MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temático: Estadística y

MATEMÁTICA
MÓDULO 3
Eje temático: Estadística y Probabilidad
1. VARIABLE ALEATORIA
Cuando te levantas en la mañana y esperas el bus que te lleva al colegio,
seguramente piensas: ¿cuánto tiempo se demorará en pasar? Esta cantidad de
tiempo depende de un evento aleatorio y, cuando es así, se dice que la
variable es aleatoria.
En la vida real hay muchos casos como el anterior, por ejemplo, si nos
paramos en una esquina y preguntamos por la edad del entrevistado, también
esta variable es una variable aleatoria.
Si lanzamos un dado, sabemos que el espacio muestral E (esto es, todos los
casos posibles) es: E = {1,2,3,4,5,6}. Así, cada uno de los sucesos tiene una
probabilidad de 1/6; por lo tanto, si consideramos la variable aleatoria X: “la
puntuación del dado”, tenemos que:
P[X = 1] = P[X = 2] = P[X = 3] = P[X = 4]= P[X = 5]= P[X = 6] = 1/6
Si graficamos la variable anterior en un gráfico de barra, obtenemos el
siguiente esquema:
Si queremos calcular, por ejemplo, la probabilidad de que la variable sea
mayor que 3, tendremos:
P[X>3] = P[X = 4] + P[X = 5] + P[X = 6] =
1 1 1 3 1
+ + = =
6 6 6 6 2
Supongamos ahora que lanzamos tres monedas y contamos la cantidad de
veces que sale cara. El espacio muestral consta de 8 elementos:
(C,C,C) ; (C,C,S) ; (C,S,C) ; (S,C,C) ; (S,S,C) ; (S,C,S) ; (C,S,S) ; (S,S,S)
1
Si X = “número de caras”, entonces la probabilidad P(x) para cada valor de X
es:
El gráfico para esta variable aleatoria es:
2. PROBABILIDAD Y FRECUENCIA RELATIVA
Si tiramos una moneda unas 100 veces, ¿cuántas veces crees tú que saldrá
sello? Si la moneda no está cargada, se esperaría que el valor se acercara a
50. Pero si lanzamos la moneda cada vez un mayor número de veces, la
frecuencia relativa de la cantidad de ocasiones que sale sello se iría acercando
más y más a ½. Gráficamente, la situación sería la siguiente:
El hecho de que la frecuencia relativa se vaya acercando más y más a la
probabilidad del evento, es conocido como: “La Ley de los grandes números”.
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Esta Ley se aplica a múltiples sucesos en la vida real. Los casinos, por ejemplo,
siempre tienen más probabilidad de ganar que los jugadores; si una noche
resulta “muy mala para la casa” esto no le afectará, pues al correr del tiempo
siempre ganará más que los apostadores.
Sitio recomendado para la relación entre probabilidad y frecuencia relativa:
http://www.ub.es/stat/docencia/Software/Statmedia/DemoStatm/Temas/Capit
ulo1/C1m1t14.htm
3. PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOS
3.1. EVENTOS INCOMPATIBLES
Supongamos que tiras un dado y quieres determinar la probabilidad de que
aparezca un número múltiplo de tres o divisor de 10.
Para que sea múltiplo de tres, tenemos los casos: 3, 6
Para que sea un divisor de 10, tenemos los casos: 1, 2, 5
Observa que es imposible que se cumplan ambos eventos, ya que no hay
ningún elemento común. En este caso se dice que son eventos incompatibles.
La probabilidad de que aparezca un número múltiplo de tres o divisor de 10 es,
entonces:
2 3 5
+ =
6 6 6
En general si A y B son eventos incompatibles, la probabilidad del evento “A o
B” se calcula mediante la expresión:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
3.2. EVENTOS COMPATIBLES
Supongamos ahora que vamos a extraer una carta de un mazo inglés de 52
cartas y queremos determinar la probabilidad de sacar un as o un trébol.
Para que sea un as: hay cuatro posibilidades.
Para sacar un trébol hay trece posibilidades.
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Pero en este caso, hay un elemento que es común a ambos eventos (el as de
trébol), y por lo tanto los casos favorables serían 4 + 13 –1 = 16; en términos
de probabilidades sería equivalente a afirmar que:
P(As) + P(Trébol) − P(As y Trébol)=
4 13
1
16
4
+
−
=
=
52 52 52 52 13
Por lo tanto, si A y B son eventos compatibles, es decir, si pueden ocurrir
ambos simultáneamente, la probabilidad se calcula mediante la expresión:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
3.3. EVENTOS INDEPENDIENTES
Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no
afecta la ocurrencia del otro.
Si tiramos una moneda tres veces, la probabilidad de que en todas las
ocasiones salga cara responde a eventos independientes, ya que el resultado
de un lanzamiento no afecta lo que vaya a ocurrir en el próximo.
Si configuramos un diagrama de árbol para el conteo de todas las posibilidades
en el lanzamiento de tres monedas, obtenemos el siguiente gráfico:
Según este diagrama, la probabilidad de obtener tres resultados cara es:
1
lo
8
que es equivalente a multiplicar la probabilidad de obtener cara en cada
lanzamiento:
P(cara, cara y cara) =
1 1 1 1
⋅ ⋅ =
2 2 2 8
4
En términos de la frecuencia relativa, lo anterior es equivalente a pensar que al
lanzar una moneda una cantidad de veces, la mitad de ellas saldría cara
(idealmente), de la mitad de estas veces volvería a salir cara en el segundo
lanzamiento, y la mitad de estas saldría cara en la tercera oportunidad; por lo
tanto, la mitad de la mitad de la mitad de los lanzamientos saldría cara. De
aquí que la frecuencia relativa de las veces que saldría cara en los tres
lanzamientos es:
1 1 1 1
⋅ ⋅ =
2 2 2 8
En general, si A y B son eventos independientes, entonces se cumple que:
P ( A ∩ B ) = P(A) ⋅ P(B)
4. PROBABILIDAD CONDICIONADA
Supongamos que tenemos un ratón de laboratorio que se desplaza por el
laberinto que se muestra en la siguiente figura:
¿Cuál es la probabilidad de que pueda salir del laberinto, si cada camino tiene
la misma probabilidad de ser elegido por el ratón?
Al entrar, el ratón puede tomar indistintamente el camino A o B, por lo tanto:
P(A) = ½ y P(B) = ½.
Al llegar a A, la probabilidad de elegir el camino C o D es la misma; por lo
tanto, la probabilidad de elegir el camino C dado que eligió el camino A, lo que
anotamos P(C/A), es ½ ; de la misma forma P(D/A) = ½.
La probabilidad de elegir los caminos C y A es:
P(A ∩ C) = P(A) . P(C/A) = ½ . ½ = ¼
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Por ejemplo, la probabilidad de que el ratón salga por W es igual a:
P(B ∩ E) = P(B) . P(E/B) = ½ . ¼ = 1/8.
Si calculamos cada una de las probabilidades tenemos la siguiente situación:
Por lo tanto, la probabilidad de que el ratoncillo salga del laberinto es:
P(T o U o V) = P(T) + P(U) + P(V) = 1/8 + ¼ + 1/8 = 4/8 = ½.
En general, la probabilidad del evento de que ocurra B sabiendo que ocurrió A:
P(B/A) se calcula mediante la igualdad:
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)
Ejemplo:
En una tómbola hay 12 bolitas rojas y seis negras. Si se sacan dos en forma
consecutiva, sin reponer la primera, ¿cuál es la probabilidad de que la primera
sea roja y la segunda sea negra?
La probabilidad de que la 1ª sea roja es 12/18 y de que la 2a sea negra, dado
que la primera fue roja, es 6/17, por lo tanto:
P(R ∩ N) = P(R) . P(N/R) = 12/18 . 6/17 = 4/17
4.1. TABLAS DE CONTINGENCIA
Supongamos que encuestamos a 90 personas de las cuales 2/3 son hombres y
de ellos 2/5 fuman. Si se sabe que 1/3 de las mujeres fuman; hallar:
a) La probabilidad de que al elegir un encuestado al azar sea un hombre que
fume.
b) La probabilidad de elegir un encuestado que no fume sabiendo que es
mujer.
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Para responder lo anterior, podemos utilizar la fórmula de la probabilidad
condicionada:
a)
b)
P(H ∩ F) = P(H) . P(F/H) = 2/3 . 2/5 = 4/15
P(NF/M) es 2/3 ya que 1/3 de las mujeres fuman.
Una forma alternativa de realizar esta operación es ordenando los datos
dispuestos en una tabla de contingencia:
Por lo tanto:
a)
b)
24
4
=
90 15
20 2
=
P(NF/M) =
30 3
P(H ∩ F) =
Lo que coincide con lo hallado anteriormente.
Sitios sugeridos
Sitio recomendado para el estudio de la probabilidad condicionada: En
el siguiente sitio podrás hallar un simulador que te permitirá comprender mejor
la relación entre probabilidad y frecuencia relativa.
http://www.ub.es/stat/docencia/Software/Statmedia/DemoStatm/Temas/Capit
ulo1/C1m1t7.htm
Presentaciones Power Point
Relación entre probabilidad y frecuencia relativa. Probabilidad Condicionada:
http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-93089.html
Mendel y la probabilidad. Probabilidad condicionada:
http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-95087.html
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