) = Sen( 2 + ) = cos()
R
R
R
=) cos() = (R =R)sen(l)
Podemos escribir la velocidad radial entonces como
vr = v (Ro=R)sen(l) ; v( )sen(l)
= (R)(Ro =R)sen(l) ; (R )sen(l) :
= R ( ; )sen(l)
Asi pues la expresion mas general para la velocidad radial de la estrella es
vr = R ( ; ) sen(l):
(II:3)
De manera similar, la velocidad tangencial de la estrella con respecto al sol es
vt = v sen() ; v( )cos(l):
De la gura 2 vemos que podemos escribir el angulo de la siguiente manera:
Rsen() = R cos(l) ; d
(II:4)
Constantes de Oort
II.3
=) vt = v (R =R)cos(l) ; v (d=R) ; v( )cos(l)
= (R)(R =R)cos(l) ; (R)(d=R) ; (R )cos(l) :
= R cos(l) ; d ; R cos(l)
= R ( ; )cos(l) ; d
Podemos entonces escribir la velocidad tangencial de la estrella como:
vt = R ( ; )cos(l) ; d
(II:5)
Las ecuaciones II.3 y II.5 son completamente generales. Encontraremos ahora aproximaciones validas para el caso d R (vecindad solar). En este caso,
d
; dR (R ; R ) y (R ; R ) dcos(l)
R
donde la segunda expresion resulta del hecho de que R y R son similares y mucho mayores
que d (ver gura 3). De lo anterior podemos escribir entonces,
d
( ; ) ; dR dcos(l):
(II:6)
R
R
d
{
l
d cos(l)
Ro
Figura 3.
Podemos entonces aproximar la ecuacion II.3 para la velocidad radial como:
vr = R ( ; )sen(l)
d
;R dR dcos(l)sen(l):
R
Si denimos
d
A ; 12 R dR
R
(II:7)
L. Aguilar
II.4
que es una constante cuyas unidades son de frecuencia temporal, y usando la relacion
trigonometrica 2cos(l)sen(l) = sen(2l), podemos escribir nuestra formula aproximada para
vr como:
vr = Adsen(2l)
(II:8)
Esta es la primera formula de Oort.
Escribiremos ahora la primera constante de Ooort de otra manera que nos facilitara
su interpretacion fsica:
d
A = ; 12 R dR
R
"
1
d
= 2 ; R dR
;
R
" v( )
#
1
d
= 2 R ; dR (R)
R
" v( )
#
1
dv
= 2 R ; dR
R
=) A = 21
" v !
( )
R
; dv
dR
#
#
R
:
2A
vφ
(vφ/ R
)o
Figura 3.
(dvφ /dRo )
R
Ro
(II:9)
Constantes de Oort
II.5
De la gura 4 podemos ver que la constante A de Oort representa la diferencia entre
la pendiente de la recta que pasa por el origen y el punto (R v( )), y la pendiente de la
curva de rotacion en R . Es obvio que A = 0 para un disco que rota como un cuerpo rgido
(v / R), y es positiva para un sistema en el que la pendiente local de la curva de rotacion
es inferior a la velocidad angular de un cuerpo rgido que rota con velocidad tangencial v
en el punto R , como es el caso en general para las galaxias de disco.
Pasemos ahora a la expresion para la velocidad tangencial valida en la vecindad solar:
vt = R ( ; )cos(l) ; d
d
;R dR dcos2(l) ; d
R
donde hemos usado la aproximacion dada por la ecuacion II.6 para sustituir el termino
( ; ), y el segundo termino del lado derecho es sustituido por la siguiente aproximacion,
valida a orden lineal en d:
d d + O(d2 ):
Usando ahora la identidad trigonometrica 2cos2 (l) = 1 + cos(2l), obtenemos:
d d1 + cos(2l)] ; d
vt = ; 21 R dR
R
"
#
R
d
R
d
= ; 2 dR dcos(2l) ; 2 dR
+ d
R
R
= Adcos(2l) + Bd
donde hemos denido la segunda constante de Ooort como:
"
d
B ; R2 dR
R
#
d (R2 ) :
+ = ; 2R1 dR
R
La constante B de Ooort tiene las mismas unidades que la constante A y queda
denida entonces como:
1
d
B ; 2R dR (R2 ) :
(II:10)
R
Usando las constantes de Ooort, la expresion para la velocidad tangencial valida en
la vecindad solar puede ser escrita entonces como:
vt = Adcos(2l) + Bd:
(II:11)
L. Aguilar
II.6
Las ecuaciones aproximadas II.8 y II.11 son las formular originalmente obtenidas por
J. Oort.
Notese que otra forma de escribir la constante B es:
=) B = ; 21
"
!
v( )
dv
R ; + dR R
#
(II:12)
que es similar a la expresion dada por la ecuacion II.9 para A. De esta forma vemos que
B resulta ser igual a la suma de la pendiente de la recta que pasa por el origen y el punto
(R v( )) y la pendiente de la curva de rotacion en este punto (vero gura 4). Aunque la
constante A puede anularse (rotacion de cuerpo rgido), la constante B nunca se anula y su
presencia en la expresion para vt hace que podamos observar movimientos propios de las
estrellas en la vecindad solar aun cuando no hubiese rotacion diferencial. Esto es facil de
entender. Si nos montamos sobre un disco rgido que rota (e.g. un disco fonograco), no
detectaremos movimientos radiales de otras partes del disco con respecto a nosotors, mas
si podremos observar movimientos transversales, con repsecto a un marco de referencia
inercial (e.g. las paredes del cuarto donde esta el tocadiscos).
Oort encontro en 1928 los siguientes valores de las constantes:
A = 19 (km=s)=Kpc
B = ;24 (km=s)=Kpc:
Los valores modernos (1995) son:
A = 14:5 1:5 (km=s)=Kpc
B = ;12 3 (km=s)=Kpc:
Notese que la discrepancia mayor esta en la constante B. Esto es debido a que para
su determinacion es necesario usar movimientos propios, los cuales son mas difciles de
obtener que las velocidades radiales.
II.1.b Un Enfoque Moderno
Sean O y O0 los centroides de velocidad de dos puntos que se mueven con un uido
que presenta un campo de velocidades u(x t), podemos entonces aproximar el movimiento
de O0 relativo a O como:
@u
i
u = @x xj
j
Dij xj
(II:2:1)
Constantes de Oort
II.7
donde se entiende que ndices repetidos se suman, esto es,
0 @u
@x
u = @ @u
@x
1
1
2
1
@u3
@x1
@u1
@x2
@u2
@x2
@u3
@x2
@u1
@x3
@u2
@x3
@u3
@x3
10 x 1
A@ x A
1
(II:2:2)
2
x3
y x es el vector de posicion de O0 relativo a O.
El tensor de deformacion D es un tensor de orden 2. Notamos que este puede ser
descompuesto en un tensor simetrico y uno antisimetrico:
@ui
Dij = @x
j
@ui + @uj + 1 @ui ; @uj
= 12 @x
@xi
2 @xj @xi
j
Eij + Oij
(II:2:3)
donde el tensor simetrico tiene solo 6 terminos independientes ya que Eij = Eji , y el tensor
antisimetrico tiene solo 3 terminos independientes ya que Oij = ;Oji y Oii = Ojj =
Okk = 0. Esto es de esperarse ya que el tensor de deformacion consta de 9 terminos
independientes.
Veamos primero que tipo de movimiento es descrito por el tensor simetrico. Notamos
que el campo de velocidades simetrico u(s) puede ser escrito como el gradiente de una
funcion escalar:
@
(II:2:4)
u(is) = xj Eij = @x
i
donde
21 xk xlEkl :
(II:2:5)
Esto puede verse del hecho de que al considerar la componente i-esima del gradiente
de , solo los terminos para los que k = i, o l = i seran distintos de cero:
@ = 1 @ (x x E )
@xi 2 @xi k l kl
= 21 @x@ (xi xl Eil) + 21 @x@ (xk xi Eki )
i
i
1
= 2 xl Eil + xk Eik ]
= xj Eij = u(is)
donde en el ultimo paso hemos usado la propiedad de simetra del tensor E .
(II:2:6)
II.8
L. Aguilar
Dado que el lector puede no estar familiarizado con la notacion tensorial, repetiremos
el desarrollo anterior de manera explcita para la componente u1:
@ = 1 @ (x x E )
@x1 2 @x1 k l kl
@ (x2 E + x x E + x x E
= 21 @x
1
2 12
1
3 13
1 11
1
+ x2 x1 E21 + x22 E22 + x2 x3E33
+ x3 x1 E31 + x3 x2 E32 + x23 E33)
= 12 (2x1E11 + x2E12 + x3E13 + x2 E21 + x3 E31)
= x1 E11 + x2 E12 + x3 E13
= u(1s)
Regresando a la ecuacion (II.2.5) vemos que la funcion escalar es una forma cuadratica
en la posicion x, o sea que las supercies donde es constante son elipsoides similares
centrados en O. La parte simetrica del campo de velocidad relativa alrededor de O, en un
punto aleda~no dado, es entonces paralelo a la direccion normal al elipsoide que pasa por
ese punto. La naturaleza de este campo de velocidades puede ser visto con mayor facilidad
si hacemos una rotacion de nuestro sistema de coordenadas espaciales para que los nuevos
ejes coincidan con la direccion de los ejes principales del elipsoide, en este caso la funcion
escalar adopta la forma:
= 12 (x012 + x022 + x032 )
(II:2:7)
donde x0 es el vector de posicion referido al nuevo sistema de coordenadas, y , y son
los elementos de la diagonal del nuevo tensor E 0 .
De la ecuacion anterior vemos que u(s) tiene tres componentes (x01 , x02 , x03 )
con respecto a los nuevos ejes, esto indica que el campo de velocidades simetrico es una
superposicion de tres transformaciones lineales (estiramientos o compresiones) paralelos a
cada uno de los nuevos ejes. Dicho de otra manera, si imaginamos una supercie esferica
innitesimalmente peque~na alrededor del punto O, el campo de velocidades simetrico lo
transformara en un elipsoide cuyos ejes, en unidades de la esfera inicial, estan dados por
los elementos de E 0 . Para un uido incompresible en el que la divergencia del campo de
velocidades es nula, se cumple que el volumen encerrado por la supercie es constante. Al
tensor simetrico E se le conoce como el tensor de esfuerzos cortantes.
Estudiemos ahora el tipo de movimiento generado por el tensor antisimetrico. Dado
que O es un tensor antisimetrico, este puede ser expresado, sin perdida de generalidad,
como:
(II:2:8)
Oij = ; 21 ijk !k
Constantes de Oort
II.9
donde ijk es el tensor totalmente antisimetrico:
( 1 permutacion par de i,j,k: 123, 231, 312
ijk = ;1 permutacion impar de i,j,k: 321, 213, 132
(II:2:9)
0 si hay ndices repetidos
y !k son las tres componentes independientes del tensor. Esto puede verse de las propiedades
de ijk , de donde vemos que todos los elementos de la diagonal principal de O son iguales
a cero ya que implican ndices repetidos, y que ademas Oij = ;Oji = !k para i 6= j 6= k.
El factor ;1=2 es introducido para simplicar la forma nal de O.
De nuevo, dado que el lector puede no estar familiarizado con la notacion tensorial,
repetimos este desarrollo para las tres componentes del primer renglon de O:
O11 = ; 21 (111!1 + 112 !2 + 113!3 ) = 0
O12 = ; 21 (121!1 + 122 !2 + 123!3 ) = ; 21 !3
O13 = ; 12 (131!1 + 132 !2 + 133!3 ) = + 21 !2
De la ecuacion (II.2.8) vemos que el campo de velocidades antisimetrico u(a) puede
ser escrito como el producto vectorial de un vector ( 21 )! con el vector de posicion x:
u(a) = Oij xj
= ; 12 ijk !k xj
(II:2:10)
= 1 ! x]i
2
donde en el ultimo paso hemos usado la denicion del producto vectorial: ! x]i =
ijk !j xk . Esta relacion puede ser facilmente vericada usando la denicion del tensor
ijk .
Comparando ahora las ecuaciones (II.2.3) y (II.2.8), vemos que las componentes de !
estan dadas por:
@ui
j
!k = @u
;
@x @x
i
j
@ (u )
= kij @x
j
i
= r u]k
(II:2:11)
De las ecuaciones anteriores concluimos que el campo antisimetrico de velocidad es
una rotacion con velocidad angular ( 12 )! alrededor del punto O. El vector ! se le conoce
como la vorticidad local del campo de velocidades y es igual al rotacional de u.
II.10
L. Aguilar
Resumiendo los resultados obtenidos vemos que el campo de velocidades de un uido,
relativo a un punto O en el mismo, puede ser expresado, bajo una aproximacion lineal en
las dimensiones espaciales, como la superposicion de:
a) un campo simetrico de velocidades representado por el tensor local de esfuerzos cortantes y que da lugar a una deformacion de contraccion o expansion a lo largo de tres
ejes ortogonales, y
b) un campo antisimetrico de velocidades representado por la vorticidad local y que da
lugar a una rotacion, la componente simetrica, por ser el gradiente de una funcion
escalar, tiene un rotacional nulo y se le denomina la componente irrotacional, la segunda componente, por ser un rotacional, tiene divergencia nula y se le denomina
componente solenoidal.
Estos resultados pueden ser resumidos en notacion vectorial de la siguiente manera:
1
1
u(x + x) = u(x) + r( x E x) + (! x):
(II:2:12)
2
2
La ecuacion anterior representa el llamado Teorema de Stokes. Este teorema nos
dice que bajo una aproximacion lineal, toda deformacion de un campo vectorial continuo
puede ser descrito como la suma de una traslacion uniforme (primer termino del lado
derecho de la ecuacion anterior), una distorsion que es una combinacion de expansiones y
contracciones a lo largo de tres ejes principales (segundo termino), y una rotacion uniforme
(tercer termino).
De las deniciones del tensor de esfuerzos cortantes y del vector de vorticidad (ecuaciones II.2.3 y II.2.11) podemos calcular sus componentes para diversos sistemas de coordenadas. En particular, para el caso de la rotacion diferencial alrededor del sol en el plano
de nuestra galaxia, consideraremos coordenadas polares (R ):
1 @u + uR
R
E
(II:2:13)
Err = @u
=
@R
R @
R
@ u + 1 @uR ! = 1 @ (Ru ) ; 1 @uR
ER = R @R
R 2R @
R @R
R @
En el caso de nuestra galaxia se tiene simetra axial y estado estacionario, esto implica
que uR y todas las derivadas con respecto a son nulas. Bajo estas circunstancias, los
unicos elementos distintos de cero son:
@
R2 )
ER = R @R
! = R1 @ (@R
(II:2:14)
donde hemos expresado la velocidad tangencial en funcion de la velocidad angular del
centroide local de velocidad alrededor de la galaxia: u = R.
Constantes de Oort
II.11
Comparando las ecuaciones (II.2.14) con las deniciones de las constantes de Oort,
vemos que
A = ; 12 ER y B = ; 21 !
(II:2:15)
o sea que la constante A representa menos un medio de la componente R
del tensor de
esfuerzos cortantes y B menos un medio de la vorticidad local. A es la unica componente
del tensor de esfuerzos cortantes que no se anula en el caso del disco galactico (recordar
que no hemos considerado la componente vertical).