Probabilidad de eventos compuestos y condicionada

Tema 10: estadÍstica y probabilidad
Contenidos: probabilidad y frecuencia relativa
Nivel: 3° Medio
Probabilidad de eventos compuestos y condicionada
1 Probabilidad de eventos compuestos
1.1 Eventos incompatibles
Supongamos que tiras un dado y quieres determinar la probabilidad de que
aparezca un número múltiplo de tres o divisor de 10.
Para que sea múltiplo de tres, tenemos los casos: 3, 6
Para que sea un divisor de 10, tenemos los casos: 1, 2, 5
Observa que es imposible que se cumplan ambos eventos, ya que no hay
ningún elemento común. En este caso se dice que son eventos incompatibles.
La probabilidad de que aparezca un número múltiplo de tres o divisor de 10 es,
entonces:
En general,si A y B son eventos incompatibles, la probabilidad del evento “A o
B” se calcula mediante la suma de sus probabilidades.
Se supone que puede ocurrir A o puede ocurrir B, pero la intersección es vacía,
pues no hay elementos compatibles.
Por tanto: P(A
B) = P(A) + P(B)
1.2 Eventos compatibles
Supongamos ahora que vamos a extraer una carta de un mazo inglés de 52
cartas y queremos determinar la probabilidad de sacar un as o un trébol.
4
52
13
Para sacar un trébol hay trece posibilidades, pero la probabilidad es
52
Para que sea un as hay cuatro posibilidades, pero la probabilidad es
Pero en este caso hay un elemento que es común a ambos eventos (el as de
trébol), y por lo tanto los casos favorables serían 4 + 13 –1 = 16; en términos
de probabilidades sería equivalente a afirmar que:
Por lo tanto, si A y B son eventos compatibles, es decir, si pueden ocurrir
ambos simultáneamente, la probabilidad se calcula mediante la suma de las
probabilidades, menos la probabilidad de que se cumplan ambos, esto es:
P(A
B) = P(A) + P(B) – P(A
B)
1.3 Eventos independientes
Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no
afecta la ocurrencia del otro.
Si tiramos una moneda tres veces, la probabilidad de que en todas las
ocasiones salga cara responde a eventos independientes, ya que el resultado
de un lanzamiento no afecta lo que vaya a ocurrir en el próximo.
Si configuramos un “diagrama de árbol” para el conteo de todas las
posibilidades en el lanzamiento de tres monedas, obtenemos el siguiente
gráfico:
Según este diagrama, la probabilidad de obtener tres resultados cara es
que es equivalente a multiplicar la probabilidad de obtener cara en cada
lanzamiento:
,lo
P(cara, cara y cara) =
En términos de la frecuencia relativa, lo anterior es equivalente a pensar que al
lanzar una moneda una cantidad de veces, la mitad de ellas saldría cara
(idealmente) la mitad de estas veces volvería a salir cara en el segundo
lanzamiento, y la mitad de estas saldría cara en la tercera oportunidad; por lo
tanto, la mitad de la mitad de la mitad de los lanzamientos saldría cara. De
aquí que la frecuencia relativa de las veces que saldría cara en los tres
lanzamientos es:
En general, si A y B son eventos independientes, entonces la probabilidad de
que ocurran ambos es igual a la multiplicación de sus probabilidades, es decir,
se cumple que:
P(A
B) = P(A) · P(B)
1.4 Probabilidad condicionada
Supongamos que tenemos un ratón de laboratorio que se desplaza por el
laberinto que se muestra en la siguiente figura:
¿Cuál es la probabilidad de que pueda salir del laberinto si cada camino tiene la
misma probabilidad de ser elegido por el ratón?
Al entrar, el ratón puede tomar indistintamente el camino A o B, por lo tanto: P(A)
= 1/2 y P(B) = 1/2½.
Al llegar a A, la probabilidad de elegir el camino C o D es la misma; por lo
tanto, la probabilidad de elegir el camino C, dado que eligió el camino A, lo que
anotamos P(C/A), es 1/2; de la misma forma P(D/A) = 1/2.
La probabilidad de elegir los caminos C y A es:
P(A
C) = P(A) · P(C/A) = 1/2 · 1/2 = 1/4.
Por ejemplo, la probabilidad de que el ratón salga por W es igual a:
P(B
E) = P(B) · P(E/B) = 1/2 · 1/4 = 1/8.
Si calculamos cada una de las probabilidades, tenemos la siguiente situación:
Por lo tanto, la probabilidad de que el ratoncillo salga del laberinto es:
P(T o U o V) = P(T) + P(U) + P(V) = 1/8 + 1/4¼ + 1/8 = 4/8 = 1/2.
En general, la probabilidad del evento de que ocurra B sabiendo que ocurrió A:
P(B/A) se calcula mediante la igualdad:
( A)
P ( A ∩ B) = P( A) × P B
Ejemplo:
En una tómbola hay 12 bolitas rojas y seis negras. Si se sacan dos en forma
consecutiva, sin reponer la primera, ¿cuál es la probabilidad de que la primera
sea roja y la segunda sea negra?
La probabilidad de que la primera sea roja es 12/18 y de que la segunda sea
negra, dado que la primera fue roja, es 6/17, por lo tanto:
( R ) = 1218 × 617 = 417
P( R ∩ N ) = P( R) × P N
2 Tablas de contingencia
Supongamos que encuestamos a 90 personas de las cuales 2/3 son hombres y
de ellos 2/5 fuman. Si se sabe que 1/3 de las mujeres fuman, hallar:
a) La probabilidad de que al elegir un encuestado al azar sea un hombre que
fume.
b) La probabilidad de elegir un encuestado que no fume sabiendo que es
mujer.
Para responder lo anterior, podemos utilizar la fórmula de la probabilidad
condicionada:
( H ) = 2 3 × 2 5 = 415
a) P ( H ∩ F ) = P ( H ) × P F
(
b) P NF
M
) es 2 3
ya que 1
3
de las mujeres fuma
Una forma alternativa de realizar esta operación es ordenando los datos
dispuestos en una tabla de contingencia:
Fuman
No
fuman
Total
Hombres Mujeres
24
10
34
36
20
56
60
30
Por lo tanto:
a) P (H ∩ F ) =
24 4
=
90 15
20 2
b) P NF
=
=
M
30 3
(
)
Lo que coincide con lo hallado anteriormente.
90