geometría analítica

U NI DAD 1
GEOMETRÍA ANALÍTICA BIDIMENSIONAL
Objetivos
Geometría analítica
Introducción
L
geometría analítica
La geometrie
geometr ía
cartesiana
1.1. El segmento
método sintético geométrico puro
Se considera segmento a un tramo de recta, que puede o no ser dirigido u
orientado.
15
Segmento orientado
Cuando se refiera a la longitud de un segmento se considerará como una
cantidad relativa. Sin embargo, si se refiere tanto a la longitud como al sentido de
un segmento se denominará segmento orientado. Es decir, un segmento orientado
es aquel cuyo sentido puede ser elegido. El sentido positivo, usualmente, se
indica colocando una flecha en algún lugar del segmento, como se aprecia en la
siguiente figura.
Así, el segmento de recta está orientado como lo indica la flecha, lo cual
significa que cualquier longitud medida de izquierda a derecha sobre la recta se
considera en sentido positivo; al contrario, cualquier longitud medida de derecha
a izquierda se considerará en sentido negativo. Por lo tanto, el segmento AC es
positivo, mientras que el segmento DA es negativo, por lo que el sentido de un
segmento se indica de acuerdo con el orden en que sean escritos los extremos de
dicho segmento:
AD = – DA
Esto es:
AD + DA = 0
Considerando la posición de los otros puntos marcados en el segmento se
tiene:
AD = AB + BD
AD = AC + CD
Asimismo:
AB = AD + DB;
también,
AB = AC + CB
Además:
AC = AD + DC
16
Geometría analítica
Ejemplo 1
O PQ
R
OQ + QP OQ + QR RO + RQ
Solución
O
P
Q
OQ + QP = OP
OQ
OQ + QR = OR
OQ
RO + RQ = OR + RQ = OQ
R
QP
QR
RO
RQ
OQ + QP = OP, OQ + QR = OR, –RO + RQ = OQ
Ejemplo 2
NA + AC = –CN NC – NX = CX
NX – NA = AX
NA – XA = NA
Solución
NA + AC = –CN
NC – NX = CX
NX – NA = AX
NA – XA = NA
N
C N
C
A
A
A
C
CN = NC
X
X
N
X
N A C X
17
recta numérica
La recta numérica
Si sobre un segmento de recta se señala un punto O como origen y un segmento
OA como unidad positiva, entonces se puede seguir haciendo este procedimiento
hacia la derecha del origen y después hacia la izquierda de éste, con lo que queda
determinada una escala numérica. Al segmento con estas características se le
denomina recta numérica, como se muestra a continuación:
A
O
A
Aquí vemos que en el segmento de recta han quedado señalados dos sentidos,
uno positivo y otro negativo. Además, la distancia en magnitud y signo, del origen a
un punto cualquiera de la recta dada es un número real, por lo que se puede decir
que éste es un segmento de la recta real.
A cada punto de la recta real se le asocia un número real, consecuentemente se
admite como postulado que a todo número real le corresponde un punto, es decir,
existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de un segmento de recta y
los números reales.
Establecida esta correspondencia entre puntos y números reales, las palabras
punto y número real, referidas a un segmento de recta, se utilizan como
sinónimos.
Ahora bien, la localización depuntosen un segmento se lleva a cabo de la siguiente
manera. Si se proporciona un número real cualquiera, para obtener el punto que
le corresponde es suficiente con construir, mediante una unidad determinada, el
segmento equivalente en magnitud y signo, tomando como origen al O, el extremo
opuesto del segmento es entonces el punto buscado. Asimismo, si se proporciona un
punto, para hallar el número real que se le asocia, se procede a medir el segmento
que representa el punto, utilizando para esto una unidad previamente definida.
Con esto puede que el segmento sea conmensurable (múltiplo o submúltiplo) con
la unidad o no. En el primer caso no hay dificultad alguna. En el segundo caso, la
medida se puede obtener por una sucesión de números racionales que definirán
un número irracional. Conviene hacer hincapié en casos, como por ejemplo, la
diagonal de un cuadrado cuyo lado es la unidad, que tienen por medida 2 , que
es un número irracional.
18
Geometría analítica
Ejemplo 3
Solución
2
O
2
2
1.1.1. Punto medio de un segmento
Punto medio
Con la finalidad de simplificar la representación de una cantidad mayor
de puntos en un segmento de recta, se plantea la utilización de otra notación
alternativa, en donde de una manera general se considera un segmento de recta
horizontal como el eje de las abscisas o eje X. Para indicar cualquier punto P sobre
este segmento se puede utilizar la notación xP = P. De igual manera se puede decir
que xA = A, xB = B.
Sea M el punto medio del segmento AB. De acuerdo con lo anterior, entonces
xA = A, xB = B, asimismo, xM = M, como se observa en la siguiente figura:
xA
xM
x
De acuerdo con la figura OM = OA + AM, entonces AM = OM
19
– OA, pero AM = AB/2, ya que M es el punto medio.
Por un lado se tiene que AM = xM – xA , y por el otro:
2
2
2
Igualando ambas ecuaciones se tiene:
2
Esto es:
2
2
2
2
Por lo que, el punto medio se puede obtener de la siguiente manera:
2
Lo que significa que, conociendo los extremos asociados a un segmento de
recta, es suficiente con sumar ambos y dividir entre 2 para obtener el punto
medio.
Ahora bien, conociendo cualquiera de los dos extremos del segmento y el
punto medio, se observa:
xA = 2xM – xB, asimismo xB = 2xM – xA
Lo que indica que ambas ecuaciones son equivalentes y es indiferente la
elección de los extremos, como se mostrará en el ejemplo 5.
Ejemplo 4
Solución
20
x1 =
x2
Geometría analítica
x=
Ejemplo 5
xA = 2xM – xB
xB = 2xM – xA
Solución
xB =
xB =
xM =
xA =
xA =
xA =
xM =
xB =
1.1.2. División de un segmento en una razón dada
P
AB
AP
21
AB
Un punto P divide a un segmento AB en una razón dada m/n si se verifica que:
Si la razón es positiva, el punto P es interior al segmento, porque AP y PB
están en el mismo sentido, en este caso se dice que el punto P divide al segmento
interiormente, como se observa en la siguiente figura:
O
A
Es fácil ver que
O (es una razón positiva)
Ahora bien, si la razón es negativa, los segmentos AP y PB son de signo
contrario y el punto P es exterior al segmento. En este caso se dice que el punto
divide al segmento exteriormente, como podemos observar:
O
A
Es fácil ver que
O (es una razón negativa)
Si se conocen las dos abscisas o puntos del eje X se puede seguir un
procedimiento para calcular la abscisa del punto P que divide a un segmento AB
en una razón dada, esto es:
x la abscisa del punto P.
P divide al segmento en la razón dada.
Ejemplo 6
P
Solución
22
x
AB(A (–
P
B
Geometría analítica
4
x
x
x=
Ejemplo 7
P
A
B
Solución
x
P
9
x
x
x=
A
A
B
B
A
AP
PB
l
B
AB
23
O
1
10
5
l
Ejercicio 1
A
A
B
B
A
B
B
1.2. Sistemas de referencia
24
AC
C
P
B
A
P
A
Geometría analítica
si stema polar
si stema cartesiano
ecuaciones de transformación,
1.2.1. Sistema cartesiano
plano cartesiano sistema de coordenadas cartesianas
rectangulares
x y
x y
El sistema de coordenadas cartesianas consiste en dos segmentos de recta
dirigidos que se intersectan formando un ángulo recto entre sí, con un origen
común O. Estos segmentos se denominan ejes de coordenadas rectangulares, y por
comodidad se les llama x y y, como se ilustra en la siguiente figura:
Y
O
En donde el segmento OX se denomina eje X, y el OY eje Y. Por
convencionalismo la parte positiva del eje X es hacia la derecha del origen;
asimismo, la parte positiva del eje Y es hacia arriba del origen.
25
Sea P un punto cualquiera del plano que forman los ejes X y Y; la distancia
perpendicular al eje Y se denomina coordenada x o abscisa, lo que es equivalente
a cualquiera de los segmentos BP u OA. De manera análoga, la distancia
perpendicular al eje X se denomina coordenada y, u ordenada, lo que es igual
a cualquiera de los dos segmentos AP u OB. Ambas cantidades, abscisa y
ordenada, se denominan coordenadas del punto P. Entonces el punto P se puede
representar como la abscisa de P, la ordenada de P; o de forma más simple (x, y),
que es la notación que se utiliza para representar un punto cualquiera en el plano
cartesiano. Esto muestra que a cada punto del plano se le asocia un par definido
de coordenadas (x, y) y viceversa.
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro zonas denominadas
cuadrantes, que se numeran en sentido opuesto al movimiento de las manecillas
del reloj. Los cuadrantes se pueden definir como planos o semiplanos. Al
considerarlossemiplanosse obtiene consecuentemente que losejesde coordenadas
no se encuentren en ninguno de los cuadrantes. En la siguiente figura se muestran
los cuadrantes, así como el signo de las coordenadas de cualquier punto en cada
uno de ellos:
Y
I
(+,+)
II
(--,+)
X
O
III
(--,--)
IV
(+,--)
Si un punto está a la derecha del eje Y, su abscisa es positiva; si está a la
izquierda del eje Y, su abscisa es negativa; si el punto está arriba del eje X, su
ordenada es positiva; si está hacia abajo del eje X, su ordenada es negativa.
La distancia medida desde el origen a un punto se llama radio vector de ese
punto, y esa distancia siempre es un número positivo. El cuadrado del radio vector
es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de la abscisa y la ordenada.
Si ninguna de las tres cantidades involucradas tiene valor cero, entonces pueden
26
Geometría analítica
ser consideradas los lados de un triángulo rectángulo. Esto es:
; o de otra forma
Donde r es el radio vector.
Ejemplo 8
P
Solución
Q
r
P
Q
R
r
Q
R
r
R
1.2.2. Sistema polar
sistema de coordenadas
distancia
dirección
polares
polo
27
Coordenadas polares
Sea un punto fijo O de un plano, y sea OA un segmento de recta dirigida
perteneciente a la recta que pasa por O, el punto fijo se denomina polo, y la
recta OA eje polar. Ahora se considerará un punto cualquiera S del plano. Se
puede especificar su posición al definir su distancia dirigida OS a partir de O y la
medida del ángulo formado por OS y OA. De acuerdo con la sección 1.2.1, OS es
el radio vector de S (se representa con r). El ángulo AOS es el ángulo vectorial de
S (representada por ). Los dos números r y son las coordenadas polares de S y
se representan por (r, ), como se muestra a continuación:
r, )
O
Por lo tanto, se ha definido el sistema coordenado que asocia un par de números
reales (r, ), a cada punto definido S en el plano, siendo el radio vector r de O a
S. En el sistema de coordenadas cartesianas existe una relación biunívoca entre
puntos del plano y pares ordenados, no así en las coordenadas polares, ya que a
cada par de números reales, donde el primero es positivo, corresponde un punto
definido del plano, pero a cada punto corresponde una cantidad indefinida de
coordenadas. En general, si un punto S tiene por coordenadas (r, ), tiene también
por coordenadas (r, + 2n ), en donde r es positivo y n es un entero cualquiera.
Cuando el caso r es negativo se tratará en el ejemplo 9.
Ejemplo 9
r
Solución
r
r
r
r
28
r
Geometría analítica
r
o
--r
S(--r
(r
r
r
(r
+
+(2n
r
r >0
n
Ejemplo 10
Solución
S
29
S
1.2.3. Ecuaciones de transformación
Relaciones entre coordenadas rectangulares y polares
Las ecuaciones siguientes pueden ser utilizadas para transformar una ecuación
dada en términos de coordenadas rectangulares o polares. Estas ecuaciones se
obtienen basándose en lo siguiente:
Y
x y
(r
r
y
X
O
x
Como se muestra en la figura, el polo de un sistema de coordenadas está en
el origen de un sistema de coordenadas cartesianas y el eje polar coincide con la
parte positiva del eje X.
Además se observa que los lados x y y del triángulo rectángulo se pueden
calcular basándose en la definición del seno y coseno; como ya se vio en cursos
anteriores.
x = r cos
y
y = r sen
Estas ecuaciones se utilizan para cambiar una ecuación a coordenadas
cartesianas si está dada en coordenadas polares.
30
Geometría analítica
Ahora, si consideramos a r como el radio vector de S, de la definición de
tangente tenemos:
Despejando r y
se obtienen las ecuaciones:
2
2
y
donde x 0
Estas ecuaciones pueden utilizarse para poner una ecuación en términos de
coordenadas polares si está dada en forma cartesiana.
Ejemplo 11
Solución
x= r
x= r
y= r
y= r
x y
Ejemplo 12
r = 2a
Solución
x= r
2
= x/r
2
2
2
2
r
31
2
2
2
2
2
x2 + y 2 = 2ax
Ejercicio 12
1.
2.
3.
r
4.
x
y
x2 + y 2
5.
1.3. Distancia entre dos puntos en una recta
y en el plano
distancia
dos puntos
recta
plano cartesiano
Distancia entre dos puntos en una recta
Dados dos puntos A y B, en el eje de las abscisas, se dice que la distancia dirigida
entre dos puntos dados es igual a la abscisa del punto extremo menos la abscisa del
punto origen.
OB = ( xB – xO )
y
OA = ( xA – xO )
Entonces:
AB = OB – OA = ( xB – xO ) – ( xA – xO ) = xB – xA
Esto se puede representar de acuerdo con la siguiente figura:
32
Geometría analítica
O
Asimismo:
DB = xB – xD; AC = xC – xA; DA = xA – xD; BC = xC – xB
En cada caso se observa que la distancia de los segmentos está dada en
magnitud y signo.
Cabe mencionar que también existen distancias no dirigidas entre dos puntos
y se pueden indicar por medio de los símbolos AB o BA ; esto es, el valor
absoluto de AB o BA, la distancia d = xB – xA = xA – xB . Donde el
valor absoluto de un número real a se define como sigue:
Debe observarse que, específicamente para todos los valores reales de
a, a representa un número no negativo.
De acuerdo con este razonamiento AB = BA , ya que la distancia es un
número real, se puede expresar como:
; donde x2 es la coordenada final y x1 es la coordenada inicial.
Ejemplo 13
A B
C
AB + BC + CA = 0
A
Solución
B
C
AB = xB
AB + BC + CA = xB
xA BC = xC
xA + xC xB + xA
xB
CA = xA
xC
xC = 0
33
AB + BC + CA = 0
AB
BC
CA
AB + BC + CA
AB + BC + CA = 0
Ejemplo 14
Solución
d
Ejemplo 15
Solución
d
34
Geometría analítica
Distancia entre dos puntos en un plano
Sean P (x1 , y1) y Q (x2, y2) puntos distintos y que no se encuentran sobre una
misma recta horizontal o vertical. Si se traza una recta que pase por P paralela
al eje x y se traza otra recta que pasa por Q paralela al eje y, estas rectas se
intersectarán en un punto R (x2 , y1), formando así un triángulo PRQ en donde
el segmento PQ es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son los
segmentos PR y RQ, que miden, respectivamente, x2 – x1 y y2 – y1 , como se
observa en la figura siguiente:
Y
(x2 y2
(x y
(x2 y
X
La distancia entre los puntos P y Q se puede escribir como:
d=
Lo anterior haciendo uso del teorema de Pitágoras.
Ésta es la fórmula de la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano.
Ejemplo 16
A
B(
Solución
d=
d=
d
35
Ejemplo 17
A
B
C
Solución
Y
X
0
BA + AC = BC.
BA
AC
BC
36
Geometría analítica
BA + AC =
BA + AC = BC
Ejercicio 3
A(
B
A(
B
A(
B
A
B(
A(
B
C
Ejercicios resueltos
1.
A
AB C
C
CB
Solución
4
24
37
x
x2
CB
x2
x2
B
A
A
4
24
B
B
A
x
38
Geometría analítica
A
x
A
2.
a a
a>0
Solución
d=
a
a,
d=a
3.
A
B
AB + BC + CA
Solución
AB + BC + CA
AB + BC + (CA
CA
39
4. A B
C
AC
AB
A
C
AB + BC = AC
Solución
AB + BC = AC
AC
AC
5.
A
B
C
Solución
BC = CA
6.
r cos = 2
Solución
2
2
2
x=2
40
2
2
Geometría analítica
r 2 = 2a
7.
2
Solución
2
r2
x2 + y2 2 = 2ax2
8.
Solución:
9.
Solución:
(
10.
Solución
x y
r
r
r
41
Geometría analítica
Autoevaluación
1.
A
B
P
2.
A
B
3.
B
4.
A
P
A
5.
B
AB
B?
6.
A
B
P
AP =
7.
C
A(
B
D(
8.
B
A
C
9.
A
10.
M
Ejercicios opcionales
1. A B
C
AC = BC =
B
C
A
A B?
2.
A
AB
B
P
A
B
43
3.
A
4.
5.
44
B(
C(
A
x2 + 2x + y2
D(
A2
A
Geometría analítica
Respuestas a los ejercicios
1
xM
xM
A=
x=
x=
2
S
S
y
r
r
3
d=
d=
d
Respuestas a la autoevaluación
P=
d
d
x= 4
xM =
x
45
xM =
xM =
M
Respuestas a los ejercicios opcionales
xA
xB
AC = BD AB = BC = CD = AD
r +2
46
=0